Teoría y actividades sobre múltiplos y divisores.

Divisibilidad. Resumen
Concepto:
Un número a es múltiplo de otro b cuando existe un número c que verifica
a = b · c.
Un número b es un divisor de otro a cuando lo divide exactamente. A los divisores
también se les llama factores.
Si un número a es múltiplo de b, entonces b es divisor de a.
Consideraciones sobre los múltiplos de un número:
1)Todo número a es múltiplo de sí mismo y de la unidad.
2) El cero es múltiplo de todos los números.
3) Todo número, distinto de cero, tiene infinitos múltiplos.
4) Si a es múltiplo de b, al dividir a entre b la división es exacta.
Consideraciones sobre los divisores de un número
1) El 1 es divisor de todos los números.
2) Todo número es múltiplo y divisor de sí mismo.
3) Todo divisor de un número distinto de cero es menor o igual a él, por tanto el número
de divisores es finito.
Criterios de divisibilidad. Un número es divisible por:
2, si termina en cero o número par.
3, si la suma de sus dígitos nos da múltiplo de 3.
4, si es divisible por dos y la mitad del número también lo es.
5, si termina en cero o cinco.
6, si es divisible por 2 y por 3.
8, si el mismo, su mitad , y la mitad de su mitad son divisibles por 2.
9, si la suma de sus dígitos nos da múltiplo de 9.
10, si la cifra de las unidades es 0.
11, si la diferencia entre la suma de las cifras que ocupan los lugares pares y la de los impares es
múltiplo de 11.
Números primos y compuestos.
Número primo :Es aquél que posee sólo dos divisores: la unidad y el mismo. Número
compuesto: Es aquel que tiene más de dos divisores.
Factorizar: Factorizar o descomponer un número en factores primos es expresar el número
como un producto de números primos. La descomposición en factores primos es única.
Para factorizar un número efectuamos sucesivas divisiones entre sus divisores primos
hasta obtener un 1 como cociente. Ejemplo: 2 520 = 23 · 32 · 5 · 7
Número de divisores de un número
Se obtiene sumando la unidad a los exponentes y multiplicando los resultados obtenidos:
Número de divisores de 2 520= (3 + 1) · (2 + 1) · (1 + 1) · (1 + 1) = 48
Formación de todos los divisores de un número
Se escribe una primera fila formada por la unidad y todas las potencias del primer factor, hasta la que aparezca en
el desarrollo, trazando una línea horizontal.
Se escribe una segunda fila, con los productos del segundo factor por la fila anterior. Si el segundo factor se haya
elevado a exponentes superiores a la unidad, por cada unidad del exponente se escribe otra fila . Se traza otra
línea horizontal.
Se escriben ahora otras filas con los productos del tercer factor (con las potencias correspondientes) por todos los
números obtenidos hasta el momento. Se continúa de igual modo con otros posibles factores.
1
2
4
8
3
6
12
24
9
18
36
72
5
10
20
40
15
30
60
120
45
90
180
360
7
14
28
56
21
42
84
168
63
126
252
504
35
70
140
280
105
210
420
840
315
630
1260
2520
El último divisor obtenido debe coincidir con el número.
Números primos entre sí
Dos números son primos entre sí si el único divisor común que tienen es 1.
Cuestión: Dos números primos entre sí, ¿son primos?
Máximo común divisor
El máximo común divisor, m.c.d. , de dos o más números es el mayor número que
divide a todos exactamente.
Cálculo del m.c.d
1. Se descomponen los números en factores primos.
2. Se toman los factores comunes con menor exponente.
Cuestión: Tenemos dos números ,a y b, con a < b. ¿Entre qué valores se encuentra el
mcd?
Mínimo común múltiplo
Es el menor de todos múltiplos comunes a varios números, excluido en cero.
Cálculo del m.c.m
1. Se descomponen los números en factores primos
2. Se toman los factores comunes y no comunes con mayor exponente.
Cuestión: Tenemos dos números ,a y b, con a < b. ¿Entre qué valores se encuentra el
mcm?
ACTIVIDADES.
1)Calcular todos los múltiplos de 17 comprendidos entre 800 y 860.
2) De los siguientes números: 179, 311, 848, 3566, 7287. Indicar cuáles son primos y cuáles
compuestos.
3)Calcula todos los números primos comprendidos entre 400 y 450.
4)Descomponer en factores primos y a partir de esa descomposición obtener la cantidad de
divisores que tiene cada uno de ellos.
1) 216
2) 360
5) Factorizar 342 y calcula todos sus divisores.
6) Calcular el m. c. d. y m.c.m. de:
264 y 440
1428 y 376
2148 y 156
3600 y 1 000
7) Un faro se enciende cada 12 segundos, otro cada 18 segundos y un tercero cada minuto. A las
6.30 de la tarde los tres coinciden.Averigua las veces que volverán a coincidir en los cinco
minutos siguientes.
8)Un viajero va a Barcelona cada 18 días y otro cada 24 días. Hoy han estado los dos en
Barcelona.¿Dentro de cuantos días volverán a estar los dos a la vez en Barcelona?
9)¿Cuál es el menor número que al dividirlo separadamente por 15, 20, 36 y 48 en cada caso dar
de resto 9?
10) En una bodega hay 3 toneles de vino, cuyas capacidades son: 250 l, 360 l, y 540 l. Su
contenido se quiere envasar en cierto número de garrafas iguales. Calcular las capacidades
máximas de estas garrafas para que en ellas se pueden envasar el vino contenido en cada uno de
los toneles, y el número de garrafas que se necesitan.
11) El suelo de una habitación, que se quiere embaldosar, tiene 5 m de largo y 3 m de ancho.
Calcula el lado y el número de la baldosas, tal que el número de baldosas que se coloque sea
mínimo y que no sea necesario cortar ninguna de ellas.
12) Calcula un número que tenga exactamente 18 divisores. Calcula otro que tenga justamente
17 divisores.
13) ¿Cómo son los números que tienen una cantidad impar de divisores?
14)Calcula, si es posible, tres divisores comunes de 24, 42 y 60.
15) Indica que valores puede tomar x para que:
a) 341x sea un número divisible por 2 y 5
b) 723x sea un número divisible por 3 y 5.
c) 3x24 sea divisible por 11
d) 432x sea divisible por 6 pero no por 5.
16) la clave secreta de una caja fuerte es un número de 9 cifras. Si se lee el número de izquierda
a derecha se cumple: a)la primera cifra es un múltiplo de 3, b) las dos primeras son un múltiplo
de 7, c)las tres primeras son un número impar que es múltiplo común de 3 y 5, d)las cuatro
primeras forman el mínimo común múltiplo de 81 y 339, e)las cinco primeras forman un
número que es múltiplo de 5, pero no de 10, f)la seis primeras forman un múltiplo de 6, g)las
siete primeras forman un múltiplo común de 3 y 11,h) las ocho primeras forman un número que
es múltiplo de 100, i)el número completo es impar, múltiplo de 3 y no múltiplo de 9.