apunutes y ejercicios del tema 5 1-t5

APUNUTES Y EJERCICIOS DEL
TEMA 5
1-T5
LOS NÚMEROS DECIMALES:
Se los reconocen fácilmente
porque llevan una coma (generalmente debajo) que separa las dos partes de las que constan. ¿Cuáles son
esas dos partes? La parte entera, que es la que está justo a la izquierda de la coma, y la parte decimal,
que es la que está a la derecha.
¿De dónde vienen los nos decimales? Pues vienen de varios lugares: “de divisiones exactas o
enteras (o fracciones 7/4 = 7 : 4 = 1´75), de raíces cuadradas exactas o enteras ( 5 = 2´23606798...), y de
la invención del ser humano (2´2020020002...).
¿Cómo se leen?
Para leer un nº decimal se nombra la parte entera al completo seguida de la
palabra “unidad (o unidades)”, y a continuación se escribe la parte decimal al completo terminada en la
palabra del lugar que ocupa la última cifra de la parte decimal.
Sabiendo que después de la coma la
primera cifra está ocupando el lugar llamado “décimas”, el segundo “centésimas”, el tercero “milésimas”,
el cuarto “diezmilésimas”,... supongo que no será muy difícil leerlos.
3´23  tres unidades, veintitrés centésimas ,, 0´03002  tres mil dos cienmilésimas
¿Cómo se pasa un nº decimal a fracción decimal?
Sabiendo que las fracciones decimales son
aquellas que tienen en el denominador una “unidad seguida de ceros”, para pasarlos a fracción se
“colocaría en el numerador el nº completo sin la coma, y en el denominador un 1 seguido de tantos ceros
como cifras decimales tenga el nº decimal”: 34´2 = 342/10 ,, 0´209 = 209/1000 ,, 1´0087 = 10087/10000
Lo contrario, que sería pasar de fracción a nº decimal, se haría como una división normal y
corriente por la unidad seguida de ceros, es decir, trasladando la coma hacia la izquierda tantas veces como
ceros tenga la unidad seguida de ceros.
ORDENACIÓN DE Nos DECIMALES:
Reconocer de entre unos pocos
os
de n decimales quién es el más grande o el más pequeño es bien fácil. Sólo tenemos que fijarnos en las
“unidades” que tienen. Quien tenga más será el mayor.
Puede pasarnos que todos tengan las mismas
“unidades”, por lo que tendremos que mirar las “décimas”, y en el caso de tenerlas iguales también,
miraremos las “centésimas” y si ...
Mira el ejemplo:
Entre 5´857 y 5´82345 es mayor el primero (5´857) porque como tienen las mismas unidades (5) y
las mismas décimas (8), en las centésimas el primer nº tiene “5” y el segundo “2”, y 5 es mayor que 2.
Lo que te digo a continuación es muy interesante e importante: “entre dos nos decimales
cualesquiera siempre hay infinitos nos decimales”. Por ejemplo, entre 6´5 y 6´6 parece no haber ninguno,
pero sabiendo que después de las décimas de cada nº lo que hay es la cantidad de “ceros” que nos dé la
gana, podemos decir que entre 6´5 (= 6´5000000) y 6´6 (= 6´6000000) están 6´54 – 6´5555678 – 6´501239
y todos los nos decimales que queráis y con la cantidad de cifras decimales que se os ocurran, pero que
empiecen por 6´5...
REDONDEO O APROXIMACIÓN DE Nos DECIMALES:
Cuando tenemos un nº decimal
con varias cifras decimales, podemos aproximarlo o redondearlo al lugar decimal que queramos o nos diga
el ejercicio. Sólo necesitamos saber cuáles son los dos nos decimales que hay justo antes y después de él
con la cantidad de cifras decimales a las que lo tengo que aproximar. Esto es, si el nº a aproximar o
redondear a las décimas es el 45´636797, este nº está comprendido entre _______ y _______, y como en
las centésimas hay un 3, que es menor que 5 (la mitad de 10) pues estaría más próximo a 45´6.
Si
lo quisiéramos aproximar a las centésimas, ese nº estaría comprendido entre _________ y _________, y al
haber un 6 en las milésimas (mayor que 5) pues estaría más próximo a 45´64.
