SYLLABUS Algebra_I - Udabol Virtual

FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y FINANCIERAS
RED NACIONAL UNIVERSITARIA
UNIDAD ACADEMICA DE SANTA CRUZ
SYLLABUS
FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y FINANCIERAS
INGENIERÍA COMERCIAL – AUDITORIA- ADM. DE EMPRESAS
PRIMER SEMESTRE
SYLLABUS DE LA ASIGNATURA
ALGEBRA I
Autores
Ing. Lorena Montes
Gestión Académica I / 2012
UNIVERSIDAD DE AQUINO DE BOLIVIA
1
FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y FINANCIERAS
UDABOL
UNIVERSIDAD DE AQUINO BOLIVIA
Acreditada como PLENA mediante R.M. 288/01
VISIÓN DE LA UNIVERSIDAD
Ser la Universidad líder en calidad educativa.
MISIÓN DE LA UNIVERSIDAD
Desarrollar la Educación Superior Universitaria con calidad y competitividad al servicio de
la sociedad.
Estimado (a) alumno (a):
La Universidad de Aquino Bolivia te brinda a través del syllabus, la oportunidad de contar con una
compilación de materiales que te serán de mucha utilidad en el desarrollo. Consérvalo y aplícalo según
las instrucciones del docente.
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FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y FINANCIERAS
SYLLABUS
Asignatura:
Código:
Requisito:
Carga Horaria:
Créditos:
ÁLGEBRA I
MAT 101 C
ADMISIÓN
100 Horas
10
I. OBJETIVOS GENERALES DE LA ASIGNATURA.
Al finalizar el modulo el estudiante será capaz de:
 Desarrollar la capacidad de abstracción del comportamiento y características complejas de la realidad
 Dominar todo lo relacionado con el álgebra en cuanto al manejo de conjuntos, lógica matemática y
estructuras algebraicas
 Resolver problemas a través del uso y manejo de expresiones algebraicas
 Manejar conceptos técnicos que agilicen el razonamiento crítico y conceptual
II. PROGRAMA ANALÍTICO DE LA ASIGNATURA.
UNIDAD I: ALGEBRA ELEMENTAL
TEMA 1. OPERACIONES ARITMETICAS BASICAS
Objetivos de la unidad
 Identificar y diferencias los diferentes conjuntos numéricos.
 Desarrollar operaciones aritméticas en el campo Real.
 Aplicar potenciación y radicación en la simplificación de fracciones compuestas.
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
Conjuntos de Números. Números reales.
Números enteros y naturales
Números racionales e irracionales
Operaciones con números enteros
Mínimo Común Múltiplo. Máximo Común Divisor. Mínimo Común Denominador
Propiedades. Operaciones con fracciones.
Potenciación y Radicación con enteros.
Potencias de 10. Notación científica. Operaciones.
TEMA 2. ÁLGEBRA BÁSICA.
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Objetivos de la unidad
 Realizar operaciones algebraicas
 Desarrollar productos notables y Factorización.
 Simplificar expresiones algebraicas
2.1 Expresiones algebraicas. Términos. Clasificación: Monomios, Polinomios. Valor numérico
2.2 Operaciones: Suma, Resta, Multiplicación y División. Propiedades.
2.3 Operaciones: División. Regla de Ruffini Propiedades.
2.4 Productos notables
2.5 Descomposición factorial de polinomios. Factorización de expresiones algebraicas. Ruffini
2.6 Mínimo común Múltiplo de Polinomios.
2.7 Fracciones algebraicas. Operaciones: Suma, resta, multiplicación y división.
2.8 Simplificación.
TEMA 3. ECUACIONES E INECUACIONES
Objetivos de la unidad
 Resolver ecuaciones de primer y segundo grado
 Resolver sistema de ecuaciones lineales
 Plantear y resolver problemas
 Hallar el conjunto solución de las inecuaciones.
3.1 Ecuaciones Enteras de primer grado con una incógnita
3.2 Ecuaciones Fraccionarias de primer grado con una incógnita.
3.3 Sistemas de ecuaciones lineales.
3.4 Problemas de aplicación
3.5 Ecuaciones de Segundo Grado con una incógnita.
3.6 Inecuaciones.
UNIDAD II: RELACIONES Y FUNCIONES
TEMA 4. POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN CON EXPRESIONES ALGEBRICAS
Objetivos de la unidad
 Aplicar las leyes de la teoría de exponentes en la simplificación de expresiones algebraicas
 Resolver ecuaciones con radicales.
4.1 Radicales. Leyes de los radicales. Simplificación y Reducción de Raíces de orden Superior.
Operaciones con radicales.
4.2 Potenciación con expresiones algebraicas
4.3 Radicación con expresiones algebraicas.
4.4 Ecuaciones con Radicales
TEMA 5. FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS
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4
FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y FINANCIERAS
Objetivos de la unidad
 Resolver ecuaciones logarítmicas
 Resolver ecuaciones exponenciales
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
Definición
Propiedades
Cambio de base
Ecuaciones logarítmicas
Ecuaciones exponenciales
Problemas de aplicación
UNIDAD III: CONJUNTOS Y OPERACIONES CON CONJUNTOS
TEMA 6. CONJUNTOS
Objetivos de la unidad
 Resolver operaciones con conjuntos
 Plantear problemas reales con conjuntos y efectuar su resoluciónn
6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
6.6
Definición, notaciónn y determinación
Relaciones entre conjuntos
Operaciones entre conjuntos
Propiedades de conjuntos
Leyes de idempotencia
Problemas de aplicación
UNIDAD IV: LOGICA
TEMA 7. LÓGICA
Objetivos de la unidad
 Formular proposiciones
 Determinar valores de verdad de las formulas preposicionales
7.1
7.2
7.3
7.4
7.5
7.6
Definición
Notaciónn y conectivos lógicos
Operaciones preposicionales
Tablas de Valores de Verdad
Formulas Proposicionales
Equivalencia Lógica
TEMA 8. NÚMEROS COMPLEJOS
8.1. Definición
8.2. Forma Binómico de un número complejo
8.3. Operaciones con números complejos en la forma Binómico
8.4. Ejercicios prácticos
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III.
ACTIVIDADES PROPUESTAS PARA LAS BRIGADAS UDABOL
Las brigadas están destinadas a incidir de manera significativa en la formación profesional integral de
nuestros estudiantes y revelan las enormes potencialidades que presentan esta modalidad de la
educación superior no solamente para que conozcan a fondo la realidad del país y se formen de manera
integral, sino, además, para que conforme a su preparación académica los problemas de la vida real a los
que resulta imperativo encontrar soluciones desde el campo profesional en el que cada uno se
desempeñará.
El trabajo de las brigadas permite que nuestros estudiantes se conviertan a mediano plazo en verdaderos
investigadores, capaces de elaborar y acometer proyectos de desarrollo comunitario a la vez que se
acostumbren a trabajar en equipos interdisciplinarios o multidisciplinario como corresponde al desarrollo
alcanzado por las ciencias y la tecnología en los tiempos actuales.
La ejecución de diferentes programas de interacción social y la elaboración e implementación de
proyectos de desarrollo comunitario derivados de dichos programas confiere a los estudiantes, quienes
son, sin dudas, los más beneficiados con esta iniciativa, la posibilidad de:

Desarrollar sus prácticas pre-profesionales en condiciones reales y tutorados por sus docentes con
procesos académicos de enseñanza aprendizaje de verdadera “aula abierta”.

Trabajar en equipos habituándose a ser parte integral de un todo que funciona como unidad,
desarrollando un lenguaje común, criterios y opiniones comunes y planteándose metas y objetivos
comunes para dar solución en común a los problemas.

Realizar investigaciones multidisciplinarias en un momento histórico en que la ciencia atraviesa una
etapa de diferenciación y en que los avances tecnológicos conlleva la aparición de nuevas y más
delimitadas especialidades.

