matematicas - Pontificia Universidad Javeriana
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Matemática financiera •Concepto de inversión •Componentes de la tasa de interés •Interés simple y compuesto •Factores de conversión MATEMATICAS Financieras •Tasas equivalentes •Anticipas y vencidas •Nominales y efectivas •Criterios decisorios •VPN •TIR •Consideraciones sobre los metodos http://www.javeriana.edu.co/cursad/modulo.finanzas •Costo del dinero •Construcción de flujos •Riesgo Ejercicios: Julio A. Sarmiento S. Profesor - investigador Departamento de Administración Pontificia Universidad Javeriana © Julio Alejandro Sarmiento Sabogal - 2002 Matemática financiera Objetivos •Concepto de inversión •Componentes de la tasa de interés •Interés simple y compuesto •Factores de conversión •Tasas equivalentes •Anticipas y vencidas •Nominales y efectivas •Criterios decisorios •VPN •TIR •Consideraciones sobre los metodos •Costo del dinero •Construcción de flujos •Riesgo Ejercicios: Conceptuales •Entender el concepto de equivalencia. •Diferenciar entre tasas nominales, efectivas periodicas y saber para qué sirve cada una de ellas. Instrumentales •Manejar los factores de conversión. •Construir tablas de amortización. •Manipular las tasas de interés. y Matemática financiera •Concepto de inversión •Componentes de la tasa de interés •Interés simple y compuesto •Factores de conversión •Tasas equivalentes •Anticipas y vencidas •Nominales y efectivas INVERSION •Criterios decisorios •VPN •TIR •Consideraciones sobre los metodos •Costo del dinero •Construcción de flujos •Riesgo Ejercicios: Cualquier sacrificio de recursos hoy con la esperanza de recibir algún beneficio en el futuro. Matemática financiera El Concepto de inversión •Concepto de inversión •Componentes de la tasa de interés •Interés simple y compuesto •Factores de conversión sacrificio de recursos hoy con la esperanza de recibir algún beneficio en el futuro. •Tasas equivalentes •Anticipas y vencidas •Nominales y efectivas •Criterios decisorios •VPN •TIR •Consideraciones sobre los metodos •Costo del dinero •Construcción de flujos •Riesgo Ejercicios: •Tendencia al consumo inmediato •Si se quiere que alguien no consuma algo, hay que recompensarla. •Ejemplo: ¿Si Usted tiene el dinero para comprar un carro hoy, guardaría ese dinero debajo del colchón para adquirirlo dentro de un año? El Concepto de inversión Matemática financiera •Concepto de inversión •Componentes de la tasa de interés •Interés simple y compuesto •Factores de conversión •Tasas equivalentes •Anticipas y vencidas •Nominales y efectivas sacrificio de recursos hoy con la esperanza de recibir algún beneficio en el futuro. •Criterios decisorios •VPN •TIR •Consideraciones sobre los metodos •Costo del dinero •Construcción de flujos •Riesgo Ejercicios: •No solamente se evalúan los recursos monetarios, también se deben tener en cuenta los demás recursos DESEABLES y ESCASOS. •Un problema: La valoración de los activos. El Concepto de inversión Matemática financiera •Concepto de inversión •Componentes de la tasa de interés •Interés simple y compuesto •Factores de conversión •Tasas equivalentes sacrificio de recursos hoy con la esperanza de recibir algún beneficio en el futuro. futuro •Anticipas y vencidas •Nominales y efectivas •Criterios decisorios •VPN •TIR •Consideraciones sobre los metodos •Costo del dinero •Construcción de flujos •Riesgo Ejercicios: •El tiempo es el elemento principal de la matemática financiera: •El valor del dinero como recurso tiene sentido UNICAMENTE cuando este se usa por un periodo de tiempo. El Concepto de inversión Matemática financiera •Concepto de inversión •Componentes de la tasa de interés •Interés simple y compuesto •Factores de conversión •Tasas equivalentes •Anticipas y vencidas •Nominales y efectivas sacrificio de recursos hoy con la esperanza de recibir algún beneficio en el futuro •Criterios decisorios •VPN •TIR •Consideraciones sobre los metodos •Costo del dinero •Construcción de flujos •Riesgo Ejercicios: •En cualquier inversión, existe el riesgo de no recibir parte o toda la inversión y los beneficios esperados. El Concepto de inversión Matemática financiera •Concepto de inversión •Componentes de la tasa de interés •Interés simple y compuesto •Factores de conversión sacrificio de recursos hoy con la esperanza de recibir algún beneficio en el futuro •Tasas equivalentes •Anticipas y vencidas •Nominales y efectivas •Criterios decisorios •VPN •TIR •Consideraciones sobre los metodos •Costo del dinero •Construcción de flujos •Implica que además de recibir la inversión, debe recibir algún recurso adicional. •Riesgo Ejercicios: Beneficio = Recuperación de la inversión + Ingreso Intereses adicional Matemática financiera •Concepto de inversión Estudiando los “Beneficios”... •Componentes de la tasa de interés •Interés simple y compuesto •Factores de conversión •Tasas