Materia Introducción a la Informática Unidad 2 Puertas Lógicas y

Materia
Introducción a la Informática
Unidad 2
Puertas Lógicas y Álgebra de
Conmutación
Prof. Alejandro Bompensieri
Introducción a la Informática - CPU
PUERTAS LÓGICAS Y ÁLGEBRA DE CONMUTACIÓN.
2.1. Operaciones lógicas básicas.
Las operaciones básicas se definen como suma lógica, o bien operación "OR", y se
representará con el signo "+", y el producto lógico u operación "AND", y se representará con el
signo "·". A veces, por comodidad, la omisión de signo significará producto lógico. Las operaciones
OR y AND se efectuan entre dos o más elementos. También definiremos la operación
complementario, inverso o negado, que se aplica a un solo elemento.
Estas operaciones, por definición, son tales que:
La suma lógica tomará el valor 1 cuando un elemento o bien otro, o todos, tome el valor
1. En caso contrario será 0.
El producto lógico tomará el valor 1 cuando un elemento y otro, y todos, tome el valor 1.
En caso contrario será 0.
Es decir, en la suma lógica es suficiente con que un elemento sea 1 para que el resultado
sea 1. Sin embargo, en el producto lógico, es necesario que todos los elementos sean 1 para que
el resultado sea 1.
El complementario, negado o inverso tomará el valor 1 cuando el elemento tome el
valor 0, y tomará el valor 0 cuando el elemento tome el valor 1. La operación X-OR también
llamada OR-Exclusiva, se define entre dos valores de la siguiente forma: vale 0 si son iguales y
vale 1 si son distintos. Su operador es “ ⊕ “. También se pueden definir las operaciones
complementario de la suma
x + y (NOR) y complementario del producto x· y (NAND).
Una forma gráfica de representar los valores de operar elementos con estas operaciones
es la llamada tabla de verdad, que no es más que una tabla en la que aparecen todos los casos
posibles y sus resultados. Vamos a expresar los resultados de la suma y el producto lógico, así
como de la operación inversión o negado, en forma de tabla de verdad:
x
y
0
0
1
1
0
1
0
1
x
y
1
1
0
0
1
0
1
0
x+ y
x⋅ y
0
1
1
1
0
0
0
1
x+ y
x⋅ y
x+ y
x⋅ y
x⊕ y
1
1
1
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
1
1
0
0
1
1
0
Supongamos que el valor 0 lo asignamos a FALSO y el valor 1 a VERDADERO.
Supongamos que digo la frase x = "Esta carpeta es azul", y la frase y = "Esta carpeta es de
cartón".
La frase x+y será: "Esta carpeta es azul o esta carpeta es de cartón". Para que esta
expresión sea verdadera, es decir, x+y sea 1, basta con que sea cierta cualquiera de ellas por
separado, o ambas.
Aquí vemos la relación de la conjunción disyuntiva de la Lengua con la operación lógica
OR.
Sea la frase x = "Estamos en octubre", y la frase y = "Estamos en Ciudad Real".
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Introducción a la Informática - CPU
La frase x·y será: "Estamos en octubre y estamos en Ciudad Real". Para que esta
expresión sea verdadera, es decir, x·y sea 1, es necesario que ambas sean ciertas. Si una de ellas,
o ambas, no es cierta, el conjunto será falso.
Aquí vemos la relación de la conjunción copulativa de la Lengua con la operación lógica
AND.
Una representación circuital de la función OR aparece en la Figura 1.
Una representación circuital de la función AND aparece en la Figura 2.
En el primer caso la bombilla B se enciende si se cierra el interruptor I1 o el interruptor I2,
que están en paralelo.
Es suficiente que un interruptor esté cerrado para que luzca la bombilla
Interruptor 1
Interruptor 2
Bombilla
Fig. 1
En el segundo caso la bombilla se enciende si se cierra el interruptor I1 y el interruptor I2,
que están en serie.
Es necesario que todos los interruptores estén cerrados para que luzca la bombilla
Interruptor 1
Interruptor 2
Bombilla
Fig. 2
Otra forma más de verlo. La operación OR como pertenecer a la unión de 2 conjuntos y
la operación AND como pertenecer a la intersección de dos conjuntos.