Desarrollar una mentalidad crítica y solidaria con plena conciencia de nuestra realidad nacional.
ACTIVIDADES A REALIZAR VINCULADAS CON LOS CONTENIDOS DE LA MATERIA
TAREAS PROPUESTAS
TEMA(S)
CON
LOS LUGAR DE ACCIÓN
QUE SE RELACIONA
En
base
al
fracciones,
Dif
nº
1
elaborar
de
Tema: Aritmética
como
suma
PREVISTA
En una pymes en la
una
zona
expresión con datos reales de
costos
FECHA
de
Alto
San
Pedro
de
fracciones que representen la
fracción de costo de cada uno
de los ítems considerados ya
sean semanales o mensuales
en una Pymes.
En base al Dif nº 7 de polinomios,
Tema:
En una pymes en la
elaborar una expresión similar con
Algebra Básica
zona
costos fijos de luz y agua en varias
Valor Numérico
Pedro
En base al Dif nº 10 sistema de
Tema: Ecuaciones
En una pymes en la
ecuaciones, visitar una pymes y
Sistema
plantear
ecuaciones lineales
de
Alto
San
pymes, encontrando el costo fijo
de las diferentes pymes
un
sistema
de
de
zona
de
Alto
San
Pedro
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ecuaciones con dos incógnitas,
resolverlo y verificar con los
datos reales.
ACTIVIDADES PROPUESTAS PARA LAS BRIGADAS UDABOL
De acuerdo a las características de la carrera y de la asignatura las actividades a realizar, por los
diferentes grupos de estudiantes, son:
Urbanas: Tendrán las características de trabajos prácticos con componente social y de duración
prolongada y sistemática donde participarán los alumnos en forma global o en grupos y concluirán con la
entrega del documento final que podrá ser un proyecto, una investigación o las memorias del trabajo.
ACTIVIDADES DE INCURSION MASIVA EN LA COMUNIDAD
A lo largo del semestre se realizaran dos incursiones masivas en la comunidad, Estas actividades tendrán
la finalidad de realizar trabajos ya sean de recojo de información, extensión o relacionadas con los
proyectos a desarrollar en la asignatura o la carrera.
IV. EVALUACIÓN DE LA ASIGNATURA
 PROCESUAL O FORMATIVA
A lo largo del semestre se realizarán dos tipos de actividades: Las primeras serán de aula que constituirán
en clases teóricas exposiciones, repasos cortos, resolución de Workpapers y Dif`s los cuales formaran
parte de las evaluaciones procesuales y otras actividades de aula. Cada uno se tomará como evaluación
procesual, calificándola entre 0 y 50 puntos.
Las segundas serán de las BRIGADAS UDABOL que consistirán básicamente en visitas a supermercados
y mercados haciendo una investigación de precios y cantidades vendidas de alimentos seleccionados por
los estudiantes, de la canasta familiar, para determinar la elasticidad precio de la demanda de los
productos seleccionados por cada grupo.
Además de los trabajos de brigadas, independientemente de la cantidad. Cada uno se tomará como
evaluación procesual, calificándola entre 0 y 50 puntos.
 DE RESULTADOS DE LOS PROCESOS DE APRENDIZAJE O SUMATIVA (examen parcial o final)
Se realizarán dos evaluaciones parciales con contenido teórico y práctico. El examen final consistirá en un
examen escrito (con un valor de 80% de la nota final).
El informe resultante de las visitas realizadas a los supermercados y mercados con la determinación del
tipo de elasticidad que presentan los alimentos, y sus conclusiones que presentaran los estudiantes
constituirá el 20% de la nota final del examen final)
IV.
BIBLIOGRAFIA
1. Álgebra con Trigonometría y geometría analítica. Lazo, Sebastian. Bolivia .2005. Sig. Top: 512.1.
L45
2. Álgebra. Goñi Galarza, Juan. 1993. Sig. Top: 511 G 58
3. Álgebra I. Gutierrez, Pedro. Bolivia .1990. Sig. Top: 512.G97
4. Álgebra. Baldor, Aurelio, Sig. Top: 512 B 19
5. Matematica para la Economia y Administración Weber, Jean. 1993. Sig. Top: 511.2 W38
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IV. CONTROL DE EVALUACIONES
1° evaluación parcial
Fecha:
Nota:
2° evaluación parcial
Fecha:
Nota:
Examen final
Fecha:
Nota:
APUNTES
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VII. PLAN CALENDARIO
Semana
Actividades
Temas
Observaciones
Tema 1: 1-4
1ra
Avance de Materia
2da
Avance de Materia
3ra
Avance de Materia
4ta
Avance de Materia
5ta
Avance de Materia
6ta
Evaluación
7ma
Avance de Materia
8va
Avance de Materia
9na
Avance de Materia
10ma
Avance de Materia
11ma
Avance de Materia
12ma
Evaluacion
13ra
Avance de Materia
14ta
Avance de Materia
15ta
Avance de Materia
16ta
Avance de Materia
17ma
Avance de Materia
18va
Avance de Materia
Tema 1: 5-8
Tema 2: 1-2
Tema 2: 3-4
Tema: 2: 5-6
Tema 2
Tema 2: 7-8
Tema 3: 1- 3
Primera Evaluación
Primera Evaluación
Tema 3: 4 -6
Tema 4: 1-3
Tema 4: 4
2da Evaluación Parcial
Tema 5: 1-3
Tema 5: -6
Segunda Evaluación
Segunda Evaluación
Tema 6: 1-6
Tema 7: 1-4
Tema 8: 1-4
Entrega de Notas
19va
Evaluación Final
20va
Evaluación Final
21ra
Examen Segunda Instancia
Entrega de Notas
Entrega de Notas
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VIII. Work Paper´s y DIF´S
PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD
WORK PAPER # 1
UNIDAD O TEMA: CONJUNTO NUMERICO Y OPERACIONES
ARITMETICAS
TITULO: Aritmética
FECHA DE ENTREGA: PRIMER PARCIAL
PERIODO DE EVALUACION:
Operaciones aritméticas con fracciones.
Para realizar operaciones aritméticas con fracciones se debe conocer previamente el cálculo del mínimo
común múltiplo de varios números enteros para la suma y resta de fracciones, esta operación consiste en
encontrar un número que a la vez sea múltiplo de todos los números dados, en este caso los
denominadores de todas las fracciones, entre todos los múltiplos el mínimo común multiplo es el menor
así el mínimo común múltiplo de 6, 8 y 12 es 24
CUESTIONARIO DEL WORK PAPER
SIMPLIFICAR:
3 1

5 8
1.
3
2.
1 9 3 
500     
 3 5 40 
3.
1 1 1
1 
16     
5  5 10 20 
4.
1 1 
1

2    *6  
8 5 
11

5.
7
1
1
 1

 9   2  2  *1
3
 12 16
 83
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10
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6.
7.
8.
9.
10.
1 2
5
  3  1
4 3
6
1
2 1
4 3 
2
3 30
23
30
2 3
1
 
5 10 20
2 1 5
 
3 9 6
 1 4  3 2 
     
 2   2  
2

1 
 2  
 3  

2
3


1
3
3

 


 3


3


1
 2 3     32 
2


214
Resp:
38
2
3 
2 3
10
Resp: 3
Efectuar las operaciones siguientes:
3 4 1
 
4 3 6
a)
2.
a) 1  ( 1  1 )  2{ 3  2[ 2  2(2  3 )]}
3 2
2
3
2
b) 2  2( 1  1 )  2{ 2  [ 3  2(1  3 )]}
3 2
3 2
2
3.
a) [( 23  32 )  (1  13 )]  [(2  13 )  ( 34  43 )]
b) [( 43  34 )  ( 13  2)]  [( 13 1)  ( 32  23 )]
4.
a) [2 
3  12
b)
1 5
7


8 24 30
1.
2
5
5
 ]  [2 
 ]
3
5
3
4 2 6
b) [2 
3  54
2
13 5
 ]  [ 32 
 ]
7
3
3  52 6
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11
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3
1

1
2
3 1
3
2
1
1

1 1 1 1
5
6
5.
a)
6.



2
a) 2 
1

2

2 1
2

1 3 
7.
1  2 2
a)
2
3
b)

 

 
 
1 
  1 
1 

  1
 
1 1 
3
 
1
8
2
2
1
8.
 3
a)  
 2 
9.
 3 2
2

a)  4  2  3 1
8
 1
 2
10.