equivalentes La tasa de Interés: •Anticipas y vencidas •Nominales y efectivas •Criterios decisorios •VPN •TIR •Consideraciones sobre los metodos •Costo del dinero •Construcción de flujos •Riesgo Ejercicios: La tasa de interés es la utilidad (rentabilidad) medida en términos porcentuales del rendimiento de un capital determinado Matemática financiera Estudiando los “Beneficios”... •Concepto de inversión •Componentes de la tasa de interés •Interés simple y compuesto •¿De cuánto deben ser estos beneficios o intereses? •Factores de conversión •Tasas equivalentes •Anticipas y vencidas •Nominales y efectivas •Criterios decisorios •VPN •TIR •Consideraciones sobre los metodos •Costo del dinero •Construcción de flujos •Riesgo Ejercicios: •¿Cuánto es lo mínimo que debo cobrar para no perder? Los beneficios deberán cubrir: 1. La pérdida del poder adquisitivo. (Inflación) 2. El riesgo de perder una parte o todo el dinero. 3. El “sacrificio” de no consumir ahora (componente real) Matemática financiera •Concepto de inversión Estudiando los “Beneficios”... •Componentes de la tasa de interés •Interés simple y compuesto Análisis de los componentes de la tasa de interés. •Factores de conversión •Tasas equivalentes •Anticipas y vencidas •Nominales y efectivas •Criterios decisorios •VPN •TIR •Consideraciones sobre los metodos •Costo del dinero •Construcción de flujos •Riesgo Ejercicios: •La inflación: Medida del aumento del nivel general de precios a través de la canasta familiar. En Colombia se utiliza el IPC para cálculo la inflación. Esta medida se basa en la medición de la canasta familiar en diferentes ciudades. Esta canasta familiar esta compuesta por diferentes grupos de gasto y para cada uno de los estratos socio-económicos Matemática financiera Estudiando los “Beneficios”... •Concepto de inversión •Componentes de la tasa de interés •Interés simple y compuesto Análisis de los componentes de la tasa de interés. •Factores de conversión •Tasas equivalentes •Anticipas y vencidas •Nominales y efectivas •Criterios decisorios •VPN •TIR •Consideraciones sobre los metodos •Costo del dinero •Construcción de flujos •Riesgo Ejercicios: La inflación: Componentes de la canasta familiar en Colombia Grupos de gasto: Alimentos Cultura y Diversión Educación Gastos varios Transporte Salud Vestuario Vivienda Ciudades: Santafé de Bogotá Neiva Medellín Cali Pasto Cartagena Barranquilla Bucaramanga Cúcuta Manizales Montería Pereira Villavicencio Cobertura Socio-económica Alta Media Baja Matemática financiera •Concepto de inversión Estudiando los “Beneficios”... •Componentes de la tasa de interés •Interés simple y compuesto •Factores de conversión •Tasas equivalentes •Anticipas y vencidas •Nominales y efectivas •Criterios decisorios •VPN •TIR •Consideraciones sobre los metodos •Costo del dinero •Construcción de flujos •Riesgo Ejercicios: El UPAC y la UVR En la práctica, la utilización de este componente es mucho más popular de lo que se podría pensar. De hecho, el desaparecido UPAC y la reciente UVR nacen del problema de la gran variabilidad de la inflación, la cual no permitía hacer préstamos de largo plazo. Por lo tanto, en 1972 se creó la corrección monetaria, que debería ser igual al componente inflacionario. Matemática financiera Estudiando los “Beneficios”... •Concepto de inversión •Componentes de la tasa de interés •Interés simple y compuesto El componente real •Factores de conversión •Tasas equivalentes •Anticipas y vencidas •Nominales y efectivas •Criterios decisorios •VPN •TIR •Consideraciones sobre los metodos •Costo del dinero Aunque se ha generalizado la suposición de que este componente oscila entre el 3% y el 4% a nivel mundial, este depende de varios factores: •Las situaciones de liquidez o iliquidez del mercado. •El tamaño de la economía del país. •Construcción de flujos •Riesgo Ejercicios: •La capacidad de ahorro •La variabilidad de la inflación. Matemática financiera •Concepto de inversión Estudiando los “Beneficios”... •Componentes de la tasa de interés •Interés simple y compuesto La tasa real en Colombia •Factores de conversión •Tasas equivalentes •Anticipas y vencidas •Nominales y efectivas •Criterios decisorios •VPN •TIR •Consideraciones sobre los metodos •Costo del dinero •Construcción de flujos •Riesgo Ejercicios: Fuente: Matemática financiera •Concepto de inversión Estudiando los “Beneficios”... •Componentes de la tasa de interés •Interés simple y compuesto •Factores de conversión •Tasas equivalentes •Anticipas y vencidas •Nominales y efectivas •Criterios decisorios •VPN •TIR Riesgo pais = Spread. Diferencia entre la tasa que paga un bono de la FED (USA) y un bono del gobierno colombiano (Bono Yankie) en la bolsa de Nueva York. http://www.minhacienda.gov.co •Consideraciones sobre los metodos •Costo del dinero •Construcción de flujos •Riesgo Ejercicios: Riesgo sector = Indicador sectorial. Calculado