2.2. Puertas lógicas básicas.
Existen dispositivos tecnológicos llamados PUERTAS LOGICAS que llevan a cabo las
funciones lógicas. Pueden tener 2 ó mas entradas. Las puertas básicas son:
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OR
NOR
AND
INVERSOR
NAND
XOR
Estructura multinivel con puertas de dos entradas:
OR2
4
5
x
y
INPUT
VCC
INPUT
VCC
1
OR2
6
z
INPUT
VCC
2
OR2
8
w
INPUT
VCC
OUTPUT
7
x+y+z+w
3
Estructura de dos niveles con puertas de dos y tres entradas entradas (AND-OR):
Estructura de dos niveles con puertas de dos entradas entradas (OR-AND):
Ejemplo:
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OR2
5
6
7
8
9
10
0
0
INPUT
VCC
INPUT
VCC
0
1
INPUT
VCC
INPUT
VCC
0
0
INPUT
VCC
INPUT
VCC
2
OR2
AND3
OUTPUT
11
3
OR2
(0+0)·(0+1)·(0+0)=0·1·0=0
1
4
2.3. Algebra de Boole. Teoremas básicos.
El Algebra de Boole constituye la base matemática para el análisis lógico de los circuitos
básicos que integran las máquinas digitales.
El Algebra de Boole se dice que es bivalente o de conmutación cuando B es un conjunto
con dos elementos, que llamaremos "0" y "1". Las operaciones + y · son la suma lógica y producto
lógico, respectivamente.
Un Algebra de Boole es un conjunto B, en el que se han definido dos operaciones + y ·,
que cumple los siguientes postulados:
1) B es cerrado: El resultado de operar dos elementos con cualquier operación produce un
elemento del conjunto B.
∀x, y ∈ B
x+ y∈B
x⋅ y∈B
2) Elemento identidad:
∀x ∈ B existe un elemento 0 tal que x + 0 = x
∀x ∈ B existe un elemento 1 tal que x ⋅1 = x
3) Propiedad conmutativa:
∀x, y ∈ B se cumple
x+ y = y+x
x⋅ y = y⋅x
x
0
x
0
0
0
1
0
x
1
x 0
1
0
1
1
x
y
x+y
x
y
y
x
y·x
4) Propiedad distributiva de una operación respecto a otra:
x ⋅ ( y + z ) = ( x ⋅ y) + ( x ⋅ z )
x + ( y ⋅ z) = ( x + y) ⋅ ( x + z)
5) Existencia de elemento complementario.
∀x ∈ B , existe un elemento x llamado complementario que cumple que:
x + x =1
x⋅x = 0
x
x
1
x
x
1
y+x
y
x
x·y
1
0
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Como consecuencia de estos postulados se obtienen los siguientes teoremas:
Teorema 1:
x +1 = 1
x⋅0 = 0
x
1
1
x
0
0
x
x
x
Teorema 2:
x
x
x+x= x
x⋅x = x
x
Teorema 3:
x
x
x=x
x
Teorema 4: Absorción.
x+ x⋅ y = x
x+ x⋅ y = x + y
x ⋅ ( x + y) = x
x ⋅ ( x + y ) = x· y
Teorema 5: Propiedad asociativa.
x + ( y + z) = ( x + y) + z
x ⋅ ( y ⋅ z) = ( x ⋅ y) ⋅ z
Teorema 6: Leyes de De Morgan.
x+ y = x⋅ y
x
y
x+ y
x
y
x⋅ y = x+ y
x
y
x⋅ y
x
y
x⋅ y
x+ y
2.4. Expresiones de conmutación. Formas canónicas.
Un símbolo x es una variable booleana si representa a cualquier elemento de un conjunto
B sobre el que se ha definido un Algebra de Boole.
Una función booleana o de conmutación es una expresión algebraica de variables
booleanas con las operaciones +, * y complemento.
Ejemplo:
F ( x, y , z ) = x ⋅ y + y ⋅ z + x ⋅ y ⋅ z
Una función se puede representar mediante su expresión algebraica o mediante su tabla
de verdad. Si tenemos n variables booleanas, existen 2n permutaciones con repetición posibles,
para cada una de ellas la función tendrá que tomar un valor de los 2 posibles: 0 ó 1. Dos funciones
booleanas se dice que son equivalentes si tienen la misma tabla de verdad en los 2n casos
posibles. Ejemplo:
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F = x+ y
G = x⋅ y
Las prioridades de los operadores, caso de haber varios, es: paréntesis, complementos,
productos y sumas.