3 6
a)  2  3

11.
1
2
  
3
1




1
  2  3
 7 3 2
a) 
2
 2 
 2  5 3


 1





24
2
1
2 2
1

 1 2





1
3 

 

 

 
3
1
b) 3 
 1 

1
1
 3
  1
1

1  
2 1
3 
2



3
2 3 4 1
4
2
5
2
1 1 1 1
3
2
3
2




1
3

1 1
2  34  5  5
 23  12  1
1
1
 7 3  3  2
  3 1
 2 5

1 1 1 2
   
9 6 4 3
b)
1 3
3
  1  2  
2 4
4

 1  3  1  1 



 2  5 
1 1
b)
1
1 1


2
1

3 3
  3 1  
4 8


23 7 2
7  3 2  2

1

2  3
3
2
 

1  4
b)  4  3

16 
 

 
 

1
b)
2   3 
1
1







3 
2 2
1








1

1
1
2
1
2
1
1
b)
3
2 1  16  (3 8 ) 1  2
12.- En un consultorio médico la alarma de un reloj suena cada 23 minutos. Diego esperó dos horas y
media, y escuchó sonar la alarma 7 veces, la última vez justo cuando entraba al consultorio. ¿Cuánto
tiempo transcurrió desde que Diego entró en la sala de espera hasta que sonó la alarma por primera vez?
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PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD
WORK PAPER # 2
UNIDAD O TEMA: ALGEBRA BASICA
TITULO: Álgebra Básica
FECHA DE ENTREGA:
PERIODO DE EVALUACION: PRIMER PARCIAL
1. DEFINICION
El álgebra es la parte de la matemática en que se trabaja con números a sí como también con letras
llamadas variables estas se llaman variables porque pueden tomar distintos valores, en el álgebra se
desarrollan las operaciones fundamentales de suma, resta, multiplicación y división, la suma y resta
consiste en sumar con signo incluido todos los términos semejantes, mientras en la multiplicación y
división se aplican los criterios como la ley de signos de la multiplicación y división así como también las
propiedades de la potenciación.
2. EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Se llama expresión algebraica a una combinación de números, de letras o variables que representan
números cualesquiera y signos de operación. Es decir, si una expresión ha sido formada aplicando una o
varias de las operaciones de suma, resta, multiplicación, división, potenciación y radicación, en cualquier
orden a números y a letras que representan números, es una expresión algebraica.
3. POLINOMIOS
Una expresión algebraica que consta de un solo término se llama monomio. Dos términos algebraicos
enlazados con los signos + o – se llaman binomio. En general dos o más términos algebraicos enlazados
por los signos + o – se llama multinomio.
4. OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS
a. Adición y Sustracción: Para efectuar estas operaciones, sumar, restar expresiones algebraicas se debe
aplicar sucesivamente las propiedades asociativa, conmutativa y agrupaciones de términos semejantes,
para esto se necesitan signos de agrupación. La simplificación de tales expresiones requiere quitar estos
signos y luego ir reduciendo términos semejantes.
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b. Multiplicación: El producto de dos o mas expresiones algebraicas se puede obtener aplicando la
propiedad distributiva para números reales, leyes de los exponentes y la regla de los signos. Es decir si A,
B y C son expresiones algebraicas, entonces
A ( B+ C) = AB + AC
c. División: Supongamos que P y Q son expresiones racionales enteras o polinomios, siendo el grado de
P mayor o igual que el grado de Q y Q diferente de cero. Entonces existen expresiones racionales enteras
C y R tales que:
P = C + R
Q
Q
d. Productos y Cocientes Notables
Existen ciertos productos y ciertos cocientes cuyos resultados pueden determinarse por simple inspección
siguiendo algunas reglas fijas. Los productos y cocientes que se obtienen de esta manera se denominan
productos notables y cocientes notables respectivamente.
Existen 12 principales reglas de los productos notables que serán explicadas en clase.
Los cocientes notables son casos particulares de la división entre expresiones algebraicas de la forma:
am + bp
aq + br
CUESTIONARIO DEL WORK PAPER
1.
En cada uno de los siguientes incisos, hallar el valor numérico de las expresiones dadas
x 3 y 2  43 x 2 y 3 , para x = 2; y = 12
a)
3
4
c)
3 x 2  2 xy  xy 2
, para x =
x  xy  y
2.
; y =  43 ,
8
3
d)
2 x 2  xy  3 y 2
, para x =  12 ; y =  34
2 x  xy  3 y
Sumar los siguientes polinomios:
a) x 4  3x 2 y  2 y 3  3 ;
b) x 4 y  3x 3 y 2  2x 2 y 3 ;
3.
1
2
x 1 y 2  83 x 2 y 1  1 , para x = 2; y =  12
b)
2x 2 y  y 3  5 ;
x2 y  4y3  2 ,
 4 x 4 y  32 x 2 y 3  xy 4 ;
 12 x 4 y  52 x 3 y 2  72 x 2 y 3  32 xy 4
a) De x 3  3x 2 y  4xy 2  32 y 3  23 , restar 2x 3  52 x 2 y  3xy 2  12 y 3  13
b) De m3  4mn2  23 n 3  32 , restar
1
2
m 3  2m 2 n  3mn2  53 n 3  12
En cada uno de los siguientes ejercicios, simplificar la expresión dada.
4.
E  3(1  2)  2{1  2[2  3(1  2)]  3(1  2)}
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5.
E  2( x  y)  2{x  2[ x  2( x  y)]  2( x  3 y)  y}
6.
E  2(3d  2e)  {2 f  2[e  d  2(d  f )]  e}  3[3d  (e  f )] .
7.
E  2 g  3{h  3[i  2( g  h  i)  3g ]  2h}  3i  7h .
En cada uno de los siguientes ejercicios, efectúe la multiplicación indicada.
8.
a) (2 x  3 y)(3x 2  2 xy  y 2 )
b) ( x 2  3xy  y 2 )(2 x  3 y  2)
9.
a) (2a 2  ab  3b 2 )(3a 2  ab  2b 2 1)
b) (5x4 – 3x3y  6x2y2  xy3 – y4) (2x2  xy – y2).
En cada uno de los siguientes ejercicios, efectuar la división indicada.
10.
(6x4  7x3y  12x2y2  10xy3  y4)  (2x2  xy  4y2).
11.
(8x 5  14x 4 y  5x 3 y 2  16x 2 y 3  3xy 4  2 y 5 )  (4x 2  xy  3 y 2 ) .
12.
(4x5 – x4y  12x3y2  2x2y3  xy4  5y5)  (4x3 – x2y  y3).
Efectuar los siguientes productos notables
13.
a) ( x 2  2 y ) 2
b) ( 13 x  32 y) 2
14.
a) (5x  2)(5x  2)
b) (3x  2 y )(3x  2 y )
15.
a) ( x  y  z )( x  y  z )
b) (3a  2b  c)(3a  2b  c)
16.
a) (2 x  5)( x  2)
b) (4 x  y )(2 x  3 y )
17.
a) (2 x  z) 3
b) ( x 2  2 y ) 3
18.
a) ( x  2)( x 2  2x  4)
b) ( x  1)( x 2  x  1)( x 3  1)
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15
FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y FINANCIERAS
PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD
WORK PAPER # 3
UNIDAD O TEMA: ALGEBRA BASICA
TITULO: Factorización
FECHA DE ENTREGA:
PERIODO DE EVALUACION: PRIMER PARCIAL
Se le da el nombre de factorización al proceso inverso de efectuar la multiplicación de dos o mas
expresiones dadas. Es decir, factorizar una expresión algebraicas significa escribirla como un producto de
sus factores primos. Los casos de factorización son:
- Factor Común:
AB + AC = A (B+C)
- Factor Común por agrupación:
AB + AC + BD + CD = (AB + AC) + (BD + CD)
- Trinomios que son cuadrados perfectos:
Cuando hay suma:
(a+b)2 = a2 + 2ab + b2
Cuando hay diferencia: (a-b)2 = a2 - 2ab + b2
- Difererencia de dos cuadrados:
(a2 - b2) = (a+b) (a-b)
- Polinomios que son cubos perfectos:
Cuando hay suma:
(a+b)3 = a3 + 3 a 2 b + 3 a b2 + b3
Cuando hay diferencia: (a-b)3 = a3 - 3 a 2 b + 3 a b2 + b3
- Suma y diferencia de dos cubos:
a3 + b3= (a+b) (a2 -ab + b2)
a3 – b3= (a-b) (a2 + ab + b2)
- Trinomio de la forma:
x2 + px + q
- Trinomio de la forma:
rx2 + px + q
- Factorización por adición y sustracción: Algunas veces se requiere sumar o restara algún término para
que la expresión algebraica sea reducible.
- Factorización por divisores binomios:
P(x) = (ax + b) Q (x)
- Factorizaciones Adicionales: Ciertos polinomios requieren métodos especiales para su factorización.
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16
FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y FINANCIERAS
CUESTIONARIO DEL WORK PAPER
Factorizar las siguientes expresiones algebraicas
1.
a)  6 x 2  4 y 2  2 z 2
b) 3xyz  2 xz 2  xz
2.
a) 4 x 2  4 x  1
b) 9 x 2  12x  4
3.
b)  x 2  4 xy  4 y 2
c) x 4  2 x 2  1
4.
a) 9 x 2  4 y 2
b) 4a 2 x 4  25x 2 y 4
5.
a) x 4 y 4 1
a) x 5 y  xy 5
6.
a) 2ax2  bx2  2ay  by b) ac  ad  bc  bd
7.
a) x 2  7 x  12
b) x 2  3x  10
8.
a) x 2  8 x  15
a) 8 x 3  1
9.
b) x 3  y 6
c) x 6  1
10.
a) 2 x 2  x  6
b) 2 x 2  11x  12
11.
a) 3x 2  x  10
b) 3ax  ay  6bx  2by
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17
FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y FINANCIERAS
PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD
WORK PAPER # 4
UNIDAD O TEMA: ALGEBRA BASICA
TITULO: Operaciones con fracciones algebraicas
FECHA DE ENTREGA:
PERIODO DE VALUACION: SEGUNDO PARCIAL
I. Fracciones Algebraicas
Una fracción algebraica es el cociente de dos expresiones algebraicas. Se realiza del mismo modo que en
aritmética. Las operaciones algebraicas son:
a. Adición y Sustracción de Fracciones: Al sumar o restar dos o mas fracciones que tienen el mismo
denominador se combinan los numeradores. Si fueran diferentes es necesario sacar mínimo común
denominador.
b. Principio de Simplificación: Consiste en factorizar numerador y denominador de manera que se
obtengan factores comunes.
c. Multiplicación y División de Fracciones: El producto de dos o mas fracciones es otra fracción cuyo
numerador y denominador son el producto de los numeradores y denominadores de las fracciones. El
cociente es igual al producto del dividendo por el recíproco del divisor.
II. Fracciones compuestas
Es aquella que contiene una o mas fracciones ya sea en su numerador o en su denominador o en ambos.
Para simplificar se reduce por separado el numerador y el denominador a fracciones simples.
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CUESTIONARIO DEL WORK PAPER
Simplificar las siguientes fracciones
1. a)
x 2  4x  4
b)
x 4
2
2 x 2  3x  2
b)
x 2  2x  3
x 2  4x  3
2 x 2  xy  y 2
2.
a)
3.
a)
x( x  4)
x( x  4)  x( x  5)  4
b)
4.
a)
x(a 2  1)  a ( x 2  1)
a ( x  1)  x(a  1)
b)
5.
a)
x 3
3x
5


