masa y densidad

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Introducción a la Física Paralelos 10 y 13. Profesor RodrigoVergara R
MASA Y DENSIDAD
Introducción a la Física Paralelos 10 y 13. Profesor RodrigoVergara R
• Si v1 = v2, entonces M1 = M2.
• Si v1 > v2, entonces M1 < M2
• Si v1 = 2·v2, entonces M1 = M2/2
• Si v1 < v2, entonces M1 > M2.
• Si v1 = v2/2, entonces M1 =2·M2
En general, se puede demostrar que
1) Masa
• Definir operacionalmente masa.
• Indicar y utilizar unidades de masa: kg, lb, ton.
• Conocer y describir prácticos para medir masas: balanzas y pesas.
Masa e inercia
M1 v 2
=
⇒ M1 ⋅ v 1 = M 2 ⋅ v 2
M 2 v1
Piense en las siguientes situaciones:
•
•
Si camina con un vaso de agua en la mano y se detiene bruscamente, derrama agua.
Si viaja en un bus concentrado en la lectura de un libro y el chofer frena bruscamente,
resultará lanzado hacia delante.
En ambas situaciones, se aprecia que los cuerpos oponen resistencia a los cambios en su estado de
movimiento. Ese hecho se denomina INERCIA. El primer principio de Newton se refiere a ella. La
expresión cuantitativa de la inercia se denomina MASA.
En el lenguaje diario se suelen usar las palabras “masa” y “peso” como sinónimos. Por ejemplo,
cuando uno va a la feria a comprar papas y pide que “le pesen un kilo de papas”, o cuando uno se
sube a una balanza y dice “peso 80 kilos”. Sin embargo, masa y peso son cantidades físicas
conceptualmente diferentes, aunque relacionadas. En el capítulo de fuerzas se tratará este
asunto en detalle.
Definición operacional de masa
Unidades de masa.
En el sistema MKS la unidad patrón de masa es el kilogramo o [kg], cuya definición operacional es la
siguiente: “Un kilogramo es la masa de un cilindro particular de una aleación de platino e iridio
sancionado por la 1º Conferencia General de Pesos y Medidas, celebrada en Paris en 1889, y que
se encuentra depositado en la Oficina Internacional de Pesos y Medidas, en Sevres, Francia.”
Además, 1 [kg] corresponde a la masa de 1 [litro] de agua en estado líquido.
La medición de masas de cuerpos como automóviles, buques o containers se suele hacer en
toneladas o [tons]
En el sistema CGS la unidad patrón de masa es el gramo o [g].
Para definir operacionalmente el concepto de masa,
vamos a considerar un fenómeno físico similar al
siguiente:
“Dos hombres están sobre patines idénticos. Los
patines pueden rodar sin ningún impedimento sobre
una superficie horizontal muy lisa. Los hombres se
colocan frente a frente con las palmas de sus manos
juntas y se empujan mutuamente. Si observamos que
después de separarse, ellos retroceden con distinta
rapidez, diremos que el que lo hace con menor
rapidez tiene mayor masa”
Este resultado va a ser posteriormente demostrado usando dinámica (FIS 100 y FIS 110) y
Moméntum Lineal (FIS 110)
cuerda
M1
En el sistema británico, la unidad patrón de masa es la libra o [lb]
M2
v1
v2
M1
M2
Figura 1) Definición operacional de masa
Consideremos la siguiente situación, ilustrada en la figura 1. Dos cuerpos de masa total
(considerando las ruedas) M1 y M2 comprimen un resorte y están sujetas por una cuerda. En cierto
instante se corta la cuerda, y ambas masa salen disparadas en direcciones opuestas, con
velocidades de magnitud v1 y v2, respectivamente.
A través de diversas observaciones y mediciones se puede establecer que:
1[Kg ] ≅ 10 3 [g ]
1[ton ] ≅ 10 3 [Kg ]
1[lb] ≅ 453,59237 [g ] ≅ 0.454 [kg ]
Medición de masas
Existen tres instrumentos típicos para medir masas:
las balanzas, las romanas y las básculas.
Las balanzas se utilizan para pesar masas pequeñas
de solo unos kilos de peso y a nivel de laboratorio.
Éstas consisten en dos platos unidos por una viga
pivoteada en su centro.
Masas
patrón
Figura 2) Balanza para medir masas
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Para medir masas en ellas, se colocan
“masas patrones” (colección de objetos
de masa conocida, indicadas en [Kg.] o
submúltiplos de [Kg.]) en un plato de la
balanza y el cuerpo que se quiere
“masar” en el otro. Cuando los platos
estén equilibrados, podemos determinar
Pesas para balanzas
Balanza de platos
la masa del cuerpo sumando las masas
patrón.
Las básculas se usan para medir masas
de mayor valor. Típicamente tienen una
plataforma a ras de suelo, donde resulta
fácil colocar la masa que se quiere
medir.