F ( x1 , x2 ,.., x N ) − − − − > G ( x1 , x2 ,..., x N )
F y G equivalentes: misma tabla de verdad. G más sencilla.
Aplicar las propiedades del A. Boole. Operar algebraicamente.
F ( x , y , z ) = x· y·z + x· y·z + x· y·z + x· y·z + x· y·z + x· y·z =
= x · z ·( y + y ) + x · y ·( z + z ) + y · z ·( x + x ) factor común 1-2, 3-6, 4-5
= x · z + x · y + y · z (Expresión mínima)
o bien
= x · y ·( z + z ) + y · z ·( x + x ) + x · z ·( y + y ) factor común 1-4, 2-3, 5-6
= x · y + y · z + x · z (Otra expresión mínima)
El hecho de encontrar una expresión mínima no significa que sea única. Aquí tenemos un
ejemplo.
Desdoblando los términos 2º y 5º y agrupando, queda:
F ( x , y , z ) = x· y·z + x· y ·z + x· y·z + x· y ·z + x· y·z + x· y ·z + x· y ·z + x· y·z =
= x · z ·( y + y ) + y · z ·( x + x ) + y · z ·( x + x ) + x · z ·( y + y ) =
= x · z + y · z + y · z + x · z (Expresión irreducible)
El hecho de encontrar una expresión irreducible no significa que sea mínima. Aquí
tenemos un ejemplo.
INCONVENIENTE: FELIZ IDEA Y ASTUCIA. POCO SISTEMÁTICO
Formas canónicas.
Término canónico: suma o producto en que aparecen todas las variables, ya sean en
forma afirmada o en forma negada.
Productos canónicos: minitérminos o minterms.
Sumas canónicas: maxitérminos o maxterms.
Función n variables: 2n maxitérminos y 2n minitérminos.
Expresión de una función booleana en forma canónica:
1) Sumar los minitérminos que dan el valor 1 para la función.
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2) Multiplicar los maxitérminos que dan a la función valor 0.
La primera forma canónica consiste en expresar una función como suma de productos
canónicos. La segunda forma canónica consiste en expresar una función como productos de
sumas canónicas.
Ejemplo:
lugar
lugar
lugar
lugar
lugar
lugar
lugar
lugar
0
1
2
3
4
5
6
7
x y z
F
0
0
0
0
1
1
1
1
0
1
0
0
0
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
Si hay un ”1” genera el minitérmino 0, y si hay un “0” genera el maxitérmino 0
Si hay un ”1” genera el minitérmino 1, y si hay un “0” genera el maxitérmino 1
Si hay un ”1” genera el minitérmino 2, y si hay un “0” genera el maxitérmino 2
Si hay un ”1” genera el minitérmino 3, y si hay un “0” genera el maxitérmino 3
Si hay un ”1” genera el minitérmino 4, y si hay un “0” genera el maxitérmino 4
Si hay un ”1” genera el minitérmino 5, y si hay un “0” genera el maxitérmino 5
Si hay un ”1” genera el minitérmino 6, y si hay un “0” genera el maxitérmino 6
Si hay un ”1” genera el minitérmino 7, y si hay un “0” genera el maxitérmino 7
Denominación de los minitérminos y los maxitérminos:
Minitérmino 0:
m0 = x ⋅ y ⋅ z
porque si
x = 0, y = 0, z = 0 ,
Minitérmino 1:
m1 = x ⋅ y ⋅ z
porque si
x = 0 , y = 0 , z = 1,
entonces
m1 = 1
Minitérmino 2:
m2 = x ⋅ y ⋅ z
porque si
x = 0 , y = 1, z = 0 ,
entonces
m2 = 1
Minitérmino 3:
m3 = x ⋅ y ⋅ z
porque si
x = 0 , y = 1, z = 1,
Minitérmino 4:
m4 = x ⋅ y ⋅ z
porque si
