4. Interacciones de campos y diagramas de Feynman

4. Interacciones de campos
y diagramas de Feynman
202
La matriz S
Hemos cuantizado campos libres. Ahora supondremos interacción:
ˆ
ˆ
H = H0 + Hint , Hint = d3 x Hint ( x ) = − d3 x Lint ( x )
(si Lint no contiene derivadas de campos)
λ 4
Por ejemplo: en QED, Lint = eψγµ ψAµ y en la teoría λφ4 , Lint = − 4!
φ
B Supondremos siempre constante de acoplamiento pequeña ⇒ perturbación
(parámetro relevante en QED: α = e2 /(4π ) ≈ 1/137 1)
Objetivo: hallar probabilidad de transición en un proceso de scattering
203
La matriz S
En la imagen de Schrödinger los estados dependen del tiempo:
| a(t)i la evolución en un tiempo t de un estado inicial | ai ≡ | a(ti )i
etiquetado por observables compatibles con autovalores a (e.g. ~pi y ~si )
a un estado final |bi ≡ b(t f ) tras la colisión
B La amplitud de probabilidad de que | ai evolucione hasta |bi es entonces
b a(t f ) = hb| e−iH (t f −ti ) | ai
Se llama matriz S al operador evolución e−iH (t f −ti ) en el límite (t f − ti ) → ∞,
donde H es el hamiltoniano de la teoría de campos. La amplitud de scattering
viene dada por
hb| S | ai =
lı́m
(t f −ti )→∞
hb| e−iH (t f −ti ) | ai
204
La matriz S
B Nótese que si h a | ai = 1 y |ni es una base completa de estados, ∑ |nihn| = 1,
n
tenemos
1=
∑ | hn| S |ai |2 = ∑ ha| S† |nihn| S |ai = ha| S† S |ai
n
n
lo que significa que S† S = 1, es decir, S es unitaria. Por tanto, la unitariedad de S
expresa la conservación de la probabilidad. Conviene escribir
S ≡ 1 + iT
S† S = 1
⇒ −i( T − T † ) = T † T
Entonces, definiendo Tba = hb| T | ai tenemos que
∗
∗
−i( Tba − Tab
) = ∑ Tbn
Tan ⇒ 2 ImTaa = ∑ | Tan |2
n
n
que conduce al teorema óptico
205
La matriz S
En la imagen de Heisenberg son los operadores y no los estados los que
dependen del tiempo, más apropiado para la TQC en la que los campos son
operadores φ(t, ~x ).
B Los estados | ai ≡ | a(ti )i y |bi ≡ b(t f ) son en la imagen de Heisenberg
| ai H = eiHt | a(t)i y |bi H = eiHt |b(t)i, independientes del tiempo
B Por tanto, definiendo los estados en la imagen de Heisenberg | a; ti i = eiHti | ai y
b; t f = eiHt f |bi, la matriz S será
hb| S | ai =
lı́m
(t f −ti )→∞
hb| e
−iH (t f −ti )
| ai =
lı́m
(t f −ti )→∞
b; t f a; ti
206
La fórmula de reducción de LSZ
Vamos a ver que la matriz S entre estados iniciales y finales de la misma especie
etiquetados por sus momentos (supongamos por simplicidad que no tienen
índices de espín),
E
E D
~ ~
h~p1 p~2 · · · ~pn | S k1 k2 · · ·~k m = ~p1 p~2 · · · ~pn ; t f ~k1~k2 · · ·~k m ; ti
donde se sobreentiende que ti → −∞ y t f → +∞, puede expresarse en función de
valores esperados en el vacío de productos de campos ordenados temporalmente
(que enseguida definiremos).
B Para ello, notemos en primer lugar que si tenemos un campo escalar real libre,
ˆ
d3 p
q
φfree ( x ) =
( a~p e−ipx + a~†p eipx )
(2π )3 2E~p
entonces
ˆ
q
↔
3
ikx
2E~k a~k = i d x e ∂0 φfree ( x ) ,
q
ˆ
2E~k a~†k
= −i
3
d xe
−ikx
↔
∂0
φfree ( x ) . (1)
207
La fórmula de reducción de LSZ
B En efecto,
ˆ
ˆ
ˆ
↔
i d3 x eikx ∂0 φfree ( x ) = i d3 x
ˆ
=i
=
q
ˆ
d3 x
d3 p
q
(2π )3 2E~p
↔
ikx
a~p e ∂0
↔
−ipx
† ikx
e
+ a~p e ∂0
eipx
d3 p
q
−ia~p ( E~p + E~k )ei(k− p)x + ia~†p ( E~p − E~k )ei(k+ p)x
(2π )3 2E~p
2E~k a~k .
208
La fórmula de reducción de LSZ
Esperamos que
φ( x ) −−−→ Z1/2 φin ( x ) ,
t→−∞
φ( x ) −−−→ Z1/2 φout ( x ) ,
t→+∞
donde φin ( x ) y φout ( x ) son campos libres (antes y después de la interacción,
respectivamente) y Z es un factor denominado renormalización de la función de
onda. Por tanto, usando (1),
ˆ
q
↔
†(in)
3
−ikx
−1/2
∂0 φ ( x ) ,
(2)
d xe
2E~k a~
= −iZ
lı́m
k
t→−∞
ˆ
q
↔
†(out)
3
−ikx
−1/2
d xe
∂0 φ ( x ) .
(3)
2E~k a~
= −iZ
lı́m
k
t→+∞
Así que
D
E q
E
†(in) ~ ~
~k2 · · ·~k m ; ti
~p1 p~2 · · · ~pn ; t f k1 k2 · · ·~k m ; ti = 2E~k ~p1 p~2 · · · ~pn ; t f a~
1
k1
ˆ
E
↔
= −iZ −1/2 lı́m
d3 x e−ik1 x ~p1 p~2 · · · ~pn ; t f ∂0 φ( x ) ~k2 · · ·~k m ; ti .
t→−∞
(4)
209
La fórmula de reducción de LSZ
B Conviene escribir esta expresión en forma covariante notando que
E
q
†(in) ~k2 · · ·~k m ; ti
2E~k ~p1 p~2 · · · ~pn ; t f a~
1
k1
E
q
†(in)
†
(
out
)
~k2 · · ·~k m ; ti
= 2E~k ~p1 p~2 · · · ~pn ; t f a~
− a~
1
k
k
1
pues
†(out)
a~
k1
1
actúa sobre ~p1 p~2 · · · ~pn ; t f destruyendo una partícula en el estado
final de momento ~k1 y como supondremos que en el proceso de scattering no hay
partículas que se comporten como meros espectadores (ningún ~k i coincide con un
~p j ) esta operación da cero.
Es decir, en realidad estamos calculando la parte iT de la matriz S.
210
La fórmula de reducción de LSZ
B Y, por otro lado, a partir de (2) y (3),
q
2E~k
ˆ
†(in)
†(out)
a~
− a~
= iZ −1/2
k
k
ˆ
= iZ −1/2
ˆ
= iZ −1/2
ˆ
= iZ −1/2
ˆ
= iZ −1/2
ˆ
= iZ −1/2
d4 x ∂0
↔
−ikx
e
∂0
φ
d4 x ∂0 e−ikx ∂0 φ − φ∂0 e−ikx
d4 x
h
i
−
ikx
e−ikx ∂20 φ + (∂
∂0
φ∂0
e−ikx − φ∂20 e−ikx
0 e ) ∂0 φ − 4
h
e−ikx ∂20 φ − φ(∇2
2
−ikx
− m )e
d4 x e−ikx ∂20 φ − ∇2 φ + m2 φ
d x
d4 x e−ikx ( + m2 )φ( x ) ,
i
(5)
211
La fórmula de reducción de LSZ
donde en la primera igualdad se ha usado que
ˆ
ˆ ∞
ˆ
ˆ
∂
d3 x f (t, ~x ) = −
d3 x f (t, ~x ) = − d4 x ∂t f (t, ~x ) ,
lı́m − lı́m
dt
t→−∞
t→+∞
∂t
−∞
(6)
con f (t, ~x ) =
−iZ −1/2 e−ikx
↔
∂0
φ
en la antepenúltima se ha sustituido
φ∂20 e−ikx = φ(∇2 − m2 )e−ikx ,
ya que k2 = m2 y en la penúltima se ha usado que
ˆ
ˆ
ˆ
d3 x ∇(e−ikx ∇φ) = 0 ⇒ d3 x (∇e−ikx )∇φ = − d3 x e−ikx ∇2 φ
212
La fórmula de reducción de LSZ
de donde
ˆ
ˆ
0 = d3 x ∇2 (e−ikx φ) =
ˆ
=
ˆ
=
ˆ
⇒
h
d3 x ∇ (∇e−ikx )φ + e−ikx ∇φ
i
h
d3 x (∇2 e−ikx )φ + 2(∇e−ikx )∇φ + e−ikx ∇2 φ
3
h
2 −ikx
d x (∇ e
d3 x φ∇2 e−ikx
−ikx
2
i
i
)φ − e
∇ φ
ˆ
= d3 x e−ikx ∇2 φ .
213
La fórmula de reducción de LSZ
B Por tanto, podemos en efecto escribir (4) en forma covariante,
D
E
~ ~
~p1 p~2 · · · ~pn ; t f k1 k2 · · ·~k m ; ti
ˆ
E
= iZ −1/2 d4 x e−ik1 x ( + m2 ) ~p1 p~2 · · · ~pn ; t f φ( x ) ~k2 · · ·~k m ; ti .
Se trata ahora de iterar el procedimiento hasta eliminar todas las partículas de los
estados inicial y final, dejando solamente combinaciones de campos actuando
sobre el vacío.
214
La fórmula de reducción de LSZ
B Para ello, escribamos ahora
E q
E
(out)
~p1 p~2 · · · ~pn ; t f φ( x ) ~k2 · · ·~k n ; ti = 2E~p1 p~2 · · · ~pn ; t f a~p φ( x ) ~k2 · · ·~k m ; ti
1
E
q
(
out
)
(
in
)
= 2E~p1 p~2 · · · ~pn ; t f T {( a~p
− a~p )φ( x )} ~k2 · · ·~k m ; ti
1
1
(7)
E
(in) ~
donde hemos usado que a~p k2 · · ·~k m ; ti = 0 y hemos tenido que introducir el
1
producto ordenado temporal,