Balanza electrónica
Balanza de cocina
Figura 3) Algunos tipos de balanzas
Existen dos tipos de básculas:
• Las mecánicas, basada en un
juego de palancas que se
activaban al colocar la masa
en la plataforma y que luego
se
equilibra
con
el
desplazamiento de una aguja
conectada a un resorte pilón a
Báscula de pesaje para vehículos
Báscula de baño
lo largo de una barra
pesados
graduada donde se lee la
Figura 4) Algunos tipos de básculas
masa.
• Las electrónicas, que utilizan
un sensor (mejor conocido como celda de carga) que varía su resistencia conforme aumenta
o disminuye la masa sobre ellas.
La romana es aún usada por vendedores ambulantes, aunque ya
está quedando obsoleta. Es un instrumento ligero y fácil de
manipular, aunque su exactitud no es muy grande. Su principio de
funcionamiento está basado en la Ley de Hooke, donde el peso de
una materia se contrarresta con la fuerza de compresión de un
resorte a lo largo de la regla graduada. La materia que se va a
pesar se coloca en un plato o se cuelga de los ganchos que tienen.
Para mayor exactitud de la medición obtenida, la romana debe
colocarse totalmente en posición vertical, efecto que se obtiene
moviendo el pilón de la romana a lo largo de la regla graduada, en
el punto de la regla que está situado el pilón cuando la barra
graduada está totalmente horizontal se lee directamente el peso de
la mercancía que se pesa.
Figura 5) Romana de muelle
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Masa y relatividad
Con la introducción de la teoría de relatividad, el concepto de
masa fue reexaminado. Se ha demostrado que la masa de
cada partícula aumenta con la rapidez según:
mv (v ) =
Donde
•
•
•
•
m0
( c)
1− v
2
c: rapidez de propagación de la luz en el vacío.
v: rapidez de la partícula.
m0: masa de la partícula cuando está en reposo.
mv: masa de la partícula cuando se mueve con
rapidez v.
La variación de la masa con la rapidez del cuerpo se aprecia
en la figura 3.
Figura 6) Relación entre masa y
Para todas las aplicaciones de la vida diaria y en la práctica
velocidad
corriente en la ingeniería, en donde las velocidades son
mucho menores que la de la luz, podemos considerar que la masa de un cuerpo es constante.
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2) Densidad
• Definir y aplicar los conceptos: densidad de un objeto y densidad de un material.
• Conocer y usar unidades de densidad kg/dm3 = g/cm3
• Conocer y usar los conceptos: densidad volumétrica, densidad superficial y densidad
lineal.
• Conocer y usar los conceptos: densidad de sólidos, de líquidos y de gases
• Conocer y usar el concepto densidad de cosas.
• Plantear y resolver problemas de masa y densidad.
Introducción.
El tamaño o volumen de un objeto no puede ser
usado como medida de la masa del objeto. Por
ejemplo, una bola (esfera) de acero puede
perfectamente tener el mismo diámetro de una
pelota de tenis de mesa (ver figura 7), pero sus
masas van a ser evidentemente diferentes.
Asimismo, 1 [kg] de acero no tiene el mismo
volumen de 1 [kg] de agua.
M1 M 2
M
M
=
= = i = = n = ρ mat
V1
V2
Vi
Vn
Estos cuocientes definen una propiedad del material de que está confeccionado el cuerpo: la
densidad del material, que es la masa por unidad de volumen de un cuerpo homogéneo
confeccionado con ese material.
La densidad volumétrica de un cuerpo se mide típicamente en:
• [Kg./m3] (Sistema MKS)
• [g/cm3] (Sistema CGS)
• [Kg./dm3] ó [Kg./litro] (la más usada)
 kg 
 g 
 kg 
Equivalencia: 1
≡ 1 3  ≡ 10 3  3 
3
 dm 
 cm 
m 
En las siguientes tablas se muestran valores de densidad para diversos cuerpos sólidos, líquidos y
gaseosos
Figura 7) Pelotas de tenis de mesa v/s
Bolas de acero
Se necesita establecer una relación entre la masa y el volumen de un objeto. Un método útil para
comparar cantidades físicas es establecer el cuociente entre ellas. Eso es lo que se conoce como la
densidad (volumétrica) de un cuerpo
Densidad media de un cuerpo
En general, los cuerpos están compuestos de diferentes tipos de
materiales, y tienen una forma irregular.