x = 1, y = 0 , z = 0 ,
Minitérmino 5:
m5 = x ⋅ y ⋅ z
porque si
x = 1, y = 0 , z = 1 ,
entonces
Minitérmino 6:
m6 = x ⋅ y ⋅ z
porque si
x = 1, y = 1 , z = 0 ,
entonces
Minitérmino 7:
m7 = x ⋅ y ⋅ z
porque si
x = 1, y = 1 , z = 1 ,
entonces
Maxitérmino 0:
M0 = x + y + z
porque si
x = 0, y = 0, z = 0 ,
Maxitérmino 1:
M1 = x + y + z
porque si
x = 0 , y = 0 , z = 1,
entonces
M1 = 0
Maxitérmino 2:
M2 = x + y + z
porque si
x = 0 , y = 1, z = 0 ,
entonces
M2 = 0
Maxitérmino 3:
M3 = x + y + z
porque si
x = 0 , y = 1, z = 1,
Maxitérmino 4:
M4 = x + y + z
porque si
x = 1, y = 0 , z = 0 ,
Maxitérmino 5:
M5 = x + y + z
porque si
x = 1, y = 0 , z = 1 ,
entonces
M5 = 0
Maxitérmino 6:
M6 = x + y + z
porque si
x = 1, y = 1 , z = 0 ,
entonces
M6 = 0
Maxitérmino 7:
M7 = x + y + z
porque si
x = 1, y = 1 , z = 1 ,
entonces
M7 = 0
entonces
entonces
entonces
m0 = 1
m3 = 1
m4 = 1
m5 = 1
m6 = 1
m7 = 1
entonces
entonces
entonces
M0 = 0
M3 = 0
M4 = 0
Para la tabla del ejemplo anterior, quedarían la suma de los minitérminos 1, 5, 6 y 7.
Aunque también se podría poner el producto de los maxitérminos 0, 2, 3 y 4.
Otra forma de verlo es la siguiente:
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Introducción a la Informática - CPU
Primera forma canónica:
1º
2º
3º
4º
caso
caso
caso
caso
en
en
en
en
que
que
que
que
la
la
la
la
función
función
función
función
Segunda forma canónica:
1º
2º
3º
4º
caso
caso
caso
caso
en
en
en
en
que
que
que
que
la
la
la
la
F(x, y, z) = x ⋅ y ⋅ z + x ⋅ y ⋅ z + x ⋅ y ⋅ z + x ⋅ y ⋅ z
vale
vale
vale
vale
1:
1:
1:
1:
x=0,
x=1,
x=1,
x=1,
y=0,
y=0,
y=1,
y=1,
z=1
z=1
z=0
z=1
F(x, y, z) = (x + y + z)⋅ (x + y + z)⋅ (x + y + z)⋅ (x + y + z)
función
función
función
función
vale
vale
vale
vale
0:
0:
0:
0:
x=0,
x=0,
x=0,
x=1,
y=0,
y=1,
y=1,
y=0,
z=0
z=0
z=1
z=0
Una forma compacta de representar una función es, para el ejemplo anterior:
F(x,y,z) = m1+m5+ m6+ m7 = Σ3 (1,5,6,7)
como suma de minitérminos
F(x,y,z) = M0 · M2 · M3 · M4 = π3 (0,2,3,4) como producto de maxitérminos
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Introducción a la Informática - CPU
ANEXO: Circuitos integrados SSI más comunes: NOT, AND, OR, NAND Y NOR.
Cuatro puertas OR de 2 entradas (SN74LS32):
Cuatro puertas AND de 2 entradas (SN74LS08):
Seis inversores (SN74LS04):
Cuatro puertas NAND de 2
entradas SN74LS00)
Cuatro puertas NOR de 2
entradas (SN74LS02):
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Materia
Introducción a la Informática
Tema
Álgebra de Conmutación
Funciones Lógicas
Ejercitación
Prof. Alejandro Bompensieri
Introducción a la Informática - CPU
Guía de actividades Unidad 2 (Lógica)
1. ~Londres es la capital de Inglaterra • ~Estocolmo es la capital de Noruega.
2. ~ (Roma es la capital de España v París es la capital de Francia)
3. ~Roma es la capital de España v ~París es la capital de Francia.
4.
Londres es la capital de Inglaterra v ~Londres es la capital de Inglaterra.