2x  1 2x  1 2x  1
b)
6.
a)
x2 x2
2


x  1 x 1 x 2 1
7.
 x 3 1
x  1  x 2  x  1
a)  2
 2

 x  2x  3 x  x  2  x 2  x  6


8.
 x3 1
x 2  x  6  x 2  x  1
a)  2
 2

 x  3x  2 x  2 x  3  2 x 2  2 x


9.
 x3  8 x 2  x  2  x 2  2 x  3

a)  2
 2
2


10.
x  
x  6  x 1
 x 1
a) 

  4 

x

2
x

2
x
2 x2

 
x 2  5x  2
 x  4 x  2x  4 
x 2  xy  2 y 2
a2 1
(a  x) 2  (1  ax) 2
ab( x 2  y 2 )  xy(a 2  b 2 )
ab( x 2  y 2 )  xy(a 2  b 2 )
x
8

x  2 x2  4
x  3x
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19
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11.
12.
1
1  ax ax
2
a)  


 

 x a x ax ax a x
a)
11
y x
b)
xy
y x
1  1x
1
1
x2
13.
 a2
b2 
ab 




 b

a
a
b



a)
1
1
1
 2 
2
ab
a
b
14.
x 
1 1
  
a  b  x 
a
b
ab


a)
1
1
2
x2



a 2 b 2 ab a 2 b 2
Misceláneos - Álgebra Básica
I.
Reducir a términos semejantes los siguientes polinomios.
a)
b)
15a2 - 6ab - 8ab + 20 - 5ab – 31 + a2 - ab
x4y - x3y2 + x2y3 - 8x4y - x2y3 - 7x3y2 – 9 + 21x4y - y5 + 50
II:
Hallar la suma de:
a) -7x - 4y + 6z; 10x - 20y - 8z; -5x + 24y + 2z
b) ab + bc + cd; -8ab-5bc-3cd; 5ab + 2bc + 2cd
III.
Multiplicar los siguientes polinomios.
a) x3 - 2x2 + 1 por x2 – x + 3
b) 5y2 - 2y + 3 por y2 - 3
IV.
Desarrollar los siguientes productos notables y simplificar.
2
4
2

a)   3  -9- 2
a
a

1
 1

2 1
b)   m   m  + m - + 3m
9
3
 3

c)
 y  2x3 - y 3  6xy 2  8x 3
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20
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V.
Dividir los siguientes polinomios:
a) 6x2 – xy - 2y2 entre y - 2x
b) 5n2 - 11mn + 6m2 entre m - n
c) -14y2 + 33 + 71y entre 3 + 7y
VI.
Factorizar:
a)
b)
c)
x2y2 + xy - 12
93a3x2y - 62a2x3y2 - 124a2x
x4 + 7ax2 - 60a2
d)
e)
f)
g)
h)
i)
48+2x2-x4
m3-3m2-4m+12
4a2+9+15ª
121+198x6+81x12
35m2n3-70m3+105mn6
2x  32  x  52
VII. Simplificar las siguientes fracciones algebraicas:
1.
a
a  1
2

1
a  2a  1
2
2.
x y
x  2y
 2
2
x  y 3x  3 y
3.
a  b a  b a2  b2


x  y x  y x2  y2
4.
a 2  4ab  4b 2
a 3  8b 3
5.
x 4  27x
x4  x
1
x 3
*
*
 2
3
2
4
3
2
2
x  x  x x  3x  9 x xx  3
x
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21
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PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD
WORK PAPER # 5
UNIDAD O TEMA: ECUACIONES E INECUACIONES
TITULO: Ecuaciones
FECHA DE ENTREGA:
PERIODO DE EVALUACION: SEGUNDO PARCIAL
1. Teoría de las ecuaciones
Una ecuación es una igualdad que contiene por lo menos una incógnita, como por ejemplo
2x  5  x
La raiz o solución de una ecuación es el valor que reemplazado en la incógnita satisface la igual, para
resolver la ecuación se debe despejar la incógnita lo cual consiste en dejar sola a la incógnita en un
miembro de la ecuación, para esto se debe respetar todas las leyes del álgebra como por ejemplo que el
término que está sumando pase a restar, el que esté restando pase a sumar, el que esté multiplicando
pase a dividir, el que esté dividiendo pase a multiplicar al otro miembro.
Una vez despejada la incógnita se dice que la ecuación ha sido resuelta, es decir que su raíz ha sido
encontrada. Esto se puede verificar, para lograr la verificación solo hace falta reemplazar el valor de la
solución en la ecuación original y se deb satisfacer la igualdad inicial. En el ejemplo la solución es 5
puesto que si reemplazamos el 5 en el lugar de la incógnita x se verifica la igualdad
10  10
2. Representación Geométrica
La representación geométrica de una ecuación lineal con dos variables es una Recta en el Plano. La representación
geométrica es una ecuación lineal con tres variables es una plano en el Espacio.
Ejemplo1 : Representando una ecuación con dos variables:
3 x + 2 y = 12
Asignando valores para una variable se obtiene le valor de la otra:
xy
1
0
6
4.5
2
3
4
0
y luego se grafica estos puntos en el
plano formando una recta en el plano.
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CUESTIONARIO DEL WORK PAPER
Resolver las siguientes ecuaciones lineales con una incógnita
1.
a) 5( x  2)  3( x  4)
b) 4(3x  5)  2  2  3(4  3x)
2.
a) 3( x  2)  2(3  x)  4( x  3)  3
b) 5(2 x  3)  2(3  2 x)  7( x  4)  3
3.
a) x2  1  x  2 x1
4
3
3
b) 5x7  2 x7  3x  14
2
3
4.
a) x2  x1  x3
3
2
6
b) 1  1   1x
2 x x1
Resolver las siguientes ecuaciones cuadráticas
5.
a) x 2  x  2
b) x 2  3x  2  0
6.
a) 2 x 2  3 x  2
b) 2 x 2  5 x  2  0
7.
a) ( x  1)( x  4)  2( x  3)  2
b) ( x  2) 2  1  2( x  1)
8.
a) ( x 2  2) 2  x 2
b) ( x 2  1) 2  ( x  2)( x  2)  1
9.
Hallar el valor de k en la ecuación: (3k  2) x 2  (k  2) x  k  1  0 de manera que tenga raíces
iguales.
Resolver las siguientes ecuaciones con radicales:
10.
a) x  3 x  4  0
11.
a)
2x  3  x  1  5
2
1
b) x 5  x 5  2  0
b)
x 5  x 3  2
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12.
x 8  x  2 x 3
a)
b) x 2  3x  x 2  3x 1  7
Hallar la solución del sistema de ecuaciones
13.
a) 3x – 2y =12
x 1  y  4  1
3
2
5x + 3y =1
14.
y 1
1
b) x 3 
2
3
c) 2x –3y + z = 5
3x + y + z = 2
4x –2y +3z = 1
d)
3x + 2y – z = 1
4x – y – 3z = 0
x – 2y + z = 7
15.- Tres computadoras fueron puestas a la venta. El modelo E costaba la tercera parte del modelo C, y
el modelo P costaba el doble que el modelo E. Una institución compró una computadora de cada modelo y
pagó en total de $1800, sin incluir impuestos. ¿Cuál fue el precio de venta de cada computadora?
16.- Un vendedor de camisas sabe por experiencia que puede vender 80 camisas a $16 cada una. Pero si
aumenta el precio de cada camisa en $2, dejará de vender 5 camisas. ¿Cuántas camisas debe vender y a
qué precio para obtener los ingresos iguales que en principio, pero vendiendo menos camisas?
17.- Un cine tiene una capacidad de 900 asientos y cobra $2 por niño, $3 por estudiante y $4 por adulto.
En cierto monitoreo con el cine lleno, la mitad del auditorio adulto era igual al auditorio infantil y estudiantil
juntos. Las entradas totalizaron $3200. ¿Cuántos niños asistieron a la función?
18.- Resolver las siguientes ecuaciones de primer grado con una incógnita:
a)
3x(x-3) + 5(x+7) - x(x+1) - 2(x2-7) + 4 = 0
b)
5(1-x)2 - 6(x2-3x-7) = x(x-3) - 2x(x+5) – 2
c)
1 1
1
1
 

