presentación - Colombia Aprende

Matemáticas para Todos y con
Todos
La Resolución de Problemas
Matemáticos en la
Construcción de Ambientes
de Aprendizaje
Manuel Santos Trigo
Octubre 2014
La Resolución
de Problemas
Matemáticos
Fundamentos
Principales
desarrollos
Múltiples
soluciones
¿Qué es?
¿Cuáles son los
principios?
Resultados de
investigación y
enseñanza
Ejemplos: el papel de
los problemas
La Resolución de Problemas
Matemáticos
¿Qué procesos de pensamiento y formas de
razonamiento se involucran en la comprensión,
de un concepto o resolución de un problema?
¿Cómo se comunica la
solución de un problema?
4
1
2
3
¿Cómo se formula un problema,
concepto o pregunta en
matemáticas?
¿Cómo se genera y sustenta
una conjetura o relación
matemática?
5
Dinámicas de clase, los problemas
y discusión; las formas de evaluar
el aprendizaje
Fundamentos
Uso de diversos tipos
de representaciones
1
2
Ciclos iterativos de discusión y
colaboración que involucra expresar,
#%"$"#$"$" "$""0"
ideas y métodos de solución
Problematizar: Formular preguntas y buscar
diferentes maneras de responderlas
4
3
Planteamientos de conjeturas
y formas de sustentarlas
5
Comunicación de
resultados
Desarrollos en la Resolución de Problemas
(hasta los 80)
1980
PublicaKrutetskii
How to solve it y
1976
Kline
Hadamard (Essay on the
1970
psychology of invention
+/5*'.#5*'.#5+%4B'-&.
a la matemática
Introspección:
Enseñanza centrada enCrítica
el
profesor.
Habilidades 4 fases
moderna.
1960
en
la resolución
matemáticas
de de
niños
Resolución
de
problemas
talento
problemas.
(comprensión, plan,
realización, visión
1950
retrospectiva), métodos
Polya y
1945
heurísticos.
Hadamard
1973
1940
Desarrollos en la Resolución de Problemas
(hasta el 2000)
2000 NCTM
2000
La propuesta del
currículum de la NCTM
Schoenfeld
+&'/5+B%#/
1992
Enseñanza centrada en
el estudiante
a la resolución de
1990
Un
programa
de una
problemas
como
1989 NCTM
investigación:
Recursos
actividad central
en el
básicos,
estrategias
aprendizaje
de las
1985 Libro del año
cognitivas
(heurísticas);
matemáticas
metacognitivas (estrategias
de monitoreo propio); y
1980 NCTM
1980 sistemas de creencias.
1995
Desarrollos regionales 2000 y más
ZDM
2007
La teoría
de las situaciones
Problem
Solving
Around
the World:
didácticas
yabiertos
lasoluciones
teoría
antropológica
Un
múltiples
Problemas
La problema
matemática
realista
Summing
Up the State of the Art
de la didáctica
!
Desarrollos recientes
2000-2014
?
Santos-Trigo, M. and Camacho-Machín, M. (2009). Towards the
construction of a framework to deal with routine problems to foster
mathematical inquiry. PRIMUS, Problems, Resources, and Issues in
Mathematical Undergraduate Studies, 19(3), pp. 260-279.
?
Common Core State Standards for Mathematics (CCSS) (2010).
Common Core State Standards Initiative. http://
www.corestandards.org/.
?
Schmidt, E. & Cohen, J. (2013) (eBook version). The new digital
area. Reshaping the future of people, nations and business. NY:
Random House and Google inc.
?
Santos-Trigo, M. (2014).Santos-Trigo, M. (2014). Problem solving in
mathematics education. En S. Lerman (ed.), *Encyclopedia of
Mathematics Education*, pp. 496-501. NY: Springer.
Dado el vértice de un triángulo equilátero y
una línea la cual contiene los otros dos
-3)+ *%+ 7)#'&* 5%#&*&*
-3)+ *)*%+ -)*&*$ %&*')
construir el triángulo?,
Acercamientos que
involucran el uso
de regla y compás
Modelos estáticos,
&%*+), &%*') **.
A5
Modelos dinámicos
en la construcción
del triángulo
Movimiento controlado
de algunos elementos,
' # % + $ % + & 0
seguimiento
de
conjeturas
B7
Ejemplos de
modelos estáticos
- * 5%,%*$%+&
' ) # # * $ & c i r c u m c e n t r o ,
*$!%1 )&+ 5%
teorema de Viviane
A5
Ejemplos de
modelos dinámicos
Lugares geométricos,
)+* 5% * *&*
')+ ,#)* ')&#$
resuelto, etc.
B7
A1
Trazo del circuncentro, propiedades
Main ideas involved in
solution approaches
Constructing altitude of triangle
Heuristics methods
Adding auxiliary lines
" %+')&#$**&#-
&)" %".)*
Deductive
!
)&')+ *&%&+## %*%'& %+* %%
equilateral triangle
)&')+ *&%+)& % ),$%+)
A2
An approach that focuses on
similarity of triangles
Main ideas involved in
solution approaches
Focusing on similarity
Heuristics methods
Relaxing the initial task conditions
Deductive
!
