3.- DETERMINANTES.

Determinantes
3.- DETERMINANTES.
3.1. - DEFINICIÓN
Dada una matriz cuadrada de orden n, se llama determinante de esta matriz (y se representa por |A| o
detA al polinomio cuyos términos son todos los productos posibles de n factores, elegidos entre los n × n
elementos de la matriz dada, de modo que en cada término haya un solo factor de cada fila y de cada
columna, y anteponiendo a cada término un signo + o − según que la permutación de las filas y de las
columnas sean de la misma paridad o no.
El número de términos del determinante de una matriz de orden n será n!.
Es decir:
Definición
detA a:
Dada la matriz A de orden n × n, llamamos determinante de A y representamos por |A| o
detA = ∑ sσa 1σ1 a 2σ2 a 3σ3 ........a nσn
σ∈P n
Determinante de segundo orden
Aplicando la definición de determinante tenemos que:
a 11 a 12
a 21 a 22
Ejemplo
1 −3
= a 11 a 22 − a 12 a 21
= 1 ⋅ 5 − −3 ⋅ 2 = 11
2 5
Determinante de tercer orden
Aplicando la definición tenemos que:
a 11 a 12 a 13
a 21 a 22 a 23
= a 11 a 22 a 33 + a 21 a 13 a 32 + a 31 a 12 a 23 − a 31 a 13 a 22 − a 21 a 12 a 33 − a 11 a 23 a 32
a 31 a 32 a 33
1
Ejemplo
−2 0 1
3
1 2
Ejemplo
2 −5
0
2 −5 −1
3 4
= 0 + 10 + 6 − 0 − 1 − −16 = 31
1 4
= −15 + 0 + −6 − 0 − −4 − 12 = − 29
3
3.2. - PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES
1. Si descomponemos todos los elementos de una fila o columna en dos sumandos, entonces el
determinante es igual a la suma de dos determinantes que tienen en esa fila o columna los primeros
y segundos términos respectivamente, y las restantes filas o columnas iguales al inicial.
1
MATEMÁTICAS II
1 + 2 3 + 2 1 + −3
Ejemplo
0
1
2
3
2
5
2 2 −3
1 3 1
=
+
0 1 2
0 1 2
3 2 5
3 2 5
2. Si se multiplican los elementos de una fila o columna por un número, el determinante queda
multiplicado por dicho número.
Ejemplo
1 2⋅3 1
1 3 1
0 2⋅1 2
=2 0 1 2
3 2⋅2 5
3 2 5
3. El determinante del producto de dos matrices es igual al producto de los determinantes de dichas
matrices.
Ejemplo
1 −3
Sean las matrices A =
1
yB =
2 1
5
, entonces se verifica que
−2 2
|A ⋅ B| = |A| ⋅ |B|.
A⋅B =
1 −3
1
2 1
−2 2
7 −1
|A ⋅ B| =
0 12
|A| ⋅ |B| =
1 −3
2 1
5
7 −1
=
0 12
= 84
 |A ⋅ B| = |A| ⋅ |B|
⋅
1
5
−2 2
= 84
4. Si permutamos dos filas o dos columnas de una matriz cuadrada, su determinante cambia de signo
con respecto al inicial.
Ejemplo
1
2 0
0
3 −1
−2 5 2
0
=
F1  F2
− 1
3 −1
2 0
−2 5 2
5. Si una fila o columna tiene todos los elementos iguales a cero el determinante vale cero.
−5 2 7
Ejemplo
0
0 0
4
1 3
=0
6. Si una matriz cuadrada tiene dos filas o columnas iguales o proporcionales entonces su
determinante vale cero.
1
Ejemplo
1
Ejemplo
2 5
−1 5 7
= 0 pues tiene dos filas iguales F 1 = F 3
2 5
2 1
3
0 2
6
= 0 pues tiene dos columnas proporcionales C 3 = 3C 2
3 −3 −9
7. Si una fila o columna es combinación lineal de las restantes el determinante vale cero.
2
Determinantes
2 1 −3
Ejemplo
= 0 pues la tercera fila es combinación lineal de las dos primeras.
4 1 2
2 0 5
F3 = F2 − F1
8. Si a una fila o columna se le suma otra multiplicada por un número el determinante no varía.
Ejemplo
1
0
3
−2 2
2
3
−1 1
=
F ′2
F ′3
= F 2 + 2F 1
1 0
3
0 2
8
0 −1 −8
= F 3 − 3F 1
9. El determinante de una matriz triangular es igual al producto de los elementos de la diagonal
principal.
