LABPR-011 / REV 20150601 Título: Estadística de conteo I. Objetivo

PROTECCION RADIOLOGICA
CODIGO:
LABPR-011
FECHA:
_____/_____/_____
INSTRUCTOR:
_____________________
Título: Estadística de conteo
I.
Objetivo:
Realizar un análisis estadístico para un detector de radiación bajo condiciones
reales.
II.
Introducción:
La estadística es el la rama de las matemáticas que nos permite analizar, interpretar,
presentar y organizar un grupo de datos. Muchos procesos nucleares son aleatorios,
es decir estadísticos en su naturaleza. Las transformaciones de un átomo radioactivo
están sujetas a probabilidades por lo que siempre hay cierto nivel de incertidumbre.
Por ejemplo, si se realizan mediciones sucesivas a una fuente radioactiva estable,
empleando un sistema de conteo que funcione adecuadamente y con geometría fija
se encontrará que la fuente no produce el mismo conteo de manera consistente. El
conteo varia, en ocasiones considerablemente, debido a la naturaleza aleatoria de
las desintegraciones radiactivas. Si estos datos se grafican, se podrá encontrar que
los resultados se agrupan alrededor de un valor central y que se distribuyen en su
mayoría en un patrón simétrico (Figura 1).
Figura 1
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En el gráfico de la Figura 1 se realizaron 1000 mediciones de una misma fuente.
Realizar tal cantidad de mediciones usualmente no es práctico. En la mayoría de los
casos solo se efectúan unas cuantas lecturas y se emplean procesos estadísticos
para verificar el grado de confianza que tienen los resultados.
Los modelos estadísticos empleados en las estadísticas de conteo son:
Distribución Binomial:
Es el modelo estadístico más general y es aplicado mayormente a procesos que
ocurren con una probabilidad constante “p”.
𝑃𝑥 =
𝑛!
𝑝 𝑥 (1 − 𝑝)𝑛−𝑥
(𝑛 − 𝑥)! 𝑥!
Distribución de Poisson:
A pesar de su aplicación fundamental a eventos al azar, la distribución binomial es
muy compleja para describir la distribución de eventos radioactivos sin embargo,
cuando la probabilidad es muy pequeña (p<<1.0) la distribución binomial puede ser
simplificada matemáticamente a la distribución de Poisson
𝑥̅ 𝑛 −𝑥̅
𝑃𝑛 =
𝑒
𝑛!
Donde:
𝑃𝑛 : es la probabilidad de obtener un conteo requerido.
𝑥̅ : es el promedio de la muestra de conteo.
𝑛: es el número de veces que se realiza la medida de conteo
Para la distribución de Poisson se cumple que el valor promedio 𝑥̅ es igual a la raíz
cuadrada de su desviación estándar:
𝑥̅ = √𝜎
Distribución Normal:
El uso de la distribución de Poisson es bastante sencilla de aplicar cuando n es
pequeño. Pero puede resultar difícil para determinar la probabilidad cuando n es
grande. Cuando n ≥ 17 los sucesos de eventos de la distribución Poisson para
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transformaciones radioactivas pueden ser representadas por la distribución normal,
la cual es descrita por dos parámetros, el promedio 𝑥̅ , y la desviación estándar σ.
El promedio se define por la siguiente ecuación:
𝑖=𝑛
1
𝑥̅ = ∑ 𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
Donde xi es el valor de cada medida y n es el número de medidas.
La desviación estándar (σ), describe el grado de fluctuación en un conjunto de datos
alrededor del promedio. Para n muestras la desviación estándar está dada por la
siguiente ecuación:
1/2
∑𝑛𝑖=1( 𝑥𝑖 − 𝑥̅ )2
𝜎=[
]
𝑛−1
En la gráfica que se muestra en la Figura 2 se presentan dos curvas de distribución
estándar con el mismo valor promedio pero con distintos valores de desviación
estándar:
Figura 2
Como se puede observar, esta curva tiene dos características principales:
1. La curva de una distribución normal es simétrica centrada en el promedio (que
es el valor maximo)
2. La probabilidad cero solo ocurre en+ ∞ y -∞.
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En todas las curvas estándar sin importar sus valores promedio 𝑥̅ y de desviación
estándar (σ) se cumple con lo siguiente:
Tabla 1. Características de
distribución normal
Intervalo
Nivel de Confianza (%)
𝑥̅ ± 1𝜎
68.3
𝑥̅ ± 1.96𝜎
95
𝑥̅ ± 2𝜎
95.4
𝑥̅ ± 2.58𝜎
99.0
𝑥̅ ± 3𝜎
99.7
Figura 3
Error Estándar:
Es común presentar los resultados de mediciones en términos de su valor promedio
(𝑥̅ ) y su desviación estándar (𝜎) usando la siguiente nomenclatura:
𝑥̅ ± 𝜎
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En la práctica, los contadores de pulsos toman lecturas en términos de cuentas, pero
los reportes se hacen en términos de tasas de conteo (cpm o cps). Para realizar
estas conversiones se emplean las siguientes ecuaciones:
g=
𝐺
𝑡𝐺
; b=
𝐵
𝑡𝐵
,
𝜎𝑟 = √𝑡
𝐺
𝐺
2
+𝑡
𝐵
𝐵
2
y
𝑟 =𝑔−𝑏
Donde:
g: Tasa de conteo bruto.
