Módulo 2 - Web del Profesor

A.Paniagua-H.Poblete
Física 21
MAGNETISMO
MODULO 2
Ley de Ampère - Ley de Biot Savart
Ley de Ampère
En los experimentos realizados en clases vimos que entorno a un alambre
con corriente se produce un campo magnético que hace que pequeñas
limaduras de hierro puedan orientarse de una determinada forma para cada
configuración de alambres.
Campo magnético producido por una
espira con corriente.
Campo magnético producido por un
imán.
Para la situación de un alambre con corriente perpendicular a la superficie
de proyección vimos que las limaduras se orientaban circularmente
alrededor del alambre y que la acción del campo magnético disminuía a
medida que se alejaba del alambre con corriente. También pudimos observar
que dicho ordenamiento dependía de la corriente aplicada al alambre, el
efecto se producía para corrientes de alrededor 20-30 amp.
Tenemos entonces experimentalmente que
B!
i
r
( 13 T)
lo cual podemos escribir como
B = cte
i
donde
r
cte =
µ0
2!
y
Tenemos entonces que ( 13 T) es B =
22
µ 0i
2 !r
µ 0 = 4! "10 #7 Weber / amp # m
de donde se puede escribir la relación entre la corriente y el campo
magnético como
r r
B
! dl = µ 0i
(14 T)
que se conoce como Ley de Ampère.
r
Donde dl es tangente en cada punto a la trayectoria
circular cerrada entorno a un alambre por el que
circula
una corriente i
r
dl se muestra en la fig.
Si entorno a un alambre con corriente en lugar
de colocar limaduras de hierro se colocan
pequeñas brújulas se puede observar que estas
se orientan tangencialmente a una trayectoria
circular indicando que esa es la dirección del
campo magnético, pero su orientación cambia de
sentido al cambiar el sentido de la corriente.
Este resultado experimental conduce a la
"regla de la rmano derecha" para encontrar el
sentido de B cerca de un alambre que lleva
una corriente i: se coge el alambre con la
mano derecha, con el pulgar apuntado en el
sentido de la corriente. Entonces la curvatura
de los dedos
r alrededor del alambre da el
sentido de B . Como se muestra en la fig.
La Ley de Ampére es útil para calcular campo magnético en el caso de
alambres infinitos.
r
Si tenemos más de un alambre el campo magnético BT en un punto P está
r r r
r r
dado por B = B1 + B2 + B3 + B4
23
En la siguiente fig. se han representado cuatro alambres que están ubicados
perpendicularmente al plano de la hoja y por lo cuales circulan corrientes en
el sentido que se indica. Dibujar el campo magnético producido por cada uno
de estos alambres en el punto P.
Imantación de un material
Tenemos que un alambre con corriente produce un campo magnético y una
espira con corriente se comporta como un imán con sus polos Norte y Sur.
Para explicar la imantación de una barra
consideraremos un modelo atómico simple del
material que forma la barra, sus átomos estarán
formados por un protón y un electrón que gira
entorno a él. Ese electrón girando produce una
corriente en sentido contrario.
Por lo cual ese átomo se comporta como una espira con corriente
constituyendo un dipolo magnético.
Entonces la estructura interna de la
barra que deseamos imantar tendría el
siguiente aspecto.
Al colocar la barra en un campo magnético externo los dipolos tienden a
aliniarse con el campo como se muestra en las siguientes fig.
24
Existen materiales en los cuales la orientación de los dipolos se mantiene
aunque se deje de aplicar el campo magnético. Por lo tanto, estos materiales
quedan imantados de manera permanente, pero dicha imantación se debilita
a lo largo del tiempo.
Fuerza entre alambres paralelos con corriente
En la siguiente figura se representan dos alambres paralelos por los cuales
circulan corrientes en el mismo sentido. Analice las fuerzas que actúan entre
ellos.
Analice de igual forma que sucede si las corrientes en dichos alambres
circulan en sentido contrario.