EJERCICIOS
1.- De la página 81 del libro, los nos 1, 2, 4, 6, 8, 9, 10, 11 ab y 12. El nº 4 está basado en el nº 3. Además
de hacer lo que pide tenéis que escribir cómo se lee cada uno.
2.- Escribe cómo se leen estos nos decimales: 23´1 ,, 5´089 ,, 0´0012 ,, 102´102 ,, 9´75.
3.- Escribe 4 nos comprendidos entre 7´35 y 7´37, y otros 4 que estén en medio de 10´1 y 10´2.
OPERACIONES CON Nos DECIMALES:
2-T5
Sabiendo ya todo lo que sabemos sobre los nos decimales, ahora toca hacer cálculos con ellos. Aquí
están
a) Suma  Para sumarlos los debo de colocar coma con coma, uno debajo de otro, para sumar las
partes decimales con las partes decimales y la partes enteras con las partes enteras. Mucho cuidado con los
nos naturales, ya que la coma “invisible” la tienen justo a la derecha del nº en cuestión (8 = 8´0), por lo que
habrá que colocarlos debajo de la parte entera y no al final en la parte decimal.
b) Resta  Para restarlos haremos lo mismo, es decir, coma con coma, y restaríamos normal y
corriente. Mucho cuidado con los minuendos con menor nº de cifras decimales que los sustraendos.
Cuando empecemos a hacer la resta, habrá que “ir hasta 10” y no hasta “nada”. Suele ser un error muy
frecuente y demasiado grave.
3´45
- 2´0473
1´4027
(de 3 a 10 van 7, y nos llevamos 1)
c) Multiplicación  Para hacer una multiplicación de decimales, se multiplican las cifras como si
no fuesen decimales (como si no hubiesen comas) y al resultado final le ponemos la cantidad de cifras
decimales que tengan entre los dos factores. Mucho cuidado cuando terminemos la multiplicación y
tengamos un cero (o varios) al final una vez hayamos colocado la coma. Ya sabéis que los ceros al final de
un nº decimal no valen para nada, por lo que habrá que borrarlos o tacharlos.
d) División  Para las divisiones, debemos tener un nº entero en el divisor. De lo contrario, la
división podría ser un caos. ¿Cómo se consigue esto si tenemos en el divisor lo que acabo de decir? Pues
aplicando una de las propiedades de la división, que no es otra que “cuando multiplicamos por un mismo nº
al dividendo y al divisor de una división, el cociente no varía”. Por ello, para desplazar la coma del divisor
hacia la derecha y dejarla al final, multiplicaremos al dividendo y divisor por la “unidad seguida de tantos
ceros como cifras decimales tenga el divisor”. Fácil.
Una vez hecho esto, empezaremos dividiendo la
parte entera del dividendo por el divisor. En caso de no caber, pondríamos cero en el cociente y
seguiríamos con la cifra siguiente, y si no cabe pues más de lo mismo, y hasta que quepa.
En las divisiones con decimales, si en el dividendo hay un nº decimal, el resto que obtenemos no es
el real, es decir, que si tenemos de resto 23 no significa que nos sobren 23 unidades (un 23 solo significa
23 unidades, o sea, 23´0). Debemos mirar en el dividendo qué lugar está ocupando la última de sus cifras
decimales y ahí colocaremos la última cifra del resto para obtener el resto verdadero. Ejemplo:
En la división 23´86453 : 34, si la hacemos, tiene un cociente de 0´70189 y deja un resto de 27,
pero el resto verdadero será 0´00027 ya que el 7 del resto vendría del lugar de las cienmilésimas (tal y
como se aprecia en la última cifra del dividendo, que ocupa ese lugar).
EJERCICIOS
4.- De la página 83 del libro, los nos 14 cd, 15 abc, 16 abc, 17 ab, 18 cd, 19, 21, 22, 23 y 25. En el nº 19
tenéis que hacer las operaciones con fracciones, que es lo que dice el enunciado, y luego ...
