ELIPSE lugar geométrico

ELIPSE
Definición: una elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que
la suma de las distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante. Sea F1
y F2 dos puntos del plano y sea d una constante mayor que la distancia F1 F2.
Un punto Q pertenece a la elipse de focos F1 y F2 si: F1 Q + F2 Q = d = 2a
donde a es el semieje mayor de la elipse.
ELEMENTOS DE LA ELIPSE
Vértices
Distancia Focal
Eje mayor o focal
Focos
Eje menor
Centro
:
:
:
:
:
:
A, B, C, D
F1 F2 = 2 c
AB = 2 a
F1 y F2
CD = 2 b
C
Perímetro de una elipse en función
de la longitud de sus ejes (a y b) es:
π (A + B), donde:
A = (a + b) / 2; y B = raíz[ (a² + b²) / 2 ]
En
a)
b)
c)
d)
e)
la siguiente grafica complementamos los elementos de la elipse
En el triangulo OAF2 se cumple a²= b²+c²
Los vértices de la elipse son A1(-a, 0), A2(a, 0), B1(0, -b), B2(0, b).
Los focos de la elipse son F1(-c, 0), F2(c, 0),
Los vértices cortan aleje en X en a y –a
Los vértices cortan al eje en Y en b y –b
ECUACIÓN DE UNA ELIPSE
La ecuación de la circunferencia es x2 + y2 = r2. Si ambos lados se dividen
por r2: (x2/r2) + (y2/r2) = 1
La ecuación de una elipse es esa misma con una pequeña modificación:
(x2/a2) + (y2/b2) = 1
CONSTRUCCIÓN DE UNA ELIPSE
Un truco sencillo para construir una elipse consiste es colocar un clavo o alfiler
en cada foco de la elipse.
Luego anudamos un hilo, de acuerdo al limite que deseemos lograr o bien
ajustándolo en la medida máxima. Tomamos un lápiz y lo deslizamos
perpendicularmente a la hoja con el límite que nos permite el hilo y así le
damos forma a la elipse. Fácil, no? Esta es la idea para graficar la elipse en
nuestro Jardín Elipsoidal.
EJERCICIOS RESUELTOS
EJERCICIO 01. Dibujar la elipse (x2/64) + (y2/16) = 1
Solución:
Ya sabemos que la elipse corta a los ejes en x=±8 y en y=±4.
Añadimos algunos puntos:
(a) Escoger y = 2. Luego de la ecuación (x2/64) + (4/16) = 1. Restamos 1/4 en
ambos lados (x2/64) =3/4 Extraemos la raíz cuadrada x/8 = √(3)/√(4) = 1.732/2 = 0.866
de la cual x = 6.93 con una exactitud razonable.
(b) Escoger y = 3. Luego de la ecuación (x2/64) + (9/16) = 1. Restamos
9/16 en ambos lados (x2/64) =7/16 Extraemos la raíz cuadrada x/8 =
√(7)/√(16) = 2.6457/4 = 0.6674 de la cual, aproximadamente, x = 5.29
De nuevo, x e y pueden ser de cualquier signo. Obtenemos 12 puntos,
suficientes para una gráfica tosca:
x
8
6.93
5.29
0
-5.29
-6.93
y
0
2
3
4
3
3
-8
0
--6.93
-5.29
0
5.29
6.93
(8)
-2
-3
-4
-3
-2
(0)
EJERCICIO 02. Halle la ecuación de la elipse que tiene su centro en (0, 0) y
cuyos focos son los puntos F (3, 0) y F’(-3, 0), además el intercepto de la
gráfica con el eje x es el punto (5, 0).
Solución:
Como la elipse corta al eje x en el punto (5,
0) se deduce que a = 5 y como c = 3 se
tiene que,
y por tanto
.
De esta forma, los vértices de la elipse son
los puntos V1 (5, 0), V2 (-5, 0), V3 (0, 4) y V4
(0, -4). Además, su ecuación viene dada
por:
EJERCICIO 04. Halla la ecuación de la elipse que se origina en el papel
milimetrado del jardín elipsoidal.
EJERCICIO 05. Trazar la elipse cuya ecuación viene dada por: 25x2 + 4y2 =
100
Solución:
La ecuación: 25x2 + 4y2 = 100, puede escribirse en las formas equivalentes:
x² y ²

 1 (porqué?)
La última
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ecuación corresponde a una elipse centrada en el
origen cuyo eje mayor es b = 5 y eje menor es a = 2.
Además, los focos de la elipse están localizados sobre
el eje y.
De otro lado,
, de donde
y
en consecuencia, los focos se encuentran localizados en
los puntos
y
.
Además, los vértices de la elipse son los puntos: V1(2,
0), V2(5, 0), V3(-2, 0) y V4(-5, 0).
EJERCICIO 06. Determine el centro, los vértices, los focos y dibujar la elipse que
tiene por ecuación: 4x2 + y2 –16x + 2y + 13 = 0
Solución:
La ecuación dada se puede escribir en las formas equivalentes:
(Complementación
cuadrado)
de
(Factorización y simplificación)
(Dividiendo
por
4)
Esta última ecuación corresponde a la elipse
cuyo centro es el punto C(2, -1), semiejes;
a = 1 y b = 2. Como a < b, el eje focal es
paralelo al eje y y tiene por ecuación x = 2
(ver fig. 6.5.10.).
Los vértices son los puntos V1(2, 1), V2(2, -3),
V3(3, -1) y V4(1, -1).
Como
, se tiene que los
focos están localizados en los puntos
y
.