2 x 4 10 x 5
d)
2 5 7
3
 

1
3 x x 10 2 x
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e)
6 x  1 3( x  2) 1  3x


18
5x  6
9
19.- Resolver las siguientes ecuaciones de segundo grado con una incognita:
a)
2x-3)2 - (x+5)2 = -23
b)
7(x-3) - 5(x2-1) = x2 - 5(x+2)
c)
x2 + 4x = 285
d)
x2 x
  3( x  5)
6 2
20.- Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales:
a)
b)
x  y   6x  8 y   10x  5 y  3
x  y   9 y  11x  2 y  2x
x y
4
x y
x  y 1 1

x  y 1 9
21.- Resolver las siguientes inecuaciones.
1.
3x-3<x+5
2.
2+3x  5x+8
3.
4.
5.
6.
7.
1
3 x 7
x  
2
5 5 2
2
1
x 0
3
2
4
2
3 7
x
x
2
 2
x3
3x  1
1
x4
3
2

0
8.
x3 x2
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PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD
WORK PAPER # 6
UNIDAD O TEMA: POTENCIACION Y RADICACION
TITULO: Potenciación y radicación con expresiones algebraicas
FECHA DE ENTREGA:
PERIODO DE EVALUACION:
Reducción de radicales
La reducción de radicales consiste en simplificar a su mínima expresión una expresión compleja con
radicales. Y para ello se debe simplificar en primera instancia cada uno de los radicales aplicando para
ello la propiedades inherentes a los radicales como ser la extracción de cantidades subradicales esta
extracción se logra descomponiendo las cantidades subradicales en sus factores primos y extrayendo
todos aquellos factores cuyos exponentes sean múltiplos de el índice del radical, seguidamente se debe
reducir los radicales semejantes cual si fueran expresiones algebraicas
CUESTIONARIO DEL WORK PAPER
Suma y resta de radicales:
45  27  20
2.- 175  243  63  2 75
1
450  4 320  3 80  5 800
3.4
1.-
Multiplicación de Radicales
3 6
2.- 5 21  2 3
3.- 2 3  5  5 2 por4 15
1.-
4.-
2  3 por 2  2 3
5.-
5  5 3 por2 5  3 3
División de Radicales
4 6 2 3
2.- 2 3a  10 a
1.-
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3.-
1
3
3 xy 
x
2
4
Racionalizar el denominador.
1.
5
x x  y 
2
2.
3.
4.
5.
6.-
7.-
8.-
3x  9
3x  3
7
2x  5 y
x  2
x2
x2  4
y
y  x y
2 5
2 5
7 2 5
7 5
2 3 5
2 2 5
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28
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PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD
WORK PAPER # 7
UNIDAD O TEMA: RELACIONES Y FUNCIONES
TITULO: Logaritmos
FECHA DE ENTREGA:
PERIODO DE EVALUACION: SEGUNDO PARCIAL
1. Definición
El logaritmo de A en base b es igual a C es decir
logb A  C , C es el número al cual hay que elevar la
base b para que el resultado de esta potencia sea e número dado A, así el log3 81 es 4 puesto que
34  81 . Los logaritmos también cumplen ciertas propiedades entre las principales tenemos:
I. El logaritmo de la base es 1, es decir logb b es 1
II. Solo existen logaritmos de base positiva
III. Solo existen logaritmos de cantidades positivas
IV. El logaritmo del producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores es decir
logb AB  logb A  logb B
V. El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo de del numerador menos el logaritmo del denominador
log b
A
 log b A  log b B
B
CUESTIONARIO
Calcular los siguientes logaritmos por definición.
1.2.3.4.5.6.-
log4 16  x
log4 4  x
log4 8  x
1
log 2  x
4
log5 1  x
log0.2 25  x
1
x
7.- log 3
27
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29
FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y FINANCIERAS
log4 2  x
9.- log0.25 32  x
10.- log4 16  x
8.-
Ecuaciones logarítmicas y exponenciales
1. log 3 5
5
25  x
log2 2 x  1  3
3. log3  log3 32  log3 36
4. log8 x  2  log8 x  log8 12
2.





log2 5x 2  14x  1  log2 4x 2  4x  20
2
2
6. log3 6x  4x  1  log3 x  x  1  log3 5
7. xx  5  log2 4  log3 81
8. log10 x  15  2 log13 13  log10 x
5.