Ley de Biot-Savart
La fig. muestra una distribución
arbitraria
de
corriente que circula por un
alambre curvo. La fig.
muestra también un elemento típicorde corriente; es
un tramo dl del conductor
que lleva una corriente i .
25
Su dirección es la de la tangente al conductor (línea interrumpida). Un
elemento de corriente no puede existir como una entidad aislada porque en
alguna forma debe llevarse la corriente al elemento por un extremo y darle
salida por el otro. No obstante podemos pensar que un circuito está hecho de
un gran número de elementos de corriente colocados uno tras otro.
r
Sea P el punto en el cual deseamos conocer el campo magnético dB asociado
r
con el elemento de corriente. De acuerdo con la Ley de Biot-Savart, dB está
dada en magnitud por la siguiente expresión.
dB =
µ 0 i dl sen"
4! r 2
(15 T)
Para escribir esta expresión en forma vectorial necesitamos tener en el
numerador otra magnitud vectorial, por lo cual multiplicamos el numerador
y el denominador de (15 T) por r y obtenemos
dB =
µ 0 i dl r sen"
4!
r3
(16 T)
que nos permite formar el siguiente producto vectorial
r
r µ 0 i dl " rr
dB =
4 ! r3
(17 T)
r
r
donde r es un vector que va desde el relemento de corriente dl al punto P y
r
! el ángulo que forman los vectores dl r
Tenemos que el campo magnético total en el punto P esta dado por
r
r µ 0 !i dl # rr
B=
4 " $ r3
r
r
B = ! dB
(18 T)
que se conoce como Ley de Biot-Savart.
Ejercicio
Se tiene un alambre por el que circula una corriente en el sentido que se
muestra en la fig. a) , en dicha figura se indican dos puntos P1 y P2 .
En la fig.b)rse ha seleccionado un elemento dl del alambre, y se ha dibujado
el vector dl , a partir de ese elemento se han dibujado para el punto P2 los
!
!
26
!
r
vectores r2 y dB2 , proceda de forma similar dibujando esos elementos para el
punto P1 .
!
!
fig a)
fig. b)
Tenemos ahora un elemento de alambre que tiene una forma curva como se
muestra en la fig. c) en ella se muestran tres puntos P1 , P2 y P3 .
En la fig .d)r se ha seleccionado un elemento dl del alambre, y se ha dibujado
el vector dl , a partir de ese elemento se han dibujado para el punto P2 los
r
vectores r2 y dB2 , proceda de forma similar dibujando
esos elementos para los
!
puntos P1 y P3 .
!
!
!
!
!
fig c)
fig. d)
27
Problemas
Problema 1. H-34-10 (V)(N)
Dos alambres largos separados por una
distancia d llevan corrientes iguales
antiparalelas i, como se ilustra en la figura.
Demostrar que B en el punto P que equidista
de los alambres está dado por la siguiente
expresión:
2 µ 0 id
! ( 4R 2 + d 2 )
B=
Solución
Dibujemos en primer lugar, los
vectores de campo magnético en el
punto P producidos por cada uno de
los alambres con corriente.
Tenemos entonces que
r
r r
BT = B1 + B2
r
r
r
B1 = B1 cos ! iˆ + B1 sen ! jˆ
r
r
r
B2 = B2 cos ! iˆ " B2 sen! ˆj
r
r
r
r
r
BT = B1 + B2 cos ! iˆ + B1 " B2 sen ! ˆj
(
)
(
µ 0 i1 "
$
2!r $#
µi
B2 = 0 2 $$
2 !r %
B1 =
)
(1-P1)
r
r
i1 = i2 = i ! B1 = B2
ya que
tenemos entonces que
B1 = B2 =
µ 0i
2 !r
y
28
2
r = ( d2 ) + R 2
Por lo tanto de (1-P1) tenemos
r
r
BT = 2 B1 cos ! iˆ
y de la fig vemos que cos ! =
d/2
tenemos finalmente que
r
r 2 µ i d2
2µ 0 i d ˆ
BT = 0
iˆ =
i
2! r r
!( 4R 2 + d 2 )
Problema 2. H-34-5 (V)(N)
La figura muestra un conductor cilíndrico hueco de
radio a y b que lleva una corriente i uniformemente
distribuida en su sección transversal.