 φ ( y ) φ ( x ) , y0 > x 0
T {φ(y)φ( x )} =
 φ ( x ) φ ( y ) , y0 < x 0
que implica
(in)
(in)
T { a~p φ( x )} = φ( x ) a~p
,
(out)
T { a~p
(out)
φ( x )} = a~p
φ( x ) .
215
La fórmula de reducción de LSZ
B A partir de (5) tenemos
ˆ
q
(out)
(in)
2E~p ( a~p
− a~p ) = iZ −1/2 d4 y eipy (y + m2 )φ(y)
y sustituyendo en (7) llegamos a
E
~p1 p~2 · · · ~pn ; t f φ( x ) ~k2 · · ·~k m ; ti
ˆ
E
= iZ −1/2 d4 y eip1 y (y + m2 ) p~2 · · · ~pn ; t f T {φ(y)φ( x )} ~k2 · · ·~k m ; ti .
De donde ya es directo deducir
D
E
~ ~
~p1 p~2 · · · ~pn ; t f k1 k2 · · ·~k m ; ti
!
m+n ˆ
m
= iZ −1/2
∏ d4 xi e−iki xi
i =1
n
∏ d4 y j eipj yj
!
j =1
×(x1 + m2 ) · · · (yn + m2 ) h0| T {φ( x1 ) · · · φ( xm )φ(y1 ) · · · φ(yn )} |0i .
216
La fórmula de reducción de LSZ
B Si definimos ahora la función de Green de N puntos,
G ( x1 , . . . , x N ) = h0| T {φ( x1 ) · · · φ( x N )} |0i ,
e
y la escribimos en términos de su transformada de Fourier G,
!
ˆ
N
d4 q̃i −iq̃i xi e
G (q̃1 , . . . , q̃ N ) ,
G ( x1 , . . . , x N ) =
∏ (2π )4 e
i =1
vemos que (sustituyendo e±iqx = −q2 e±iqx )
D
E
~ ~
~p1 p~2 · · · ~pn ; t f k1 k2 · · ·~k m ; ti
!
m+n ˆ
m
4
d k̃ i −i(k̃i +ki ) xi 2
−1/2
4
= −iZ
(k̃ i − m2 )
∏ d xi (2π )4 e
i =1
!
ˆ
4
n
d p̃ j −i( p̃ − p )y 2
4
×
∏ d y j (2π )4 e j j j ( p̃ j − m2 ) Ge(k̃1, . . . , k̃m , p̃1, . . . , p̃n )
j =1
!
!
m+n m
n
−1/2
2
2
= −iZ
∏(k − m ) ∏( p2 − m2 ) Ge(−k1, . . . , −km , p1, . . . , pn )
i
i =1
j
j =1
217
La fórmula de reducción de LSZ
e(−k1 , . . . , −k m , p1 , . . . , pn ),
y despejando G
m
√
!
n
√
!
E
i Z
i Z
~ ~
∏ k2 − m2 ∏ p2 − m2 h~p1 p~2 · · · ~pn | iT k1 k2 · · ·~km
i =1 i
j =1 j
!ˆ
!
ˆ
n
m
4
−ik i xi
=
∏ d4 y j e+ipj yj h0| T {φ(x1 ) · · · φ(xm )φ(y1 ) · · · φ(yn )} |0i
∏ d xi e
i =1
j =1
(8)
Ésta es la fórmula de reducción de LSZ (Lehmann-Symanzik-Zimmermann).
Recuérdese que para una partícula física se cumple la relación p2 − m2 = 0 (se dice
que está on-shell o sobre su capa de masas). Por tanto, el miembro de la derecha de la
fórmula LSZ tendrá polos cuando las partículas entrantes o salientes estén on-shell,
pero (como veremos y es de esperar) se cancelarán con los polos del prefactor del
elemento de matriz S de la izquierda, de modo que la matriz S tiene un valor finito.
218
Teoría de perturbaciones
Los campos φ de la fórmula LSZ son soluciones de H = H0 + Hint y por tanto no
son combinaciones de ondas planas, cuyos coeficientes interpretamos como
operadores creación y destrucción de partículas a nivel cuántico.
Sin embargo, podemos definir el campo en la imagen de interacción,
φ I (t, ~x ) ≡ eiH0 (t−t0 ) φ(t0 , ~x )e−iH0 (t−t0 ) ,
(9)
que es un campo que coincide con el campo φ(t, ~x ) de la imagen de Heisenberg
solamente en un tiempo de referencia t = t0 y que por definición es un campo
libre,
ˆ
d3 p
q
φ I (t, ~x ) =
( a~p e−ipx + a~†p eipx ) ,
(2π )3 2E~p
cuya evolución con el tiempo viene, por tanto, determinada por el hamiltoniano
libre H0 .
219
Teoría de perturbaciones
B Recordemos que un campo en la imagen de Heisenberg evoluciona con el tiempo
según
φ(t, ~x ) = eiH (t−t0 ) φ(t0 , ~x )e−iH (t−t0 ) .
Así que, despejando de (9)
φ(t0 , ~x ) = e−iH0 (t−t0 ) φ I (t, ~x )eiH0 (t−t0 )
vemos que φ( x ) y φ I ( x ) están relacionados mediante
φ(t, ~x ) = eiH (t−t0 ) e−iH0 (t−t0 ) φ I (t, ~x )eiH0 (t−t0 ) e−iH (t−t0 ) = U † (t, t0 )φ I (t, ~x )U (t, t0 ) ,
U (t, t0 ) ≡ eiH0 (t−t0 ) e−iH (t−t0 ) .
220
Teoría de perturbaciones
B Vamos ahora a escribir perturbativamente φ en función de φ I . Para ello notemos
que
i
∂
U (t, t0 ) = eiH0 (t−t0 ) ( H − H0 )e−iH (t−t0 )
∂t
= eiH0 (t−t0 ) Hint e−iH0 (t−t0 ) eiH0 (t−t0 ) e−iH (t−t0 )
= H I (t)U (t, t0 )
(10)
donde hemos introducido el hamiltoniano en la imagen de interaccióna
H I (t) ≡ eiH0 (t−t0 ) Hint e−iH0 (t−t0 ) .
a
Nótese que en general [ H0 , H ] = [ H0 , Hint ] 6= 0.
221
Teoría de perturbaciones
B La solución de la ecuación diferencial (10) con la condición de contorno
U (t, t) = 1 es (compruébese sustituyéndola en la ecuación):
ˆ t
ˆ t
ˆ t1
U (t, t0 ) = 1 + (−i)
dt1 H I (t1 ) + (−i)2
dt1
dt2 H I (t1 ) H I (t2 )
t0
ˆ
+ (−i)
3
ˆ
ˆ
t
t0
t
dt1
ˆ
t1
t0
dt2
t0
t0
t2
t0
dt3 H I (t1 ) H I (t2 ) H I (t3 ) + . . .
ˆ
t
ˆ
t
1
= 1 + (−i)
dt1 H I (t1 ) + (−i)2
dt1
dt2 T { H I (t1 ) H I (t2 )}
2 t0
t0
t0
ˆ t
ˆ t
ˆ t
1
+ (−i)3
dt1
dt2
dt3 T { H I (t1 ) H I (t2 ) H I (t3 )} + . . .
3! t0
t0
t0
ˆ t
= T exp −i
dt0 H I (t0 )
.
t0
222
Teoría de perturbaciones
B Otra forma de escribir U que nos permite deducir propiedades útiles es
0
U (t, t ) = e
iH0 (t−t0 ) −iH (t−t0 ) −iH0 (t0 −t0 )
e
e
que efectivamente satisface U (t, t) = 1 y (10) pues
i
0
0
∂
U (t, t0 ) = eiH0 (t−t0 ) ( H − H0 )e−iH (t−t ) e−iH0 (t −t0 )
∂t
0
0
= eiH0 (t−t0 ) Hint e−iH0 (t−t0 ) eiH0 (t−t0 ) e−iH (t−t ) e−iH0 (t −t0 )
= H I (t)U (t, t0 ) .
B De aquí se deduce fácilmente que U es unitario y que
U (t1 , t2 )U (t2 , t3 ) = eiH0 (t1 −t0 ) e−iH (t1 −t2 ) e−iH0 (t2 −t0 ) eiH0 (t2 −t0 ) e−iH (t2 −t3 ) e−iH0 (t3 −t0 )
= U ( t1 , t3 )
⇒U ( t 1 , t 3 )U † ( t 2 , t 3 ) = U ( t 1 , t 2 ) .
223
Teoría de perturbaciones
B Veamos cómo calcular h0| φ( x1 ) · · · φ( xn ) |0i, donde ya hemos tomado las xi
ordenadas temporalmente (t1 ≥ t2 ≥. . . ≥ tn ),
h0| φ ( x1 ) · · · φ ( x n ) |0i
= h 0 | U † ( t 1 , t 0 ) φ I ( x 1 )U ( t 1 , t 0 )U † ( t 2 , t 0 ) φ I ( x 2 )U ( t 2 , t 0 ) · · · U † ( t n , t 0 ) φ I ( x n )U ( t n , t 0 ) | 0 i
= h 0 | U † ( t 1 , t 0 ) φ I ( x 1 )U ( t 1 , t 2 ) φ I ( x 2 )U ( t 2 , t 3 ) · · · U ( t n −1 , t n ) φ I ( x n )U ( t n , t 0 ) | 0 i
= h0| U † (t, t0 )U (t, t1 )φ I ( x1 )U (t1 , t2 ) · · · U (tn−1 , tn )φ I ( xn )U (tn , −t)U (−t, t0 ) |0i
= h0| U † (t, t0 ) T {φ I ( x1 ) · · · φ I ( xn )U (t, t1 )U (t1 , t2 ) · · · U (tn , −t)} U (−t, t0 ) |0i
ˆ t
= h0| U † (t, t0 ) T φ I ( x1 ) · · · φ I ( xn ) exp −i
dt0 H I (t0 )
U (−t, t0 ) |0i
−t
donde hemos introducido t ≥ t1 ≥ t2 ≥. . . ≥ tn ≥ −t y sustituido
U † (t1 , t0 ) = U † (t, t0 )U (t, t1 ) ,
U (tn , t0 ) = U (tn , −t)U (−t, t0 )
ˆ t
U (t, t1 )U (t1 , t2 ) · · · U (tn , −t) = U (t, −t) = T exp −i
dt0 H I (t0 )
.
−t
224
Teoría de perturbaciones
B Tomando ahora t0 = −t con t → ∞ y sustituyendo el adjunto de
ˆ ∞
U (∞, −∞) |0i = eiα |0i , eiα = h0| T exp −i
dt0 H I (t0 )
|0i
−∞
tenemos finalmente que
ˆ
h0| T φ I ( x1 ) · · · φ I ( xn ) exp −i d4 x H I ( x )
ˆ
h0| T {φ( x1 ) · · · φ( xn )} |0i =
h0| T exp −i d4 x H I ( x ) |0i
|0i
(11)
B Desarrollando en serie las exponenciales que aparecen en esta expresión y
utilizando el teorema de Wick, según veremos, podremos calcular orden a orden
en teoría de perturbaciones la amplitud de scattering a partir de la fórmula LSZ
(8) con ayuda de los diagramas de Feynman, que también veremos.
225
Teoría de perturbaciones
B Conviene notar que la dependencia funcional de H I en φ I es la misma que la de
Hint en φ. Por ejemplo,
Hint
λ 4
= φ
4!
iH0 (t−t0 )
HI = e
λ 4 −iH0 (t−t0 )
φ e
4!
λ iH0 (t−t0 ) −iH0 (t−t0 ) iH0 (t−t0 ) −iH0 (t−t0 ) =
e
φe
e
φe
4!
λ 4
iH0 (t−t0 )
−iH0 (t−t0 )
iH0 (t−t0 )
−iH0 (t−t0 )
× e
φe
e
φe
= φI .
4!
226
Propagador de Feynman
Hallemos el propagador de Feynman, definido como
h0| T {φ I ( x )φ I (y)} |0i .
De ahora en adelante omitiremos el subíndice I, pues siempre nos referiremos a
campos en la imagen de interacción, que se pueden descomponer en
φ( x ) = φ+ ( x ) + φ− ( x ) con
ˆ
ˆ
3
d p
d3 p
+
−
ipx
−
q
q
φ (x) =
a~p e
, φ (x) =
a~†p eipx .
(2π )3 2E~p
(2π )3 2E~p
227
Propagador de Feynman
B Recuérdese que φ+ |0i = 0 y h0| φ− = 0. Entonces,a
si x0 − y0 > 0 :
T {φ( x )φ(y)} = φ( x )φ(y)
= φ+ ( x )φ+ (y) + φ+ ( x )φ− (y) + φ− ( x )φ+ (y) + φ− ( x )φ− (y)
= : φ( x )φ(y) : + [φ+ ( x ), φ− (y)] ,
donde se ha sustituido
φ+ ( x )φ− (y) = φ− (y)φ+ ( x ) + [φ+ ( x ), φ− (y)]
=: φ+ ( x )φ− (y) : +[φ+ ( x ), φ− (y)]
a
(12)
Si x0 = y0 entonces los campos ya están ordenados temporalmente, así que también se cumple
T {φ( x )φ(y)} = φ( x )φ(y) =: φ( x )φ(y) : +[φ+ ( x ), φ− (y)]
ya que entonces [φ+ ( x ), φ− (y)] = [φ+ (y), φ− ( x )], como puede comprobarse explícitamente en (16, 17).
228
Propagador de Feynman
B Análogamente,
si x0 − y0 < 0 :
T {φ( x )φ(y)} = φ(y)φ( x )
= φ+ (y)φ+ ( x ) + φ+ (y)φ− ( x ) + φ− (y)φ+ ( x ) + φ− (y)φ− ( x )
= : φ( x )φ(y) : + [φ+ (y), φ− ( x )] .
Por tanto,
T {φ( x )φ(y)} = : φ( x )φ(y) : + DF ( x − y)
donde
D F ( x − y ) = θ ( x 0 − y0 ) ∆ ( x − y ) + θ ( y0 − x 0 ) ∆ ( y − x )
(13)
y como [ a~p , a~†q ] = (2π )3 δ3 (~p − ~q),
ˆ
+
−
∆( x − y) = [φ ( x ), φ (y)] =
d3 p
−ip( x −y)
e
.
3
(2π ) 2E~p
229
Propagador de Feynman
B Así que el propagador de Feynman es
h0| T {φ( x )φ(y)} |0i = h0| (: φ( x )φ(y) : + DF ( x − y)) |0i = DF ( x − y)
Veamos que podemos escribir (prescripción de Feynman)
ˆ
DF ( x − y) =
i
d4 p
−ip( x −y)
e
,
(2π )4 p2 − m2 + ie
con e → 0+ .
(14)
B En efecto,
ˆ
ˆ ∞
ˆ
0 ( x 0 − y0 )
0
−
ip
4
3
d p
i
d p i~p·(~x−~y)
dp ie
−ip( x −y)
e
=
e
(15)
2
2
3
2
4
0
2
(2π )
(2π ) p − m + ie
−∞ 2π ( p ) − E~p + ie
donde se ha escrito p2 − m2 = ( p0 )2 − ~p2 − m2 = ( p0 )2 − E~2p pues recordemos que
p
E~p ≡ + m2 + ~p2 .
230
Propagador de Feynman
B Por otro lado, nótese que
ˆ
∆( x − y) =
ˆ
∆(y − x ) =
d3 p
(2π )3 2E~p
ˆ
e
−ip( x −y)
=
d3 p
+ip( x −y)
e
=
(2π )3 2E~p
d3 p
(2π )3
ˆ
i~p·(~x −~y)
e
e
−iE~p ( x0 −y0 )
(16)
2E~p
0
d3 p i~p·(~x−~y) e+iE~p ( x −y
e
2E~p
(2π )3
0)
(17)
(en la segunda línea se ha cambiado ~p por −~p).
231
Propagador de Feynman
B Para evaluar la integral sobre p0 en (15) hay que elegir el contorno apropiado
sobre el plano de p0 complejo. El factor ie aleja ligeramente los polos del eje real.
El polo p0 = E~p se desplaza hacia abajo, p0 = E~p − ie/(2E~p ) y el polo p0 = − E~p se
desplaza hacia arriba, p0 = − E~p + ie/(2E~p ).
e
− E~p + i
2E~p
E~p − i
e
2E~p
232
Propagador de Feynman
B Así si x0 − y0 > 0 conviene cerrar el contorno en el plano inferior, rodeando el
polo p0 = E~p − i0+ en sentido horario de modo que