5.
Estocolmo es la capital de Noruega . ~ Estocolmo es la capital de Noruega
8. (París es la capital de Francia • Roma es la capital de España) v (París es la capital de Francia •
~Roma es la capital de España).
9. (Londres es la capital de Inglaterra v Estocolmo es la capital de Noruega) • ~ (Roma es la capital de
Italia • ~Estocolmo es la capital de Noruega).
10. Roma es la capital de España v ~ (París es la capital de Francia • Roma es la capital de España).
11. Roma es la capital de Italia • ~ (París es la capital de Francia v Roma es la capital de España).
12. ~ (~París es la capital de Francia • ~Estocolmo es la capital de Noruega).
13. ~[~(~Roma es la capital de España v ~París es la capital de Francia) v ~(~París es la capital de
Francia v Estocolmo es la capital de Noruega)].
14. ~[~(~Londres es la capital de Inglaterra • Roma es la capital de
España) • ~(Roma es la capital de España • ~Roma es la capital de España) ]
15. ~[(~Estocolmo es la capital de Noruega v París es la capital
Francia) v ~(~Londres es la capital de Inglaterra • ~Roma es la capital de España)].
16. Roma es la capital de España v (~Londres es la capital de Inglaterra
v Londres es la capital de Inglaterra).
17. París es la capital de Francia • ~(París es la capital de Francia • Roma es la capital de España).
18. Londres es la capital de Inglaterra • ~(Roma es la capital de Italia • Roma es la capital de Italia).
19. (Estocolmo es la capital de Noruega v ~París es la capital de Francia) v ~(~Estocolmo es la
capital de Noruega • ~Londres es la capital de Inglaterra).
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20. (París es la capital de Francia v ~Roma es la capital de España) v
~(~París es la capital de Francia • ~Roma es la capital de España).
21. ~[~(Roma es la capital de España • Estocolmo es la capital de
Noruega) v ~(~París es la capital de Francia v ~Roma es la capital de
España)].
22. ~[~(Londres es la capital de Inglaterra • París es la capital de Francia) v~(~Estocolmo es la capital de Noruega v ~París es la capital de
Francia)) ]
23. ~[(~París es la capital de Francia v Roma es la capital de Italia) •
~(~Roma es la capital de Italia v Estocolmo es la capital de Noruega)].
24.~[~Roma es la capital de España v Estocolmo es la capital de
Noruega) • ~(~Estocolmo es la capital de Noruega v París es la capital de
Francia)].
25. ~ [(~Londres es la capital de Inglaterra • París es la capital
deFrancia) v~(~París es la capital de Francia • Roma es la capital de
España)].
II. Si A , B y C son enunciados verdaderos y X, Y y Z son enunciados
falsos, ¿cuáles de los siguientes son verdaderos?
l .~ A v B
2.~BvX
3.~YvC
4.~ZvX
5. (A • X) v (B • Y)
6. (B • C) v (Y • Z)
7. ~(C • Y) v (A • Z)
8. ~(A • B) v (X • Y)
9.~(X •Z)v(B•C)
10. ~(X •~Y) v (B •~C)
11. (A vX) • (YvB)
12. (BvC) • (YvZ)
13.(XvY) • (XvZ)
14. ~(A v Y) • (B v X)
15. ~(X v Z) • (~X v Z)
16. ~(A v C) v ~(X • ~Y)
17. ~(B v Z) • ~(X v ~Y)
18. ~[(A v ~C) v (C v ~A)]
19. ~[(B • C) • ~(C • B)]
20. ~[(A • B) v ~(B • A)]
21. [A v (B v C] • ~[(A v B) v C]
22. [X v (Y • Z)] v ~[(X v Y) • (X v Z)]
23. [A • (B v C)] • ~[(A • B) v (A • C)]
24. ~{[(~A • B) • (~X • Z)] • ~[(A • B) v ~(~Y • ~Z)]}
25. ~{~[(B • ~C) v (Y • ~Z)] • [(~B v X) v (B v ~Y)]}
III. Si sabemos que A y B son verdaderos y que X e Y son falsos, pero
desconocemos los valores de verdad de P y Q, ¿ cuáles de los valores de
verdad de los siguientes enunciados se pueden conocer?