a) Demostrar que el campo magnético B para
puntos dentro del cuerpo conductor (esto es a < r <
b) está dado por la siguiente expresión:
B=
a
b
µ 0 !i
r 2 # a2
2 " (b 2 # a2 ) r
Verificar esta fórmula para el caso límite a = 0.
b) Hacer una representación esquemática aproximada del comportamiento
general de B(r) desde r = 0 hasta r ! "
Solución
Antes de hacer el problema calcule el campo magnético dentro del hueco del
cilindro y fuera del cilindro, o sea en las siguientes zonas:
r < a en el hueco del cilindro.
r > b fuera del cilindro.
r < a, B = 0
µ !i
b < r, B = 0
2 " !r
a) B
a <r < b,
Tenemos
r r
B
! dl = µ 0i en este caso
29
r r
B
! dl = µ 0i" (1-P2)
i! = jA !
A ! = " (r # a
2
2
)
j=
i
iA "
! i" =
A
A
r 2 " a2
A = ! (b " a ) # i $ = i 2
b " a2
2
2
reemplazando en (1-P2) tenemos:
µ 0 i ( r 2 " a2 )
B 2 !r =
,
b2 " a2
2
2
µ 0 i (r " a )
B=
(2-P2)
2 !r b2 " a2
Para a = 0 tenemos de la expresión (2-P2)
µ 0i r 2
µi
B=
= 0 2r
2
2 !r b
2 !b
Para obtener esta respuesta podemos calcular directamente el campo
magnético producido por un conductor de radio b
r r
B
" !dl = µ 0 ! i #
B 2 !r =
iA ! i"r 2 ir 2
i! =
=
=
A
"b2 b 2
µ 0 ir 2
µi
"B= 0 2 r
2
b
2!b
Vemos que en ambos casos se obtiene la misma expresión.
b) Para hacer una representación esquemática aproximada del
comportamiento general de B(r) desde r = 0 hasta r ! " se necesita
conocer el campo en las siguientes zonas
i) r < a
ii) a <r < b
iii)b < r
r r
B
! dl = 0
i) Tenemos que para r < a
puesto que por el hueco del cilindro no circula corriente i = 0 y entonces
B= 0
ii) Sabemos del punto anterior que el campo magnético en la zona
a < r < b está dado por
30
µ i (r " a )
B= 0
2 !r b2 " a2
2
2
iii) Para b < r tenemos utilizando la Ley de Ampére B =
µ 0i
2 !r
De las expresiones anteriores vemos que i) y iii) no presentan problemas
para representar el campo magnético en un gráfico B vs r.
En cambio la expresión del punto ii) no podemos de inmediato identificarla
con una gráfica precisa, por lo cual agrupamos dicha expresión de la forma
siguiente:
r 2 " a2 )
(
µ 0i
B=
2 ! (b 2 " a2 )
r
14243
Ar
B
A
B = Ar ! A
a2
r
a
Lo que nos permite ver que
dicha gráfica está compuesta
por la superposición de una
recta y un hipérbola.
Lo cual nos da como
resultado que la gráfica del
campo magnético en el tramo
a ! b este representada por
la curva que se muestra en la
fig de la derecha.
b
r
b
r
2
Aa
r
B
a
Tenemos entonces que el gráfico del campo magnético en función de r para
las diferentes zonas está representado por
31
Donde
B
r < a B= 0
µ 0 i (r " a )
a < r < b B=
2 !r b2 " a2
µ0 i
2! b
a
r
b
b<r
B=
2
2
µ 0i
2 !r
Problema 3 (H-34 Ejemplo 8)
Se tiene una
espira circular de radio R que transporta una corriente i.
r
Calcular B en los puntos sobre su eje.
