1. Interpolación e Integración Numérica

1.
1.1.
Interpolación e Integración Numérica
Interpolación
“Dados n + 1 puntos en el plano:
(x0 , y0 ), (x1 , y1 ), . . . (xn+1 , yn+1 )
con xi 6= xj si i 6= j; existe un único polinomio de grado n, pn (x) tal
que pn (xi ) = yi para i = 1, . . . , n + 1”
Muchas veces, una función viene dada por una tabla de valores
(obtenidos experimentalmente) aunque se pueda conocer de antemano que se trata de una función con buenas propiedades de derivabilidad, etc. En estos casos se pueden usar los polinomios interpoladores
para tener aproximaciones de los valores de la función en puntos no
recogidos en esas tablas.
Caso n=1 (Interpolación lineal)
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Por dos puntos (x0 , y0 ), (x1 , y1 ) del plano pasa una única recta que
es la gráfica del polinomio
p1 (x) = y0 + (x − x0 )
x − x1
x − x0
y1 − y0
= y0
+ y1
.
x1 − x0
x0 − x1
x1 − x0
Antes de que estuviese generalizado el uso de calculadoras cientı́ficas,
se usaban unos libros que contenı́an tabulaciones de las funciones elementales, y se interpolaban los valores que allı́ se encontraban para
evaluar esas funciones. Por ejemplo:
Ejemplo 1 Consideremos y = ex y que queremos evaluar e0.832 . Al
mirar en las tablas encontramos los valores
(x0 , y0 ) = (0.80, 2.2255)
y
(x1 , y1 ) = (0.84, 2.3164)
si interpolamos linealmente podemos aproximar
2.3164 − 2.2255
e0.832 ≈ p1 (0.832) = 2.2255 + 0.032
= 2.2982
0.04
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El valor de e0.832 con cuatro cifras exactas es 2.2979, por lo que la
aproximación que se ha hecho con la interpolación lineal es del orden
de 3 diezmilésimas.
Caso n=2 (Interpolación cuadrática)
Dados tres puntos (x0 , y0 ), (x1 , y1 ), (x2 , y2 ) la parábola que pasa por
ellos es la gráfica del polinomio
p2 (x) = y0
(x − x1 )(x − x2 )
(x − x0 )(x − x2 )
(x − x0 )(x − x1 )
+y1
+y2
(x0 − x1 )(x0 − x2 )
(x1 − x0 )(x1 − x2 )
(x2 − x0 )(x2 − x1 )
(x−x1 )(x−x2 )
(x0 −x1 )(x0 −x2 )
Los factores
se conocen como fórmulas de Lagrange.
Son polinomios de segundo grado que toman el valor 1 en un punto
(x0 ) y el valor 0 en los otros dos puntos (x1 y x2 ).
Ejemplo 2 Volviendo al ejemplo 1, si para evaluar e0.832 hacemos
interpolación cuadrática tomando tres valores en las tablas de expoContents
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nencial:
(x0 , y0 ) = (0.80, 2.225541), (x1 , y1 ) = (0.84, 2.316367), y (x2 , y2 ) = (0.88, 2.410900)
e0.832 ≈ p1 (0.832) = y0 0.12 + y1 0.96 − y2 0.08 = 2.297905
El valor de e0.832 con seis cifras exactas es 2.297910, por lo que la
aproximación que se ha hecho con la interpolación cuadrática es del
orden de 5 diezmillonésimas.
n arbitrario Método de interpolación de Newton
Para construir el polinomio interpolador (de grado n) que pasa por
los (n + 1) puntos
(x0 , y0 ), (x1 , y1 ), . . . (xn+1 , yn+1 )
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se pueden construir las fórmulas de Lagrange correspondientes de la
misma forma que hemos hecho con la interpolación cuadrática.
Otra forma de construir el polinomio interpolador es el proceso
conocido como método de Newton de diferencias divididas. Consiste
en ir construyendo la sucesión de diferencias divididas:
−y0
f [x0 , x1 ] = xy11 −x
0
f [x1 ,x2 ]−f [x0 ,x1 ]
x2 −x0
[x0 ,x1 ,...,xk−1 ]
f [x0 , x1 , x2 , . . . , xk ] = f [x1 ,x2 ,...,xkx]−f
−x
k
0
f [x0 , x1 , x2 ] =
...
Con los términos de esta sucesión se describen los polinomios in-
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terpoladores
p1 (x) = y0 + (x − x0 )f [x0 , x1 ]
p2 (x) = y0 + (x − x0 )f [x0 , x1 ]
+
(x − x0 )(x − x1 )f [x0 , x1 , x2 ]
p3 (x) = y0 + (x − x0 )f [x0 , x1 ]
+
(x − x0 )(x − x1 )f [x0 , x1 , x2 ]
+
(x − x0 )(x − x1 )(x − x2 )f [x0 , x1 , x2 , x3 ]
...
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En general,
pk (x) = y0 + (x − x0 )f [x0 , x1 ]
+
(x − x0 )(x − x1 )f [x0 , x1 , x2 ]
+
(x − x0 )(x − x1 )(x − x2 )f [x0 , x1 , x2 , x3 ]
...
+
(x − x0 )(x − x1 ) · · · (x − xk−1 )f [x0 , x1 , . . . , xk ]
Cuando yk = f (xk ) para una función f suficientemente derivable se pueden dar estimaciones de las aproximaciones f (x) − pn (x) y
comprobar que éstas pueden afinarse tanto como se quiera. Más concretamente, si a = x0 < x1 < · · · < xn+1 = b, para cada x ∈ (a, b) se
puede encontrar un punto c ∈ (a, b) tal que
f (n+1)(c)
f (x) − pn (x) =
(x − x0 ) · · · (x − xn ).
(n + 1)!
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Esta igualdad puede usarse para estimar los errores en los métodos
de integración numérica.
Existen más métodos numéricos para aproximar funciones por polinomios, aunque no vamos a estudiarlos aquı́.
Cuando las funciones tienen muchos extremos relativos en un intervalo para tener buenas aproximaciones se requieren polinomios de
grado alto. En estos casos otra opción es aproximar por los llamados
“splines”, que consiste en dividir el intervalo en subintervalos más pequenos y aproximar en cada uno de los subintervalos por polinomios
de grado pequeno de forma que vayan coincidiendo las derivadas en
los extremos de estos subintervalos.
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1.2.
Integración numérica
Los métodos de integración numérica consisten en obtener aproximaciones del valor de la integral
Z b
f (x) dx.
a
Son necesarios esencialmente en los dos casos siguientes:
• Cuando f viene dada por una tabla de números (obtenida experimentalmente),
• Cuando no es posible encontrar una primitiva de f expresada
en términos Rde una cantidad finita de funciones elementales (por
2
2
ejemplo, en 0 e−x dx).
Los métodos numéricos más sencillos consisten en sustituir la función f por funciones diferentes que puedan ser integradas sin dificulContents
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tad, manteniendo un control sobre los posibles errores que se comenten
con esa sustitución.
Al sustituir la función f por polinomios de interpolación en los subintervalos de una partición se obtiene una familia de métodos de integración númerica, llamados “fórmulas de cuadratura de NewtonCotes”.
Los más sencillos se obtienen aproximando por polinomios de grado
1 y de grado 2, llamados “regla de los trapecios” y “método de
Simpson”, respectivamente.
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