distancia mínima entre dos rectas oblicuas

Scientia et Technica Año XIV, No 39, septiembre de 2008. Universidad Tecnológica de Pereira. ISSN 0122-1701
391
DISTANCIA MÍNIMA ENTRE DOS RECTAS OBLICUAS
Minimal distance between two oblique straight lines
RESUMEN
Dos rectas en R3 se llaman oblicuas o cruzadas si son no paralelas y no se
intersectan.
El objetivo de esta nota es encontrar los dos puntos de dos rectas oblicuas que
minimizan la distancia entre dos puntos arbitrarios de las rectas, es decir, hallar
esa distancia mínima entre ellas.
Se prueba, además, que distancia mínima es la distancia entre dos planos
paralelos que contienen ambas rectas.
PALABRAS CLAVES: recta, plano, producto vectorial, independencia lineal,
producto escalar, intersectan.
ABSTRACT
Two straight lines in R3 are named oblique or crossed if they are not paralleled
and not intersected.
The objective of this note is to find two points of two oblique straight lines that
minimize the distance between the two straight lines.
It’s proven, besides, that the minimum distance is the distance between two
parallel planes that contain both straight lines.
JORGE ELIECER ROJAS CANO
Matemático Universidad Nacional.
Magister en Matemáticas
Universidad Nacional
Profesor Titular
Universidad Tecnológica de Pereira
FERNANDO MESA
Licenciado en matemáticas UTP
Especialista en docencia
universitaria
Universidad Cooperativa de
Colombia
Magister en instrumentación física
UTP
Profesor titular
Universidad Tecnológica de Pereira
[email protected]
KEYWORDS: plane, straight line, vectorial product, linear independence,
scalar product, norm, intersection
1.
INTRODUCCIÓN
El problema de la distancia mínima entre dos rectas
oblicuas L1, L2 entraña un proceso de minimización el
cual queda soslayado o encubierto en las definiciones a
las que recurren algunos textos de cálculo. Por ejemplo,
en [1] se lee la definición: “por la distancia mínima entre
las dos rectas L1, L2 se entiende la distancia
perpendicular entre planos P1 y P2”, estos planos son
paralelos y contienen las rectas, ver figura 1. Una
definición semejante se encuentra en [2].
Fecha de Recepción: 5 de Julio de 2008.
Fecha de Aceptación: 27 de Julio.
Figura 1. P1 y P2 planos paralelos que contienen las rectas
L1 y L2.
Scientia et Technica Año XIV, No 39, septiembre de 2008. Universidad Tecnológica de Pereira.
392
En [3] la aproximación al problema es una variante
análoga a las definiciones anteriores:
“Nos planteamos el problema de encontrar la distancia
más corta que existe entre estas dos rectas”…” La idea
general es “meter” L1 en un plano P1 de modo que la
recta L2, queda paralela a este plano; logrado esto, la
distancia procurada no es más que la distancia de un
punto (cualquiera) de la recta L2 al plano P2”.
Enfocamos el asunto como un problema típico de
minimizar una función de dos variables y hallamos,
explícitamente, los puntos Xo, Yo, Xo ∈ L1, Yo∈ L2 que
minimizan la distancia entre dos puntos arbitrarios de las
rectas.
Con la deducción de (1.8) se justifican teóricamente las
definiciones y procesos de carácter intuitivo que hemos
enunciado, y la definición, geométricamente más precisa,
mediante la noción de “la transversal más corta” que
aparece en [4], (ver figura 2 tomada del mismo texto).
de la cual se deducen las
identidades:
A2 × ( A1 × A2 ) = A2
2
A1 − ( A1 ⋅ A2 ) A2
A1 × ( A1 × A2 ) = ( A1 ⋅ A2 ) A1 − A1
2
(1.4)
(1.5)
A2
2. CONTENIDO
Sean ahora dos rectas L1, L2 en R3 definidas
vectorialmente por:
X ( s) = P1 + sA, Y ( t ) = P2 + tA 2 , respectivamente
donde P1≠P2, y A1, A2 son no nulos y no colineales, s, t
∈ℜ
2
Sea f ( s, t ) = X ( s) − Y (t ) , el cuadrado de la distancia
entre los puntos arbitrarios de L1 y L2.
Es claro que ƒ es no acotada. Para minimizar ƒ se
encuentran primero sus puntos críticos.
f ( s, t ) = R + sA1 − tA2
Como
2
, R = P1 − P2
2
2 2
2 2
f (s, t ) = A1 s + A2 t + 2s( R ⋅ A1) − 2t ( R ⋅ A2 ) − 2st( A1 ⋅ A2 ) + R ,
Se deduce,
df
2
= 2 A1 s − 2( A1 ⋅ A2 ) t + 2( R ⋅ A1 )
ds
df
2
= −2( A1 ⋅ A2 ) s + 2 A2 t − 2( R ⋅ A2 )
dt
df
ds
ecuaciones:
Al hacer
Figura 2. La transversal más corta perpendicular X0Y0
L1 y L2.