5.- De la página 85 del libro, los nos 27, 28, 29, 30 ad, 32 abc, 33, 35 y 36 . En el nº 33 no vale hacer las
multiplicaciones propuestas. Habrá que explicar el por qué sin hacer los cálculos.
6.- De la página 87 del libro, los nos 40 ad, 41 ab completos, 42, 43 abc, 44 ab, 45 cd, 46, 47 y 49.
7.- Realiza estas divisiones, indicando el resto verdadero: 3´27642 : 3´9 y 0´0749208 : 25´3.
TIPOS DE DECIMALES:
Ya hemos visto que uno de los lugares
de donde provienen los nos decimales son de divisiones, o sea, de fracciones. Pues según nos salgan estas
divisiones, nos podremos encontrar estos tipos de nos decimales
a) Nº D. Exacto  son aquellos que tienen una serie de cifras (1, 2, 3, ...) en la parte decimal. Los
obtenemos cuando la división en algún momento sale exacta. Por ejemplo, si tenemos 7/2, al hacer 7 : 2
obtenemos de cociente 3´5 y al poner el 5 en el cociente el resto nos sale “0”.
b) Nº D. Periódico  son aquellos que tienen infinitas cifras decimales. Ocurre cuando no podemos
terminar la división, por mucho que lo intentemos. Y eso sería así porque en el cociente se repiten cifras de
una manera constante (lo que se llama “periodo”).
3-T5
Estos nos se separan en dos tipos. La diferencia entre los dos radica en que unos sólo tienen en la
parte decimal las cifras que se repiten de forma infinita (“periodo”), y los otros tienen justo después de la
coma alguna/s cifra/s que no se repiten (“anteperiodo”) seguido del “periodo”. Se llaman así
b1  Nº D. Per. Puro, que son los que tienen solo “periodo”
b2  Nº D. Per. Mixto, que son los que tienen “periodo y anteperiodo”
Ejemplos de b1 sería 4´ 67 y 10´307 y ejemplos de b2 serían 5´376 y 9´1023
PORCENTAJES:
Los porcentajes, en matemáticas, los
solemos reconocer por el signo “%”. Siempre tienen delante una cantidad, lo que se denomina el “tanto”, e
indican una cierta cantidad de un total.
Es importante saber que los porcentajes son una forma distinta
de expresar fracciones con denominador “100”, es decir, se pueden cambiar por fracciones decimales cuyo
numerador es el “tanto” y cuyo denominador siempre es un “100”.
Si alguna vez queremos saber un
porcentaje de una cantidad, lo único que tendríamos que hacer es pasar el porcentaje a fracción decimal y
aplicárselo, y así conoceríamos el resultado. Por ejemplo:
EJEMPLO RESUELTO
“Tengo una colección de 4.320 pegatinas. Las 5/9 partes son de coches, el 15 % son de animales, y el resto
de motos. ¿Cuántas pegatinas tengo de cada clase?”
Para resolver el problema, debemos averiguar primero cuántas pegatinas tengo de cosas
relacionadas con el deporte. Entonces haremos:
5
de 4.320 pegatinas = 4.320 x 5 : 9 = 21.600 : 9 = 2.400 pegatinas son de coches.
9
Posteriormente, calcularemos las pegatinas que tengo de animales:
15
de 4.320 pegatinas = 4.320 x 15 : 100 = 64.800 : 100 = 648 pegatinas ten...
100
Por último, averiguaremos las pegatinas que tengo de motos:
15 % de 4.320 pegatinas =
2.400 peg. + 648 peg. = 3.048 pegatinas tengo entre coches y animales
4.320 peg. – 3.048 peg. = 1.272 pegatinas tengo de motos.
¿Te has preguntado por qué subrayo en el ejercicio la palabra “pegatina”?
SOLUCIÓN: Tengo 2.400 pegatinas de coches, 648 de animales y 1.272 de motos.
UN POCO MÁS DE PORCENTAJES:
Para finalizar los apuntes
correspondientes a este tema, debes saber que cuando alguien diga “100 %” se está refiriendo a la fracción
100/100, que es igual a la unidad (al nº 1). Esto significa que es igual a “TODO” (100 % = TODO).