Consideremos el caso de un cuerpo sólido con una cavidad
interior. Suponiendo que la cavidad esté vacía, podemos definir la
“densidad media del material” como:
ρobjeto =
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mobjeto
masa del objeto
=
volumen del objeto v objeto
Mobj, Vobj
Materiales sólidos
Material
Aluminio
Zinc
Hierro
Acero
Bronce
Cobre
Plata
Plomo
Oro
Platino
Figura 8) Cuerpo de forma
irregular
Densidad de un material
En un cuerpo homogéneo las masas de porciones del cuerpo que tiene
igual volumen son iguales. Si en distintas zonas de cuerpo homogéneo
como el de la figura 9 se toman N “pedazos” de volúmenes V1, V2, ….,
VN, sus masas M1, M2, …, MN son tales que:
Figura 9) Cuerpo
homogéneo
ρ [g/cm3]
2,70
7,20
7,80
7,83
8,50
8,90
10,60
11,40
19,30
21,50
Material
Hielo
Arcilla
Vidrio
Cuarzo
Mármol
Diamante
Corcho
Pino
Roble
Hulla
Azúcar
ρ [g/cm3]
0,92
2,00
2,50
2,60
2,70
3,50
0,30
0,40
0,70
1,30
1,60
Materiales líquidos
Material
ρ [g/cm3]
Agua
Gasolina
Éter
Alcohol
Etílico
1,00
0,70
0,74
Benceno
0,80
Kerosene
0,88
0,79
Material
Agua de
mar
Leche
Glicerina
Tetracloruro
de carbono
Ácido
Sulfúrico
Yoruro de
Metileno
Mercurio
ρ [g/cm3]
1,0250
1,0310
1,2600
1,6000
1,8400
3,3000
13,6000
7
8
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Materiales gaseosos
Material
Hidrógeno
ρ [kg/m3]
Metano
Nitrógeno
Aire
Etano
0,72
1,25
1,29
1,36
Material
Oxígeno
Bióxido de
carbono
Propano
Kriptón
Xenón
Radón
0,09
ρ [kg/m3]
1,43
Densidad Lineal
1,98
2,02
3,70
5,85
9,73
Considere una barra o alambre, donde una de las
dimensiones (la longitud) es mucho mayor que las otras
dos.
Observaciones.
• Salvo el mercurio, los líquidos tienen en general menor densidad que los sólidos.
• Los gases tienen densidades tres órdenes de magnitud menores que los sólidos y líquidos.
Así, en cualquier situación donde hayan mezclados sólidos y líquidos con gases, la densidad
de estos últimos se puede despreciar.
Para un cuerpo compuesto de dos materiales homogéneos
(ver figura 10) de masas M1 y M2, volúmenes V1 y V2 y
densidades ρ1 y ρ2, la densidad media está dada por
M
M + M 2 ρ1V1 + ρ 2V2
ρ = total = 1
=
Vtotal
V1 + V2
V1 + V2
ρ=
M total
=
Vtotal
∑M
∑V
∑ρ V
n
n =1
N
n
=
n
n =1
M
M
1 M
1
=
=
⋅
=
⋅λ
V Ltr ⋅ Ast Ast Ltr Ast
M barra
barra
La idea de densidad también puede ser aplicada a diversas cosas con el fin de establecer
cuocientes de comparación. Así, hablamos por ejemplo de “partículas por metro cúbico”, “ovejas por
hectárea”, “automóviles por habitante”, etc.
n
Ejemplos:
•
n =1
N
∑V
ρ=
Figura 12) Barra o alambre
Densidad de cosas
Figura 10) Cuerpo compuesto
por dos materiales homogéneos
N
Sea una barra homogénea, de longitud Ltr y área de
sección transversal “Ast” constante y uniforme. Se puede
establecer que
donde λ es la densidad lineal de la barra, que se define como λ =
Para un cuerpo compuesto de N materiales homogéneos (ver
figura 10) de masas M1, M2,…y MN, volúmenes V1, V2,…y VN y
densidades ρ1, ρ2,…y ρN, la densidad media está dada por
N
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M plancha
donde σ es la densidad superficial de la plancha, que se define como σ =
Aplancha
n
Chile continental tiene un área de 756.523 [km2], y sus habitantes en 1975 estaban
estimados en 10.557.000. Con estos datos, podemos decir que la densidad media de
población del país es de:
n =1
Densidad Superficial
D=
Considere una plancha o lámina como la de la figura 11, en
la cual una de las dimensiones (el espesor) es mucho menor
que las otras dos
Sea una plancha homogénea y con espesor “e” constante y
uniforme. Consideremos un trozo de la plancha de área Atr.
Se puede establecer que
ρ=
M
M
1 M 1
=
= ⋅
= ⋅σ
V e ⋅ Atr e Atr e
Población [Habitante ] 10557000  habitante 
 habitante 
=
≈ 14 
2
2
2



A Km
756623  km

 km
[
]
Es muy conocido el hecho de que la densidad de habitantes cambia en las diferentes zonas
de Chile. Mientras en la Región Metropolitana es muy grande, en las zonas extremas (Arica, Aysén)
es muy baja.
Figura 11) Plancha o lámina
•
En una propaganda de pinturas nos dicen que un galón sirve para cubrir 60 [m2]. Sabiendo
que un galón equivale aproximadamente a 3,8 [litro], podemos calcular el rendimiento de la
pintura en [m2/litro].
Rendimiento de la pintura =
[ ]
 m2 
60 m 2
≈ 16 

3,8 [litro ]
 litro 