Campo magnético - Universidad de Sevilla

Campo magnético
Física II
Grado en Ingeniería de
Organización Industrial
Primer Curso
Joaquín Bernal Méndez/Ana Marco Ramírez
Curso 2011-2012
Departamento de Física Aplicada III
Universidad de Sevilla
Índice
Introducción
Revisión histórica del electromagnetismo
Magnetismo en imanes
Magnetismo terrestre
Fuerza del campo magnético sobre cargas
Fuerza del campo magnético sobre corrientes
estacionarias
Par sobre espiras
Ley de Biot-Savart
Campo de una espira circular y de un solenoide
Campo de un hilo recto
Fuerza magnética entre dos conductores paralelos
Ley de Gauss para el magnetismo
Ley de Ampère
Magnetismo en la materia
2/56
Introducción
El campo eléctrico es un campo vectorial responsable
de la fuerza eléctrica sobre las cargas
Las cargas son fuente del campo eléctrico
Existe otro campo vectorial que puede ejercer fuerzas
sobre las cargas: campo magnético
Veremos que las cargas eléctricas en movimiento (corrientes
eléctricas) son fuente del campo magnético
Existe una estrecha relación entre la electricidad y el
magnetismo
Ambos fenómenos se unen en la llamada teoría
electromagnética o electromagnetismo
3/56
Introducción histórica
Las primeras referencias al fenómeno del magnetismo están
relacionadas con los imanes:
800 a.C.: los griegos conocían el hecho de que la magnetita (Fe3O4) atrae
trozos de hierro
s. XII: Primeras referencias escritas al uso de imanes en navegación
(brújulas) en China
Experiencia de Oersted (1820): una corriente en un alambre puede
desviar la aguja de una brújula
Corrientes eléctricas originan campo magnético
Ampère (1820): describió la fuerza magnética entre corrientes
Corrientes eléctricas sufren los efectos del campo magnético
Ampère ideó el concepto de “corrientes amperianas” para explicar el
magnetismo natural
Faraday (1831): un campo magnético variable con el tiempo produce un
campo eléctrico
Maxwell (Final S.XIX): un campo eléctrico variable produce un campo
magnético. Dedujo la existencia de ondas electromagnéticas
Las ecuaciones de Maxwell describen la teoría electromagnética clásica
4/56
Magnetismo en imanes
Si una barra imantada se deja girar libremente uno de sus
extremos se orienta hacia el norte y otro hacia el sur
Se denominan polo norte y polo sur del imán
Los polos opuestos de los imanes se atraen, mientras que los
polos iguales se repelen
Un objeto que contiene hierro es atraído por cualquiera de los
polos de un imán
Ejemplo: imanes en las puertas de los frigoríficos
No existen polos magnéticos aislados
Por analogía con interacciones eléctricas afirmamos que un imán
genera un campo magnético que emerge en su polo norte y
entra por su polo sur
Una aguja imantada (brújula) tiende a alinearse con el campo
magnético
El sentido del campo magnético lo indica el polo norte de la brújula
5/56
Campo magnético de un imán (I)
Líneas de campo magnético dentro y fuera de una
barra imanada: carecen de principio y fin
6/56
Campo magnético de un imán (II)
Líneas de campo magnético exteriores a una barra
imanada visualizadas mediante limaduras de hierro
7/56
Magnetismo terrestre
La tierra es un imán con su polo sur próximo al Polo Norte
geográfico
El campo magnético de
la tierra es similar al de
una barra imantada
inclinada unos 11º
respecto al eje de giro
La magnitud del campo magnético sobre la superficie de la tierra
varía en un rango de 0.3 a 0.6 gauss
El campo magnético de la tierra no es constante en dirección
Muestras de rocas de diferentes épocas en un mismo lugar muestran
magnetizaciones en direcciones diferentes
El campo magnético ha invertido su sentido 171 veces durante los
últimos 71 millones de años
8/56
Índice
Introducción
Revisión histórica del electromagnetismo
Magnetismo en imanes
Magnetismo terrestre
Fuerza del campo magnético sobre cargas
Fuerza del campo magnético sobre corrientes
estacionarias
Par sobre espiras
Ley de Biot-Savart
Campo de una espira circular y de un solenoide
Campo de un hilo recto
Fuerza magnética entre dos conductores paralelos
Ley de Gauss para el magnetismo
Ley de Ampère
Magnetismo en la materia
9/56
Fuerza del campo magnético
sobre cargas (I)