1.AvP
3.Qv~X
2.Q•X
4.~B•P
5. P v ~P
7.Q•~Q
9.~(P-Q)vP
6. ~P v (Q v P)
8.P• (~PvX)
10.~Q• [(PvQ) •~P]
ll.(PvQ) •~(QvP)
13.~Pv[~Qv(P•Q)]
12.(P•Q) • (~Pv~Q)
14.Pv~(~AvX)
15.P• [~(PvQ)v~P]
16.~(P•Q)v(Q•P)
17. ~[~(~P v Q) v P] v P
18. (~P v Q) • ~[~P v (P •Q)]
19. (~A v P) • (~P v Y)
20. ~(P v (B • Y)] v [(P v B) • (P v Y)]
21.[Pv(Q•A)] •~[(PvQ)• (PvA)]
22.[Pv(Q•X)] •~[(PvQ) • (PvX)]
23. ~[~P v (~Q v X)] v [~(~P v Q) v (~P v X)]
24. ~[~P v (~Q v A)] v [~(~P v Q) v (~P v A)]
25. ~[(P • Q) v (Q • ~P)] • ~[(P • ~Q) v (~Q • ~P)]
IV. Usando las letras E,I,J, L y S para abreviar los enunciados simples
"Egipto disminuye sus aprovisionamientos","Irán eleva el precio del
petróleo","Jordania pide ayuda a Estados Unidos","Libia aumenta el
precio del petróleo" y "Saudiarabia compra otros quinientos aviones de
guerra", simbolice lo siguiente:
1. Irán eleva el precio del petróleo pero Libia no aumenta el precio
petróleo.
2. O bien Irán o Libia aumentarán el precio del petróleo.
3. Irán y Libia elevarán el precio del petróleo.
4. Irán y Libia no aumentarán el precio del petróleo.
5. Irán y Libia aumentarán ambos el precio del petróleo.
6. Irán o Libia aumentarán el precio del petróleo pero no lo
harán ambos a la vez.
7. Saudiarabia compra otros quinientos aviones de guerra y o bien Irán
eleva el precio del petróleo o Jordania pide más ayuda
nortéamericana.
8. O bien Saudiarabia compra otros quinientos aviones de guerra e Irán
eleva el precio del petróleo o Jordania pide más ayuda a Estados Unidos.
9. No es el caso que Egipto disminuya sus aprovisionamientos y
Jordania pida más ayuda norteamericana.
10. No es el caso que o bien Egipto disminuya sus aprovisionamientos o
Jordania pida más ayuda a Estados Unidos.
11. No es el caso que Egipto disminuya sus aprovisionamientos o
Jordania pida más ayuda norteamericana.
Introducción a la Informática - CPU
12. No es el caso que a la vez Egipto disminuya sus aprovisionamien
tos y Jordania pida más ayuda a Estados Unidos.
13. Jordania pide más ayuda a Estados Unidos, a menos que Saudiara
bia compre otros quinientos aviones de guerra.
14. A menos que Egipto disminuya sus aprovisionamientos, Libia
elevará el precio del petróleo.
15. Irán no elevará el precio del petróleo a menos que Libia también lo
haga.
16. A menos que tanto Irán como Libia eleven el precio del petróleo,
ninguno de ellos lo hará.
17. Libia eleva el precio del petróleo y Egipto disminuye sus
aprovisionamientos.
18. No es el caso que ni Irán ni Libia elevarán los precios del petróleo.
19. Egipto disminuye sus aprovisionamientos y Jordania pide más
ayuda de Estados Unidos, a menos que tanto Irán como Libia no eleven
el precio del petróleo.
20. O bien Irán eleva el precio del petróleo y Egipto disminuye sus
aprovisionamientos o no es el caso que a la vez Jordania pida más ayuda
norteamericana y Saudiarabia compre otros quinientos aviones de guerra.
21. O bien Egipto disminuye sus aprovisionamientos y Saudiarabia
compra otros quinientos aviones de guerra o Jordania pide más ayuda a
Estados Unidos o Libia eleva el precio del petróleo.
22. Saudiarabia compra otros quinientos aviones de guerra y o bien
Jordania pide más ayuda a Estados Unidos o tanto Libia como Irán elevan
el precio del petróleo.
