teoría de errores y medida - Colegio Ntra. Sra. del Buen Consejo

Colegio Ntra. Sra. Del Buen Consejo
1º Bachillerato
Melilla
Física y Química
TEORÍA DE ERRORES Y MEDIDA
ERRORES EN LA MEDIDA:
Toda medida debe ir acompañada del error cometido al realizarla. Distinguimos entre
Error Absoluto y Error Relativo.
1. Error Absoluto  a  : es la diferencia entre el valor medido y el real,  a  x  x ,
donde x representa el valor real o exacto de la medida y lo calculamos como
indica el siguiente epígrafe. No obstante, en general vamos a tomar como error
absoluto el valor del error instrumental o sensibilidad del instrumento de medida
que utilicemos,  a   i , salvo en los casos que se indican en el siguiente epígrafe.
El error absoluto se expresa en las mismas unidades que la medida.
2. Error Relativo  r  : es el cociente entre el error absoluto y la medida considerada
como exacta,  r 
a
. El error relativo es adimensional, no tiene unidades. Se
x
suele dar en tanto por ciento multiplicándolo por 100. Es el error relativo el que da
verdadera idea de la calidad de las mediciones.
El valor de una magnitud lo expresaremos siempre de la siguiente manera:
x  a
CRITERIO DE MEDIDA PARA MEDIDAS DIRECTAS:
Como mínimo hay que medir 3 veces cualquier valor de una magnitud (x 1, x2, x3). Una vez
tomadas las 3 medidas calculamos la Dispersión de las mismas:
D  xmax  xmin
Comparamos la dispersión con el error instrumental (que tendrá las unidades de la
magnitud que estemos midiendo),  i .
3. Si D   i , la medida viene dada por la media aritmética de las tres medidas
x  x 2  x3
tomadas, x  1
, y el error absoluto es igual al error instrumental,  a   i .
3
La medida queda: x  x   a .
4. Si D   i , hemos de calcular un nuevo parámetro, la llamada Dispersión Porcentual
100D
Relativa, T 
, expresado en tanto por ciento, que nos indicará si hemos de
x
tomar más medidas o no. Veámoslo:
a. Si T  2%  x 
x1  x2  x3
y a  i .
3
-1-
Colegio Ntra. Sra. Del Buen Consejo
1º Bachillerato
Melilla
Física y Química
b. Si 2%  T  8%  tomamos 3 medidas más ...x4 , x5 , x6 , y calculamos x con
las 6 medidas. Calculamos la dispersión de estas 6 medidas,
D6  xmax  xmin , y la comparamos con el error instrumental. Tomamos como
D

error absoluto el mayor de estos 2 valores,  a  max 6 ,  i  .
 4

c. Si 8%  T  15%  tomamos un total de 15 medidas y calculamos x con
 x
15
las 15. El error absoluto lo calculamos así,  a 
k 1
k
x

2
.
15
d. Si T  15%  tomamos 50 medidas, de las que sacamos la media
 x
50
aritmética. El error absoluto viene dado por,  a 
k 1
k
x
50
en este caso más nos vale comenzar de cero, ¿me explico?)

2
. (Claro que
CRITERIO DE MEDIDA PARA MEDIDAS INDIRECTAS:
Cuando operamos con medidas directas para obtener el valor de una magnitud indirecta
mediante una ecuación que las relaciona, utilizamos siempre los valores exactos
calculados de las medidas directas:
Si y  f ( x' , x' ' ,...)  y  f ( x', x' ',...)
En estos casos los errores en las medidas directas conllevan un error en la medida
indirecta. Su cálculo es sencillo. Distinguimos 2 casos:
1. La medida indirecta es suma o diferencia de las medidas directas: en este caso el
error absoluto de la suma (o diferencia) es igual a la suma de los errores absolutos
de las medidas directas,
 a M1  M 2    a M1    a M 2 
2. La medida indirecta es producto o cociente de las medidas directas: en este caso el
error relativo del producto (o cociente) es igual a la suma de los errores relativos de
las medidas directas,
 r M 1 ·M 2    r M 1    r M 2 
 M1
 M2
 r 

   r M 1    r M 2 

Una vez calculado el error relativo de la medida indirecta podemos calcular el error
absoluto de la misma:
r 
a
-2-
y
 a  r ·y
Colegio Ntra. Sra. Del Buen Consejo
1º Bachillerato
Melilla
Física y Química
EXPRESIÓN DE LA MEDIDA:
Para expresar los errores absolutos tomamos una sola cifra significativa redondeándola.
Dada una medida, el error absoluto es del orden de la última cifra decimal; esto significa
que el valor de la medida debe estar expresado con tantos decimales como tenga el error
absoluto y no más.
Por ejemplo, si  a  0,004u , la medida correspondiente sólo puede estar expresada
hasta las milésimas, ni más ni menos.
CASO PRÁCTICO:
Pretendemos calcular la densidad de una esfera a partir de su masa, m , y su diámetro,
d . Los errores instrumentales vienen dados por,  i (m)  0,1 g y  i (d )  0,05mm . La
densidad (  ) es una medida indirecta fácil de calcular:

m
4
, donde V   r 3 , así que
V
3

m
4 3
r
3

m
4 d 
 
3 2
3

6m
 d3
Luego hemos de medir d y m . Medimos el diámetro tres veces y obtenemos:
d 1  2,30  0,05 m m

d 2  2,45  0,05 m m Calculamos la dispersión: D  2,45mm 2,30 mm  0,15mm,
d 3  2,35  0,05 m m
que es claramente mayor que el error instrumental. Calculamos entonces T :
T
100· D 100·0,15m m

 6,34%
2,367m m
d
Este valor de T nos indica que hemos de tomar 3 medidas más:
d 4  2,35  0,05 m m

d 5  2,30  0,05 m m Calculamos la media de las 6 medidas: d  2,35mm.
d 6  2,35  0,05 m m
El error absoluto es el mayor de dos valores:
 D6

 0,15mm

,  i   max
; 0,05mm  max0,0375mm ; 0,05mm  0,05mm.
4


 4

 a d   max
-3-
Colegio Ntra. Sra. Del Buen Consejo
1º Bachillerato
Melilla
Física y Química
La
medida del diámetro queda:
 d  0,05m m
 r d   a

 0,0213.
2,35m m
d
d  2,35  0,05 mm,
y
el
error
relativo,
Vamos ahora con la masa: medimos 3 veces,
m1  1,5  0,1 g 

m2  1,6  0,1 g  La dispersión queda, D  1,6 g  1,5 g  0,1 g   i
m3  1,5  0,1 g 

 m  1,53 g
Así que 
, por lo que
 a m   0,1 g
0,1 g
 r m 
 0,0667.
1,5 g
La densidad de la esfera tiene el valor  
m  1,5  0,1 g , con un error relativo de
6 ·1,5 g
 ·2,35m m
3
 0,2207
g
.
m m3
Como en la fórmula el diámetro está elevado al cubo, es como si estuviera dividiendo tres
veces:
 r     r m   3 r d   0,0667  3 ·0,0213  0,1305   a     · r    0,0288
Por tanto el valor de la densidad es:   0,22  0,03
-4-
g
.
mm 3
g
g
 0,03
3
mm
mm 3