por la ANIF, para cada año según el comportamiento del mismo. Matemática financiera •Concepto de inversión Estudiando los “Beneficios”... •Componentes de la tasa de interés •Interés simple y compuesto •Factores de conversión •Tasas equivalentes Únicamente cuando la tasa de interés pagada cubre estos tres componentes, el inversionista acepta el “proyecto”. •Anticipas y vencidas •Nominales y efectivas •Criterios decisorios •VPN •TIR •Consideraciones sobre los metodos Esta tasa a la cual el “proyecto” es aceptado, se le conoce cómo: Tasa de descuento (TD) •Costo del dinero •Construcción de flujos Tasa de rentabilidad mínima aceptable (TREMA) •Riesgo Ejercicios: Tasa de interés de oportunidad (TIO) Matemática financiera •Concepto de inversión Estudiando los “Beneficios”... •Componentes de la tasa de interés •Interés simple y compuesto •Factores de conversión •Tasas equivalentes •Anticipas y vencidas •Nominales y efectivas •Criterios decisorios •VPN •TIR •Consideraciones sobre los metodos •Costo del dinero •Construcción de flujos •Riesgo Ejercicios: EN CONCLUSION •1 peso de hoy es equivalente (no igual) a 1+x pesos dentro de un período de tiempo. Esto se conoce como el concepto de equivalencia. •La tasa de interés, interés sintetiza este concepto en un porcentaje que mínimo al cual se decide invertir. Ic = (1+if) x (1+ir) x (1+iθ) - 1 Donde: • Ic: tasa de interés • if : componente de inflación •iθ : Componente de riesgo •ir : representa el componente real. Matemática financiera Estudiando los “Beneficios”... •Concepto de inversión •Componentes de la tasa de interés •Interés simple y compuesto •Factores de conversión •Tasas equivalentes •Anticipas y vencidas •Nominales y efectivas •Criterios decisorios •VPN •TIR •Consideraciones sobre los metodos •Costo del dinero •Construcción de flujos •Riesgo Ejercicios: Las tasas de Descuento en Colombia (2003) Matemática financiera •Concepto de inversión Un ejemplo... •Componentes de la tasa de interés •Interés simple y compuesto •Factores de conversión •Tasas equivalentes •Anticipas y vencidas •Nominales y efectivas •Criterios decisorios •VPN •TIR Le han solicitado un préstamo por $1.000.000 para pagarlo en un mes. ¿Qué tasa de interés cobraría Ud. por este préstamo? •Consideraciones sobre los metodos •Costo del dinero •Construcción de flujos •Riesgo Ejercicios: La T.D. es diferente para cada uno de los inversionistas y depende de muchos factores Matemática financiera •Concepto de inversión Un ejemplo... •Componentes de la tasa de interés •Interés simple y compuesto •Factores de conversión •Criterios decisorios •VPN •TIR •Consideraciones sobre los metodos •Costo del dinero •Construcción de flujos •Riesgo Ejercicios: $1.000.000 •Anticipas y vencidas •Nominales y efectivas Recuperación de la inversión Beneficios •Tasas equivalentes Matemática financiera •Concepto de inversión Un ejemplo... •Interés simple y compuesto $ 7.974 $ 3.274 $ 8.752 •Factores de conversión •Tasas equivalentes •Criterios decisorios •VPN •TIR •Consideraciones sobre los metodos •Costo del dinero •Construcción de flujos •Riesgo Ejercicios: $1.000.000 •Anticipas y vencidas •Nominales y efectivas Recuperación de la inversión Beneficios •Componentes de la tasa de interés Inflación Real Riesgo Matemática financiera •Concepto de inversión Un ejemplo... •Componentes de la tasa de interés •Interés simple y compuesto •Factores de conversión •Tasas equivalentes ¿Cuál es la rentabilidad? •Anticipas y vencidas •Nominales y efectivas •Criterios decisorios •VPN •TIR •Consideraciones sobre los metodos •Costo del dinero •Construcción de flujos •Riesgo Ejercicios: Ingresos −1 rentabilidad = Inversión Intereses Tasa = Inversión 1.020.000 − 1 = 2% 1.000.000 20.000 = 2% 1.000.000 Matemática financiera •Concepto de inversión Los términos •Componentes de la tasa de interés •Interés simple y compuesto •Factores de conversión •Tasas equivalentes •Anticipas y vencidas •Nominales y efectivas •Criterios decisorios •VPN •TIR •Consideraciones sobre los metodos •Costo del dinero •Construcción de flujos •Riesgo Ejercicios: Nombre común Ingresos Inversión Utilidad ($) Rentabilidad (%) Matemática financiera Valor futuro Suma presente Intereses (I) Tasa de interes (i) Matemática financiera •Concepto de inversión Las ecuaciones básicas •Componentes de la tasa de interés •Interés simple y compuesto •Factores de conversión •Tasas equivalentes •Anticipas y vencidas •Nominales y efectivas •Criterios decisorios •VPN •TIR Valor Futuro = Valor Actual * (1+Tasa de Interés) •Consideraciones sobre los metodos •Costo del dinero •Construcción de flujos •Riesgo Ejercicios: Intereses( I ) Tasa de Interés (i) = Valor _ Actual (VA) Matemática financiera •Concepto de inversión El diagrama de flujo de caja •Componentes de la tasa de interés •Interés simple y compuesto •Factores de conversión •Tasas equivalentes 1.000.000 •Anticipas y vencidas •Nominales y efectivas •Criterios decisorios •VPN •TIR •Consideraciones sobre los metodos 0 1 •Costo del dinero •Construcción de flujos •Riesgo Ejercicios: (1.000.000) 2 n Matemática financiera Interés simple e interés compuesto •Concepto de inversión •Componentes de la tasa de interés •Interés simple y compuesto La historia de un amigo... •Factores de conversión •Tasas equivalentes 1.000 •Anticipas y vencidas •Nominales y efectivas •Criterios decisorios •VPN •TIR Mi teoría 0 i%=10% Diario 1 •Consideraciones sobre los metodos 2 1.200 •Costo del dinero •Construcción de flujos i%=10% Diario •Riesgo Ejercicios: La de mi amigo 0 1.000 1 1.210 2 Matemática financiera Interés simple e interés compuesto •Concepto de inversión •Componentes de la tasa de interés •Interés simple y compuesto •Factores de conversión La historia de un amigo... •Tasas equivalentes •Anticipas y vencidas •Nominales y efectivas •Criterios decisorios •VPN •TIR Los intereses de los 100 que NO pagó •Consideraciones sobre los metodos 10 100 100 •Costo del dinero •Construcción de flujos 100 1.000 •Riesgo Ejercicios: 0 1.000 1 2 Matemática financiera Interés simple e interés compuesto •Concepto de inversión •Componentes de la tasa de interés •Interés simple y compuesto •Factores de conversión •Tasas equivalentes Interés simple: Se cobran intereses únicamente sobre la suma inicial •Anticipas y vencidas •Nominales y efectivas •Criterios decisorios •VPN •TIR 1.000 Mi teoría 0 i%=10% Diario 2 1 •Consideraciones sobre los metodos •Costo del dinero •Construcción de flujos •Riesgo Ejercicios: 1.200 Interés compuesto: Se cobran intereses sobre la suma inicial y sobre los intereses no 1.210 i%=10% Diario pagados. La de mi amigo 0 1.000 1 2 Matemática financiera •Concepto de inversión Los términos (2) •Componentes de la tasa de interés •Interés simple y compuesto •Factores de conversión •Tasas equivalentes •Anticipas y vencidas •Nominales y efectivas •Criterios decisorios •VPN •TIR •Consideraciones sobre los metodos •Costo del dinero •Construcción de flujos •Riesgo Ejercicios: Nombre común Ingresos Inversión Utilidad ($) Rentabilidad (%) Número de períodos Cuotas o pagos Matemática financiera Valor futuro Suma presente Intereses (I) Tasa de interés (i) Nper (n) Cuotas o pagos Matemática financiera •Concepto de inversión Los términos (2) •Componentes de la tasa de interés •Interés simple y compuesto •Factores de conversión •Tasas equivalentes •Anticipas y vencidas •Nominales y efectivas •Criterios decisorios •VPN •TIR •Consideraciones sobre los metodos •Costo del dinero •Construcción de flujos •Riesgo Ejercicios: LA CUOTA O PAGO •Se tiene una cuota o pago cuando en lugar de pagar la totalidad de la inversión al finalizar el plazo, se entregan VARIAS sumas de dinero en diferentes periodos de tiempo. •En EXCEL pago se entiende como una suma uniforme que se entrega en todos y cada uno de los periodos en los que esta compuesta la inversión. Matemática financiera •Concepto de inversión Las ecuaciones básicas •Componentes de la tasa de interés •Interés simple y compuesto •Factores de conversión •Tasas equivalentes Valor Futuro = Valor Actual * (1+Tasa de Interés) •Anticipas y vencidas •Nominales y efectivas •Criterios decisorios •VPN •TIR •Consideraciones sobre los metodos •Costo del dinero •Construcción de flujos •Riesgo Ejercicios: Intereses( I ) Tasa de Interés (i) = Valor _ Actual (VA) n Matemática financiera LA CAPITALIZACION DE INTERESES... •Concepto de inversión El caso del UPAC •Componentes de la tasa de interés •Interés simple y compuesto Saldo en sistema UPAC según % aumento en cuota •Factores de conversión •Tasas equivalentes •Anticipas y vencidas •Nominales y efectivas •Criterios decisorios •VPN •TIR •Consideraciones sobre los metodos •Costo del dinero 80000 70000 60000 50000 40000 •Construcción de flujos •Riesgo Ejercicios: 30000 20000 10000 0 -10000 0 50 100 Mes 150 200 Tomado de Ignacio Vélez. Matemática financiera LA CAPITALIZACION DE INTERESES... •Concepto de inversión El caso del UPAC •Componentes de la tasa de interés •Interés simple y compuesto Salario vs. Cuota en UPACs •Factores de conversión •Tasas equivalentes •Anticipas y vencidas •Nominales y efectivas •Criterios decisorios •VPN •TIR S a la rio v s . c u o t a e n UP A C 25, 000, 000 20, 000, 000 •Consideraciones sobre los metodos •Costo del dinero 1 5, 000, 000 •Construcción de flujos •Riesgo Ejercicios: 1 0, 000, 000 5, 000, 000 M a y -9 0 E n e -9 3 Oc t -9 5 J u l -9 8 Ab r -0 1 E n e -0 4 Oc t -0 6 J u l -0 9 Matemática financiera •Concepto de inversión Factores de conversión •Componentes de la tasa de interés •Interés simple y compuesto •Factores de conversión •Tasas equivalentes •Anticipas y vencidas •Nominales y efectivas •Criterios decisorios •VPN •TIR •Consideraciones sobre los metodos •Costo del dinero •Construcción de flujos •Riesgo Ejercicios: •Suma presente -> Suma Futura •Suma Futura -> Suma Presente •Suma presente -> Serie de cuotas uniformes •Serie de cuotas uniformes -> Suma presente •Suma Futura -> Serie de cuotas uniformes •Serie de cuotas uniforme -> Suma Futura •Cálculo de la tasa de interés •Cálculo del número de Períodos Para insertar funciones en Excel... Matemática financiera •Concepto de inversión Factores de conversión •Componentes de la tasa de interés •Interés simple y compuesto •Factores de conversión •Tasas equivalentes •Anticipas y vencidas •Nominales y efectivas •Criterios decisorios •VPN •TIR •Consideraciones sobre los metodos •Costo del dinero •Construcción de flujos •Riesgo Ejercicios: Factor Principales fórmulas de Excel VA : Períodos iguales y pagos uniformes. VNA : Períodos iguales y pagos no uniformes. Valor VNA.NO.PER : Períodos de diferente longitud y pagos no actual uniformes. Tasa constante para todos los periodos, en todas las fórmulas VF : Períodos iguales y pagos uniformes. Valor VF.PLAN : Períodos iguales, pagos no uniformes y tasas Futuro diferentes para cada periodo. PAGO : Calcula una serie de cuotas uniformes. PAGOPRIN : Calcula la parte correspondiente al abono a Pagos capital de una cuota uniforme, en un periodo dado. PAGOINT : Calcula la parte correspondiente a el pago de intereses de una cuota uniforme, en un periodo dado. TASA : Períodos iguales y pagos uniformes. Tasa TIR : Períodos iguales y pagos no uniformes. Matemática financiera •Concepto de inversión Factores de conversión •Componentes de la tasa de interés Explicación de las funciones en Excel... •Interés simple y compuesto •Factores de conversión •Tasas equivalentes Fórmula que se desea aplicar •Anticipas y vencidas •Nominales y efectivas •Criterios decisorios •VPN •TIR •Consideraciones sobre los metodos Área de variables necesarias para el cálculo de la función. Area de explicación de la variable en uso •Costo del dinero •Construcción de flujos •Riesgo Ejercicios: Resultado obtenido Área de explicación de la Función Matemática financiera •Concepto de inversión Tablas de Amortización •Componentes de la tasa de interés •Interés simple y compuesto •Factores de conversión •Tasas equivalentes •Anticipas y vencidas •Nominales y efectivas •Criterios decisorios •VPN •TIR •Consideraciones sobre los metodos Describen el plan de pagos (comportamiento mensual de un crédito, en términos del valor adeudado, la cuota cancelada, y su distribución entre abonos a capital e intereses. DOS FORMAS DE DEFINIR EL PAGO DE CREDITOS •Costo del dinero •Construcción de flujos •Riesgo Ejercicios: Se decide el monto de la CUOTA o PAGO Se decide el monto del Abono a Capital Matemática financiera •Concepto de inversión Tablas de Amortización •Componentes de la tasa de interés •Interés simple y compuesto •Factores de conversión •Tasas equivalentes •Anticipas y vencidas •Nominales y efectivas Cuando se decide el monto de la CUOTA o PAGO PERIODO 0 1 •Criterios decisorios •VPN •TIR •Consideraciones sobre los metodos •Costo del dinero •Construcción de flujos •Riesgo Ejercicios: 0.03 PERIODO 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 SALDO INICIAL INTERESE S ABONO A CAPITAL CUOTA SALDO FINAL Es el Es igual al Es igual al Es igual a la Cuota menos cálculo Saldo saldo final del periodo Inicial por los Intereses de una cuota anterior la tasa de uniforme interés al monto periódica prestado SALDO INICIAL INTERESE S ABONO A CAPITAL 10,000,000 9,295,379 8,569,620 7,822,087 7,052,129 6,259,072 5,442,223 4,600,869 3,734,275 2,841,682 1,922,312 975,360 300,000 278,861 257,089 234,663 211,564 187,772 163,267 138,026 112,028 85,250 57,669 29,261 704,621 725,759 747,532 769,958 793,057 816,849 841,354 866,595 892,593 919,370 946,952 975,360 Es igual al Saldo Inicial menos el Abono a Capital CUOTA SALDO FINAL 1,004,621 1,004,621 1,004,621 1,004,621 1,004,621 1,004,621 1,004,621 1,004,621 1,004,621 1,004,621 1,004,621 1,004,621 10,000,000 9,295,379 8,569,620 7,822,087 7,052,129 6,259,072 5,442,223 4,600,869 3,734,275 2,841,682 1,922,312 975,360 (0) Matemática financiera •Concepto de inversión Tablas de Amortización •Componentes de la tasa de interés •Interés simple y compuesto •Factores de conversión •Tasas equivalentes •Anticipas y vencidas •Nominales y efectivas Se decide el monto del Abono a Capital PERIODO 0 1 •Criterios decisorios •VPN •TIR •Consideraciones sobre los metodos •Costo del dinero •Construcción de flujos •Riesgo Ejercicios: 0.03 PERIODO 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 SALDO INICIAL INTERESE S ABONO A CAPITAL CUOTA SALDO FINAL Es igual al Es igual al Es igual al Es la saldo final Saldo monto del suma de del periodo Inicial por préstamo los anterior la tasa de dividido por el Intereses interés número de mas el periódica periodos Abono a Capital SALDO INICIAL INTERESE S ABONO A CAPITAL 10,000,000 9,166,667 8,333,333 7,500,000 6,666,667 5,833,333 