Solución
Para encontrar el campo magnético en el punto P utilizaremos la Ley de
Biot-Savart.
r
r
B = ! dB
r
r µ 0 i dl " rr
dB =
4 ! r3
(1-P3)
r r
d
l
Dibujemos
en primer lugar el vector
y r.
r
dr l es tangencial al alambre con corriente
r es un vector que va desde el elemento con
corriente al punto donde se desea encontrar el
campo.
r r
Podemos ver que dl y r forman un ángulo de 90°
Para representar con mayor facilidad el campo magnético, hagamos un corte
tranversal de la espira como se muestra en la siguiente figura.
32
Podemos ver der este dibujo que la proyección de
los vectores dB en el ejer horizontal se anula
para los dos elementos dl que aparecen en la
fig.
dBx = dB cos !
De igual forma sucede para cualquiera dos
elementos ubicados en posiciones opuestas en la
espira.
dBr = dB cos !
Por lo tanto tenemos entonces que
Br = 0
Lo que da como resultado
que
r
B = By ˆj
donde
dBy = dB sen !
Tenemos entonces que
By = ! dBy = ! dB sen"
De la expresión (1-P3) tenemos dB =
(2-P3)
µ 0 i dl r sen90° µ 0 i dl sen90°
=
4!
r3
4!
r2
donde r = R 2 + y 2 , reemplazando estas expresiones en (2-P3) y considerando
que sen ! =
R
tenemos
R2 + y 2
By = "
µ 0i
Rdl
µ 0i
R2
=
4! ( R 2 + y 2 )
4 ! ( R2 + y 2 )
3
2
Considerando que dl = Rd! e integrando se obtiene
µ 0 iR2
By =
2( R 2 + y 2 )
Problema 4. (H-34-17V,39N)
33
3
2
2!
3
2
" d#
0
Un segmento recto de alambre de
longitud l lleva una corriente i.
a) Demostrar que elr campo de
inducción magnética B producido
por este segmento a una distancia
R según la perpendicular bisectriz
es el siguiente valor:
B=
µ 0i
l
1
2
2 "R (l + 4 R 2 ) 2
Solución
Para encontrar el campo magnético en el punto P utilizaremos la Ley de
Biot-Savart.
r r
!
r
r
B = ! dB
r
donde dB =
r
µ 0 dl " r
4! r 3
r
Desarrollando el producto vectorial dl ! r podemos ver que el campo
magnético en el punto P es perpendicular al plano de la hoja.
Por lo tanto de acuerdo a los ejes que aparecen en la fig. apunta en sentido
contrario al eje z
dBz = "
µ0i dy sen$
4#
r2
reemplazando
!
r = y 2 + R2
sen! =
R
y + R2
2
tenemos
l
µ iR 2
dy
Bz = " dBz = # 0 2 "
3
2
4 $ 0 ( y + R2 ) 2
l
Calculemos el integral
2
! (y
0
!
2
dy
designemos por I =
+ R2 )
3
2
34
(1-P4)
! (y
2
dy
+ R2 )
3
2
Este integral se resuelve por medio de un cambio de
variable trigonométrico
tg! =
y
!
y
R
R
tenemos entonces que
dy = Rsec 2 ! d!
y = R tg!
dy
Rsec 2 ! d!
I=" 2
=
3
( y + R2 ) " ( R2tg2! + R2 ) 2
3
2
desarrollando el denominador de esta expresión tenemos
3
( R tg ! + R )
2
2
2
2
3
= R 3 (tg 2 ! + 1) 2 = R 3 sec 3 ! ya que tg 2 ! +1 = sec 2 !
Entonces
I=
"
R sec 2 ! d!
( R tg ! + R )
2
2
2
puesto que sen ! =
3
=
2
Rsec 2 ! d!
d!
1
sen !
" R3 sec 3 ! = " R2 sec ! = R2 " cos ! d! = R2
y
y 2 + R2
I=
Tenemos entonces que
l
l
dy
1
!0 ( y 2 + R2 ) = R2
2
3
2
y
2
y + R2
2
=
0
1
R2
y
y 2 + R2
1
R2
l
l + 4R 2
2
reemplazando esta expresión en (1-P4) tenemos finalmente que
Bz = !
µ 0i
l
2
2" R l + 4R 2
35