f (z) dz = −2πi Res( f , z = z0 )
si ( x0 − y0 ) > 0
ˆ
∞
−∞
dp0
2π
0 ( x 0 − y0 )
−
ip
ie
( p0 )2
−
E~2p
+ ie
= −2πi lı́m ( p0 − E~p )
p0 → E~p
0 ( x 0 − y0 )
−
ip
ie
(2π )( p0
+ E~p
)( p0
− E~p )
=
e
−iE~p ( x0 −y0 )
.
2E~p
Y si x0 − y0 < 0 cerramos por arriba, rodeando p0 = − E~p + i0+ en sentido
antihorario
‰
f (z) dz = 2πi Res( f , z = z0 )
si ( x0 − y0 ) < 0
ˆ
∞
−∞
dp0
2π
0 ( x 0 − y0 )
−
ip
ie
( p0 )2
−
E~2p
+ ie
= 2πi lı́m ( p0 + E~p )
p0 →− E~p
0 ( x 0 − y0 )
−
ip
ie
(2π )( p0
+ E~p
)( p0
− E~p )
=
e
+iE~p ( x0 −y0 )
.
2E~p
233
Propagador de Feynman
B Por tanto,
ˆ
i
d4 p
−ip( x −y)
DF ( x − y) =
e
(2π )4 p2 − m2 + ie
ˆ
h
i
0
0
0
0
d3 p
0
0 −iE~p ( x −y )
i~p·(~x −~y)
0
0 iE~p ( x −y )
=
e
θ
(
x
−
y
)
e
+
θ
(
y
−
x
)e
(2π )3 2E~p
= θ ( x 0 − y0 ) ∆ ( x − y ) + θ ( y0 − x 0 ) ∆ ( y − x ) ,
como queríamos demostrar.a
B La expresión (14) es conveniente porque de ella se lee directamente el propagador
e F ( p ),
de Feynman en el espacio de momentos, D
ˆ
d4 p −ip( x−y) e
i
e
.
DF ( x − y) ≡
e
DF ( p) ⇒ DF ( p) = 2
p − m2 + ie
(2π )4
a
Ahora ya entendemos por qué hemos introducido el factor 2 en la normalización covariante relativista de los estados.
234
Propagador de Feynman
Nótese también que DF ( x − y) es una función de Green del operador de
Klein-Gordon (x + m2 ) pues
ˆ
i
d4 p
2
2
2
−ip( x −y)
4
( x + m ) D F ( x − y ) =
(−
p
+
m
)
e
=
−
iδ
( x − y)
2
2
4
(2π ) p − m + ie
(independientemente de la prescripción adoptada para sortear los polos) lo que
justifica por qué hemos llamado función de Green de N puntos a
h0| T {φ( x1 ) · · · φ( x N )} |0i.
B Nótese además que el propagador de Feynman no es la única función de Green
del operador de Klein-Gordon, pues cambiando la prescripción se obtienen otras.
235
Propagador de Feynman
Causalidad
El propagador de Feynman DF ( x − y) expresa la amplitud de probabilidad de
que una partícula que se crea en y se propague libremente hasta x donde es
aniquilada. En efecto, supongamos x0 − y0 > 0. Entonces,
DF ( x − y) = ∆( x − y) = h0| [φ+ ( x ), φ− (y)] |0i = h0| φ+ ( x )φ− (y) |0i .
B Veamos que, aparentemente, surge un problema: la probabilidad de propagación
de una partícula desde y hasta x con ( x − y)2 < 0 (intervalo espacial), es decir,
fuera de su cono de luz no es cero sino que cae exponencialmente para distancias
grandes.
B En efecto, en tal caso podemos elegir un sistema de referencia en el que
( x − y) = (0,~r ) y entonces (aquí llamaremos p ≡ |~p| y r ≡ |~r |)
ˆ
ˆ 2π
ˆ 1
ˆ ∞
d3 p ei~p·~r
1
eipr cos θ
2
∆( x − y) =
=
dϕ
d cos θ
dp p p
3
3
(2π ) 2E~p
(2π ) 0
2 p2 + m2
−1
0
ˆ ∞
ˆ ∞
2
ipr
−
ipr
1
p
e −e
i
peipr
=
dp p
=−
dp p
.
2
2
2
2
2
2
ipr
(2π ) 0
(2π ) 2r −∞
2 p +m
p +m
236
Propagador de Feynman
Causalidad
i
∆( x − y) = −
(2π )2 2r
ˆ
∞
−∞
dp p
peipr
p2
+ m2
.
B En el plano de p complejo, el integrando tiene cortes de rama que comienzan en
p = ±im.
237
Propagador de Feynman
Causalidad
B Podemos evaluar la integral llevando el contorno alrededor de la rama superior
(introduce un factor 2) y haciendo el cambio de variable p = iρ,
ˆ ∞
ˆ ∞
−
ρr
1
i
ρe
ρe−ρr
2
=
.
∆( x − y) = −
i 2
dρ p
dρ p
2
2
2
2
2
2
(2π ) 2r
4π
r
i ρ −m
ρ −m
m
m
Por último, haciendo el cambio de variable ρ = mt,
r
ˆ ∞
−
mrt
m
m
m
π −mr
te
∆( x − y) =
=
K1 (mr ) −−−→
dt 2
e
,
2mr
mr 1 4π 2 r
4π 2 r 1
t −1
4π 2 r
(18)
donde se ha usado el límite de la función de Bessel modificada K1 .
Este resultado parece indicarnos que se viola causalidad. Sin embargo no es así.
En mecánica cuántica lo importante es si conmutan dos observables medidos en x
e y separados espacialmente, i.e. con ( x − y)2 < 0. En tal caso ambas medidas no
están correlacionadas y por tanto no pueden afectar una a la otra.
238
Propagador de Feynman
Causalidad
En la práctica, el principio de causalidad se preserva siempre que se anule el
conmutador de dos campos evaluados en dos puntos separados por un intervalo
espacial. Veamos que en efecto, en ese caso, el conmutador se anula.
ˆ
ˆ
i
h
3
d p
d3 q
q
q
[φ( x ), φ(y)] =
a~p e−ipx + a~†p eipx , a~q e−iqy + a~†q eiqy
(2π )3 2E~p
(2π )3 2E~q
ˆ
ˆ
n
o
3
d p
d3 q
−
i( px −qy)
†
i( px −qy) †
q
q
=
e
[ a~p , a~q ] + e
[ a~p , a~q ]
(2π )3 2E~p
(2π )3 2E~q
ˆ
o
d3 p n −ip( x−y)
ip( x −y)
=
e
−e
= ∆( x − y) − ∆(y − x ) ,
(19)
3
(2π )
donde se ha usado [ a~p , a~†q ] = (2π )3 δ3 (~p − ~q).
239
Propagador de Feynman
Causalidad
B Ahora, si ( x − y)2 < 0 podemos elegir un sistema de referencia en el que
( x − y) = (0,~r ) y entonces (y − x ) = (0, −~r ), y como hemos visto que para puntos
separados un intervalo espacial ∆( x − y) solamente depende del módulo de ~r (18)
tenemos que ∆( x − y) = ∆(y − x ) y
[φ( x ), φ(y)] = 0 ,
si ( x − y)2 < 0 ,
como queríamos demostrar.a
a
Si ( x − y)2 > 0 (intervalo temporal) podemos elegir un sistema de referencia en el que ( x − y) =
(t, 0) y entonces
√ 2 2
ˆ
ˆ ∞
ˆ ∞
−iE~p t
p +m t
−
i
3
p
d p e
4π
e
1
2
∆( x − y) =
=
dp p p
=
dE E2 − m2 e−iEt ∼ e−imt (t → ∞)
3
3
2
(2π ) 2E~p
(2π ) 0
4π m
2 p2 + m2
así que ∆( x − y) − ∆(y − x ) 6= 0 en este caso.
240
Propagador de Feynman
Causalidad
En este punto es conveniente hacer dos comentarios importantes:
1. Para entender mejor el significado de las dos contribuciones al propagador de
Feynman (13) que se cancelan en (19) cuando ( x − y)2 < 0, hallemos el
conmutador análogo para campos escalares complejos,
ˆ
ˆ
h
i
3p
3q
d
d
q
q
[φ( x ), φ† (y)] =
a~p e−ipx + b~†p eipx , b~q e−iqy + a~†q eiqy
(2π )3 2E~p
(2π )3 2E~q
ˆ
ˆ
n
o
d3 p
d3 q
q
q
=
e−i( px−qy) [ a~p , a~†q ] + ei( px−qy) [b~†p , b~q ]
(2π )3 2E~p
(2π )3 2E~q
= h0| φ ( x ) φ † ( y ) |0i − h0| φ † ( y ) φ ( x ) |0i = ∆ ( x − y ) − ∆ ( y − x )
(20)
donde vemos que ∆( x − y) es la amplitud de probabilidad de que una partícula
creada en y se propague hasta x mientras que ∆(y − x ) es la amplitud de
probabilidad de que una antipartícula creada en x se propague hasta y.
241
Propagador de Feynman
Causalidad
En este punto es conveniente hacer dos comentarios importantes:
B Si no existieran las antipartículas se violaría el principio de causalidad! pues
ambas contribuciones son necesarias y gracias a que tienen valores idénticos el
conmutador (19) (o el (20) si el campo escalar es complejo) puede anularse fuera
del cono de luz impidiendo correlaciones entre observaciones no conectadas
causalmente.
2. Finalmente, nótese que en lo anterior ha sido fundamental que los campos
escalares satisfacen relaciones de conmutación y no de anticonmutación, pues de
lo contrario el principio de causalidad no se habría preservado. Puede verse que
los campos fermiónicos han de anticonmutar por la misma razón. Se pone de
manifiesto entonces la estrecha conexión entre el teorema espín-estadística y la
causalidad a nivel cuántico.
242
Teorema de Wick
Hemos visto que el producto ordenado temporal de dos campos en la imagen de
interacción es T {φ( x1 )φ( x2 )} = : φ( x1 )φ( x2 ) : + DF ( x1 − x2 ). Queremos ahora
hallar el producto ordenado temporal de n campos φi ≡ φ( xi ).
El teorema de Wick, que demostraremos a continuación, establece que