5,000,000 4,166,667 3,333,333 2,500,000 1,666,667 833,333 300,000 275,000 250,000 225,000 200,000 175,000 150,000 125,000 100,000 75,000 50,000 25,000 833,333 833,333 833,333 833,333 833,333 833,333 833,333 833,333 833,333 833,333 833,333 833,333 Es igual al Saldo Inicial menos el Abono a Capital CUOTA SALDO FINAL 1,133,333 1,108,333 1,083,333 1,058,333 1,033,333 1,008,333 983,333 958,333 933,333 908,333 883,333 858,333 10,000,000 9,166,667 8,333,333 7,500,000 6,666,667 5,833,333 5,000,000 4,166,667 3,333,333 2,500,000 1,666,667 833,333 0 Matemática financiera •Concepto de inversión Tasas equivalentes •Componentes de la tasa de interés •Interés simple y compuesto •Factores de conversión •Tasas equivalentes •Anticipas y vencidas •Nominales y efectivas •Criterios decisorios •VPN •TIR •Consideraciones sobre los metodos •Costo del dinero •Construcción de flujos Se puede observar cómo las tasas de interés se estipulan para un periodo de tiempo como por ejemplo meses, trimestres semestres o años, adicionalmente se determina el momento en el que se pagan los intereses dentro del periodo, es decir, los intereses se pueden pagar de forma anticipada o vencida. Siguiendo la idea del concepto de equivalencia, se puede determinar relaciones entre las tasas para: •Convertir tasas anticipadas a tasas vencidas. •Riesgo Ejercicios: •Convertir tasas de un tipo de periodo a otro, por ejemplo de meses a semestres. •Comparar tasas anticipadas con tasas vencidas •Comparar tasas de diferentes períodos. Matemática financiera Interés anticipado e interés vencido •Concepto de inversión •Componentes de la tasa de interés •Interés simple y compuesto •Factores de conversión •Tasas equivalentes •Anticipas y vencidas •Nominales y efectivas •Criterios decisorios •VPN •TIR Los intereses se pueden pagar al comienzo o al final del periodo, aunque internacionalmente no es muy comun que se paguen de la primera forma, en Colombia, se usan continuamente los dos formatos. •El interés anticipado se ocasiona cuando los intereses se pagan al comienzo del periodo. VA I •Consideraciones sobre los metodos •Costo del dinero •Construcción de flujos •Riesgo Ejercicios: VA •El interés vencido se ocasiona con el pago de intereses al final del periodo. I VA VA Matemática financiera Interés anticipado e interés vencido •Concepto de inversión •Componentes de la tasa de interés •Interés simple y compuesto Un ejemplo... •Factores de conversión •Tasas equivalentes •Anticipas y vencidas •Nominales y efectivas •Criterios decisorios •VPN •TIR •Consideraciones sobre los metodos •Costo del dinero •Construcción de flujos •Riesgo Ejercicios: A alguna empresa le acaban de pagar una factura por $400.000 con un cheque postfechado a un mes, como la empresa necesita urgentemente el dinero, decide recurrir a los servicios de un prestamista que entre sus actividades tiene el cambio de cheques postfechados. El prestamista, gustosamente cambia el cheque y le entrega a Agricol $380.000, pues cobró los intereses (5%) por adelantado. Matemática financiera Interés anticipado e interés vencido •Concepto de inversión •Componentes de la tasa de interés •Interés simple y compuesto El diagrama de flujo de caja del prestamista.... •Factores de conversión $400.000 •Tasas equivalentes •Anticipas y vencidas •Nominales y efectivas •Criterios decisorios •VPN •TIR 0 •Consideraciones sobre los metodos 1 •Costo del dinero •Construcción de flujos •Riesgo Ejercicios: $380.000 Matemática financiera Interés anticipado e interés vencido •Concepto de inversión •Componentes de la tasa de interés •Interés simple y compuesto Calculando la tasa de interés.... •Factores de conversión •Tasas equivalentes •Anticipas y vencidas •Nominales y efectivas •Criterios decisorios •VPN •TIR •Consideraciones sobre los metodos •Costo del dinero i% = I 20.000 = VA 380.000 =5.26% •Construcción de flujos •Riesgo Ejercicios: Observe que el cobro anticipado de intereses ocasiona un aumento de 0.26% en la tasa. En conclusión una tasa de 5% anticipado es equivalente a un 5.26% vencido. Matemática financiera Interés anticipado e interés vencido •Concepto de inversión •Componentes de la tasa de interés •Interés simple y compuesto ia iv = 1 − ia •Factores de conversión •Tasas equivalentes •Anticipas y vencidas •Nominales y efectivas •Criterios decisorios •VPN •TIR •Consideraciones sobre los metodos En este caso 0.05 iv = 1− 0.05 •Costo del dinero •Construcción de flujos •Riesgo Ejercicios: iv ia = 1 + iv iv = 5.26% Matemática financiera INTERÉS NOMINAL, INTERÉS EFECTIVO: •Concepto de inversión •Componentes de la tasa de interés •Interés simple y compuesto •Factores de conversión •Tasas equivalentes •Anticipas y vencidas •Nominales y efectivas •Criterios decisorios •VPN •TIR •Consideraciones sobre los metodos •Costo del dinero •Construcción de flujos •Riesgo La diferencia entre las tasas efectivas y nominales, surge