Llamaremos B al campo magnético

Cuando una carga q se desplaza con velocidad v en el
seno de un campo magnético aparece una fuerza

sobre ella:
F es proporcional a q y v



Si v  B  F  0

 
F  plano formado por v y B

Sentido de F : regla de la
mano derecha ó del
sacacorchos

F sobre carga negativa: sentido
opuesto que si fuera positiva
10/56
Fuerza del campo magnético
sobre cargas (II)
Regla de la mano derecha:
Unidades del campo magnético: tesla (T)
N
N
1T=1
=1
Cm/s
Am
A veces de usa el gauss (no S.I.):
1G=10-4 T
11/56
Índice
Introducción
Revisión histórica del electromagnetismo
Magnetismo en imanes
Magnetismo terrestre
Fuerza del campo magnético sobre cargas
Fuerza del campo magnético sobre corrientes
estacionarias
Par sobre espiras
Ley de Biot-Savart
Campo de una espira circular y de un solenoide
Campo de un hilo recto
Fuerza magnética entre dos conductores paralelos
Ley de Gauss para el magnetismo
Ley de Ampère
Magnetismo en la materia
12/56
Fuerza sobre corrientes
En un hilo conductor la fuerza magnética es la suma
de las fuerzas sobre cada portador


Densidad numérica: n
 vd

Carga de cada partícula libre: q
vd  A
A
vd

Velocidad de deriva: vd

L
Corriente eléctrica: I=nqvd A

 
Fuerza sobre un portador: Fi  qvd  B
Número de portadores en el segmento: N  nAL
Fuerza sobre el segmento:

 
 
F   i qvd  B  qvd  B nAL


13/56
Ecuación de la fuerza
sobre hilos rectos de corriente
En un hilo conductor la fuerza magnética es la suma
de las fuerzas sobre cada portador


Densidad numérica: n
 vd
vd  A

Carga de cada partícula libre: q
A
vd

Velocidad de deriva: v
d

Corriente eléctrica: I=nqvd A
L
Fuerza sobre el segmento:

 
F  IL  B
FUERZA MAGNÉTICA SOBRE UN HILO RECTO DE
CORRIENTE EN UN CAMPO MAGNÉTICO UNIFORME

L : vector cuyo módulo es la longitud del hilo, con
dirección paralela al hilo y sentido el de la corriente
14/56
Fuerza sobre hilos de
corriente de forma arbitraria
Generalización:
Cable de forma arbitraria
Campo magnético no uniforme
La fórmula anterior es válida para un segmento infinitesimal del
hilo

 

dF  Idl  B
La fuerza total se obtiene
por integración:

dl
a


b 
F  I  dl  B
B
b
 

dF  Idl  B
a
15/56
Fuerza sobre espiras
Ejemplo: Fuerza neta sobre una espira cerrada de
corriente en un campo magnético uniforme
 

F  I  dl  B

B0


 
B  B0
I
es uniforme





F  I   dl   B0  0
  
0
La fuerza que un campo magnético uniforme ejerce
sobre una espira cerrada de corriente es nula
16/56
Par sobre espiras
Suponemos una espira plana cuadrada en un campo
uniforme
La orientación de una espira plana se especifica
con un vector unitario:n̂
Módulo: la unidad
Dirección: perpendicular
al plano de la espira
Sentido: depende del
sentido de circulación
de la corriente y viene
dado por la regla de
la mano derecha
17/56
Par sobre espiras:
espira plana cuadrada

 
Sobre cada lado recto: F  IL  B
 
F3  F4  0 y no producen ningún par por estar sobre la
misma línea de acción
z
y
x

F4

F3


F1   IaBk


F2  IaBk
Constituyen un par de
fuerzas que tienden a
provocar un giro de la
espira
18/56
Par sobre espiras:
cálculo del momento
Cálculo del momento del par de fuerzas (O en el
centro de la espira):

   
  r01  F1  r02  F2
z
 

  IA  B
x
con:

A  abnˆ
19/56
Par sobre espiras:
momento dipolar magnético
Momento dipolar magnético de una espira plana:


  IA
Unidades: Am2
Para una espira de N vueltas:


  NIA
Momento del par sobre una espira plana:
  