todas las combinaciones de orden normal


T {φ1 · · · φn } = : φ1 · · · φn : +
y contracciones de dos campos
(21)
donde contracciones de dos campos φ( xi ) y φ( x j ) significa
φ ( xi ) φ ( x j ) = D F ( xi − x j ) ,
o abreviadamente
φi φj = Dij ,
243
Teorema de Wick
y todas las combinaciones de orden normal y contracciones de dos campos
significa, por ejemplo,
T {φ1 φ2 φ3 φ4 } = : φ1 φ2 φ3 φ4 : + : φ1 φ2 φ3 φ4 + φ1 φ2 φ3 φ4 + φ1 φ2 φ3 φ4 + φ1 φ2 φ3 φ4
+ φ1 φ2 φ3 φ4 + φ1 φ2 φ3 φ4 + φ1 φ2 φ3 φ4 + φ1 φ2 φ3 φ4 + φ1 φ2 φ3 φ4 : ,
donde
: φ1 φ2 φ3 φ4 : = φ1 φ3 : φ2 φ4 : = D13 : φ2 φ4 : ,
: φ1 φ2 φ3 φ4 : = D12 D34 ,
etc.
Por tanto, al valor esperado en el vacío del producto ordenado temporal de
campos sólo contribuyen términos con todos los campos contraídos, por ejemplo,
h0| T {φ1 φ2 φ3 φ4 } |0i = φ1 φ2 φ3 φ4 + φ1 φ2 φ3 φ4 + φ1 φ2 φ3 φ4
= D12 D34 + D13 D24 + D14 D23
y para un número impar de campos es cero.
244
Teorema de Wick
B Para demostrar el teorema de Wick se procede por inducción. Ya sabemos que se
cumple para n = 2. Supongamos que es cierto para n − 1 campos.
Entonces, si ponemos los campos ya ordenados temporalmente (x10 ≥ ... ≥ xn0 ),
T {φ1 φ2 · · · φn } = φ1 φ2 · · · φn = φ1 T {φ2 · · · φn }





todas
las
contracciones
de
dos
 : . (22)
= (φ1+ + φ1− ) : φ2 · · · φn + 

campos que no involucren a φ1 
Por otro lado,
φ1− : {φ2 · · · φn } : = : {φ1− φ2 · · · φn } :
pues φ1− indroduce un a† a la izquierda, que ya está ordenado normal, y
φ1+ : {φ2 · · · φn } : = : {φ2 · · · φn } : φ1+ + [φ1+ , : {φ2 · · · φn } : ]



contracciones simples
+


 :
= : {φ1 φ2 · · · φn } : + : φ1 φ2 φ3 · · · + . . . +
que involucren a φ1
245
Teorema de Wick
B Comprobemos esto último con un ejemplo:
[φ1+ , : φ2 φ3 : ] = [φ1+ , φ2+ φ3+ + φ2− φ3− + φ2− φ3+ + φ3− φ2+ ]
=
+ − −
− + −
+ + + =0
+ + =0 +
φ2 [φ
[φ
1 , φ3 ] + 1 , φ2 ] φ3 + φ2 [ φ1 , φ3 ] + [ φ1 , φ2 ] φ3
+ [φ1+ , φ2− ]φ3+
− + + =0
+ φ3 [φ
1 , φ2 ]
− + + =0
+ φ2 [φ
1 , φ3 ]
+ [φ1+ , φ3− ]φ2+
= φ2− φ1 φ3 + φ1 φ3 φ2+ + φ1 φ2 φ3− + φ1 φ2 φ3+ =: (φ1 φ2 φ3 + φ1 φ2 φ3 ) :
0 ≥ x0 .
]
,
pues
x
donde se ha usado [ A, BC ] = B[ A, C ] + [ A, B]C y φi φj = [φi+ , φ−
i
j
j
Por tanto,


contracciones simples
+
−

 : . (23)
(φ1 + φ1 ) : {φ2 · · · φn } : = : φ1 φ2 · · · φn : + :
que involucren a φ1


+
−  todas las contracciones de dos 
Repitiendo el procedimiento para (φ1 + φ1 ):
:
campos que no involucren a φ1
obtendremos los términos con contracciones dobles, triples, etc., que faltan.
246
Diagramas de Feynman
La fórmula de reducción de LSZ nos permite escribir la matriz S en términos de
valores esperados en el vacío de productos de campos en la imagen de interacción
ordenados temporalmente,
ˆ
h0| T φ( x1 )φ( x2 ) · · · φ( xn ) exp −i d4 x H I ( x ) |0i ,
que se calculan orden a orden en teoría de perturbaciones (TP), desarrollando en
serie la exponencial.
247
Diagramas de Feynman
A orden cero (no hay interacciones) sólo necesitamos h0| T {φ( x1 ) · · · φ( xn )} |0i
que, aplicando el teorema de Wick, involucra productos de propagadores de
partículas entre puntos espaciotemporales distintos xi 6= x j .
Esto nos da una imagen física que admite una representación gráfica sencilla:
h0| T {φ1 φ2 } |0i = φ1 φ2 = D12
=
h0| T {φ1 φ2 φ3 φ4 } |0i = φ1 φ2 φ3 φ4 + φ1 φ2 φ3 φ4 + φ1 φ2 φ3 φ4 = D12 D34 + D13 D24 + D14 D23
=
y así sucesivamente. Son los diagramas de Feynman en el espacio de posiciones.
248
Diagramas de Feynman
A partir del primer orden en TP obtendremos interacciones locales que involucran
productos de campos en el mismo punto espaciotemporal x, que también tendrán
una representación gráfica sencilla en forma de diagramas de Feynman.
El cálculo perturbativo es muy complejo pero puede sistematizarse con ayuda de
reglas de Feynman. La mejor manera de entender todo esto es con un ejemplo
sencillo.
249
Diagramas de Feynman
2 → 2 (λφ4 )
B Consideremos el scattering 2 → 2
(dos partículas en el estado inicial y dos en el final)
en la teoría de campos escalares autointeractuantes λφ4 .
La fórmula LSZ en función de campos en la imagen de interacción es:
√
√
E
2
2
i Z
i Z
~ ~
∏ p2 − m2 ∏ k2 − m2 h~p1~p2 | iT k1 k2
i =1 i
j =1 j
ˆ
=
ˆ
λ
0
T
φ
(
x
)
φ
(
x
)
φ
(
x
)
φ
(
x
)
exp
−
i
d4 x φ4 ( x )
h
|
2
3
1
4
4
4!
4
i( p1 x1 + p2 x2 − k 1 x3 − k 2 x4 )
ˆ
d
x
e
∏ i
λ
i =1
d4 x φ 4 ( x )
|0i
h0| T exp −i
4!
|0i
(24)
250
Diagramas de Feynman
2 → 2 (λφ4 )
– Orden cero. En ausencia de interacción el denominador es 1. El numerador es
ˆ 4
N0 = ∏ d4 xi ei( p1 x1 + p2 x2 −k1 x3 −k2 x4 ) h0| T {φ( x1 )φ( x2 )φ( x3 )φ( x4 )} |0i
ˆ
=
i =1
4
∏ d4 xi ei( p1 x1 + p2 x2 −k1 x3 −k2 x4 ) ( D12 D34 + D13 D24 + D14 D23 )
ˆi=1
y
4
4
4
4
i( p1 + p2 ) X +i( p1 − p2 ) 2x −i(k1 +k2 )Y −i(k1 −k2 ) 2
=
d x d Xd y d Y e
DF ( x ) DF (y)
ˆ
y
4
4
4
4
i( p1 −k1 ) X +i( p1 +k1 ) 2x +i( p2 −k2 )Y +i( p2 +k2 ) 2
DF ( x ) DF (y)
+ d xd Xd yd Y e
ˆ
y
4
4
4
4
i( p1 −k2 ) X +i( p1 +k2 ) 2x −i(k1 − p2 )Y −i(k1 + p2 ) 2
+ d x d Xd y d Y e
DF ( x ) DF (y)
=
i
i
p21 − m2 k21 − m2
i
i
+ (2π )4 δ4 ( p1 − k1 )(2π )4 δ4 ( p2 − k2 ) 2
p1 − m2 p22 − m2
i
i
4 4
4 4
+ (2π ) δ ( p1 − k2 )(2π ) δ ( p2 − k1 ) 2
p1 − m2 k21 − m2
(2π )4 δ4 ( p1 + p2 )(2π )4 δ4 (k1 + k2 )
(25)
251
Diagramas de Feynman
2 → 2 (λφ4 )
donde en el primer sumando de la tercera igualdad hemos hecho el cambio
x = x1 − x2 ,
X=
dx1 dx2 = x1 + x2
,
2
∂x1 ∂x1
∂x ∂X
∂x2 ∂x2
∂x ∂X
x
y
y = x3 − x4
x1 = X + , x3 = Y +
2
2
⇒
x
y
x3 + x4
x2 = X − , x4 = Y −
Y=
2
2
2
1
1
2
dx dX = dx dX , etc. ,
dx dX = 1
−2 1 el segundo sumando es análogo al primero si x2 ↔ x3 lo que implica p2 ↔ −k1 ;
y el tercer sumando es análogo al primero si x2 ↔ x4 lo que implica p2 ↔ −k2 .
En (25) hay términos con solamente dos polos, que no son suficientes para
cancelar los cuatro polos del miembro de la izquierda de (24), así que
E
~ ~
h~p1~p2 | iT k1 k2 = 0 a orden cero.
Este resultado (amplitud nula) es general para diagramas disconexos
(aquéllos en los que algún punto externo no está conectado a los demás).
252
Diagramas de Feynman
2 → 2 (λφ4 )
– Primer orden. Desarrollando la exponencial del numerador vemos que a O(λ)
obtenemos productos de campos evaluados en el mismo punto espaciotemporal,
lo que, aplicando el teorema de Wick, da lugar a un vértice de interacción.
La única forma de obtener diagramas conexos es contraer cada φ( xi ) con φ( x ):
h0| T {φ( x1 )φ( x2 )φ( x3 )φ( x4 )φ4 ( x )} |0ic = 4! : φ1 φ2 φ3 φ4 φx φx φx φx :
x1
x3
x
=
x2
x4
Hay 4! posibles combinaciones de tales contracciones, todas idénticas: φ( x1 ) con
uno de los 4 φ( x ), φ( x2 ) con uno de los 3 φ( x ) restantes, φ( x3 ) con uno los 2 φ( x )
restantes y φ( x4 ) con el φ( x ) restante. El 4! resultante cancela el 4! introducido en
el denominador de la constante de acoplamiento (vemos su conveniencia).
253
Diagramas de Feynman
2 → 2 (λφ4 )
De modo que, a primer orden, la única contribución relevante al numerador de la
amplitud 2 → 2 viene dada por el siguiente diagrama de Feynman en el espacio
de momentos:
p1
k1
=
ˆ
4
∏ d4 xi ei( p1 x1 + p2 x2 −k1 x3 −k2 x4 )
i =
1
k2
= −iλ
ˆ
p2
iλ
× −
4!
ˆ
4!
d4 x D F ( x 1 − x ) D F ( x 2 − x ) D F ( x 3 − x ) D F ( x 4 − x )
4
∏ d4 yi d4 x ei( p1 + p2 −k1 −k2 )x ei( p1 y1 + p2 y2 −k1 y3 −k2 y4 ) DF (y1 ) DF (y2 ) DF (y3 ) DF (y4 )
i =1
4 4
e F ( p1 ) D
e F ( p2 ) D
e F (k1 ) D
e F (k2 )
= −iλ(2π ) δ ( p1 + p2 − k1 − k2 ) D
(26)
donde se ha hecho el cambio de variables yi = xi − x.
254
Diagramas de Feynman
2 → 2 (λφ4 )
ˆ
λ
d4 x φ4 ( x )
– Hallemos ahora el denominador h0| T exp −i
|0i, que orden a
4!
orden está compuesto por diagramas desconectados y sin puntos externos
formados por combinaciones de diagramas vacío-vacío:














Vi ∈
,
,
,
, ...
(27)












Supongamos uno de estos diagramas con ni piezas de cada tipo Vi . Si llamamos
también Vi al valor de la pieza de tipo i, es fácil convencerse de que ese tipo de
n
Vi i
diagramas contribuye al denominador con ∑
, donde el ni ! proviene de la
n
!
i
ni
simetría de intercambio de ni copias de Vi .
255
2 → 2 (λφ4 )
Diagramas de Feynman
Para comprobar esto, consideremos sólo un tipo Vi , y que éste sea el primero de
los diagramas vacío-vacío listados en (27).
Entonces
λ
= −i
4!
=
1
2!
ˆ
−i
3
1
d x φx φx φx φx × 3 = V = V ≡ Vi
4!
8
4
λ
4!
2 ˆ
ˆ
d4 x φx φx φx φx
d4 y φy φy φy φy × 32 =
1 2
Vi
2!
1 3
= Vi
3!
y así sucesivamente.
256
Diagramas de Feynman
2 → 2 (λφ4 )
La contribución total al denominador será por tanto,
!
(
)
ni
Vi
Vi
e
=
∏ = exp ∑ Vi ,
∏ ∑ ni !
ni
i
i
i
que viene dada por la exponencial de la suma de todos los posibles diagramas
vacío-vacío.
257
Diagramas de Feynman
2 → 2 (λφ4 )
– Nótese que en el numerador tendremos, por cada diagrama conexo, la
contribución de un número arbitrario de diagramas vacío-vacío.
Por ejemplo,
···
!
×
···
Así que la contribución general al numerador puede escribirse como
(
)
∑ (conexos) × exp ∑ Vi
.
i
258
Diagramas de Feynman
2 → 2 (λφ4 )
B Por tanto, las contribuciones vacío-vacío a numerador y denominador de la
fórmula LSZ se cancelan y podemos concluir que para hallar la amplitud de
scattering m → n basta con calcular, orden a orden, la suma de diagramas
conexos con m + n puntos externos.
Usando estos resultados e ignorando por el momento los factores Z (pronto
veremos que Z = 1 + O(λ2 )), podemos calcular la amplitud de scattering 2 → 2 a
primer orden, que se deduce de (24) y (26),
Hint
λ
= φ4 :
4!
E
~ ~
h~p1~p2 | iT k1 k2 = −iλ(2π )4 δ4 ( p1 + p2 − k1 − k2 ) + O(λ2 ) .
B Ya podríamos escribir algunas reglas que nos permiten obtener
diagramáticamente la amplitud de scattering, pero aún no podemos deducirlas
todas ya que todavía no nos hemos encontrado con diagramas con líneas internas
ni loops.
259
Diagramas de Feynman
2 → 2 (λφ3 )
B Para ilustrar el caso de diagramas con líneas internas, vamos a suponer que
λ 3
nuestro proceso 2 → 2 se debe a una interacción distinta, Hint = 3!
φ ( x ).
Si buscamos los diagramas conexos a orden más bajo que den una contribución
no nula encontramos que la primera contribución es a O(λ2 ) y viene dada por los
siguientes diagramas:
x1
y1 x1
x
x2
y
x
+
y2 x2
y1 x1
x
+( x ↔ y)
+
y
y2 x2
y1
y
y2
Calculemos en detalle la contribución del primero (se incluye la suma del mismo
intercambiando x e y) que representaremos mediante el correspondiente
diagrama de Feynman en el espacio de momentos:
260
Diagramas de Feynman
k1
2 → 2 (λφ3 )
p1
k1 + k2
ˆ
k2
p2
d4 x1 d4 x2 d4 y1 d4 y2 ei( p1 x1 + p2 x2 −k1 y1 −k2 y2 )
ˆ
1 −iλ 2
(3!)2 2 d4 xd4 y DF ( x1 − x ) DF ( x2 − x ) DF ( x − y) DF (y − y1 ) DF (y − y2 )
×
{z
}
|
2!
3!
=
ˆ
= (−iλ)2
:φ( x1 )φ( x2 )φ(y1 )φ(y2 )φ( x )φ( x )φ( x )φ(y)φ(y)φ(y):
d4 x̃1 d4 x̃2 d4 ỹ1 d4 ỹ2 d4 xd4 y ei( p1 + p2 ) x−i(k1 +k2 )y+i( p1 x̃1 + p2 x̃2 −k1 ỹ1 −k2 ỹ2 )
× DF ( x̃1 ) DF ( x̃2 ) DF (ỹ1 ) DF (ỹ2 ) DF ( x − y)
ˆ
e F ( p1 ) D
e F ( p2 ) D
e F (k1 ) D
e F (k2 ) d4 x̃d4 y ei( p1 + p2 ) x̃+i( p1 + p2 −k1 −k2 )y DF ( x̃ )
= (−iλ)2 D
e F (k1 + k2 ) D
e F ( p1 ) D
e F ( p2 ) D
e F (k1 ) D
e F (k2 ) (28)
= (−iλ)2 (2π )4 δ4 ( p1 + p2 − k1 − k2 ) D
261
Diagramas de Feynman
2 → 2 (λφ3 )
donde el factor (3!)2 proviene de todas las contracciones de Wick equivalentes a
la dada y el factor 2 del intercambio de x con y. También se ha hecho el cambio de
variables x̃i = xi − x, ỹi = yi − y y posteriormente x̃ = x − y.
Como en (26), hemos obtenido:
• un factor (−iλ) por cada vértice,
• un factor (2π )4 δ4 ( p1 + p2 − k1 − k2 ) que expresa la conservación del
cuadrimomento, y
• el producto de los cuatro propagadores de las patas externas que se cancelarán
al despejar la amplitud de scattering de la fórmula LSZ.
• Vemos que además hay que introducir el propagador de cada línea interna.
Nótese finalmente que el factor 3! en el denominador de la constante de
acoplamiento se ha cancelado al sumar todas las contracciones de Wick
equivalentes.
262
2 → 2 (λφ3 )
Diagramas de Feynman
Por tanto, sumando los tres diagramas en el espacio de momentos
k1
p1
k1 + k2
k2
k1
k 1 − p1
+
p2
p1
k2
k1
k 1 − p2
+
p2
p1
k2
p2 (29)
obtenemos
Hint
λ
= φ3 :
3!
E
~ ~
h~p1~p2 | iT k1 k2 = (−iλ)2 (2π )4 δ4 ( p1 + p2 − k1 − k2 )
e F (k1 + k2 ) + D
e F ( k 1 − p1 ) + D
e F (k1 − p2 )] + O(λ4 )
× [D
Nótese que las integrales sobre las coordenadas de los puntos de interacción
implican la conservación del cuadrimomento en cada vértice.
263
Diagramas de Feynman
2 → 2 (λφ4 )
B Veamos ahora qué ocurre cuando hay loops en los diagramas.
Volvamos a la teoría λφ4 . Para hallar la contribución de O(λ2 ) a la amplitud
2 → 2 necesitamos calcular los siguientes diagramas conexos:
y1 x1
x1
x
x2
y
x
+
y2 x2
y1 x1
x
+( x ↔ y)
+
y
y2 x2
y1
y
y2
En todos aparece un loop formado por dos líneas internas que comparten punto
inicial y final.a
Miremos con detalle la contribución del primero de estos diagramas (incluyendo
la suma del mismo intercambiando x e y) que representaremos mediante el
siguiente diagrama de Feynman en el espacio de momentos:
a Un
loop también puede provenir de una línea interna que empieza y acaba en el mismo punto.
Véase e.g. el diagrama de (30).
264
Diagramas de Feynman
k1
q
2 → 2 (λφ4 )
p1
ˆ
=
4
4
4
4
i( p1 x1 + p2 x2 − k 1 y1 − k 2 y2 )
d x1 d x2 d y1 d y2 e
1
2!
−iλ
4!
2
k1 + k2 − q
p2
2
ˆ
4
×
2 × 2 d4 xd4 y DF ( x1 − x ) DF ( x2 − x ) D2F ( x − y) DF (y − y1 ) DF (y − y2 )
{z
}
|
2
k2
1
= (−iλ)2
2
ˆ
:φ( x1 )φ( x2 )φ(y1 )φ(y2 )φ( x )φ( x )φ( x )φ( x )φ(y)φ(y)φ(y)φ(y):
d4 x̃1 d4 x̃2 d4 ỹ1 d4 ỹ2 d4 xd4 y ei( p1 + p2 ) x−i(k1 +k2 )y+i( p1 x̃1 + p2 x̃2 −k1 ỹ1 −k2 ỹ2 )
× DF ( x̃1 ) DF ( x̃2 ) DF (ỹ1 ) DFˆ(ỹ2 ) D2F ( x − y)
1
e F ( p1 ) D
e F ( p2 ) D
e F (k1 ) D
e F (k2 ) d4 x̃d4 y ei( p1 + p2 ) x̃+i( p1 + p2 −k1 −k2 )y D2F ( x̃ )
= (−iλ)2 D
2
1
e F ( p1 ) D
e F ( p2 ) D
e F (k1 ) D
e F (k2 )
= (−iλ)2 (2π )4 δ4 ( p1 + p2 − k1 − k2 ) D
2
ˆ
d4 q e
e F (k1 + k2 − q)
×
DF (q) D
4
(2π )
265
Diagramas de Feynman
2 → 2 (λφ4 )
donde hemos sustituido
ˆ
ˆ
ˆ
d4 x̃ ei(k1 +k2 ) x̃ D2F ( x̃ ) = d4 x̃ ei(k1 +k2 ) x̃ DF ( x̃ )
ˆ
=
d4 q −iq x̃ e
DF (q)
e
4
(2π )
d4 q e
e F (q) .
DF (k1 + k2 − q) D
4
(2π )
Vemos que, además del habitual factor (2π )4 δ4 ( p1 + p2 − k1 − k2 ) de la
conservación del cuadrimomento, el factor (−iλ) por cada vértice y el propagador
de cada línea interna, aparece una integral sobre el cuadrimomento del loop
dividida por (2π )4 .
Obtenemos asimismo un factor de simetría 21 procedente del recuento de factores
1/4! y contracciones de Wick equivalentes (estos factores de simetría son
frecuentemente una fuente de errores en el cálculo). También aparecen los
propagadores de cada pata externa en el espacio de momentos cuyos polos se
cancelarán al despejar la amplitud de la fórmula LSZ.
266
Diagramas de Feynman
2 → 2 (λφ4 )
B Repitiendo el procedimiento para los tres diagramas en el espacio de momentos:
k1
q
p1
+ p1 − k 1 + q
k2
k1 + k2 − q
p2
p1
k1
k2
+ p2 − k 1 + q
q
p2
p1
k1
q
k2
p2
λ 4
obtenemos (Hint = 4!
φ )
E
~ ~
h~p1~p2 | iT k1 k2 = (2π )4 δ4 ( p1 + p2 − k1 − k2 )
ˆ
1
d4 q e
2
e F (k1 + k2 − q)
× − iλ + (−iλ)
[ DF (q) D
4
2
(2π )
e F (q) D
e F ( k 1 − p1 − q )
+D
e F (q) D
e F (k1 − p2 − q)] + O(λ3 ) .
+D
267
Diagramas de Feynman
2 → 2 (λφ4 )
Si evaluamos las integrales del loop veremos que son divergentes en el
ultravioleta, pues tienden a infinito cuando q se hace grande. Para dotar de
sentido a esta corrección infinita a la predicción que habíamos obtenido a orden
más bajo en TP tendremos que renormalizar la teoría.
268
Diagramas de Feynman
2 → 2 (λφ4 )
Hasta ahora hemos ignorado los factores Z (renormalización de la función de
onda) que aparecen en la fórmula LSZ. También hemos ignorado diagramas en
los que el propagador de alguna de las patas externas sufre una corrección como,
por ejemplo:a
k1
p1
q
k1
k2
e F (k2 ) D
e F ( p1 ) D
e F ( p2 )
= (2π )4 δ4 (k1 + k2 − p1 − p2 )(−iλ) D
p2
1
e
× DF (k1 ) × (−iλ)
2
ˆ
d4 q
i
e F (k1 )
×
D
(2π )4 q2 − m2
(30)
que, aparte de la corrección debida al loop (que resulta ser divergente en el
e F (k1 ) que no se cancela con el
ultravioleta), tiene un polo doble en D
correspondiente polo simple de la fórmula LSZ, y por tanto nos da infinito.
a
En adelante omitiremos el ie de la prescripción de Feynman, que asumiremos implícitamente.
269
Diagramas de Feynman
2 → 2 (λφ4 )
B Nótese que la corrección a la pata externa factoriza y se puede leer directamente
del siguiente diagrama:
q
e F ( p)(−iB) D
e F ( p) ,
=D
p
p
1
−iB = (−iλ)
2
ˆ
d4 q
i
.
2
2
4
(2π ) q − m
(31)
Podemos resumar todas las correcciones de este tipo al propagador,
p
+
+
+ ···
e F ( p) + D
e F ( p)(−iB) D
e F ( p) + D
e F ( p)(−iB) D
e F ( p)(−iB) D
e F ( p) + . . .
=D
h
i
e F ( p) 1 + (−iB D
e F ( p)) + (−iB D
e F ( p))2 + . . .
=D