9. 2  7
x
10. 2
x 3
 5 2 x 4
PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD
WORK PAPER # 9
UNIDAD O TEMA: Conjuntos
TITULO: Conjuntos
FECHA DE ENTREGA: EVALUACION FINAL
PERIODO DE EVALUACION:
1. CONJUNTOS – DEFINICION Y DENOTACION
La palabra Conjunto se usa al referirse a un grupo o colectividad de objetos que se consideran formando
un todo. Por ejemplo: conjunto de libros, conjunto de científicos, etc.
Un conjunto se denota con una letra mayúscula A, B, C, etc y cada conjunto esta conformado por
elementos o partes que conforman el conjunto llamados elementos, los cuales se denotan con letras
minúsculas a,b,c, etc.
También se utiliza una simbología para algunos términos: / (tal que),  (para expresar que un elemento
pertenece a un conjunto, ej: x  A), < (menor que), > (mayor que).
Si un conjunto A esta conformado por los elementos a,b,c,d se escribe asi: A = { a, b, c, d} y se representa
en un diagrama de Venn de la siguiente manera:
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30
FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y FINANCIERAS
A
a
c
b
d
2. DETERMINACIÓN DE CONJUNTOS
a. Por extensión: Un conjunto esta determinado por extensión si se nombran todos los elementos que lo
conforman.
Ejemplo: A = {1, 3, 5, 7}
b. Por comprensión: En este caso se dan las propiedades que caracterizan a todos los elementos del
conjunto.
Ejemplo: B = { x  N / x<3} , según esto se tiene que los elementos de ese conjunto son todos los
números naturales menores que 3
3. CONJUNTOS ESPECIALES
Son aquellos en los cuales se identifica el número de elementos que tiene
a. Conjunto Unitario: Tiene un solo elemento.
Ejemplo: A = { x  N / x2 = 9} , entonces A= { 3 }
b. Conjunto Vacío: Carece de elementos, se escribe  = { }
Ejemplo.: A = { x  N / x2 = -9}
c. Conjunto Universal: Sus elementos se escogen para formar otro conjunto. Se denota por U. Ejemplo: Si
U = { 1, 2, 3, 4, 5 } entonces el conjunto A = { x/ -3 < x < 4} por lo tanto tenemos que A= { 1, 2, 3 }
4. RELACIONES ENTRE CONJUNTOS
Al relacionar dos conjuntos definidos en un mismo universo se tiene las siguientes relaciones:
- Inclusión de Conjuntos: Sean A y B dos conjuntos definidos en un mismo universo, se dice que A está
incluido en B o que A es un subconjunto de B, si todos los elementos del conjunto A pertenecen al
conjunto B; se denota por A  B que significa que A esta incluido en B.
- Igualdad de conjuntos: Se dice que dos conjuntos A y B son iguales si A  B y B  A, es decir ambos
están conformados por los mismos elementos.
A=BAB ^ BA
- Conjunto de Partes: Dado un conjunto A, se entiende por conjunto de partes de A al conjunto formado
por todos los subconjuntos de A y se denota por P(A), esto significa que si se toman en cuenta todos los
subconjuntos de A, ellos dan origen a un nuevo conjunto que se llama conjunto de partes de A.
P(A) = {X / X  A}
5. OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS
En los conjuntos se pueden realizar operaciones que combinan dos o mas conjuntos formando de esta
manera nuevos conjuntos. A continuación analizaremos cada una de ellas.
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31
FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y FINANCIERAS
- Unión de Conjuntos: Dados dos conjuntos A y B, se llaman unión de A y B, al conjunto formado por todos
los elementos de A o de B. Se denota por A U B y se representa en símbolos de la siguiente manera:
A U B = { x / x  A v x  B}
Es decir que:
x  (A U B)  x  A v x  B
- Intersección de Conjuntos: Dados los conjuntos A y B, la intersección de los conjuntos A y B es el
conjunto formado por los elementos que son comunes a los dos conjuntos dados, es decir, pertenecen a A
y a B. Se denota por A  B
- Complemento de Conjuntos: Sea A un conjunto definido en un universo U, el complemento de A es el
conjunto formado por todos los elementos de U que no pertenecen a A. Se denota por A c
Ac = {x  U / x  A}
Ac = {x / x  A}
- Diferencia de conjuntos: Sean A y B dos conjuntos cualesquiera. La diferencia de conjuntos A-B es el
conjunto formado por todos los elementos de A que no pertenecen a B.
A-B = { x / x  A ^ x  B}
x  (A – B)  x  A ^ x  B
A – B = A A  B Bc
- Diferencia Simétrica de Conjuntos: Dados dos conjuntos A y B, cualesquiera del universo U, la
diferencia simétrica entre estos conjuntos formado por los elementos que pertenecen a A o B, pero no a
ambos. Se denota por A  B.
A  B = (A – B) U (B – A)
6. LEYES DE OPERACIONES CON CONJUNTOS
- Leyes de Idempotencia: A U A = A
AA=A
- Leyes Conmutativas:
AUB=BUA
- Leyes Asociativas:
A U (B U C) = (A U B) U C
- Leyes Distributivas:
A  (B U C) = (A  B) U (A  C)
- Leyes de Absorción:
A  (A U C) = A
- Leyes de Morgan:
( A U B)c = Ac  Bc
- Leyes de Complemento A U Ac = U
- Leyes de identidad:
(Ac)c = A
AU=A
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32
FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y FINANCIERAS
CUESTIONARIO DEL WORK PAPER
1.
Escribir por extensión los siguientes conjuntos
A = { x / x=2-y ; y  N; y<6 }
B = { a  N/ -1< a < 9 }
C = { x  Z / ( x + 1)2 = 4 }
D = { x  Z / ( x - 2)2 = 0 }
E = { x  Z / x3 = x }
2. Si U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} A={2,4,5,7} B={5,7,8} C={4,5} D = 
Hallar:
a) A  B
h) B  C
b) A  B  C
i) A c
c) B c
j) C c
c
d) (A – B)
k) (Cc U A)
c
c
e) (A – B)  (C U A)
l) (AB) – A
f) (BcCc)U(A-C)
g) Calcule  (A), (B), (C), (A-B), (AB), (AUBUC).
3. Dados los conjuntos:
U = {a,b,c,d,e,f,g,h} , A = {a,c,d,f,h} , C = {a,c,d,e}
Hallar:
a) A c, B c , C c
b) A  B c, B  A c, (A-B) U (B-A)
c) (AB) – A , (BcCc)U(A-C)
4. Dados los conjuntos A y B tales que AB tiene 10 elementos y AUB tiene 25 elementos. Cuantos
elementos tiene AB?
5. Dados los conjuntos A y B, tales que AUB tiene 18 elementos y AB tiene 7 elementos. Cuantos
elementos tiene AB?
Represente los siguientes problemas en Diagrama de Venn y encuentre las respuestas de cada uno:
6. Un grupo de 70 personas ejecutan trabajos manuales utilizando tres materiales: barro, madera y
cartulina. Se sabe que todos utilizan barro, 29 utilizan madera, 40 cartulina y 11 emplean los tres
materiales. Cuantos utilizan únicamente barro? R. 12
7. De 33 personas que viajaron a Europa, 15 visitaron Francia, 16 visitaron Inglaterra, 16 visitaron Suiza, 5
visitaron Francia y Suiza, 5 visitaron Inglaterra y Suiza y 2 los tres países.
a) Cuantos visitaron únicamente Francia?
R. 6
b) Cuantos visitaron Inglaterra o Suiza pero no Francia
R. 18
c) Cuantos visitaron Francia y Suiza pero no Inglaterra
R. 3
8. Una mesera tomo una orden de 57 hamburguesas: 22 con cebolla, 29 con mostaza y 25 con salsa de
tomate. De estas, 10 tenian solo cebolla y 15 solo mostaza; 7 de las hamburguesas tenía solo cebolla y
mostaza y 3 los tres ingredientes. Realice un diagrama de Venn y determine:
a) Cuantas llevaban salsa y mostaza solamente?
R. 4
b) Cuántas llevaban solo salsa?
R. 16
c) Cuantas hamburguesas llevaban cebolla o mostaza pero no salsa?
R. 32
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33
FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y FINANCIERAS
PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD
WORK PAPER # 10
UNIDAD O TEMA: LOGICA
TITULO: Lógica
FECHA DE ENTREGA: EVALUACION FINAL
PERIODO DE EVALUACION:
1. DEFINICION
La lógica es la disciplina que trata de los métodos, modos y formas del razonamiento humano. Ofrece
reglas y técnicas para determinar si un argumento es válido o no.
2. PROPOSICIONES
Una proposición o enunciado es una oración que puede ser falsa o verdadera pero no ambas a la vez. La
proposición es un elemento fundamental de la lógica matemática.
A continuación se tienen algunos ejemplos de proposiciones válidas y no válidas, y se explica el porqué
algunos enunciados no son proposiciones. Las proposiciones se indican por medio de una letra minúscula,
dos puntos y la proposición propiamente dicha. Ejemplo.
p:
q:
r:
s:
t:
w:
La tierra es plana.
-17 + 38 = 21
x > y-9
El Morelia será campeón en la presente temporada de Fut-Bol.
Hola ¿como estas?
Lava el coche por favor.
Los incisos p y q sabemos que pueden tomar un valor de falso o verdadero; por lo tanto son proposiciones
validas. El inciso r también es una proposición valida, aunque el valor de falso o verdadero depende del
valor asignado a las variables x y y en determinado momento. La proposición del inciso s también esta
perfectamente expresada aunque para decir si es falsa o verdadera se tendría que esperar a que
terminara la temporada de fut-boll. Sin embargo los enunciados t y w no son válidos, ya que no pueden
tomar un valor de falso o verdadero, uno de ellos es un saludo y el otro es una orden.
3. OPERACIONES PROPOSICIONALES
Definiremos las operaciones entre proposiciones en el sentido siguiente: dadas dos o más proposiciones,
de las que se conoce los valores veritativos, se trata de caracterizar la proposición resultante a través de