   B
Es válida para espiras planas, aunque no sean cuadradas
Se cumple para cualquier orientación del campo
Supone que el campo magnético es uniforme
El momento dipolar de una
espira tiende a alinearse con el
campo magnético externo
Analogía con dipolo eléctrico
en un campo eléctrico externo:
  
  p E
20/56
Analogía entre espiras,
dipolos eléctricos e imanes
Una barra o aguja imanada (brújula)
también tiende a orientarse paralelamente
a un campo magnético externo
El polo norte de la aguja apunta
en el sentido del campo
Veremos que a un imán se le puede asignar también un
momento magnético
Su comportamiento se modela por analogía con el de las
espiras de corrientes
Usaremos el concepto de “corrientes amperianas” en el imán
Trabajaremos con dos analogías:
1) Espira/campo magnético - dipolo eléctrico/campo eléctrico
2) Espira/campo magnético - imán/campo magnético
21/56
Par sobre espiras
Aplicación: motor eléctrico
Conversión de energía eléctrica en energía mecánica
Hay diversos tipos (DC, síncronos, asíncronos…)
Se encuentran en electrodomésticos como ventiladores,
lavadoras, frigoríficos…
Rotor: corriente continua
Esquema de un
motor síncrono.
Estator: corriente
alterna trifásica
El estator genera un campo magnético giratorio
Las espiras del rotor “persiguen” al campo magnético
22/56
Índice
Introducción
Revisión histórica del electromagnetismo
Magnetismo en imanes
Magnetismo terrestre
Fuerza del campo magnético sobre cargas
Fuerza del campo magnético sobre corrientes
estacionarias
Par sobre espiras
Ley de Biot-Savart
Campo de una espira circular y de un solenoide
Campo de un hilo recto
Fuerza magnética entre dos conductores paralelos
Ley de Gauss para el magnetismo
Ley de Ampère
Magnetismo en la materia
23/56
Fuentes del campo magnético
Hasta ahora hemos estudiado el efecto del campo
magnético sobre cargas y corrientes
Pero, ¿cuál es la fuente del campo magnético?
Lo que sabemos:
Imanes: primeras observaciones sobre el fenómeno del
magnetismo
Oersted (1820) comprobó que una corriente eléctrica es capaz
de desviar la aguja de una brújula cercana
Lo que vamos a ver:
La corriente eléctrica actúa como fuente del campo
magnético
El magnetismo de los imanes puede explicarse en base a un
modelo de corrientes microscópicas moleculares en el
material (corrientes amperianas)
24/56
Ley de Biot-Savart
Es una Ley experimental deducida por Ampère
Proporciona
 el campo magnético creado por un hilo de corriente
Campo dB debido a una I que pasa a través de un dl :

  0 Idl  rˆ
dB 
4 r 2
 0  4  107
Tm
A
Permeabilidad del vacío
Elemento
de corriente
Propiedades:


 
dB  dl y dB  r

2
dB  1/ r , I ,sen 
25/56
Campo debido a un hilo finito
Hay que integral a lo largo de la longitud del hilo
En general se trata de un cálculo complicado


 Idl  rˆ
B 0
 4
r2
Puede aplicarse el principio de superposición
El campo magnético creado por varias distribuciones de
corriente es la suma vectorial de los campos creados por cada
  
distribución aisladamente
I1

B2
B  B1  B2

B1
I2
26/56
Campo de una espira circular
Ejemplo: B en el centro de una espira circular

  0 Idl  rˆ
dB 
4 r 2
dB 
B
 0 Idl sen 
4 R 2
1
0 I
0 I
dl

2R
2
2 

4 R
4 R
B
0 I
2R
27/56
Campo de una espira circular
Campo magnético en todos los puntos del espacio
28/56
Campo lejos de la espira
2
En el eje de la espira: B   0 2 I R i
3
(boletín de problemas)
4 ( x 2  R 2 ) 2
Para x>>R:
 0 2 I R 2  0 2
Bx 