También, si alguien dice o ves en algún lado “50 %” significa 50/100 = 1/2, es decir, la mitad de
algo. Si ves “25 %” es igual a 25/100 = 1/4, es decir, la cuarta parte de algo. Si ves “20 %”, por lo mismo
de antes, significa la quinta parte de algo. El “10 %” quiere decir la décima parte de algo, es decir, que si
algo vale 10 € pagarás 9 € por él porque te ahorras 1 € (1 € de cada 10 € que vale, o sea, 10 € de cada 100
€, que es lo mismo).
Entonces, ¿por qué es tan importante saber calcular porcentajes? ____¿?____
(respuesta libre, aunque clara)
Para concluir, los porcentajes se pueden cambiar por fracciones decimales, y las fracciones
decimales se pueden cambiar por nos decimales. Así, existen las 3 maneras distintas de expresar una misma
cosa, como por ejemplo:
12
34
8
125
12 % =
= 0´12
,,
34 % =
= 0´34
,,
8%=
= 0´08
,,
125 % =
= 1´25
100
100
100
100
(el último es un poco raro, ¿no?)
EJERCICIOS
4-T5
8.- De la página 89 del libro, los nos 54, 56, 58, 59 y 62.
9.- Un reloj costaba en diciembre 72 € y ahora, en rebajas, tiene un 15 % de descuento. ¿Cuánto vale
ahora?
10.- En un bosque hay 3.240 árboles. Si el 35 % son robles, ¿cuántos robles hay?
11.- En el escaparate de una tienda hay un cartel que pone “32 % de rebaja en todos los artículos”. He
entrado en la tienda y me he comprado una pala de pádel por la que me han descontado 34´56 €. ¿Cuánto
valía la raqueta sin la rebaja?
12.- Un concesionario de coches de Ronda ha logrado vender, en 3 años y medio, 5.260 coches. Si el 15 %
han sido de color verde, el 45 % blancos, y el resto rojos, ¿cuántos coches rojos han logrado vender en ese
intervalo de tiempo?
EJERCICIOS DEL TRABAJO:
y 93.
68, 69, 71, 72, 73, 74, 76, 77, 78, 80, 81, 82, 83, 86, 87, 88, 90, 91, 92
EJERCICOS CAMBIADOS O MODIFICADOS:
73.- Con 15 €, ¿cuál es el máximo nº entero de litros de gasolina que puedo echar en el coche, si el litro
cuesta 0´78 €?
78.- Lo único que cambia es el enunciado, que dice: “Pasa a fracción decimal estos nos decimales”.
81.- La suma de 2 nos decimales es 73´9. Si uno de los sumandos es 45´873, ¿cuál es el otro? Razona tu
respuesta lo mejor que puedas.
82.- Halla, si es posible, un nº en cada uno de los huecos:
a) 2´4 < ¿? < 2´6
b) 6´1 < ¿? < 6´2
c) 1´1 < ¿? < 1´3
d) 3´14 < ¿? < 3´16
e) 0´9 < ¿? < 0´11
f) 0´695 < ¿? < 0´697
83.- Es el que hay, pero quiero ver hechas en el papel las 4 cuentas.
86.- Es el que hay, pero en vez de 2 cifras en el cociente son 3 cifras. Además, la división d) no es la que
aparece en el libro sino ésta: 22´3044 : 24´7.
88.- El precio de una moto es 1300 €, pero se vende con un 12 % de descuento. Si me decido a comprarla,
¿cuánto pagaré por ella?
92.- El lado AC de un triángulo mide 8 cm, AB el 40 % de AC, y BC el 75 % de AC. ¿Cuánto mide el
perímetro de este triángulo? NOTA: se recomienda hacer un dibujo que nos aclare un poco el tema.
93.- Se sabe que 327 x 13 = 4251 y 327 x 28 = 9156. Sin hacer ninguna multiplicación, explica cuál es
el resultado de estas multiplicaciones:
a) 3´27 x 13
b) 327 x 0´13
c) 327 x 2´8
d) 327 x 4´1
e) 327 x 2´6
f) 0´327 x 1´5
Fdo. Juan Chanfreut Rodríguez
Profesor de matemáticas de 1º de ESO