G: Cuentas registradas en el contador de pulso durante un tiempo 𝑡𝐺 con la
muestra presente (conteo bruto).
𝑡𝐺 : Tiempo de adquisición con la muestra presente.
b: Tasa de conteo del fondo.
B: Cuentas registradas en el contador de pulso durante un tiempo 𝑡𝐵 sin la
muestra (conteo de fondo).
𝑡𝐵 : Tiempo de adquisición del fondo.
r: Tasa de conteo neta
𝜎𝑟 : Error de la tasa de conteo neta.
En ocasiones es útil conocer el tiempo de adquisición necesario para conseguir un
nivel de error determinado. Despejando para 𝑡𝐺 en las ecuaciones de arriba
obtenemos:
𝑡𝐺 =
𝐺
2
(𝑔−𝑏)(𝑎⁄100) − 𝜎𝑏 2
Donde:
a: es el error que se requiere.
𝜎𝑏 : Error en la tasa de conteo de fondo 𝜎𝑏 =
√𝐵
𝑡𝐵
Verificación del funcionamiento del Sistema de Detección:
Una de las aplicaciones prácticas más empleadas de las estadísticas de conteo es la
verificación del funcionamiento correcto del sistema de detección. Para esto se
registran una serie de conteos sucesivos (25 a 50) tratando de mantener las
condiciones del experimento lo más constantes posibles. Al aplicar procesos de
análisis estadístico se puede determinar si las fluctuaciones encontradas se deben
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únicamente al origen o si hay un grado de fluctuación atribuible a un problema en el
instrumento.
Para esta verificación debemos introducir el valor de Chi-cuadrado (𝒳 2 ) que permite
comparar la calidad de los datos con respecto a un modelo estadístico.
∑𝑛𝑖=1(𝑥𝑖 − 𝑥̅ )2
𝒳 =
𝑥̅
2
Donde:
𝒳 2 es el valor de Chi-cuadrado
𝑥𝑖 es el valor del conteo i
𝑥̅ es el valor del conteo promedio
Con valor resultante 𝒳 2 y con los grados de libertad (F) se busca la probabilidad (p)
en una tabla o grafica de distribución 𝒳 2 .
El número de grados de libertad (F) es igual al número de mediciones realizadas (n)
menos 1:
𝐹 =𝑛−1
El resultado ideal es de una probabilidad (p) de 0.5. Este valor se ajusta
perfectamente a una distribución de Poisson. Si el valor de p es muy pequeño (<0.1)
indican una fluctuación en los datos mayor a la esperada lo que supone problemas
relacionados a la estabilidad del instrumento. mientras que valores muy grandes
(>0.99) se atribuyen a fluctuaciones anormalmente pequeñas que pueden estar
relacionadas a problemas con el voltaje de polarización del instrumento o en la
electrónica de conteo.
En resumen, el procedimiento a seguir es el siguiente:
1.
2.
3.
Se toman las medidas en el contador. Estas deben ser sucesivas y todas
bajo las mismas condiciones.
Se calcula el promedio, la desviación estándar y la varianza de la
muestra.
Dependiendo del tamaño de la muestra, se escoge una distribución
Poisson o Gaussiana (si se realizan mas de 20 muestras se emplea la
distribución Gaussiana, de lo contrario se usa la de Poisson).
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4.
5.
6.
Se hace un gráfico de la distribución centrado en el valor promedio y se
compara con las muestras obtenidas. Revisando el grafico se detecta si
hay diferencias (del punto de vista cualitativo) entre el comportamiento real
del instrumento (muestras reales) y el esperado (modelo estadístico).
Para cuantificar la desviación, se comparan las varianzas de las muestra
real y del modelo estadístico.
Se realiza una prueba de chi-cuadrado (𝒳 2 ) y se compara el resultado
para definir cuantitativamente el funcionamiento del instrumento.
Rechazo de datos de un grupo de mediciones:
Ocasionalmente ocurre que cuando realizamos mediciones repetidas a una misma
muestra, hay una o mas lecturas que parecen estar fuera del grupo. En ciertas
circunstancias es fácil comprobar que estos valores no son correctos y estuvieron
influenciados por situaciones externas, sin embargo hay situaciones en las que no
se tiene explicación concreta y aunque existe la tentación de remover la medición
para mejorar el resultado, se debe tener certeza de que el dato eliminado no es
representativo y que puede ser eliminado de la muestra.
Un método para verificar el rechazo de una medición es el Criterio de Chauvenet.
Esta técnica define una dispersión aceptable alrededor del valor promedio. El criterio
establece que todas las mediciones de la muestra deben retenerse si quedan dentro
del rango alrededor del promedio que corresponde a la probabilidad 1-1/(2N) donde
N es el número de lecturas realizadas (Figura 4).
