L: 20 (Ciencias) CALCULO DE PROBABILIDADES

L.6 (L.20 ciencias)
CALCULO DE PROBABILIDADES
1. EXPERIMENTOS ALEATORIOS: Son aquellos que, al repetirlos en análogas condiciones, nunca se
puede predecir el resultado.
ESPACIO MUESTRAL: Es el conjunto de todos los resultados posibles del experimento.
Ej: Al tirar un dado E = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, }
2. SUCESO ALEATORIO: Suceso aleatorio de un experimento es cada uno de los subconjuntos del espacio
muestral. Ej: salir par: A = { 2, 4, 6 }; Salir múltiplo de 3: B = { 3, 6 }
3. DISTINTOS TIPOS DE SUCESOS:
 Sucesos elementales: los formados por un solo resultado del experimento aleat. A = { 2 }
 Sucesos compuestos: los formados por más de un resultado. B = { 2, 3, 4 }
 Suceso cierto:
el que siempre se realiza. Coincide con el espacio muestral. C ={c, x}
 Suceso imposible:
el que nunca se realiza. 0. No salir ni cara, ni cruz.
 Sucesos contrarios: si se realiza A, no se realiza A . Ej: salir cara o cruz.
4. OPERACIONES CON SUCESOS:
 Unión de sucesos: Dados dos sucesos A = { 1, 2 } y B = { 3, 4 }, se llama unión de sucesos A  B,
cuando se realiza A o B. A  B = { 1, 2, 3, 4 }
 Intersección de sucesos: Dados dos sucesos A = { 1, 2 } y B = { 2, 3, 4 }, se llama intersección al
conjunto formado por los elementos comunes, A  B = { 2 }
5. SISTEMA COMPLETO DE SUCESOS:
A = { 1,2,6 }, B = { 3, 4 } y C = { 5 }
Son los que verifican: 1º) A  B  C = E
2º) A, B, C, son incompatibles dos a dos,
6. EXPERIMENTOS COMPUESTOS: Es el formado por varios experimentos simples. Ej: tirar dado y
moneda.
Espacio compuesto: Es el espacio que se obtiene como producto cartesiano de los dos conjuntos:
Ej: dado = {1,2,3,4,5,6}
Moneda = {c, x }
E = {(1,c),(2,c),(3,c),(4,c),(5,c),(6,c),(1,x),(2,x),(3,x),(4,x),(5,x),(6,x)}
FRECUENCIA ABSOLUTA:
Es el número de veces que ocurre un hecho.
Ej: Se tira un dado 20 veces, y sale el 2 cinco veces. Frec. Abs.= 5
FRECUENCIA RELATIVA: Es igual

Frecuencia.absoluta
5

N º de.veces.que.se.ha.hecho.la. exp eriencia 20
7. LA PROBABILIDAD: Se encarga de medir la posibilidad de que ocurra un hecho. Ej: Probabilidad de
que al tirar un moneda salga cara. Probabilidad 
1
2
Si tiramos una moneda o un dado correcto, a mayor número de tiradas, la frecuencia relativa se acerca a la
probabilidad del suceso. (que siempre es teórica)
8. PROBABILIDAD TEORICA:
Ley de Laplace =
casos favorables
casos posibles
9. PROPIEDADES DE LA PROBABILIDAD Y DE LA FRECUENCIA RELATIVA:
1ª) La probabilidad de un suceso es igual o mayor que 0
p(A)≥0
2ª) La probabilidad de un suceso cierto es igual a 1
p(E)=1
3ª) La probabilidad de dos sucesos incompatibles es igual a la suma de ellos; p (A  B) = p(A) + p(B)
Ej:
A = nº impar = { 1,3,5 }
p (A  B) = p (A) + p (B)
B = {2}
4/6 = 3/6 + 1/6
4ª) La probabilidad de la unión de sucesos compatibles es: p(A  B) = p(A) + p(B) – p(A  B)
Ej: A = nº impar = { 1,3,5 }
p (A  B) = p(A) + p(B) – p(A  B)
B = nº primo = { 2,3,5 }
4/6 = 3/6 + 3/6 - 2/6
5ª) La probabilidad de la unión de 3 suceso compatibles:
p(A  B  C) = p(A) + p(B) + p(C) – p(A  B) – p(A  C) – p(B  C) + p(A  B  C)
PROBLEMAS DE PROBABILIDAD (L. 20 c. L.6 estad.)
1. En el experimento aleatorio cuyo espacio muestral es E = {1, 2, 3, 4,5, 6} se consideran los siguientes
sucesos: A={2,5,6} C={4,5,6} B={1,3,4,5} D={3} Formar los sucesos contrarios.
2. Dados los sucesos del ejercicio anterior, calcular:

a)A  B b)A  C c)B  C d)A  (B  C ) e) A  B
f) A  B
g)A  B
h) A  B
3. En una bolsa se tienen ocho bolas numeradas del 1 al 8. Se realiza un experimento que consiste en la extracción de una bola, anotar su número y reintegrarla a la bolsa. Consideremos los siguientes sucesos:
A = {3, 5, 7, 8}, B = {1, 2, 3, 4, 5} C = {3, 6, 8}
Formar los siguientes sucesos: A  B
BA
ABC
4. En el experimento que consiste en lanzar un dado cúbico y anotar el resultado de la cara superior, calcular la
probabilidad de: a) Salir par. b) Salir impar c) Salir múltiplo de 3
d) Salir múltiplo de 5
5. Una urna tiene ocho bolas rojas, cinco amarillas y siete verdes. Se extrae una al azar. Determinar la
probabilidad de que: a) Sea roja b) Sea verde c) Sea amarilla d) No sea roja e) No sea amarilla
6. Se extrae una carta de una baraja española. ¿Qué es más probable?:
a) Que salga la sota de bastos o el rey de espadas. b) Que salga un oro o una figura.
c) Que salga un oro o un no oro.
d) Que salga una figura o que no salga una figura.
7. Se lanzan dos monedas. Hallar las siguientes probabilidades:
a) Obtener dos caras
b) Obtener dos cruces
c) Obtener al menos una cara
9. Se lanzan al aire tres monedas. Determinar la probabilidad de que se obtengan al menos dos cruces.
Problemas
15. Se ha trucado una moneda de tal forma que la probabilidad de obtener cara es triple que la probabilidad de
obtener cruz. ¿Cuál es la probabilidad de cada suceso elemental?
16. Un dado está trucado de modo que la probabilidad de obtener las distintas caras es directamente
proporcional a los números de éstas. Se pide:
a) La probabilidad de cada una de las caras. b)
La probabilidad de sacar un número par.
17. A un congreso de científicos asisten 100 congresistas. De ellos, 80 hablan francés y 40 inglés. ¿Cuál es la
probabilidad de que dos congresistas elegidos al azar no puedan entenderse sin intérpretes?
18. En el banquete posterior a una boda se sientan en la presidencia al azar 10 personas, entre las cuales se
encuentran lógicamente los novios. Hallar la probabilidad de que los novios estén juntos.
19 Un jugador expresó a Galileo su sorpresa al observar que al jugar con tres dados la suma 10
aparece con más frecuencia que la suma 9. Explicar el porqué de su sorpresa.
21 Hallar la probabilidad de que la suma de los puntos de las caras visibles de un dado que se lanzó al azar sea
múltiplo de 5.