2 5 1
Ejemplo
= 2 ⋅ 3 ⋅ −2 = −12
0 3 4
0 0 −2
10. Todo determinante nulo tiene al menos una fila o columna que es combinación lineal de las demás.
Como consecuencia de las propiedades 7 y 10 tenemos que:
|A| = 0  Las filas o columnas de A son linealmente dependientes (L.D.)
3.3. - CÁLCULO DE UN DETERMINANTE
El cálculo de un determinante se puede realizar por varios métodos diferentes:
3.3.1. - Método de Gauss
Consiste en utilizar las propiedades 4, 8 y 9 transformando la matriz en otra triangular, con el mismo
determinante
1
Ejemplo
2 0
=
−2 1 1
3
0 −1
F ′2
F ′3
= F 2 + 2F 1
1 2
0
0 5
1
0 −6 −1
1 2 0
=
F ′3
= F3 +
0 5 1
6
5
F2
0 0
=1
1
5
= F 3 − 3F 1
Hay que tener siempre en cuenta que la fila que sustituimos NUNCA puede ir multiplicada por un número,
ya que en tal caso, el determinante quedaría multiplicado por dicho número (propiedad 2)
3.3.2. - Cálculo por los elementos de una fila o columna
Se llama menor complementario del elemento a ij al determinante de la matriz que se obtiene al suprimir
la fila i y la columna j. Lo representaremos por α ij
Adjunto del elemento a ij es el menor complementario precedido del signo + o − según si i + j es par o
impar. Se representa por A ij
A ij = −1 i+j α ij
1 −2 3
Ejemplo
Calcula en la matriz
5 1
3
el menor complementario de el elemento a 12 y el adjunto
0 −1 2
3
MATEMÁTICAS II
de ese mismo elemento.
α 12 =
5 3
0 2
A 12 = −1 1+2
5 3
0 2
= −10
Desarrollo de un determinante por los elementos de una línea:
El determinante de una matriz es igual a la suma de los elementos de una fila o columna multiplicados por
sus adjuntos.
Es decir:
a 11 a 12 a 13 a 14
a 21 a 22 a 23 a 24
a 31 a 32 a 33 a 34
= a 11 A 11 + a 12 A 12 + a 13 A 13 + a 14 A 14
a 41 a 42 a 43 a 44
1
Ejemplo
Calcula el siguiente determinante
0
1 2
−1 1
2 −1
1
3
2 2
2
−1 0 1
x 1 0 0
Ejemplo
Calcula el siguiente determinante
0 x 1 0
0 0 x 1
1 0 0 x
3.4. - RANGO DE UNA MATRIZ POR DETERMINANTES
Definición Rango de una matriz es el número de filas o columnas linealmente independientes que hay
en dicha matriz.
Para calcular el rango de una matriz, nos apoyaremos en el siguiente resultado:
|A| = 0  Las filas o columnas de A son L.D.
Sea B una matriz de orden m × n, se llama menor de orden h de la matriz B al determinante de la matriz
formada con los elementos de B que pertenecen a la intersección de h filas y h columnas obtenidas de la
matriz B 1  h  minm, n.
Como consecuencia de esto si en B hay un menor de orden h no nulo, sus filas y columnas son
linealmente independientes.
Si B es una matriz m × n podemos afirmar que el rango de B es el orden del mayor menor no nulo que
podemos obtener de la matriz B.
La forma de calcular el rango sería entonces la siguiente:
−1 2 1 0
Ejemplo
Calcula el rango de la matriz B =
2
0 2 −3
0 3 3 1
Si queremos calcular el rango de la matriz B elegimos un menor de orden 2 distinto de cero (si no lo hay
4
Determinantes
el rango es 1)
−1 2
.
2 0
A partir de este menor calculamos todos los menores posibles de orden tres añadiendo una nueva fila y
una nueva columna (a esto se llama orlar el menor):
−1 2 1
2
0 2
0
3 3
−1 2 0
= 0;
2
0 −3
0
3 1
= −13 ≠ 0
Si no hubiera ningún menor de orden tres distinto de cero entonces el rango sería dos. Como en este
caso, el segundo menor es distinto de cero el rango de la matriz es 3.
3.5. - CÁLCULO DE LA MATRIZ INVERSA POR DETERMINANTES
Sea la matriz A, se llama matriz adjunta de la matriz A a la que se obtiene al sustituir cada elemento de A
por su adjunto, y se representa por AdjA.
Si |A| ≠ 0 se tiene que:
A −1 = 1 AdjA t
|A|
5