Figura 4
El cociente de Chauvenet (CR) se calcula mediante la siguiente ecuación:
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𝐶𝑅 =
|𝑥 − 𝑥̅ |
√𝑥̅
Dónde:
𝑥 Es la muestra a evaluar
𝑥̅ Es el promedio de la muestra
Con este resultado se va a la tabla 1. Si el valor de CR obtenido es el mayor que el
indicado (de acuerdo al número de mediciones) el valor puede ser descartado. De lo
contrario, el valor debe mantenerse.
Tabla 2. Valores máximos del cociente de Chauvenet (CR) en base al número de
muestras (N)
N
CR
N
CR
2
1.15
15
2.13
3
1.38
19
2.22
4
1.54
20
2.24
5
1.68
25
2.33
6
1.73
30
2.39
7
1.79
35
2.45
8
1.86
40
2.50
9
1.92
50
2.58
10
1.96
75
2.71
12
2.03
100
2.80
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III.
Materiales:
1. Guía de trabajo
2. Instrumento de detección (Detector 900 mini)
3. Fuente radioactiva
4. Calculadora, lápiz y pluma.
IV.
Procedimiento:
1. Abrir
su
navegador
y
http://www.pruebasradvirtual.com/.
dirigirse
a
Aparecerá
la
la
página
siguiente
web:
pantalla
(Figura 5) con un listado de laboratorios:
Figura 5
2. Escoja el Laboratorio # 11 haciendo clic sobre el texto (Estadisticas de
Conteo).
Nota: Si requiere una copia del procedimiento, puede descargarlo haciendo
clic en el icono
.
Aparecerá la pantalla de la Figura 6.
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Figura 6
En esta pantalla se tienen los siguientes controles:
-
Encender / Apagar el contador:
-
Selector de Fuente:
A hacer clic sobre esta área, se puede escoger entre fondo (sin fuente), o
Co-60:
3. Tome los datos del instrumento empleado:
Marca:__________________
Modelo:_________________
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Serie: __________________
4. Medición del fondo. Asegúrese de que no tiene ninguna fuente
seleccionada (no aparece la fuente en la parte inferior de la imagen).
Encender el detector (
) y tomaer la lectura de las cuentas
transcurridos 30 segundos. Anote sus resultados en la Tabla No. 3.
Repetir el procedimiento 3 veces y obtenga el promedio:
TABLA No. 3 . REGISTRO DEL FONDO
Conteo 1
Conteo 2
Conteo 3
Promedio
5. Escoger la fuente de referencia (Co-60). Debe aparecer la fuente tal
como se indica con la flecha. En la figura 7.
Figura 7
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6. Sin ningún material absorbente (espesor=0), encender el detector (
)y
tomar la lectura de las cuentas (brutas) transcurridos 30 segundos. Anote
sus resultados en la Tabla No. 4.
7. Repetir el paso 6 hasta obtener 15 mediciones.
TABLA No. 4. REGISTRO DE MEDICIONES
No.
Cuentas Brutas
Fondo Promedio
Cuentas Netas
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
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V.
Análisis de resultados:
1. Para los datos de conteo obtenidos calcule la tasa de conteo
promedio de las medidas tomadas.
A) Para el fondo
B) Para las lecturas totales
2. Calcule la desviación estándar, tanto para las medidas de fondo como
para las lecturas totales:
.
3. Calcule la tasa de conteo bruto y la tasa de conteo de fondo:
Solución:
4. Cuál es la tasa de conteo neta para las lecturas obtenidas.
5. Calcule el error estándar para la tasa de conteo neta.
6. A través del análisis estadístico, valide el correcto funcionamiento del
instrumento mediante la prueba de Chi cuadrado.
7. Usando el criterio de Chauvenet, indique si se puede descartar alguna
medición.
VI.
Investigación Complementaria:
1. Una muestra radiactiva dio como resultado un promedio de 1500.0 recuentos en
2 min. y se conoce que el la tasa de conteo de fondo es de 200 ± 8 cuentas /
min. ¿Cuál es la tasa de conteo neta y su error estándar?
2. Cuál es el error estándar si el tiempo de conteo de fondo es muy elevado.
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3. Qué pasaría con el error si el tiempo en que se mide tanto el fondo como las
cuentas brutas es el mismo.
4. Describa brevemente otras aplicaciones de las estadísticas en un laboratorio de
conteo.
VII.





Referencias.
Amaya, F. Tesis de maestría, USO DE MONTECARLO EN LA
OPTIMIZACION DE RADIACION EN RADIODIAGNOSTICO.
https://www.ndeed.org/EducationResources/CommunityCollege/Radiography/Physics/HalfValue
Layer.htm
Libro de texto: MEASUREMENT AND DETECTION OF RADIATION, segunda
edición. Nicholas Tsoulfanidis University of Missouri-Rolla
Physics for Radiation Protection, Segunda edición, A Handbook
G. F. Knoll, Radiation Detection an Measurement, 3rd Edition, John Wiley &
Sons, Capitulo 3, pag. 85-86
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