Similarity of triangles
)&')+ *&' )&%#*&%')#### %*
,+0+)%*-)*#
A3
Focusing on a rotation method
Main ideas involved in
solution approaches
Rotating lines a given angle
Heuristics methods
' #**&,* %&% %+) &)%#*
Deductive
!
Geometric transformation (rotation)
A4
An approach based on
Viviani’s theorem
Main ideas involved in
solution approaches
Constructing altitude of triangle
,$& *+%*% %*) ) ++) %#*
Heuristics methods
Adding auxiliary lines
" %+')&#$**&#-
&)" %".)*
Deductive
!
Viviani’s theorem
%*) %#+&)$
)&')+ *&+%%+*# %*+& )#+)&,
%/+)%#'& %+
A5
An approach that focuses
on the height and side
Main ideas involved in
solution approaches
Constructing altitude of triangle
#+ &%* '+.%#+ +,%* Heuristics methods
Adding auxiliary lines
" %+')&#$**&#-
&)" %".)*
Deductive
!
Similarity of triangles
Pythagoras theorem
Acercamiento basado en la
construcción de un triángulo
isósceles
B1
Main ideas involved in
solution approaches
/'#&) %+- &)&$ #0& *&*#*
triangles
Finding a locus
*)- % %+)*+ &%'& %+*&+.&#& (generally conic sections)
Heuristics methods
Relaxing the initial task conditions
Controlled movement (dragging)
Finding loci
Deductive
Visual
$' ) #
). %# %&%#&,*
!
)&')+ *&%&+## %* %%(, #+)#
triangle
)&')+ *&')'% ,#) *+&)
Geometric transformation (rotation)
)&')+ *&%(, #+)#triangle
)'% ,#)lines
An approach that relies on properties
of the equilateral triangle
B2
Main ideas involved in
solution approaches
/'#&) %+- &)&$ #0& *&*#*
triangles
Finding a locus
*)- % %+)*+ &%'& %+*&+.&#& (generally conic sections)
Heuristics methods
Relaxing the initial task conditions
Controlled movement (dragging)
Finding loci
Deductive
Visual
$' ) #
). %# %&%#&,*
!
)&')+ *&%&+## %* %%(, #+)#
triangle
)&')+ *&')'% ,#) *+&)
Geometric transformation (rotation)
)&')+ *&%(, #+)#triangle
)'% ,#)lines
B3
A serendipitous result
Main ideas involved in
solution approaches
Finding a locus
*)- % %+)*+ &%'& %+*&+.&#& (generally conic sections)
Heuristics methods
Controlled movement (dragging)
Finding loci
Adding auxiliary lines
Deductive
Visual
$' ) #
!
)&')+ *&')'% ,#) *+&)
7% + &%%')&')+ *&&% sections
)'% ,#)lines
An approach based on
the construction of
three congruent circles
B4
Main ideas involved in
solution approaches
Finding a locus
*)- % %+)*+ &%'& %+*&+.&#& (generally conic sections)
/'#&) %+- &)& %+)*+ &%'& %+*
of congruent circles
Heuristics methods
Controlled movement (dragging)
Finding loci
Visual
$' ) #
*,) %++) ,+*
!
Geometric transformation (rotation)
)&')+ *&%(, #+)#+) %#
)&')+ *& )#*
A third approach that focuses
on the intersection of loci
B5
Main ideas involved in
solution approaches
Finding a locus
*)- % %+)*+ &%'& %+*&+.&#& (generally conic sections)
Heuristics methods
Controlled movement (dragging)
Finding loci
Visual
$' ) #
*,) %++) ,+*
!
7% + &%%')&')+ *&&% *+ &%*
)'% ,#)# %*
An approach that relies on
symmetry and locus properties
B6
Main ideas involved in
solution approaches
/'#&) %+- &)&$ #0& *&*#*
triangles
Finding a locus
*)- % %+)*+ &%'& %+*&+.&#& (generally conic sections)
Heuristics methods
Controlled movement (dragging)
Finding loci
/'#&) %*0$$+)0
Visual
$' ) #
*,) %++) ,+*
!
)&')+ *&%&+## %* %%(, #+)#
triangle
)&')+ *&')'% ,#) *+&)
)&')+ *&%(, #+)#+) %#
Symmetry
)'% ,#)# %*
Symmetry axes
An approach that involves the
use of conic sections
B7
Main ideas involved in
solution approaches
Finding a locus
*)- % %+)*+ &%'& %+*&+.&#& (generally conic sections)
Heuristics methods
Controlled movement (dragging)
Finding loci
/'#&) %*0$$+)0
Visual
$' ) #
!
7% + &%%')&')+ *&&% *+ &%*
)'% ,#)# %*
Digital tools
Conclusiones
.
La resolución de problemas es un dominio de investigación y
práctica que ha sustentado diversas propuestas del currículum
y formas de construir conocimiento matemático.
.
En la propuesta se destaca que el estudiante formule
preguntas, busque diversas maneras de representar y resolver
un problema, formule conjeturas, construya distintos
argumentos para sustentar relaciones y comunique resultados.
.
El uso coordinado y sistemático de tecnologías digitales ofrece
al estudiantes la oportunidad de expandir las maneras de
razonar y explorar conocimiento matemático.