Área entre una función positiva y el eje de abscisas

Área entre una función positiva y el eje de abscisas
Si l a fu n ci ón es p o si ti va en u n i n te rv al o [a, b] en t on c e s l a
gr áfi c a d e l a fu n ci ó n es tá p o r en ci ma d el ej e d e ab sci s a s.
El á re a d e l a fu nc i ón vi en e dad a p or :
Pa ra h al l ar el á r ea s egu i r e m os l o s si gu i e n te s pa s o s:
1º S e cal cu l an l o s p un to s d e c o rt e c on c on el ej e O X,
h aci en d o f( x) = 0 y r e s ol vi en d o l a ecu a c i ón .
2º El á r e a e s i gu al a l a i nt eg r a l d e fi n i d a d e l a fu nc i ó n q u e
ti en e c om o l í mi tes d e i n teg r aci ó n l o s pu n to s d e c o rt e .
Ej em p lo s
1. Cal cu l ar el á r ea d el r eci n t o l i mi tado p o r l a cu r va y = 9 − x 2 y
el ej e O X.
En p ri me r l u ga r h al lam os l o s pu n t o s d e c o rt e c on el ej e O X pa ra
r ep r e s en ta r l a cu r va y c on oc e r l o s l í mi te s d e i n t eg ra ci ón .
Co m o l a pa r áb ol a e s si m ét ri ca r e sp e ct o al ej e OY , el á r ea se rá
i gu al al dobl e d el á r ea c omp r en di da en t r e x = 0 y x = 3 .
2. Calcular el área limitada por la curva xy = 36, el eje OX y las rectas: x = 6, x =
12.
·
3. Calcular el área del triángulo de vértices A(3, 0), B(6, 3), C(8, 0).
Ecuación de la recta que pasa por AB:
Ecuación de la recta que pasa por BC:
Caso 2: Área entre una función negativa y el eje de abscisas
Si la función es negativa en un intervalo [a, b] entonces la gráfica de la función
está por debajo del eje de abscisas. El área de la función viene dada por:
Ejemplos
1. Calcular el área del recinto limitado por la curva y = x2 − 4x y el eje OX.
2. Hallar el área limitada por la curva y = cos x y el eje Ox entre π/2 y 3π/2.
Caso 3: La función toma valores positivos y negativos
En es e ca s o el el r e ci n to ti en e z on a s p o r en ci ma y po r d eb a j o
del ej e d e ab s ci sa s. P a ra c al cu l ar el ár e a d e l a
fu nc i ón s egu i r e mo s l o s si gu i en t e s p a s o s :
1º S e cal cu l an l o s p u n to s d e c o rt e c on c on el ej e OX ,
h aci en d o f( x) = 0 y r e s ol vi en d o l a ecu a c i ón .
2º S e o rd en an d e m en o r a ma y o r l a s r aí c es , qu e s e r án l os
lí mi tes d e i n t eg ra ci ó n .
3º El á r e a e s i gu al a l a s um a de l a s i n te gr a l e s
de f in i d a s en val o r abs ol u t o d e ca da i n te r val o .
Ej em p lo s
1. Hal l ar el á r ea l i mi tada p o r l a r e cta
, el ej e d e
abs ci sa s y l a s o rd en ada s c o r r e sp on di en t e s a x = 0 y x = 4 .
2. Cal cu l ar el á r ea d e l a r egi ón d el pl an o l i mi tada p or el cí r cu l o
x 2 + y 2 = 9.
El á r e a d el cí r cu l o e s cu at r o v e c es el á r ea en c e r rad a en el
pri m e r cu a d ran t e y l o s ej e s d e c o o rd en a das .
Hal l amo s l o s n u e v o s l í mi tes d e i n te g ra ci ón .
Área comprendida entre
dos funciones
El á r e a c omp r en di da en t r e d os fu n ci on es es i gu al al á r e a d e l a
fu n ci ón qu e e st á si tu ada p o r en ci ma m e n o s el ár e a d e l a
fu n ci ón qu e e st á si tu ada p o r d ebaj o .
Ejemplos
1. Cal cu l ar el á r ea d el r eci n t o l i mi tado p o r l a pa r áb ol a y =
x 2 + 2 y l a r ect a qu e pa sa p o r l o s pu n t o s ( −1 , 0) y ( 1, 4) .
2. Hal l ar el á r ea d e l a fi gu r a l i mi tada p o r: y = x 2 , y = x , x =
0, x = 2 .
Pu n t o s d e c o rt e d e l a p a ráb ol a y l a r ec t a y = x .
D e x = 0 a x = 1 , l a r ect a qu eda p o r en ci ma d e l a
pa ráb ol a.
D e x = 1 a x = 2 , l a r ect a qu eda p o r d e baj o d e l a
pa ráb ol a.
3. Hal l ar el á r ea d e l a r egi ó n d el pl an o l i mi tada p o r l a s cu r v as
y = l n x , y = 2 y l o s ej es c o or d en ad o s .
Cal cu l am o s el pu n t o d e c o rt e d e l a cu rv a y l a r e ct a y =
2.
El á r e a e s i gu al al á r ea d el r e ctán g u l o O ABC m en o s el
ár e a baj o l a c u r va y = l n x .
El á r e a d e r e ctán gu l o es b as e p o r al tu r a .
El á r e a b aj o l a cu r v a y = l n x es :
4. Hal l ar el á r ea d el r eci n t o pl an o y l i mitad o p or l a pa ráb ol a y
= 4 x − x 2 y l a s t an g en t e s a l a cu rv a en l os pu n t o s d e
i n ter s e c ci ón c on el ej e OX .
Pu n t o s d e i n t er s e c ci ón :
E cu a ci ón d e l a ta n g en t e a l a p a ráb ol a e n el pu n t o (0 , 0):
E cu a ci ón d e l a ta n g en t e a l a p a ráb ol a e n el pu n t o (4 , 0):
5. Cal cu l ar el á r ea l i mi tada p o r l as g r áfi ca s d e l a s fu n ci on e s
y 2 = 4x e y = x 2 .