cuando se pacta una tasa de interés para un periodo de tiempo determinado (Ej. Años) pero los intereses se liquidan en lapsos de tiempo mas cortos (ej. Meses). La tasa de interés nominal se ocasiona cuando los periodos de pago de intereses son fracciones del periodo para el cual se ha pactado la tasa. Las tasas de interés efectivas son el reconocimiento a la capitalización de intereses que ocasiona una tasa de interés nominal. Ejercicios: Ud. quiere invertir $500.000, por lo cual llama a un asesor de su entidad financiera, para que le proponga opciones para colocar su dinero en esta entidad, quien le ofrece dos opciones: Matemática financiera INTERÉS NOMINAL, INTERÉS EFECTIVO: •Concepto de inversión •Componentes de la tasa de interés •Interés simple y compuesto •Factores de conversión •Tasas equivalentes •Anticipas y vencidas •Nominales y efectivas •Criterios decisorios •VPN •TIR •Consideraciones sobre los metodos •Costo del dinero •Construcción de flujos •Riesgo Ejercicios: Un ejemplo... Ud. quiere invertir $500.000, por lo cual llama a un asesor de su entidad financiera, para que le proponga opciones para colocar su dinero en esta entidad, quien le ofrece dos opciones: OPCION 1: Invertir los $500.000 en un CDT a un año, con una tasa del 24.63% anual, en el cual que le paga intereses cada trimestre vencido OPCION 2: Invertir los $500.000 en un CDT a un año con una tasa del 24.14% anual, que le paga el intereses cada mes vencido. Matemática financiera INTERÉS NOMINAL, INTERÉS EFECTIVO: •Concepto de inversión •Componentes de la tasa de interés •Interés simple y compuesto •Factores de conversión •Tasas equivalentes OPCION 1: Invertir los $500.000 en un CDT a un año, con una tasa del 24.63% anual, en el cual que le paga intereses cada trimestre vencido •Anticipas y vencidas •Nominales y efectivas 24.63% = 6.16% * 500.000 = 30.788 4 •Criterios decisorios •VPN •TIR 500.000 •Consideraciones sobre los metodos •Costo del dinero 30.788 30.788 30.788 1 2 3 30.788 •Construcción de flujos •Riesgo Ejercicios: 500.000 i = 24.63% anual (Tasa de interés vencida) 4 Matemática financiera INTERÉS NOMINAL, INTERÉS EFECTIVO: •Concepto de inversión •Componentes de la tasa de interés •Interés simple y compuesto •Factores de conversión •Tasas equivalentes OPCION 2: Invertir los $500.000 en un CDT a un año con una tasa del 24.14% anual, que le paga el intereses cada mes vencido. •Anticipas y vencidas •Nominales y efectivas •Criterios decisorios •VPN •TIR 500.000 500.000* *24,14% 24% 12 •Consideraciones sobre los metodos 500.000 10.058 •Costo del dinero •Construcción de flujos •Riesgo 1 Ejercicios: 500.000 2.... 12 Matemática financiera INTERÉS NOMINAL, INTERÉS EFECTIVO: •Concepto de inversión •Componentes de la tasa de interés OPCION 1: DESARROLLO •Interés simple y compuesto 36.832 VF = 30.788 * (1 + 0.061) 3 •Factores de conversión •Tasas equivalentes •Anticipas y vencidas •Nominales y efectivas VF = 30.788 * (1 + 0.061) 2 •Criterios decisorios •VPN •TIR VF = 30.788 * (1 + 0.061) •Consideraciones sobre los metodos 34.696 32.684 30.788 135.000 •Costo del dinero •Construcción de flujos •Riesgo Ejercicios: 500.000 30.788 30.788 30.788 1 2 3 500.000 4 Matemática financiera INTERÉS NOMINAL, INTERÉS EFECTIVO: •Concepto de inversión •Componentes de la tasa de interés •Interés simple y compuesto •Factores de conversión •Tasas equivalentes •Anticipas y vencidas •Nominales y efectivas •Criterios decisorios •VPN •TIR •Consideraciones sobre los metodos •Costo del dinero •Construcción de flujos •Riesgo Ejercicios: Cálculo de la tasa de interés.... OPCION 1: DESARROLLO I i= VA 135.000 i= 500.000,00 n i=27% n inom 24.63% ief = 1 + − 1 = 1 + − 1 = 27% n 4 12 OPCION 2: 24.14% = 1 + − 1 = 27% 12 Matemática financiera INTERÉS NOMINAL, INTERÉS EFECTIVO: •Concepto de inversión •Componentes de la tasa de interés •Interés simple y compuesto •Factores de conversión •Tasas equivalentes •Anticipas y vencidas •Nominales y efectivas •Criterios decisorios •VPN •TIR •Consideraciones sobre los metodos •Costo del dinero •Construcción de flujos •Riesgo Ejercicios: En resumen.. Tres tipos de tasas: •Nominal: Nominal Es una tasa pactada para un período, pero los rendimientos (intereses) se pagan en períodos menores al pactado en la tasa. 24.63%N.A.T.V. •Efectiva: Efectiva Es una tasa a la cual se llega capitalizando los intereses pagados antes de que se culmine el período pactado para la tasa nominal. 