Esquema de los contenidos del tema 5

Análisis de Datos I
Esquema del Tema 5
Tema 5. Medidas de Variación
1. LA VARIANZA
2. LA DESVIACIÓN TÍPICA
3. PROPIEDADES DE LA MEDIA Y DE LA VARIANZA
4. OTRAS MEDIDAS DE VARIACIÓN
5. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LA
VARIABILIDAD
__________________
Bibliografía: Tema 3 (pág. 81-102)
Carmen Ximénez
1
Análisis de Datos I
Esquema del Tema 5
Para conseguir una visión completa y comprensiva de los datos obtenidos hay que
complementar las medidas de tendencia central con otros estadísticos que reflejen otras
propiedades. Por ejemplo, el grado en que los datos se parecen o diferencian entre sí,
propiedad que se denomina variabilidad o variación.
Ejemplo. Consideremos los siguientes datos en X para los grupos A y B:
XA:
XB:
8
3
9
8
10
9
11
10
Totales:
12
50
20
50
Medias:
X = 10
Y = 10
Las medias en A e B son iguales,
pero… ¿Son los datos similares?
Para cuantificar esta variación podemos calcular la media de las distancias al cuadrado
de las puntuaciones a la media (la varianza). Es decir:
xA: -2
xB: -7
xA2: 4
xB2: 49
-1 0
-2 -1
1 0
4 1
1
0
1
0
Totales:
2
0
10
0
4
10
100
154
Medias:
0
0
2
30,8
2
1. LA VARIANZA, S x
Es el promedio de las distancias al cuadrado desde los valores en X hasta la media X
(es decir, de las puntuaciones diferenciales al cuadrado) en una muestra de n sujetos.
2
X
Fórmulas: S
∑(X − X)
=
2
i
2
X
S
N
2
X
Fórmula alternativa: S
Ejemplo 1:
Xi: 4, 5, 2, 5.
N
2
i
2
i
N
(en puntuaciones diferenciales)
2
−X
X=4
xi: 0, 1, -2, 1.
xi2: 0, 1, 4, 1.
∑X
=
∑x
=
S X2 =
0 +1+ 4 +1
= 1,5
4
O bien: S X2 =
70 2
− 4 = 1,5
4
2. LA DESVIACIÓN TÍPICA, S X
SX = S2X
Suele utilizarse más que la varianza porque
al calcular la raíz cuadrada se retoman las
2
En el Ejemplo 1: S X = S X = 1,5 = 1, 22
unidades de medida originales para resumir
las distancias entre las X y la X .
Carmen Ximénez
2
Análisis de Datos I
Esquema del Tema 5
2
LA CUASIVARIANZA, S N -1
∑(X − X)
=
2
2
N -1
S
i
N -1
Propiedades:
S2N < S2N -1 ; ( N ) S N2 = ( N - 1) S N2 -1
3. PROPIEDADES DE LA MEDIA Y DE LA VARIANZA
1. X puede tomar cualquier valor mientras que S X2 y SX son siempre positivas, siendo
su valor mínimo 0.
2. Si Yi = Xi + k
Y =X+k
SY2 = S2X ;
3. Si Yi = c Xi
Y= c X
SY2 = c2 S2X ;
SY = | c | SX
SY2 = c2 S2X ;
SY = | c | SX
SY = SX
Ejemplo 2: Xi: 7, 9, 5, 11
X=8
S X2 = 5
Y = c X +k
4. Si Yi = c Xi + k
4. OTRAS MEDIDAS DE VARIACIÓN
Amplitud total o rango:
AT = Xmáx - Xmín
Amplitud semi-intercuartílica
Q =
Coeficiente de variación:
CV =
Q3 − Q1
2
SX
× 100
X
5. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LA VARIABILIDAD
Diagrama de cajas
6
5
Valor máximo que toma la variable (Xmáx)
4
Q3: Centil 75
Q2: Centil 50
3
Q1: Centil 25
2
1
Valor mínimo que toma la variable (Xmín )
0
A
B
Carmen Ximénez
C
D
E
F
3
Análisis de Datos I
Esquema del Tema 5
EJERCICIO 1
Obtenga la varianza en cada uno de los siguientes conjuntos de datos:
X:
x:
x2 :
7
3
3
-1
4
0
5
1
3
-1
2
-2
Y:
y:
y2 :
11
-1
12
0
14
2
15
3
10
-2
12
0
W:
w:
w2:
1,3
-0,2
1,7
0,2
1,6
0,1
1,4
-0,1
1,5
0
24
10
-2
84
7,5
EJERCICIO 2
Para estudiar la tolerancia al dolor, 35 voluntarios sumergen la mano en agua fría.
Sabiendo que la transformación de grados centígrados a Fahrenheit se obtiene mediante:
ºF =
9
º C + 32
5
a) Si la temperatura media soportada en la muestra española es de 2,3 ºC y la de una
muestra Americana fue de 37,3 ºF, ¿Qué muestra tiene mayor tolerancia a
temperaturas extremas?
b) Si la varianza de la temperatura tolerada es de 1,8 ºC en la muestra española y de 4 ºF
en la Americana, ¿Qué muestra es más homogénea en las temperaturas toleradas?
EJERCICIO 3
A los valores obtenidos por una muestra en un test con media 13 y desviación típica 2 los
multiplicamos por una constante y le sumamos otra constante. Es decir: Y = k X + c.
Tras estas operaciones la media de Y queda en 25 y la varianza en 9. Según esto, ¿Cuáles
son las constantes sumadas y multiplicadas?
EJERCICIO 4
Se evalúa el nivel de tabaquismo en una muestra de 3 varones y 5 mujeres.
Género
Tabaquismo (Xi)
V
V
V
M
M
M
M
M
3
4
2
7
5
2
10
6
Carmen Ximénez
1. Calcule la media y varianza para mujeres y varones
(por separado)
2. Calcule la media y la varianza para el grupo total
3. ¿Qué grupo es más homogéneo?
4