4 x 3
4 x 3
Para un dipolo eléctrico:
(boletín de problemas)
Ex 
1 2p
4 0 x 3
El campo magnético lejos de la espira es análogo al
campo eléctrico de un dipolo eléctrico
Una espira muy pequeña es un dipolo magnético
29/56
Analogía entre dipolos
magnéticos y eléctricos
Los campos “lejos” son iguales (P: ¿Qué significa “lejos”?)
Para puntos muy cercanos hay una diferencia:
Entre las cargas el campo eléctrico es opuesto al momento dip. eléc.
En el centro de la espira el campo magnético es paralelo al
momento dipolar magnético

p

m
Un dipolo eléctrico
tiende a alinearse
con un campo
eléctrico externo
Un dipolo
magnético tiende a
alinearse con un
campo magnético
externo
30/56
Campo de un solenoide (I)
Cable enrollado (N
vueltas) con espiras
muy próximas entre
sí por el que se hace
pasar una corriente
Se usa para producir un campo magnético intenso y
uniforme en su interior
Análogo al condensador en electricidad
Su campo magnético puede obtenerse por
superposición del campo de N espiras
31/56
Campo de un solenoide (II)
Campo en el eje de solenoide de
longitud L :
• El campo dentro es uniforme
• Es proporcional a n=N/L y a I
Las líneas de campo
magnético son idénticas a las
de una barra imantada
32/56
Campo debido a una
corriente en un hilo recto (I)

  Idx

  0 Idl  rˆ  0 Idx
0

sen  k 
cos  k
dB 
2
2
2
4 r
4 r
4 r
x  R tan 
r2
dx  Rd  / cos   d 
R
2
cos   R / r
dB 
0 I
cos d 
4 R
Donde todo es constante salvo 
33/56
Campo debido a una
corriente en un hilo recto (II)
 0 I 2
0 I
B
cos

d


(sen 2  sen 1 )


1
4 R
4 R
Para un hilo muy largo:
1  90º
2  90º
B
sen 1  1
sen 2  1
0 I
2 R
Campo magnético a una distancia R
de un conductor recto muy largo
34/56
Campo de un hilo recto
muy largo
Las líneas de campo son
circunferencias centradas en el hilo
El sentido del campo se determina
siguiendo la regla de la mano
derecha tal como se indica en la figura
Líneas de campo de un conductor
recto y muy largo visualizadas
mediante limaduras de hierro
35/56
Fuerza entre dos
corrientes paralelas
Suponemos dos hilos largos paralelos que transportan
corrientes I1 e I2 y están separados una distancia R
 

dF2  I 2 dl2  B1
dF2  I 2 dl2
con:
 0 I1
2R
dF2  0 I 2 I1

dl2
2R
B1 
 0 I1
2 R
Fuerza atractiva
Fuerza por unidad de
longitud entre dos hilos
paralelos separados una
distancia R
Para corrientes paralelas la fuerza es atractiva
Para corrientes antiparalelas la fuerza es repulsiva
36/56
Aplicación: fuerza entre
espiras
Suponemos dos espiras cuadradas enfrentadas con
corrientes paralelas ¿se atraen o se repelen?
 
Igual que dos dipolos eléctricos:
F
F
2
1
 q p q  q p q
+
+


1
2
Igual que dos barras imanadas:
 
 
F F
F12 F21
Espiras paralelas
S
N
S
N
Las espiras (dipolos magnéticos) se comportan como dos
imanes: polos opuestos se atraen
37/56
Aplicación: fuerza entre
espiras
Suponemos dos espiras cuadradas enfrentadas con
corrientes opuestas ¿se atraen o se repelen?

 1
Igual que dos dipolos eléctricos:
2
F
F
 q p q
q p  q
+
+


1
2
Igual que dos barras imanadas:




F
F
F12
F21
Espiras antiparalelas
S
N
N
S
Las espiras (dipolos magnéticos) se comportan como dos
imanes: polos iguales se repelen
38/56
Índice
Introducción
Revisión histórica del electromagnetismo
Magnetismo en imanes
Magnetismo terrestre
Fuerza del campo magnético sobre cargas
Fuerza del campo magnético sobre corrientes
estacionarias
Par sobre espiras
Ley de Biot-Savart
Campo de una espira circular y de un solenoide
Campo de un hilo recto
Fuerza magnética entre dos conductores paralelos
Ley de Gauss para el magnetismo
Ley de Ampère
Magnetismo en la materia
39/56
Ley de Gauss para el
magnetismo
Para el campo eléctrico, vimos:
e  
S
 
E  dA   En dA  4kQint
S
Las líneas de ‫ ܧ‬comienzan y terminan
sobre las cargas eléctricas.
Para el campo magnético, se cumple:
m  
S
 