1
i
1
i
e


= DF ( p)
= 2
= 2
.
2
2−B
B
e
p
−
m
p
−
m
1 − p2 − m2
1 + iB DF ( p)
270
Diagramas de Feynman
2 → 2 (λφ4 )
B Vemos que el efecto neto de este tipo de correcciones consiste en desplazar la
masa de m2 a m2 + B.
B Podemos añadir otras correcciones, como por ejemplo la corrección O(λ2 )
(que, a diferencia de la anterior, depende de p2 )
y todas las demás.
B Para ello, sumamos todos los diagramas con dos patas externas que sean
one-particle irreducible (aquellos diagramas que no se separan en dos si cortamos
sólo una línea interna) y llamamos −iM2 ( p2 ) a la contribución de todos los
diagramas 1PI (eliminando los propagadores externos),
1PI
= −iM2 ( p2 ) .
(32)
271
Diagramas de Feynman
2 → 2 (λφ4 )
B Ahora podemos resumar todas las correcciones al propagador por el mismo
procedimiento de antes. Llamemos m0 al parámetro de masa que hemos
introducido en el lagrangiano. Entonces el propagador completo es
(a todo orden en TP):
=
+
1PI
+
1PI
1PI
+ ···
i
i
i
2 2
+
[−
iM
(
p
)]
+...
2
2
2
2
2
2
p − m0
p − m0
p − m0


!2
2 ( p2 )
2 ( p2 )
i
M
M
1 +
= 2
+
+...
2
2
2
2
2
p − m0
p − m0
p − m0
=
i
= 2
p − m20
1
i
.
= 2
2
2
2
2
2
p − m0 − M ( p )
M (p )
1− 2
p − m20
(33)
272
Diagramas de Feynman
2 → 2 (λφ4 )
La masa física m se define como el polo del propagador completo,
p2 − m20 − M2 ( p2 ) 2 2 = 0 .
p =m
(34)
Desarrollando en serie alrededor de p2 = m2 obtenemos
2
dM 2
2
2
2
2 2
2
2
2
2
(
p
−
m
)+...
p − m0 − M ( p ) = p − m0 − M ( m ) −
2
dp p2 =m2
!
dM2 2
2
2 = m2 ) .
= (p − m ) 1 −
(cerca
de
p
dp2 p2 =m2
Por tanto,
iZ
2
2
= 2
+
regular
cerca
de
p
=
m
p − m2
(35)
donde
m2 = m20 + M2 (m2 ) ,
Z=
! −1
dM2 1−
.
2
dp p2 =m2
(36)
273
Diagramas de Feynman
2 → 2 (λφ4 )
B Vemos en particular que la primera corrección a Z = 1 es de orden λ2 , como
habíamos anticipado, pues la corrección de orden λ al propagador (31)
no depende de p2 .
En vista de lo que sucede con las correcciones a las patas externas, conviene
definir diagramas amputados como aquéllos en los que quitamos todos los
subdiagramas asociados a las patas externas que se pueden separar cortando sólo
una línea. Es decir, eliminamos el propagador completo de cada pata externa.
Por ejemplo,
amputar
274
Diagramas de Feynman
2 → 2 (λφ4 )
B Entonces la función de cuatro puntos de campos interactuantes
ˆ
2
∏d
i =1
4
2
xi ∏ d4 y j ei(∑i pi xi −∑ j k j y j ) h0| T {φ( x1 )φ( x2 )φ(y1 )φ(y2 )} |0ic
j =1
tiene la forma diagramática siguiente
Amputada
275
Diagramas de Feynman
2 → 2 (λφ4 )
B Y en general, usando (35) podemos reescribir la fórmula LSZ (8) como
k1
E √ m+n
~
Z
h~p1 . . . ~pn | iT k1 . . .~k m =
Amp.
..
.
km
..
.
..
.
p1
(37)
..
.
pn
276
Diagramas de Feynman
Reglas de Feynman
Con esto ya podemos dar las reglas de Feynman para campos escalares reales en
el espacio de momentos. Consideremos que la interacción de los campos es de la
λ N
forma Hint = N!
φ . Entonces para calcular la amplitud del proceso de scattering
de m → n partículas:
1. Dibujar todos los diagramas conexos amputados con m patas entrantes y n
salientes unidos en vértices de N patas.
2. Imponer conservación del cuadrimomento en cada vértice.
3. Asociar un factor (−iλ) a cada vértice.
i
.
2
2
p − m + ie
5. Integrar sobre los cuadrimomentos q no fijados por conservación del
d4 q
cuadrimomento (uno por cada loop) con medida
.
4
(2π )
6. Multiplicar por el factor de simetría correspondiente.
e F ( p) =
4. Asociar a cada línea interna de momento p un factor D
277
Diagramas de Feynman
Reglas de Feynman
7. La suma de las contribuciones de todos los diagramas de Feynman conduce a
la llamada amplitud invariante iM(~k1 · · ·~k m → ~p1 · · · ~pn ) que se relaciona con
el elemento de matriz S = 1 + iT mediante
!
E
~
(38)
h~p1 · · · ~pn | iT k1 · · ·~k m = (2π )4 δ4 ∑ pi − ∑ k j iM ,
i
j
√ m+n
donde iM incluye los factores
Z
, que son irrelevantes en cálculos a
orden más bajo en teoría de perturbaciones, pero son importantes para hallar
correcciones de orden superior.
278
Comentario sobre la virtualidad de los estados intermedios
Consideremos un diagrama con líneas internas, por ejemplo (28). La fórmula LSZ
exige poner las partículas entrantes y salientes sobre su capa de masas,
k21 = k22 = p21 = p22 = m2
y además impone conservación del cuadrimomento en los vértices, con lo que la
partícula intermedia que se propaga entre dos vértices estará off-shell,
p2interm = (k1 + k2 )2 = k21 + k22 + 2(k1 k2 ) = 2(m2 + k1 k2 ) .
B Si elegimos, por ejemplo, el sistema centro de masas de las partículas entrantes,
k1 = ( E, 0, 0, k ) ,
k2 = ( E, 0, 0, −k) ⇒ k1 k2 = E2 + k2 = m2 + 2k2
⇒ p2interm = 4(m2 + k2 ) 6= m2 .
Es fácil comprobar que el p2interm de las líneas internas de los otros dos diagramas
en (29) es incluso negativo. Así que en TQC los estados intermedios que se
propagan entre vértices de interacción son partículas virtuales, i.e. fuera de su
capa de masas.
279
Reglas de Feynman para fermiones
Los campos fermiónicos aparecerán en los hamiltonianos de interacción por
parejas y formando parte de bilineales covariantes.
Los campos fermiónicos satisfacen relaciones de anticonmutación que nos han
obligado a definir el orden normal para operadores de fermiones de forma
consistente. Así, por ejemplo,
: a~p,r a~q,s a~†k,t : = (−1)2 a~†k,t a~p,r a~q,s = (−1)3 a~†k,t a~q,s a~p,r .
Del mismo modo, debemos definir de forma consistente el orden temporal de dos
campos fermiónicos,