23. O bien Egipto disminuye sus aprovisionamientos o Jordania pide
más ayuda a Estados Unidos, pero ni Libia ni Irán elevarán los precios del
Petróleo.
24. Egipto disminuye sus aprovisionamientos; sin embargo, Saudiara
bia compra otros quinientos aviones de guerra y Jordania pide más ayuda
a Estados Unidos.
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Más ejercicios...
1. (A=>B)=>Z
2. (X=>Y)=>Z
3. (A=>B)=>C
4. (X=>Y)=>C
5.A=>(B=>Z)
6.X=>(Y=>Z)
7. [(A => B) => C] => Z
8. [(A => X) => Y] => Z
9.[A=>(X=>Y)]=>C
10. [A => (B => Y] => X
11. [(X=>Z)=>C] =>Y
12. [(Y=>B)=>Y]=>Y
13.[(A => Y) => B] => Z
14.[(A • X) => C] => [(A => C) => X]
15.[(A • X) => C] => [(A =>X) => C]
16.[(A • X) => Y] => [(X=> A) • (A Z) Y)]
17.[(A • X) v (~A • ~X)] => [(A => X) • (X=> A)]
18.{[A =>(B=>C)] => [(A • B) => C]} => [(Y=> B) => (C => Z)]
19.{[(X=> Y) => Z] => [Z=> (X=> Y)]} => [(X=> Z) => Y]
20.[(A • X) => Y] => [(A => X) • (A => Y)]
21. [(A =>(X •Y)] => [(A => X) v (A => Y)]
II. Si A y B se conocen como verdaderos y X y Y como falsos, pero
los valores de verdad de P y de Q no se conocen, ¿de cuáles de los
siguientes enunciados podemos determinar los valores de verdad?
1. X =>Q
2. (Q=>A) =>Z
3. (P•A) =>B
4. (P=>P) =>X
5. (X=>Q) =>X
6.X=> (Q=>X)
7.(P•X) =>Y
8. [P => (Q => P)] => Y
9. (Q => Q) => (A => X)
10. (P=>X) => (X=> P)
11.(P=>A) => (B=>X)
12. (X=>P) => (B=> Y)
13. [(P=>B) =>B] =>B
14. [(X=>Q) =>Q] =>Q
16.(X=>P) => (~X=>Y)
15.(P=>X) => (~X=>~P)
17.(P=>A) => (A=>~B)
18. (P=>Q) => (P=>Q)
19.(P=>~~P) => (A=>~B)
20. ~(A • P) => (~A v ~P)
21. ~(P • X) => ~(P v ~X)
22.(XvQ) => (~X•~Q)
III. Simbolice lo siguiente usando letras mayúsculas para abreviar los
enunciados involucrados.
1. Si Argentina se moviliza, entonces Brasil protesta ante la ONU,
entonces Chile convocará a una reunión de los países latinoamericanos.
2. Si Argentina se moviliza, entonces o bien Brasil protesta ante la ONU
a menos que Chile convoque a una reunión de los países latinoamericanos.
3. Si Argentina se moviliza, entonces Brasil protestará ante la ONU y
Chile convocará a una reunión de los países latinoamericanos.
4. Si Argentina se moviliza, entonces Brasil protestará ante la ONU, y
Chile convocará a una reunión de los países latinoamericanos.
5. Si Argentina se moviliza y Brasil protesta ante la ONU, entonces
Chile convocará a una reunión de los países latinoamericanos.
6. Si Argentina se moviliza o Brasil protesta ante la ONU, entonces
Chile convocará a una reunión de los países latinoamericanos.
7. Si o bien Argentina se moviliza o Brasil protesta ante la ONU,
entonces Chile convocará a una reunión de los países latinoamericanos.
8. Si Argentina no se moviliza, entonces o bien Brasil no protestará ante
la ONU o Chile no convocará a una reunión de los países latinoamericanos.
9. Si Argentina no se moviliza, entonces ni Brasil protestará ante la
ONU ni Chile convocará a una reunión de los países latinoamericanos.
10. No es el caso que si Argentina se moviliza, entonces Brasil protestará
ante la ONU y Chile convocará a una reunión de todos los países
latinoamericanos.