B  dA   Bn dA 0
S
Las líneas de ‫ ܤ‬son curvas cerradas, entran por
un extremo (polo sur) y salen por el otro (polo
norte), pero no hay puntos del espacio a partir de
los que divergen, ni puntos a los que convergen:
no hay monopolos magnéticos
40/56
Índice
Introducción
Revisión histórica del electromagnetismo
Magnetismo en imanes
Magnetismo terrestre
Fuerza del campo magnético sobre cargas
Fuerza del campo magnético sobre corrientes
estacionarias
Par sobre espiras
Ley de Biot-Savart
Campo de una espira circular y de un solenoide
Campo de un hilo recto
Fuerza magnética entre dos conductores paralelos
Ley de Gauss para el magnetismo
Ley de Ampère
Magnetismo en la materia
41/56
Ley de Ampère
Para distribuciones de carga muy simétricas puede calcularse
el campo eléctrico mediante la Ley de Gauss
La Ley de Ampère facilita el cálculo del campo magnético de
distribuciones de corriente con alta simetría
Enunciado de la Ley de Ampère:

C
 
B  dl   0 I C
La circulación del campo magnético a
lo largo de una curva cerrada C es
igual a 0 por la corriente total que
atraviesa una superficie que se apoya
en la curva C
Se cumple siempre para cualquier curva en situación de
corriente estacionaria
42/56
Corriente estacionaria
La situación de corriente estacionaria exige que los
parámetros físicos del problema no varíen con el
tiempo. Esto significa que:
La intensidad ha de ser constante (corriente continua)
En caso contrario se llama corriente variable
La carga almacenada en los distintos puntos del conductor
también ha de ser constante. Es decir, no se produce
almacenamiento ni disminución de carga en ningún punto del
conductor.
Ejemplo: paralelismo con corriente de un fluido
Corriente de un río: flujo estacionario
Llenado de un depósito de agua: proceso no estacionario,
aunque la corriente sea constante
43/56
Ley de Ampère:
campo de un hilo infinito

C
I
R

C
 
B  dl   0 I C
Curva C: circunferencia centrada en el
hilo
Sentido integración: regla de la mano
derecha
El campo es tangente al diferencial de
longitud y de módulo constante en toda la
trayectoria
 
B  dl   Bdl  B  dl  B 2R   0 I
B
C
 
B  dl
0 I
2 R
c
B constante
Que coincide con lo que se obtiene
mediante Ley de Biot-Savart (integración)
44/56
Índice
Introducción
Revisión histórica del electromagnetismo
Magnetismo en imanes
Magnetismo terrestre
Fuerza del campo magnético sobre cargas
Fuerza del campo magnético sobre corrientes
estacionarias
Par sobre espiras
Ley de Biot-Savart
Campo de una espira circular y de un solenoide
Campo de un hilo recto
Fuerza magnética entre dos conductores paralelos
Ley de Gauss para el magnetismo
Ley de Ampère
Magnetismo en la materia
45/56
Magnetismo en la materia
Los electrones tienen una propiedad
eléctrica inherente: su carga
De la misma forma poseen una
propiedad magnética inherente:
un momento magnético
Se comportan como diminutas espiras
de corriente: dipolos magnéticos
Los átomos y moléculas de los materiales
poseen además un momento magnético
asociado al movimiento de los electrones
en sus órbitas: momento magnético orbital
Un campo magnético externo interaccionará con estos
dipolos magnéticos
46/56
Tipos de materiales
Paramagnéticos: alineación parcial de los dipolos
magnéticos con el campo magnético externo
Incremento débil del campo magnético en el material
Diamagnéticos: momentos magnéticos orbitales
inducidos se alinean en sentido opuesto al campo
externo aplicado
El campo magnético en el material disminuye débilmente
Ferromagnéticos: alineación masiva de los dipolos
magnéticos electrónicos con el campo externo
Fuerte incremento del campo en el interior del material
El efecto permanece una vez eliminado el campo externo
aplicado: imanes permanentes
47/56
Imanación: corrientes
amperianas
Cuando los dipolos se alinean: material imantado
Cada dipolo magnético se puede modelar como una
diminuta corriente circular
Para un cilindro con imanación uniforme:
La corriente neta dentro es nula
Existe una corriente neta sobre la superficie: corriente
amperiana o corriente de imanación
Este modelo explica por qué el campo magnético que crea la barra
imantada es igual que el del solenoide
48/56
Imanación
Vector imanación: momento dipolar magnético neto
por unidad de volumen:  d 
M
dV