27% E.A. •Periódica: Periódica Es la tasa pactada para un periodo. Con ella se calculan los flujos de caja. 6.1% Trimestral vencido. Matemática financiera INTERÉS NOMINAL, INTERÉS EFECTIVO: •Concepto de inversión •Componentes de la tasa de interés •Interés simple y compuesto •Factores de conversión •Tasas equivalentes OPCION 1: DESARROLLO 24.63% NOMINAL ANUAL TRIMESTRE VENCIDO •Anticipas y vencidas •Nominales y efectivas •Criterios decisorios •VPN •TIR •Consideraciones sobre los metodos •Costo del dinero •Construcción de flujos •Riesgo Ejercicios: Advierte que los periodos de pago de intereses son menores que el período en el que se pactó la tasa de interés Indica el periodo al cual fue pactada la tasa de interés Se refiere a los períodos de pago de intereses Muestra si la forma de pago es anticipada o vencida Matemática financiera INTERÉS NOMINAL, INTERÉS EFECTIVO: •Concepto de inversión En resumen... •Componentes de la tasa de interés Tasa.nominal •Interés simple y compuesto •Criterios decisorios •VPN •TIR •Consideraciones sobre los metodos n inom 1+ n −1 Int.efectivo inom n [i per * n] Periódica •Anticipas y vencidas •Nominales y efectivas Efectiva •Tasas equivalentes 1 n * (1 + ief )n − 1 Nominal vencida •Factores de conversión ia = iv (1+iv ) iV = ia (1 − ia ) Anticipada Vencida •Costo del dinero •Construcción de flujos •Riesgo Ejercicios: •NUNCA divida una tasa Efectiva •NUNCA Multiplique una tasa de nominal •SIEMPRE que multiplique una tasa, el resultado será una nominal •SIEMPRE que divida una tasa nominal el resultado será una tasa periódica •NUNCA divida una tasa periódica. Si requiere hacerlo, suponga que esta es una efectiva. Matemática financiera INTERÉS NOMINAL, INTERÉS EFECTIVO: •Concepto de inversión La utilidad de los efectivos... •Componentes de la tasa de interés •Interés simple y compuesto •Factores de conversión •Tasas equivalentes •Anticipas y vencidas •Nominales y efectivas •Consideraciones sobre los metodos •Costo del dinero •Construcción de flujos •Riesgo Ejercicios: La tasa efectiva es un “puente” que permite cambiar tasas de un período a otro Períodica •Criterios decisorios •VPN •TIR TV Efectiva TA MV SV AA Matemática financiera INTERÉS NOMINAL, INTERÉS EFECTIVO: •Concepto de inversión La utilidad de los efectivos... •Componentes de la tasa de interés •Interés simple y compuesto •Factores de conversión 24,14% NAMV •Tasas equivalentes •Anticipas y vencidas •Nominales y efectivas n •Criterios decisorios •VPN •TIR •Consideraciones sobre los metodos •Costo del dinero 24,63% NATV n=4 = 12 n=2 27,00% E. A. 25,39% NASV n=6 n = 1 24,38% NABV •Construcción de flujos •Riesgo 27,00% NAAV Ejercicios: Matemática financiera Manejo de Calculadora – Hewlet Packard •Concepto de inversión •Componentes de la tasa de interés Menú Principal: FIN •Interés simple y compuesto COM SUMA CALEN RESOL TEXTO Menú para Finanzas •Factores de conversión Calcula factores •Tasas equivalentes •Anticipas vencidas dey conversión •Nominales y efectivas a partir de otros. •Criterios decisorios Basado en flujos •VPN uniformes VDT CONVI FCAJ BONO •TIR N %IA •Consideraciones sobre los metodos VA PAGO VF OTRO DEPRC Convierte Tasas equivalentes de efectivas a nominales y viceversa •Costo del dinero •Construcción de flujos P/AÑO •Riesgo INIC FINAL Ejercicios: Siempre debe estar en: 1 PGOS/AÑO: MODO FINA L Debe cargarse: AMRT EFECT Sirve para introducir flujos de caja no uniformes y hallar TIR, VPN o VFN %NOM CONT %EFE P No. de periodos Matemática financiera Manejo de Calculadora – Hewlet Packard •Concepto de inversión •Componentes de la tasa de interés 1 •Interés simple Flujo dey compuesto periodos caja inicial 2 •Factores de conversión Flujo de caja Input Input con el número de veces que se repite •Tasas equivalentes Tenga en cuenta que unos son positivos y y vencidas 3•Anticipas •Nominales y efectivas Para ello utilice la tecla +/- otros negativos. luego de ingresar el número. •Criterios decisorios •VPN •TIR Luego de cargar 4 los datos revise lo que escribió con las teclas •Consideraciones sobre Para hallar TIR, los metodos VPN, VFN y otro tipo de cálculos se usa 5 Input ! Recuerde: La tecla la opción CALC. devuelve al menú anterior y, la tecla Data + CALC •Riesgo lo color rosa llamada Clear •Costo del dinero •Construcción de flujos Exit Input borra los anteriores resultados y los flujos de caja (para Ejercicios: TOTAL %TIR %I VAN SNU VFN éstos se pide autorización especial de borrar listas, Es la tasa de descuento Es el VPN Es el Valor Futuro Neto Sí o No.) Matemática financiera Bibliografía Recomendada •Concepto de inversión •Componentes de la tasa de interés •Interés simple y compuesto •Factores de conversión •Tasas equivalentes •Anticipas y vencidas •Nominales y efectivas •Criterios decisorios •VPN •TIR •Consideraciones sobre los metodos •Costo del dinero •Construcción de flujos •Riesgo Ejercicios: •VELEZ, Ignacio. Decisiones de Inversión, enfocado a la valoración de empresas. 2da Edición, CEJA. 2002. •GARCIA, Jaime. Matemáticas Financieras, con ecuaciones de diferencia finita. Pearson. 2000. •SERRANO, Javier. Matemáticas Financieras y evaluación financiera de proyectos. Alfaomega. 2001. •HERNANDEZ, Abraham. Matemáticas Financieras, teoria y practica. 2da Edición, Ecafsa. 2000. •White et all. Ingeniería económica. 2da Edición. LIMUSA WILEY. 2001.