En la deducción se utilizan las identidades vectoriales
( A × B ) ⋅ (C × D ) = ( A ⋅ C )(B ⋅ D ) − ( A ⋅ D )(B ⋅ C ) (1.1)
2
= A
2
B
2
− ( A ⋅ B )2
(R ⋅ A1 )
2
(R ⋅ A2 ) − ( A1 ⋅ A2 )(R ⋅ A1 )
Ν ⋅ (A 2 × R ) = ( A1 ⋅ A2 )(R ⋅ A2 ) − A2
Ν ⋅ (A 1 × R ) = A1
en las cuales Ν = A1 × A2 ,
y la identidad “cab menos bac”:
A × (B × C ) = (C ⋅ A) B − (B ⋅ A) C ,
2
df
= 0 , se encuentra el sistema de
dt
⎧ A 2 s − ( A ⋅ A ) t = − (R ⋅ A )
1
1
2
1
⎪
⎨
2
⎪⎩ − ( A1 ⋅ A 2 ) s + A 2 t = R ⋅ A 2
El determinante
N
2
de la matriz de coeficientes es
, N = A1 × A2 , que es diferente de cero debido a la
independencia lineal de A1 y A2.
De acuerdo con la Regla de Cramer la única solución
( s0 , t 0 ) del sistema está dado por:
de la cual se deducen las identidades:
A× B
=
(1.2)
s0 =
( A 1 ⋅ A 2 )( R ⋅ A 2 ) − A 2
N
2
2
( R ⋅ A1 )
,
(1.3)
t0 =
A1
2
( R ⋅ A 2 ) − ( A1 ⋅ A 2 )( R ⋅ A 1 )
.
2
N
Usando las identidades (1.2) y (1.3) se obtiene que:
Scientia et Technica Año XIV, No 39, septiembre de 2008. Universidad Tecnológica de Pereira.
s0 =
N ⋅ ( A2 × R )
N
Es evidente que
t0 =
,
2
L 1 : P1 = ( − 2,3, − 4),
N ⋅ ( A1 × R )
N
L 2 : P 2 = ( 2 , − 1 , 4 ),
2
X 0 − Y 0 ≤ X ( s ) − Y (t ) ,
Veamos que
N
deducen:
R⋅N
N
R⋅N
De la cual se deduce que α 0 =
N
2
(1.6)
, pues
R × A2 = α 0 ( N × A2 ) + β 0 N .
(1.7)
Al multiplicar escalar mente ambos lados de (1.7) por N
y teniendo en cuenta (1.4) se deduce que β = − S 0 ; de la
misma manera se deduce que δ 0 = t 0 , utilizando ahora
(1.5).
X 0 − Y0 = α 0 N
N
2
38
189
⎛ 6 439 652 ⎞
,
,
X0 = ⎜
⎟
⎝ 189 189 189 ⎠
X 0 − Y0 =
,
⎛ 492 115 490 ⎞
,
,
Y0 = ⎜
⎟
⎝ 189 189 189 ⎠
R⋅N
6
6
( −3,2,1); X 0 − Y0 =
=
14
7
7
N
,
4. BIBLIOGRAFÍA
[1] Stein Sherman, “Calculo y Geometría Analítica”, 5ª
edición, McGraw-Hill pág. 859.
[2] Leithold, Luis, “El Cálculo”, 7ª edición, Oxford
N ⋅ A1 = N ⋅ A2 = 0. Además de (1.6) se obtiene:
R⋅N
t0 =
.
R = α 0 N + β 0 A1 + δ 0 A2
(1.8)
De acuerdo con la identidad (1.4) al multiplicar
escalarmente ambos lados de (1.4) por N se deduce que
β 0 = − s0 ; de la misma manera se deduce que δ 0 = t 0 .
⎧ R = α 0 N − s 0 A1 + t 0 A2 ,
De las igualdades ⎨
⎩ X 0 − Y0 = R + s 0 A1 − t 0 A2 ,
R⋅N
Se obtiene X 0 − Y0 = α 0 N , X 0 − Y0 =
.
N
3. UN EJEMPLO NUMÉRICO
En el ejemplo 6 de la página 843 del Cálculo de Leithold,
7ª edición, sean:
128
,
189
.
Los vectores N, A1, A2 son linealmente independientes y
por tanto forman base de R3.
Así existen escalares únicos α 0 , β 0 , δ 0 tales que
X 0 − Y0 =
s0 =
y
X 0 − Y0 =
A 2 = ( 3 , 8 , − 7 ).
Entonces con
Consideremos ahora los planos paralelos P1, P2 definidos
vectorialmente por
X ⋅ N = N ⋅ P1 , Y ⋅ N = N ⋅ P2 , respectivamente.
Es fácil ver qué L1 ⊂ P1 , L2 ⊂ P2 , y que la distancia
R⋅N
A 1 = (3, − 1,11)
N = A1 × A2 = 27(−3,2,1), R = P1 − P2 = ( −4,4,−8) , se
para todo s, t , reales, donde
X 0 = P1 + s 0 A1 , Y0 = P2 + t 0 A2 .
entre los planos es
393
University Press, pág. 843.
[3] Pita Ruiz, Claudio, “Cálculo Avanzado”
, Prentice Hall, pág. 65.
[4] Pfranger, Rato, “Geometría vectorial”, Universidad
de Antioquia.