Sea un disco imanado según su eje
M
de grosor dl y área A:
di
Analogía con espira: d   Adi
M
dl
dV  Adl
El módulo de M es la corriente amperiana
por unidad de longitud (unidades: A/m)
Analogía con solenoide de corriente:
Campo dentro del
solenoide y lejos de
los extremos
B   0 nI
B  0 M
Campo dentro del
material debido a
su imanación
49/56
Imanación de un medio lineal
El campo magnético dentro del material es la suma
del campo aplicado y el campo debido a la imanación:
 

B  Bap   0 M
Medios paramagnéticos y diamagnéticos:
La imanación es proporcional al campo aplicado

M  m

Bap
0



B  (1   m ) Bap  K m Bap
 m : Susceptiblidad magnética (adimensional)
K m : Permeabilidad relativa (adimensional)
50/56
Materiales ferromagnéticos
Supongamos una barra de material ferromagnético en
el interior de un solenoide (Bap=μ0nI). Campo dentro:
B  Bap   0 M   0 nI   0 M
En la práctica:  0 M   0 nI
(amplificación del campo aplicado)
Saturación: Ms
Curva de
histéresis
Campo remanente
• En principio M depende de la
historia del material y no solo de Bap
• Aun así, lejos de la zona de
saturación se suele definir:
M  m
Bap
0
B  K m Bap  K m 0 nI  nI
• Kmμ0= μ : permeabilidad
51/56
Materiales ferromagnéticos
Son ferromagnéticos el hierro el cobalto y el níquel
También algunas tierras raras: gadolinio, disprosio
A veces se usan en aleaciones:
Material
Km
Níquel (99% puro)
600
Hierro (99,8% puro)
5600
Hierro-silicio (95% Fe, 4% Si)
7000
Permalloy (55%Fe, 45%Ni)
25600
Metalmu (77%Ni,16%Fe,5%Cu,2%Cr)
100 000
En un solenoide con un núcleo ferromagnético la permeabilidad
relativa (Km) es el factor por el que se multiplica el campo magnético
aplicado debido a la presencia del núcleo ferromagnético
52/56
Materiales ferromagnéticos
Materiales ferromagnéticos
blandos: ciclo de histéresis
estrecho

Materiales ferromagnéticos
duros: ciclo de histéresis
ancho
B
B
Bap
Bap
Útiles en núcleos de
transformadores
Ejemplo: hierro dulce


Útiles como imanes
permanentes
Ejemplo: acero al carbono
53/56
Algunas preguntas
interesantes
¿Por qué se pegan los imanes
a la puerta del frigorífico?
¿Por qué un imán atrae objetos
como clips, alfileres y clavos?
¿Por qué un imán atrae a las
monedas de 1, 2 y 5 céntimos
pero no a las de 10, 20 y 50 céntimos?
54/56
Resumen (I)
Un campo magnético ejerce una fuerza sobre cargas en movimiento
y, por tanto, actúa sobre las corrientes
Un campo magnético uniforme ejerce una fuerza neta nula sobre una espira
cerrada de corriente
El momento dipolar magnético de una espira tiende a alinearse con el
campo magnético externo
Igual que una barra de imán (brújula)
Igual que un dipolo eléctrico tiende a alinearse con un campo eléctrico externo
La fuente del campo magnético son las cargas en movimiento
(corrientes): la Ley de Biot-Savart nos proporciona una ecuación
integral para calcular el campo magnético debido a un hilo de corriente
El campo magnético creado por una espira de corriente en puntos “alejados
de la espira” es de tipo dipolar
El campo magnético creado por un solenoide de corriente es igual que el de
una barra imantada.
Corrientes paralelas se atraen y corrientes opuestas se repelen
La atracción repulsión entre momentos magnéticos (espiras) es análoga a
la que acurre entre barras imantadas: polos opuestos se atraen y polos
iguales se repelen
La atracción repulsión entre momentos magnéticos (espiras) es similar a la
55/56
que aparece entre dipolos eléctricos
Resumen (y II)
56/56