11. Si no es el caso que Argentina se moviliza, entonces Brasil pro
testará ante la ONU y Chile convocará a una reunión de todos los países
latinoamericanos.
12. Brasil protestará ante la ONU si Argentina se moviliza.
13. Brasil protestará ante la ONU sólo si Argentina se moviliza.
14. Chile convocará a una reunión con los países latinoamericanos sólo
si Argentina se moviliza y Brasil protesta ante la ONU.
15. Brasil protestará ante la ONU solamente si Argentina se moviliza o
Chile convoca a una reunión de los países latinoamericanos.
16. Argentina se movilizará o bien Brasil protesta ante la ONU o Chile
convoca a una reunión de los países latinoamericanos.
17. Brasil protestará ante la ONU a menos que Chile convoque a una
reunión de los países latinoamericanos.
18. Si Argentina se moviliza, entonces Brasil protestará ante la ONU a
menos que Chile convoque a una reunión de los países latinoamericanos
19. Brasil no protestará ante la ONU a menos que Argentina se
movilice.
20. A menos que Chile convoque a una reunión de países latinoamericanos,
Brasil protestará ante la ONU.
Introducción a la Informática - CPU
21. Que Argentina se movilice es una condición suficiente para que
Brasil proteste ante la ONU.
22. Que Argentina se movilice es una condición necesaria para que
Chile convoque a una reunión de países latinoamericanos.
23. Si Argentina se moviliza y Brasil protesta ante la ONU, entonces
Chile y la República Dominicana convocarán a una reunión de países
latinoamericanos.
24. Si Argentina se moviliza y Brasil protesta ante la ONU, entonces o
bien Chile o la República Dominicana convocarán a una reunión de países
latinoamericanos.
25. Si ni Chile ni la República Dominicana convocan a una reunión de
países latinoamericanos, entonces Brasil no protestará ante la ONU a
menos que Argentina se movilice.
OTROS EJERCICIOS
I. Para cada enunciado de la columna de la izquierda indicar cuál,
si hay alguna, de las formas enunciativas de la columna de la derecha
tiene al enunciado dado como una instancia de sustitución e indicar
cuál, si es alguna de ellas, es la forma específica del enunciado
dado.
1. AvB
a . p •q
2. C•~D
b.p=>q
3. ~E=> (F • G)
c. p v q
4. H=>(I•J)
d.p•~q
5. (K•L)v(M•N)
e.pÙq
6. (OvP)=>(P•Q)
f. (p=>q) v (r•s)
7.(R=>S) v (T•~U)
8. V=>(W v~W)
g. [(p=>q)=>r=>s
h. [(p=>q)=>p]=>p
9. [(X=>Y)=>X]=>X
i. (p •q) v(r•s)
10. Z Ù ~ ~ Z
j. p=>(q v~r)
11. Use tablas de verdad para caracterizar las siguientes formas
enunciativas como tautológicas, contradictorias o contingentes.
1. [p=> (p => q)] =>q
2. p => [(p=> q) =>q]
3. (p • q) • (p =>~q)
4. p => [~p => (q v ~q)]
5. p => [p => (q• ~q)]
6. (p => p) =>(q • ~q)
7.[p=>(q=>r)] => ([p=>q)=>(p=>r)]
6. [p=>(q=>p)] => ([q=>q)=>(r=>r)]
7. {[p=>q) •(r=>s)] • ( p v r)}=>(q v s)]
8. {[p=>q) •(r=>s)] • (q v s)}=>(p v r)]
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Introducción a la Informática - CPU
III. Use tablas de verdad para decidir cuáles de los siguientes
bicondicionales son tautologías.
1. (p=>q) Ù (~q => ~p)
2. (p => q) Ù (~p => ~ q)
3. [(p=>q)=>r]Ù [(q=>p)=>r]
4. [p=>(q=>r)]Ù [q=>(p=>r)]
5. pÙ [p•(pvq)]
6. pÙ [pv(p•q)]
7. pÙ [p•(p=>q)]
8. pÙ [p•(q=>p)]
9. pÙ [pv(p=>q)]
10. (p=>q) Ù [(pvq)Ùq]
11. pÙ [pv(q•~q)]
12. pÙ [p• (q•~q)]
13. pÙ [p• (q•~q)]
14. pÙ [p v(q v ~q)]
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