su valor de verdad. A tal efecto, estudiaremos a continuación el uso y significado de los diferentes
conectivos lógicos mencionados arriba:
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34
FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y FINANCIERAS
- Negación: Dada una proposición p, se denomina la negación de p a otra proposición denotada por ~ p
(se lee "no p") que le asigna el valor veritativo opuesto al de p. Por ejemplo:
p: Diego estudia matemática
~ p: Diego no estudia matemática
- Conjunción: Dadas dos proposiciones p y q, se denomina conjunción de estas proposiciones a la
proposición p  q (se lee "p y q"), cuya tabla de verdad es:
p
V
F
V
F
q
V
V
F
F
pq
F
F
V
F
La tabla que define esta operación, establece que la conjunción es verdadera sólo si lo son las dos
proposiciones componentes. En todo otro caso, es falsa.
- Disyunción: Dadas dos proposiciones p y q, la disyunción de las proposiciones p y q es la
proposición p v q cuya tabla de valor de verdad es:
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
pvq
V
V
V
F
- Implicación o Condicional: La proposición p se llama antecedente, y la proposición q se llama
consecuente de la implicación o condicional. La tabla nos muestra que la implicación sólo es falsa si el
antecedente es verdadero y el consecuente es falso.
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p q
V
F
V
V
- Doble Implicación o Bicondicional: La doble implicación o bicondicional sólo es verdadera si ambas
proposiciones tienen el mismo valor de verdad.
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p q
V
F
F
V
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35
FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y FINANCIERAS
CUESTIONARIO DEL WORK PAPER
1.
Determinar por medio de una tabla de verdad, si cada una de las siguientes proposiciones es una
tautología, contradicción o contingencia.
(p  q)  { (p  q) [ p (p  q) ] }
(q  p)  { (q  q) [ p (p  q) ] }
2.
Sabiendo que los valores de verdad de las proposiciones p,q y r son V,V y F respectivamente,
hallar el valor de verdad de:
[(p r)(q p)  [r (p q)]
[(q p)(r  q)]  [r (p q)]
PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD
WORK PAPER # 10
UNIDAD O TEMA: Números Complejos
TITULO: Conjuntos
FECHA DE ENTREGA:
PERIODO DE EVALUACION: EVALUACION FINAL
1. Definición. Llamamos conjunto de los números complejos y lo denotamos con la letra Z al conjunto de
los pares de números reales  a, b  en el cual definimos las siguientes operaciones:
Suma.  a, b    c, d    a  c, b  d 
Multiplicación.  a, b   c, d    ac  bd , ad  bc 
En el número complejo  a, b  llamaremos a a la parte real y a b la parte imaginaria. Note que la suma y
producto de pares no está definida en Z2.
Dos propiedades que cumplen los pares de números reales y que se mantienen para los complejos son:
Igualdad.
 a, b    c, d   a  c
 bd
Multiplicación por un escalar. (a, b)  ( a,  b) donde 
.
Ejemplo. Dados  2,1 y  0, 3 , hallar:
a)  2,1   0, 3   2  0,1  (3)    2,  2
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36
FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y FINANCIERAS
b)  2, 1 0,  3   2(0)  1(3), 2(3)  1(0)   3,  6
c)  2,1 0, 3  2  1,1  3,  6    2,  2  5,  8
Como los números complejos son pares de números reales podemos efectuar una representación de los
mismos mediante el plano R2 (Gráfica 1) En esta representación se le dice eje real (Re) al eje de las x y
eje imaginario (Im) al eje de las y .
Gráfica 1: Representación del número complejo (a, b) .
Podemos considerar que los números reales están contenidos en los números complejos puesto que en el
plano R2 el número complejo  a, 0  coincide con el número real a . De este modo tenemos a  (a, 0)
cuando a
. Los números complejos de la forma (0, b) son llamados imaginarios puros.
Vamos a demostrar la propiedad de la multiplicación por un escalar 
:
  a, b     a,  b 
Para eso escribimos el número real  en la forma  , 0  y aplicamos la definición de multiplicación:
  a, b    ,0 a, b     a  0b ,  b  0a     a,  b  .
Denotaremos el número complejo (0,1) con la letra i y lo llamaremos unidad imaginaria. Es fácil
demostrar que i 2  1 .
i 2  (0,1)2  (0,1)(0,1)   0(0) 1(1),0(1) 1(0)   (1,0)  1
Ahora estamos en condiciones de resolver la sencilla ecuación x 2  1  0 .
x2  1  0  x2  1  x2  i 2  x   i
2. Forma binómica de un número complejo: Sea z  (a , b) un número complejo. Entonces podemos
escribirlo en la forma:
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37
FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y FINANCIERAS
z  (a , b)  (a, 0)  (0, b)  a (1, 0)  b (0,1)
Pero como (1, 0)  1 y (0,1)  i , entonces (a, b)  a  bi . En este caso a  bi se llama forma binómica o
binomia del número complejo.
3. Suma y multiplicación de números complejos en la forma binómica
 a  bi    c  di    a  c   b  d  i , puesto que a, b, c, d son todos números reales.
 a  bi  c  di   ac  adi  bci  bdi 2   ac  bd    ad  bc  i porque i 2  1 .
Ahora observe que los resultados son los mismos que las definiciones de suma y producto dados al inicio;
por lo que la realización de las operaciones de suma y multiplicación con números complejos se puede
realizar en la forma de pares o en la forma binómica, con la ventaja a favor de la forma binómica que se
trabaja con las reglas del álgebra y no es necesario memorizar nada nuevo.
Ejemplo. Si z1  (3, 2) y z2  (4, 1) , halle z1  z 2 y z1 z 2 .
z1  z2  (3, 2)  (4, 1)  3  2i    4  i   7  i
z1 z2  (3, 2) (4, 1)  (3  2i)(4  i)  12  3i  8i  2i 2  (12  2)  (3  8)i  14  5i
CUESTIONARIO DEL WORK PAPER
1)
Dados los números complejos z  (3, 2) y w  (1, 4) , halle:
(a) z  w , (b) z w , (c) 3z  4w , (d) (1, 0)w , (e) (0, 2)z .
2)
Muestre que (0, 0) es el elemento neutro para la suma de números complejos.
3)
Muestre que (1,0) es el elemento neutro para la multiplicación de números complejos.
4)
Calcule:
(a) i 3 , (b) i 4 , (c) i 5 , (d)
5)
1
1
, (e) 2 .
i
i
Calcule:
(a) i 4n , (b) i 4 n 1 , (c) i 4 n  2 , (d) i 4 n  3 .
Dado el número complejo ( x, y ) halle el par (u, v) tal que ( x, y) (u, v)  (1, 0) . Al par se le llama
inverso multiplicativo de ( x, y ) . Concluya que el par (u, v) es único y que el (0, 0) no tiene inverso
multiplicativo.
6)
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PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD
DIF - 001
UNIDAD O TEMA: ARITMETICA
FECHA DE ENTREGA: PRIMER PARCIAL
PERIODO DE EVALUACION
El razonamiento lógico aplicado a la resolución de problemas mediante el planteamiento de las
ecuaciones
Ej Problema de costos
Un objeto A cuesta 28 Bs más que un objeto B, sabiendo que 10 objetos B y 20 objetos A cuestan
Bs1760. ¿Cuánto vale cada objeto A y cada objeto B?
Entender el problema
Pregunta: ¿Cuánto valen los objetos A y B?
Datos: A vale 20 más que B y 10 objetos B + 20 objetos A cuestan Bs 1760
Idear y llevara cabo un plan
El precio de B=x
El precio de A= x+28
Entonces se plantea la ecuación:
2028  x   10x  1760
560+20x+10x=1760
30x=1200
x=40
entonces el precio del objeto B es 40
y el precio del objeto A es 40 +28 o sea 68
Verificación
La verificación de la solución de una ecuación se logra reemplazando el o los valores de las incógnitas
encontradas en la ecuación planteada inicialmente, la verificación se cuample en el caso de que se
verifique la igualdad. En el caso del ejemplo anterior.
10 * 40  20 * 68  1760
400+1360=1760
1760=1760
La solución del problema anterior también se puede lograr planteando un sistema de ecuaciones con 2
incógnitas y resolviendo el sistema.
A continuación se plantean ejemplos de aplicación de las ecuaciones
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39
FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y FINANCIERAS
Resolver los siguientes problemas:
a)
Compré 2 corbatas, 3 camisas y 2 chompas todo por la suma de 150 $us. Las corbatas costaban
10 $us cada una. Si por el precio de 4 chompas puedo comprarme 7 camisas. Hallar el precio unitario de
las camisas y chompas.
b)
Con 470 $us compré una vaca, un caballo y un burro. Si por lo que cuestan dos vacas puedo
comprarme 5 caballos, además, sabiendo que el burro costó 50 $us. Hallar el precio de l caballo y la vaca.
c)
Por 5 Kg de carne de vaca y 8 Kg de carne de pollo gasté 142 Bs, luego volví a comprar 3
kilogramos de pollo y 4 kg de carne de vaca y gasté 83 Bs. Hallar el precio de la carne de vaca y de pollo.
d)
Gasté 87,5 Bs al comprar sandías y piñas. Si el procio de las piñas era de 2,5 Bs y de las
sandías era de 7,5 Bs, además de que la cantidad de sandías era la mitad que la cantidad de piñas. Hallar
la cantidad de sandías y piñas.
e)
En una kermesse se vendieron 97 platos entre majaditos y picantes de gallina. Por la venta total
de estos platos se recaudó 880 Bs. Si el precio de los majaditos era de 8 Bs y el de los picantes era de
10Bs. Hallar la cantidad de platos de majadito y picante de gallina vendidos.
