Códigos convolucionales - Luca Martino Home Page

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Códigos convolucionales – Prac3ca 3 Luca Mar3no Apuntes-­‐Laboratorio no revisados (cuidado!!!) Repaso 1-­‐ obje3vos de la transmisión digital de la información •  Transmisión fiable  control de errores  codificación de canal. •  Transmisión rápida (“ligera”)  compresión  codificación de fuente. •  Transmisión segura  auten3cidad, privacidad  criptograKa. Códigos Convolucionales •  Se trata de codificación de canal: añadir redundancia para lograr una trasmisión fiable de la información. •  Los códigos convolucionales son códigos lineales, donde la suma de dos palabras de código cualesquiera también es una palabra de código. •  Se diferencian de los códigos bloque en su forma estructural y las propiedades para corregir errores. •  Tienen memoria: la codificación actual depende de los datos que se envían ahora y que se enviaron en el pasado. Códigos Convolucionales •  Un código convolucional queda especificado por tres parámetros: Bits de información •  Números de entradas k •  Números de salidas n Secuencia codificada de información, bits de información + bit de redundancia. •  Memoria de código m k
R=
n
€
Tasa del código Códigos Convolucionales -­‐ filtro FIR •  Un código convolucional es un filtro FIR binario (es una convolución…). •  La salida se ob3ene filtrando la secuencia de entrada con un filtro FIR binario. Representación •  Pueden representarse de diferentes formas: •  Registros de desplazamiento. •  Sistema de n ecuaciones (binarias) con m incógnitas (filtro FIR). •  Tabla de relación entrada/salida (filtro FIR). •  Polinomios (parecido a la trasformada Zeta…). •  Diagrama de árbol. •  Diagrama de estados (maquinas de estados finitos). •  Diagrama Trellis. Ejemplo con registros de desplazamiento •  Se cosidere un código convolucional m=3
n =2
k =1
registros salidas entradas k 1
R= =
n 2
Salida 1-­‐ O1 (output 1) €
Secuencia € en entrada Desde el bit más an3guo… €
S1 S2
S3
€
Salida 2-­‐ O2 (output 2) €
€ € € se considera que •  Al principio S1 = 0
S2 = 0
S3 = 0
tasa O1O 2
Ejemplo con registros de desplazamiento •  Los bits ingresan por la izquierda y salen por la derecha, pero los bits de una palabra se leen de izquierda a derecha. •  Observación importante: si queremos codificar 1010
tenemos que dar la vuelta a la secuncia para empezar desde el más an3guo: 0101
(4 bits en entrada) €
€
Ejemplo con registros de desplazamiento •  Supongamos que queremos enviar y codificar la secuencia 0101
O1
0101
0
0
0
O2
€
€
€
O1O€2
€ € €
•  Recordamos que al principio los registros son nulos €
S1 = 0
S2 = 0
S3 = 0
Ejemplo con registros de desplazamiento •  Entra el primer bit – 1 O1 = 1+ 0 = 1
010
1
0
0
€
€
€ € ....11
•  p€roducimos €
€
O 2 = 1+ 0 = 1
€
O1O 2 = 11
Ejemplo con registros de desplazamiento •  Desplazamos el primer bit – 1 y entra el segundo -­‐ 0 O1 = 0 + 0 = 0
01
0
1
0
O 2 = 0 +1 = 1
€
€
€ toda € la salida hasta ahora es •  e€s decir €
....01 −11€
€
O1O 2 = 01
Ejemplo con registros de desplazamiento •  Desplazamos todo y entra el bit -­‐ 1 O1 = 1+1 = 0
0
1
0
1
O 2 = 1+ 0 = 1
€
€
€ toda € la salida hasta ahora es •  e€s decir €
....01 − 01 −11
€
€
O1O 2 = 01
Ejemplo con registros de desplazamiento •  Finalmente O1 = 0 + 0 = 0
0
1
O1O 2 = 01
0
O 2 = 0 +1 = 1
€
€ € es codificada como (esta es la salida final de 8 bits) •  L€a secuencia €
01 − 01 − 01€
−11
€
Sistema de ecuaciones (en binario) •  Claramente lo que hemos hecho hasta ahora se puede expresar como O1
⎧ O1 = S1 + S3
⎨
⎩O 2 = S1 + S2
S1 S2
S3
€
€
€ €
€
€
O2
€
Tabla entradas/salidas •  Claramente lo que hemos hecho hasta ahora se puede expresar como Respuesta impulsiva € S1S2 S3
O1O 2
000
100
00
€
m
3
2 = 2 =€8
€
€
€
€
€
€
S1 S2
11
010
€001 €
110 €
011 €
101 €
111 €
€
€
€
O1
01
10
10
11
01
00
S3
€
€ €
€
€
O2
Polinomios •  Como una trasformada Zeta pero con potencias posi3vas O1(x)
S1 →1
S2 → x
g1(x) = 1+ x 2
g2 (x) = 1+ x
S3 → x 2
€
€
m(x)
S1 S2
S3
€
O 2 (x)
•  Si por ejemplo queremos € enviar 0101 →m(x) = 0⋅ 1+ €
x + 0⋅€ x 2 €
+ x3 = x + x3
€
€
3
2
3
3
O1(x) = m(x)g1 (x) = x + x 1+ x = x + x + x + x 5 = x + x 5
( )( )
O (x) = m(x)g (x) = ( x + x )(1+ x ) = x + x
€
3
2
1
3
+ x2 + x4 = x + x2 + x3 + x4
Árbol Salidas O1 y O2 CUIDADO!!! El orden está inver3do !!! Aquí es S3,S2,S1 Salidas O1 y O2 Estados del Trellis o de la maquina de estados finitos. 
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