 ψ( x )ψ( x ) , x0 > x0
2
1
2
1
T {ψ( x1 )ψ( x2 )} =
 − ψ ( x2 ) ψ ( x1 ) , x 0 < x 0
1
2
y análogamente para T {ψ( x1 )ψ( x2 )} y T {ψ( x1 )ψ( x2 )}.
Así, por ejemplo, si x30 > x10 > x40 > x20 entonces
T {ψ( x1 )ψ( x2 )ψ( x3 )ψ( x4 )} = −ψ( x3 )ψ( x1 )ψ( x4 )ψ( x2 ) .
280
Reglas de Feynman para fermiones
Veamos a hora cómo definir la contracción de Wick de dos campos fermiónicos,
para obtener una expresión análoga a la de campos escalares,
T {ψ( x )ψ(y)} = : ψ( x )ψ(y) : +ψ( x )ψ(y) .
Separando las componentes de energía positiva y negativa,
ˆ
ˆ
3p
3p
d
d
q
q
ψ+ ( x ) =
a~p,s u(s) (~p)e−ipx , ψ− ( x ) =
b~†p,s v(s) (~p)eipx ,
∑
∑
(2π )3 2E~p s
(2π )3 2E~p s
ˆ
ˆ
3p
3p
d
d
+
−
q
q
ψ (x) =
b~p,s v(s) (~p)e−ipx , ψ ( x ) =
a~†p,s u(s) (~p)eipx ,
∑
∑
(2π )3 2E~p s
(2π )3 2E~p s
tenemos quea
a
Si x0 = y0 entonces los campos ya están ordenados temporalmente, así que también se cumple
−
T {ψ( x )ψ(y)} = ψ( x )ψ(y) =: ψ( x )ψ(y) : +{ψ+ ( x ), ψ (y)} = : ψ( x )ψ(y) : +ψ( x )ψ(y)
−
+
ya que entonces {ψ+ ( x ), ψ (y)} = −{ψ ( x ), ψ− (y)}, como puede comprobarse explícitamente en (39).
281
Reglas de Feynman para fermiones
T {ψ( x )ψ(y)} = θ ( x0 − y0 )ψ( x )ψ(y) − θ (y0 − x0 )ψ(y)ψ( x )
i
h
+
−
+
−
= θ ( x 0 − y0 ) ψ + ( x ) ψ ( y ) + ψ + ( x ) ψ ( y ) + ψ − ( x ) ψ ( y ) + ψ − ( x ) ψ ( y )
h
i
+
+
−
−
− θ ( y0 − x 0 ) ψ ( y ) ψ + ( x ) + ψ ( y ) ψ − ( x ) + ψ ( y ) ψ + ( x ) + ψ ( y ) ψ − ( x )
h
+
−
−
0
0
= θ (x − y )
: ψ+ ( x )ψ (y) : +{ψ+ ( x ), ψ (y)}+ : ψ+ ( x )ψ (y) :
i
+
−
−
−
+ : ψ ( x )ψ (y) : + : ψ ( x )ψ (y) :
h
+
+
+
− θ ( y0 − x 0 )
: ψ (y)ψ+ ( x ) : +{ψ (y), ψ− ( x )}+ : ψ (y)ψ− ( x ) :
i
−
−
+ : ψ (y)ψ+ ( x ) : + : ψ (y)ψ− ( x ) :
i
h
−
= θ ( x0 − y0 ) : ψ( x )ψ(y) : +{ψ+ ( x ), ψ (y)}
h
i
+
0
0
−
− θ (y − x ) : ψ(y)ψ( x ) : +{ψ (y), ψ ( x )}
= : ψ( x )ψ(y) : +ψ( x )ψ(y)
282
Reglas de Feynman para fermiones
donde al final hemos usado que ψ(y)ψ( x ) = −ψ( x )ψ(y) (x 6= y) y hemos definido
−
+
ψ( x )ψ(y) = θ ( x0 − y0 ){ψ+ ( x ), ψ (y)} − θ (y0 − x0 ){ψ ( x ), ψ− (y)}
† } = 0, las siguientes contracciones se
B Es fácil comprobar que, como { a~p,s , b~q,r
anulan,
ψ( x )ψ(y) = ψ( x )ψ(y) = 0 .
283
Reglas de Feynman para fermiones
B Puede mostrarse que el teorema de Wick tiene la misma forma para campos
fermiónicos. Hay que tener cuidado porque el orden normal de contracciones de
Wick fermiónicas puede llevar aparejado un cambio de signo. Por ejemplo,
: ψ1 ψ2 : = −ψ2 ψ1
: ψ1 ψ2 ψ3 ψ4 : = −ψ1 ψ3 ψ2 ψ4 .
Como el valor esperado en el vacío del orden normal de operadores es cero,
tenemos que, análogamente al caso de campos escalares, el propagador de
Feynman para fermiones es
h0| T {ψ( x )ψ(y)} |0i = ψ( x )ψ(y) = SF ( x − y) ,
que puede escribirse, usando las relaciones de completitud, como:
284
Reglas de Feynman para fermiones
ˆ
SF ( x − y) =
0
0
θ (x − y )
ˆ
− θ ( y0 − x 0 )
ˆ
=
0
0
θ (x − y )
ˆ
d3 p 1
(2π )3 2E~p
∑ u~p u~p e−ip(x−y)
d3 p 1
(2π )3 2E~p
∑ v~p v~p eip(x−y)
(s) (s)
s
(s) (s)
s
d3 p 1
−ip( x −y)
(
/
p
+
m
)
e
(2π )3 2E~p
d3 p 1
ip( x −y)
(
/
p
−
m
)
e
− θ (y − x )
(2π )3 2E~p
ˆ
3p
d
1 −ip( x−y)
0
0
= θ ( x − y )(i/
∂ x + m)
e
(2π )3 2E~p
ˆ
d3 p 1 ip( x−y)
0
0
− θ (y − x )(−i/
∂ x − m)
e
(2π )3 2E~p
0
=
=
0
(i/
∂ x + m) DF ( x − y)
ˆ
d4 p
i
−ip( x −y)
(i/
∂ x + m)
e
.
(2π )4 p2 − m2 + ie
285
Reglas de Feynman para fermiones
B Por tanto,
ˆ
SF ( x − y) =
d4 p
i( /
p + m) −ip( x−y)
e
=
2
2
4
(2π ) p − m + ie
ˆ
i
d4 p
−ip( x −y)
e
p − m + ie
(2π )4 /
(39)
y, en el espacio de momentos,
ˆ
SeF ( p) =
d4 x S F ( x − y)eip( x−y) =
i
/
p − m + ie
donde hemos usado que /
p/
p = p2 . Vemos que el propagador de fermiones es una
función de Green del operador de Dirac pues
(i/
∂ x − m)S F ( x − y) = −(x + m2 ) DF ( x − y) = iδ4 ( x − y) .
Es muy importante notar que SeF ( p) 6= SeF (− p), así que hay que tener cuidado con
el signo del momento.
286
Reglas de Feynman para fermiones
Para hallar la matriz S entre estados fermiónicos necesitamos despejar los
operadores creación y destrucción del campo libre ψfree ,
ˆ
h
i
d3 p
q
ψfree ( x ) =
a~p,s u(s) (~p)e−ipx + b~†p,s v(s) (~p)eipx
∑
(2π )3 2E~p s
lo que conduce a
q
q
q
q
ˆ
2E~k a~k,r =
†
2E~k b~k,r
=
2E~k a~†k,r =
2E~k b~k,r =
ˆ
ˆ
ˆ
d3 x u(r) (~k)eikx γ0 ψfree ( x )
d3 x v(r) (~k )e−ikx γ0 ψfree ( x )
d3 x ψfree ( x )γ0 e−ikx u(r) (~k )
d3 x ψfree ( x )γ0 eikx v(r) (~k ) .
287
Reglas de Feynman para fermiones
B En efecto,
ˆ
d3 x u(r) (~k )eikx γ0 ψfree ( x )
ˆ
h
i
d3 p
3
(
r) ~
0 (s)
i( k − p ) x
†
(
r) ~
0 (s)
i( k + p ) x
q
a~p,s u (k )γ u (~p)e
= d x
+ b~p,s u (k)γ v (~p)e
∑
(2π )3 2E~p s
h
i q
1
(
r) ~
0 (s) ~
† (r ) ~
0 (s)
a~k,s u (k )γ u (k ) + b~k,s u (k )γ v (−~k ) = 2E~k a~k,r
=p
∑
2E~k s
donde se ha usado que
u(r) (~k)γ0 u(s) (~k ) = 2E~k δrs ,
u(r) (~k )γ0 v(s) (−~k) = 0
y lo mismo para los demás.
288
Reglas de Feynman para fermiones
B Igual que para campos escalares, esperamos que
ψ( x ) −−−→ Z1/2 ψin ( x ) ,
t→−∞
ψ( x ) −−−→ Z1/2 ψout ( x ) ,
t→+∞
donde esta Z es la constante de renomalización del campo ψ. Entonces,
ˆ
q
†(in)
2E~k a~
= lı́m Z −1/2 d3 x ψ( x )γ0 e−ikx u(r) (~k)
k,r
t→−∞
ˆ
q
†(out)
= lı́m Z −1/2 d3 x ψ( x )γ0 e−ikx u(r) (~k)
2E~k a~
k,r
t→+∞
y su diferencia nos da una expresión covariante que necesitaremos como paso
inicial para obtener la fórmula LSZ
289
Reglas de Feynman para fermiones
B Usando (6),
ˆ
q
†(in)
†(out)
2E~k a~
− a~
d3 x ψ( x )γ0 e−ikx u(r) (~k)
= Z −1/2 lı́m − lı́m
k,r
k,r
t→−∞
t→+∞
ˆ
−1/2
4
0 −ikx
d x ∂0 ψ ( x ) γ e
= −Z
u(r) (~k )
= integrando por partes y usando (k/− m)u(~k) = 0
ˆ
←
4
−1/2
d x ψ( x )(i ∂/x +m)e−ikx u(r) (~k ) .
= iZ
B Del mismo modo se puede obtener
ˆ
q
†(in)
†(out)
2E~k b~
− b~
∂ x − m)ψ( x ) ,
= iZ −1/2 d4 x v(r) (~k)e−ikx (i/
k,r
k,r
ˆ
q
(in)
(out)
2E~k a~ − a~
= −iZ −1/2 d4 x u(r) (~k)eikx (i/
∂ x − m)ψ( x ) ,
k,r
k,r
ˆ
q
←
(in)
(out)
−1/2
4
2E~k b~ − b~
= −iZ
d x ψ( x )(i ∂/x +m)eikx v(r) (~k ) .
k,r
k,r
290
[la cuenta]
Usamos, integración por partes:
ˆ
ˆ
ˆ
d4 x ∇ · (ψ~γe−ikx )u(~k ) = 0 ⇒ d4 x ∇ψ · ~γe−ikx u(~k) = −i d4 xψ~γ ·~ke−ikx u(~k )
y la ecuación de Dirac:
(k/− m)u(~k) = (γ0 k0 − ~γ ·~k − m)u(~k) = 0
Así que:
ˆ
ˆ
ˆ
− d4 x∂0 (ψγ0 e−ikx )u(~k) = − d4 x (∂0 ψ)γ0 e−ikx u(~k) − d4 xψγ0 (−ik0 )e−ikx u(~k)
ˆ
ˆ
= − d4 x (∂0 ψ)γ0 e−ikx u(~k) − d4 x (∇ψ · ~γ − iψm)e−ikx u(~k)
ˆ
= i d4 x (i∂µ ψγµ + ψm)e−ikx u(~k)
ˆ
←
4
= i d xψ(i ∂/x +m)e−ikx u(~k)
290
Reglas de Feynman para fermiones
B Así que en la matriz S podemos sustituir un fermión entrante de momento ~k1 y
espín r por
D
E q
E
†(in)
~ ~
†
(
out
)
~k2 · · ·~k m ; ti
~p1 · · · ~pn ; t f k1 k2 · · ·~k m ; ti = 2E~k ~p1 · · · ~pn ; t f a~
− a~
1
k1 ,r
k1 ,r
ˆ
E ←
= iZ −1/2 d4 x1 e−ik1 x1 ~p1 · · · ~pn ; t f ψ( x1 ) ~k2 · · ·~k m (i ∂/x1 +m)u(r) (~k1 )
(40)
y puede verse que, podemos sustituir a continuación, por ejemplo, un antifermión
entrante de momento ~k2 y espín s por
E
~p1 · · · ~pn ; t f ψ( x1 ) ~k2 · · ·~k m ; ti
E
q
†
(
in
)
†
(
out
)
= 2E~k ~p1 · · · ~pn ; t f T {ψ( x1 )(b~
− b~
)} ~k3 · · ·~k m ; ti
2
k2 ,s
k2 ,s
ˆ
E
∂ x2 − m) ~p1 · · · ~pn ; t f T {ψ( x1 )ψ( x2 )} ~k3 · · ·~k m ; ti .
= iZ −1/2 d4 x2 e−k2 x2 v(s) (~k2 )(i/
(41)
291
Reglas de Feynman para fermiones
B Iterando el procedimiento puede encontrarse la fórmula LSZ para fermiones.
Supongamos que de las m (n) partículas entrantes (salientes) hay m f (n f )
fermiones con espines ri (r 0j ) y el resto son antifermiones con espines si (s0j ).
Entonces:


!
!
√
√
√
n
f
E
m
n
i
Z
Z
i
Z
i Z
i
∏ k/i − m  ∏ k/i + m  ∏ /p j − m  ∏ /p j + m  h~p1 p~2 · · · ~pn | iT ~k1~k2 · · ·~km
i = m f +1
j = n f +1
i =1
j =1
!ˆ
!
ˆ
nf
m
n
m
(s0j )
4
−ik i xi
4
+ip j y j
( si )
=
∏ d xi e
∏ d yj e
∏ v (k i ) ∏ u ( p j )
mf
√
i =1
× h0| T
j =1


m
i=∏
m +1
f
mf
i = m f +1
nf
ψ ( xi ) ∏ ψ ( xi ) ∏ ψ ( y j )
i =1
j =1
j =1
n
∏
j = n f +1
ψ(y j )



mf
|0i ∏ u
i =1
(ri )
n
(k i )
∏
v
(r 0j )
( pj )
j = n f +1
292
Reglas de Feynman para fermiones (Teoría de Yukawa)
Veamos un caso particular sencillo, que es aplicación directa del resultado que
hemos encontrado en (40) y (41). Estudiemos el scattering 2 → 2,
fermión(k1 , r ) + antifermión(k2 , s) → escalar( p1 ) + escalar( p2 )
en la teoría de Yukawa, que tiene como lagrangiano
L = LDirac + LKG − gψψφ ⇒ Hint = gψψφ .
Supongamos, para aliviar la notación, que todos los campos tienen la misma
masa m.
293
Reglas de Feynman para fermiones (Teoría de Yukawa)
B La amplitud de scattering viene dada por
h~p1~p2 | iT |k1 k2 i
2 2 ˆ
= iZφ−1/2
d4 x1 d4 x2 d4 x3 d4 x4 ei( p1 x1 + p2 x2 −k1 x3 −k2 x4 ) (x1 + m2 )(x2 + m2 )
iZψ−1/2
(s)
←
× v (k2 )(i/
∂ x4 − m) h0| T {φ( x1 )φ( x2 )ψ( x3 )ψ( x4 )} |0i (i ∂/x3 +m)u(r) (k1 )
ˆ
2 2
= −iZφ−1/2
iZψ−1/2 ( p21 − m2 )( p22 − m2 ) d4 x1 d4 x2 d4 x3 d4 x4 ei( p1 x1 + p2 x2 −k1 x3 −k2 x4 )
× v(s) (k2 )(−k/2 − m) h0| T {φ( x1 )φ( x2 )ψ( x3 )ψ( x4 )} |0i (−k/1 + m)u(r) (k1 )
donde se ha empleado la transformada de Fourier de la función de Green, de
forma análoga a como hicimos para llegar a (8).
Estos campos no son libres.
294
Reglas de Feynman para fermiones (Teoría de Yukawa)
B Para escribir los campos en la imagen de interacción reemplazamos
h0| T {φ( x1 )φ( x2 )ψ( x3 )ψ( x4 )} |0i por
ˆ
h0| T φ( x1 )φ( x2 )ψ( x3 )ψ( x4 ) exp −i d4 x H I ( x ) |0i
Aplicamos el th Wick y nos fijamos en las contribuciones conexas (surgen a O( g2 ))
(A)
x4
x
x2
+
x3
y
( x ↔ y)
x1
: φ1 φ2 ψ3 ψ4 ψ x ψx φx ψy ψy φy :
: φ1 φ2 ψ3 ψ4 ψ x ψx φx ψy ψy φy :
= −φ1 φy φ2 φx ψ4 ψ x ψx ψy ψy ψ3
= −φ1 φx φ2 φy ψ4 ψy ψy ψ x ψx ψ3
295
Reglas de Feynman para fermiones (Teoría de Yukawa)
(B)
x4
x
x2
+
x3
y
( x ↔ y)
x1
: φ1 φ2 ψ3 ψ4 ψ x ψx φx ψy ψy φy :
: φ1 φ2 ψ3 ψ4 ψ x ψx φx ψy ψy φy :
= −φ1 φx φ2 φy ψ4 ψ x ψx ψy ψy ψ3
= −φ1 φy φ2 φx ψ4 ψy ψy ψ x ψx ψ3
B Consideremos el primero de los dos diagramas posibles, cuya contribución basta
multiplicar por 2 para incluir el diagrama resultante de intercambiar x por y.
Tendremos en cuenta un cambio de signo al hacer el orden normal de las
contracciones:
296
Reglas de Feynman para fermiones (Teoría de Yukawa)
h~p1~p2 | iT |k1 k2 i A
ˆ 4
2 2
= 2 × −iZφ−1/2
−iZψ−1/2 ( p21 − m2 )( p22 − m2 ) ∏ d4 xi d4 xd4 y ei( p1 x1 + p2 x2 −k1 x3 −k2 x4 )
i =1
21
× (−1) × DF ( x1 − y) DF ( x2 − x )
× (−ig)
2!
× v(s) (~k2 )(k/2 + m)SF ( x4 − x )SF ( x − y)SF (y − x3 )(k/1 − m)u(r) (~k1 )
ˆ 4
= −(−ig)2 ( p21 − m2 )( p22 − m2 ) ∏ d4 x̃i d4 xd4 y ei( p1 x̃1 + p2 x̃2 +k1 x̃3 −k2 x̃4 ) ei( p2 −k2 )x+i( p1 −k1 )y
i =1
× DF ( x̃1 ) DF ( x̃2 )v (~k2 )(k/2 + m)SF ( x̃4 )SF ( x − y)SF ( x̃3 )(k/1 − m)u(r) (~k1 )
ˆ
= −(−ig)2 i2 d4 xd4 y ei( p2 −k2 )x+i( p1 −k1 )y
(s)
i
i
~
× v (k2 )(k/2 + m)
SF ( x − y)
(k/1 − m)u(r) (~k1 )
−k/2 − m
k/1 − m
ˆ
= (−ig)2 d4 x̃d4 y ei( p2 −k2 )x̃ ei( p1 + p2 −k1 −k2 )y v(s) (~k2 )SF ( x̃ )u(r) (~k1 )
(s)
= (−ig) (2π ) δ ( p1 + p2 − k1 − k2 )v (~k2 )
2
4 4
(s)
i
u(r) (~k1 )
/
p2 − k/2 − m
297
Reglas de Feynman para fermiones (Teoría de Yukawa)
donde se han hecho los cambios x̃1 = x1 − y, x̃2 = x2 − x, x̃3 = y − x3 ,
x̃4 = x4 − x, después x̃ = x − y, y se han puesto todas las Z = 1, pues sus
correcciones no contribuyen hasta un orden más alto en g.
298
Reglas de Feynman para fermiones (Teoría de Yukawa)
B El otro diagrama, incluyendo x ↔ y:
ˆ
h~p1~p2 | iT |k1 k2 i B = −(−ig)2 ( p21 − m2 )( p22 − m2 )
4
∏ d4 xi d4 xd4 y ei( p1 x1 + p2 x2 −k1 x3 −k2 x4 )
i =1
× DF ( x1 − x ) DF ( x2 − y)v(s) (~k2 )(k/2 + m)SF ( x4 − x )SF ( x − y)SF (y − x3 )(k/1 − m)u(r) (~k1 )
ˆ 4
= −(−ig)2 ( p21 − m2 )( p22 − m2 ) ∏ d4 x̃i d4 xd4 y ei( p1 x̃1 + p2 x̃2 +k1 x̃3 −k2 x̃4 ) ei( p1 −k2 )x+i( p2 −k1 )y
i =1
× DF ( x̃1 ) DF ( x̃2 )v(s) (~k2 )(k/2 + m)SF ( x̃4 )SF ( x − y)SF ( x̃3 )(k/1 − m)u(r) (~k1 )
ˆ
= −(−ig)2 i2 d4 xd4 y ei( p1 −k2 )x+i( p2 −k1 )y
i
i
~
SF ( x − y)
(k/1 − m)u(r) (~k1 )
× v (k2 )(k/2 + m)
−k/2 − m
k/1 − m
ˆ
= (−ig)2 d4 x̃d4 y ei( p1 −k2 )x̃ ei( p1 + p2 −k1 −k2 )y v(s) (~k2 )SF ( x̃ )u(r) (~k1 )
(s)
= (−ig) (2π ) δ ( p1 + p2 − k1 − k2 )v (~k2 )
2
4 4
(s)
i
u(r) (~k1 )
/
p1 − k/2 − m
299
Reglas de Feynman para fermiones (Teoría de Yukawa)
donde se han hecho los cambios x̃1 = x1 − x, x̃2 = x2 − y, x̃3 = y − x3 ,
x̃4 = x4 − x, y después x̃ = x − y.
300
Reglas de Feynman para fermiones (Teoría de Yukawa)
B Podemos expresar ambos diagramas en el espacio de momentos:
k1
p1
+
k 1 − p1
k2
k1
p2
p1
k 1 − p2
k2
p2
B La dirección del momento en una línea fermiónica es relevante. Se toma entrante
para estados iniciales y saliente para estados finales. El momento coincide con la
dirección del flujo de número fermiónico para las líneas internas y para los
estados de partícula (para un electrón se toma la dirección de la carga negativa),
pero el momento tiene sentido contrario al flujo para las antipartículas.
B Las líneas fermiónicas se representan mediante líneas continuas y el flujo
fermiónico mediante una flecha insertada en la línea.
301
Reglas de Feynman para fermiones (Teoría de Yukawa)
B Desde ahora reservaremos las líneas discontinuas para los bosones escalares.
B Para escribir las reglas de Feynman hay que recorrer cada línea fermiónica en
sentido contrario al flujo fermiónico, asignando espinores, vértices y
propagadores según vayan apareciendo.
B Veamos cuáles son las reglas de la teoría de Yukawa, que pueden deducirse del
cálculo anterior:
1. Para hallar la amplitud de scattering, no hay que escribir los propagadores
externos ni para escalares ni para fermiones, pues se cancelan en la fórmula
LSZ. Basta dibujar todos los diagramas conexos amputados. Podemos ignorar
√
los factores Z a orden más bajo en TP, pero habrá que incluirlos en
correcciones de orden superior. Los consideraremos incluidos dentro de la
amplitud invariante iM que se define, como ya hemos visto, extrayendo de la
matriz S el factor (2π )4 δ4 (∑i pi − ∑ j k j ).
302
Reglas de Feynman para fermiones (Teoría de Yukawa)
2. Asociar espinores a las patas fermiónicas externas del siguiente modo
(supondremos que el tiempo fluye de izquierda a derecha):
fermión entrante:
fermión saliente:
p
=
antifermión entrante:
p
p
u(s) (~p)
= u(s) (~p)
antifermión saliente:
= v(s) (~p)
p
= v(s) (~p)
3. Vértice (imponer conservación de momento en cada vértice):
= −ig
303
Reglas de Feynman para fermiones (Teoría de Yukawa)
4. Propagadores:
p
p
i
= 2
p − m2 + ie
i( /
p + m)
= 2
p − m2 + ie
304
Reglas de Feynman para fermiones (Teoría de Yukawa)
5. Hay que tener cuidado con los signos relativos entre diagramas que involucren
varias líneas fermiónicas debido a las contracciones de Wick. Por ejemplo, los
siguientes diagramas contribuyen con signos opuestos a la amplitud porque
entre ellos hay una permutación impar de los campos fermiónicos:
k1
p1
k1
p1
k2
p2
+
k2
iM = (−ig)2 u( p2 )u(k2 )
p2
i
i
u
(
p
)
u
(
k
)
−
u
(
p
)
u
(
k
)
u ( p1 ) u ( k 2 )
2
1
1
1
( k 1 − p1 )2 − m2
( k 1 − p2 )2 − m2
305
Reglas de Feynman para fermiones (Teoría de Yukawa)
6. Asignar un factor (−1) a cada loop cerrado de fermiones, pues
= ψψψψψψψψ = −Tr ψψ ψψ ψψ ψψ = −Tr(SeF SeF SeF SeF )
306