f)
La edad de Juan excede en 13 años a la edad de Bertha, el duplo de la edad de Bertha excede
en 29 años a la edad de Juan. Hallar ambas edades.
g)
Hace 10 años la edad de Alejandro era el doble que la edad de Betty; Dentro de 10 años la edad
de Betty será
h)
3
que la de Alejandro. Hallar las edades actuales.
4
La edad actual de Evaristo es
esposa será los
9
de la edad de su esposa, dentro de 4 años la edad de su
5
3
de la suya. Hallar las edades actuales.
5
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40
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PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD
DIF – 002
UNIDAD O TEMA: VALOR NUMERICO
FECHA DE ENTREGA:
PERIODO DE EVALUACION: PRIMER PARCIAL
Una Empresa tiene 3 oficinas, además se consideran los siguientes siguientes costos fijos para cada
oficina
X en factura de luz
Y en factura de agua
Z en factura de teléfono
W es alquiler de la oficina
Si la 3º oficina no cuenta con telefono, además dos oficinas son propias
Entonces los costos fijos de las tres oficinas será CF= 3X+3Y+2Z+W
Si los costos fijos promedio son:
Telefono: 300 Bs
Agua: 120 Bs
Luz: 450 Bs
Alquiler de oficina: 1600 Bs
Calcular el costo fijo de las tres oficinas
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FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y FINANCIERAS
PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD
DIF - 003
UNIDAD O TEMA: OPERACIONES ARITMETICAS
FECHA DE ENTREGA:
PERIODO DE EVALUACION: PRIMER PARCIAL
El Taller “Bolivar” tiene los siguientes costos fijos: 2400 Bs de alquiler,1400 Bs sueldo para el sereno, 800
Bs de factura de luz, 500 Bs de factura de agua. 400 Bs de factura de agua.
TAREA PARA DIF ‘s:
Exprese cada uno de los costos fijos en forma de fracción aritmetica y verifique que la suma de las
fracciones encontradas es igual a la unidad.
PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD
DIF - 004
UNIDAD O TEMA: OPERACIONES ALGEBRAICAS
FECHA DE ENTREGA:
PERIODO DE EVALUACION: SEGUNDO PARCIAL
Una persona que se dedica al negocio de cierto producto, se presta dinero de una entidad financiera por
dos años con interés simple al 12% el primer año y al 10% el siguiente año.
TAREA PARA DIF ‘s:
Analice y discuta la situación problemática
Si el préstamo original es de x, ¿cuál es la deuda total al cabo del segundo años?
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FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y FINANCIERAS
PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD
DIF - 005
UNIDAD O TEMA: OPERACIONES ALGEBRAICAS
FECHA DE ENTREGA:
PERIODO DE EVALUACION: SEGUNDO PARCIAL
Supóngase que se desea construir una caja con tapa de lados x, y y z centímetros. Si el precio del
material a ser usado para laterales es k $/cm 2 y para la base y la tapa es 2k $/cm2.
z
y
x
TAREA PARA DIF ‘s:
Analice y discuta la situación problemática
Determine el costo total del material a ser usado.
Si la caja fuera de base cuadrada (x  y), ¿cuál sería el costo de la caja?
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43
FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y FINANCIERAS
PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD
DIF - 006
UNIDAD O TEMA: APLICACIONES
FECHA DE ENTREGA:
PERIODO DE EVALUACION: SEGUNDO PARCIAL
Tomás sabe que puede cortar el césped de un campo de golf en t horas.
También sabe que Pedro lo puede hacer en
2
t horas.
3
TAREA PARA DIF ‘s:
Analice y discuta la situación problemática
Trabajando juntos, ¿cuánto tiempo tardarían en terminar el cortado de césped?
Si el trabajo debe ser entregado en 2,5 horas, y si Tomás puede cortar en 6 horas y Pedro en 4 horas,
¿terminarán el trabajo a tiempo?
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PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD
DIF - 008
UNIDAD O TEMA: ECUACIONES
FECHA DE ENTREGA: SEGUNDO PARCIAL
PERIODO DE EVALUACION:
Un cine tiene una capacidad de 900 asientos y cobra $2 por niño, $3 por estudiante y $4 por adulto.
En cierto monitoreo con el cine lleno, la mitad del
auditorio adulto era igual al auditorio infantil y
estudiantil juntos.
TAREA PARA DIF ‘s:
Analice y discuta la situación problemática
Si las entradas totalizaron $3200, ¿cuántos niños asistieron a la función?
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FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y FINANCIERAS
PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD
DIF - 009
UNIDAD O TEMA: ECUACIONES
FECHA DE ENTREGA: SEGUNDO PARCIAL
PERIODO DE EVALUACION:
Un comerciante de autos vendió dos automóviles: el primero en 8920 dólares y el segundo en 12600
dólares. Según el comerciante, la ganancia por el segundo auto fue de 40% sobre su precio de costo y
una pérdida de 20% por la venta del primer auto.
TAREA PARA DIF ‘s:
Analice y discuta la situación problemática
Determinar la ganancia total obtenida por el comerciante.
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FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y FINANCIERAS
PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD
DIF - 010
UNIDAD O TEMA: SISTEMAS DE ECUACIONES
FECHA DE ENTREGA: Evaluacion final
PERIODO DE EVALUACION
En grupos de 3 o 4 personas resolver los siguientes problemas formulandolos en Sistemas de
Ecuaciones:
1. Una empresa de fabricación y venta de productos de carpintería para construcción vendió el lunes 60
puertas y 80 marcos cobrando en total 13600 Bs. El día martes vendió 90 puertas y 70 marcos cobrando
en total 16400 Bs. Si los precios se mantienen constante, determinar el precio de cada puerta y de cada
marco.
2. Una persona invierte $ 10000 en dos negocios diferentes. Uno de loa negocios produce el 8% y el otro
7%. Que cantidad debe invertir en cada negocio para obtener beneficios totales de $ 740.3. En una fábrica se producen dos artículos diferentes que se venden a $ 3.- y a $ 5.- respectivamente. Si
se venden 140 artículos de los dos tipos, los ingresos obtenidos son de $ 526.- Cuantos artículos
vendieron de cada tipo?
PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD
DIF - 011
UNIDAD O TEMA: LOGARITMOS
FECHA DE ENTREGA:
PERIODO DE EVALUACION: EVALUACION FINAL
El logaritmo y sus aplicaciones
El logaritmo a través de sus propiedades nos permite llegar a la solución de situaciones en los que de
ninguna otra forma podrían resolverse, como por ejemplo en el caso de la determinación del nº de
periodos necesarios para que un capital C alcance un valor S en un proceso de préstamo en el régimen a
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
n
interés compuesto, el cual se rige por la expresión: S  C 1  i como podemos ver en la expresión
anterior el exponente n se encuentra como exponente y si fuera el caso que deseamos despejar
tendríamos necesariamente que aplicar la propiedad logaritmica del logaritmo de una potencia el cual se
expresa como: logb
An  n logb A . El despeje en cuestión se la realizaría de la siguiente manera:
C1  i   S pasando C al 2º miembro
1  i n  S aplicando logaritmo en base 10 a ambos miembros
C
S
n
log10 1  i   log10
aplicando la propiedad del log de una potencia
C
S
n log10 1  i   log10
despejando n puesto que ya no es exponente
C
S
log10
C
n
log10 1  i 
n
y ya tenemos despejado el valor de n que mediante otra forma no sería posible
PROGRAMA CONTROL DE CALIDAD
VISITA TECNICA Nro. 1
UNIDAD O TEMA: ARITMETICA
LUGAR: Pymes de Alto San Pedro
FECHA PREVISTA:
RECURSOS NECESARIOS:
 Elaboración de un cuestionario que permita recolectar información
para su correspondiente procesamiento y posterior análisis.
 Conocimento de los productos elaborados en la Pymes
OBJETIVOS DE LA ACTIVIDAD:
 Interacción de los estudiantes con la realidad.
 Aplicar conceptos teóricos al análisis y comprensión de la realidad
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PROGRAMA CONTROL DE CALIDAD
VISITA TECNICA Nro. 2
UNIDAD O TEMA: ALGEBRA BASICA Y VALOR NUMERICO
LUGAR: Pymes de Alto San Pedro
FECHA PREVISTA:
RECURSOS NECESARIOS:
 Elaboración de un cuestionario que permita recolectar información para su
correspondiente procesamiento y posterior análisis.
 Facturas de agua y luz de algunas Pymes de la zona
OBJETIVOS DE LA ACTIVIDAD:
 Interacción de los estudiantes con la realidad.
 Aplicar conceptos teóricos al análisis y comprensión de la realidad.
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PROGRAMA CONTROL DE CALIDAD
VISITA TECNICA Nro. 3
UNIDAD O TEMA: ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES
LUGAR: Pymes de Alto San Pedro
FECHA PREVISTA:
RECURSOS NECESARIOS:
 Elaboración de un cuestionario que permita recolectar información para su
correspondiente procesamiento y posterior análisis.
OBJETIVOS DE LA ACTIVIDAD:
 Interacción de los estudiantes con la realidad.
 Aplicar conceptos teóricos al análisis y comprensión de la realidad.
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