1.- (2´5 puntos) a) Se considera la matriz -

COMPAÑÍA DE MARÍA
A CORUÑA
CONTROL 3ªEV.
MATEMÁTICAS II
/03/13
Nombre..................................................................................................................nº.......
a  1
a 1 2


a 1 1 a
1.- (2´5 puntos) a) Se considera la matriz A   0
 1
1
a 

1) Obtenga los valores del número real a para los que A tiene matriz inversa
2) Halle, si es posible, la matriz inversa de A en el caso a = 0
 1 3


n
b) Calcula la potencia n-ésima (A ) de la matriz A =  2 4 
 1 1 
2

2.- (2´5 puntos) a) Enuncia e interpreta geometricamente el teorema del valor medio del
cálculo diferencial.
ex
b) Calcula un punto de la gráfica de la función g ( x) 
en el que la recta
2
1 ex
tangente sea paralela al eje OX; escribe la ecuación de esa recta tangente. Calcula las
asíntotas, si las tiene, de g(x).
ln 5
ex
c) Calcula: 
dx ; (Nota: ln = logaritmo neperiano)
x 2
0 1 e




 0 1


  1 1 2
 y B    1 0  , donde m  R.
1.- Considera las matrices A  
 m 0 1
 m 2


a) Determina el rango de la matriz BA.
b) Determina los valores de m para los que la matriz (AB)t es regular (inversible).
c) Para m = 0, calcula una matriz X tal que (AB)t X = I, siendo I la matriz identidad.
2.- a) Define función continua en un punto. ¿Qué tipo de discontinuidad presenta la
ln 1  x 2
función f ( x) 
en x = 0?
x
b) Calcula los intervalos de crecimiento e decrecimiento, los extremos relativos y los
puntos de inflexión de la función g(x) = 2x3 - 3x2.
c) Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de g(x) = 2x3 - 3x2 y la recta y = 2x.


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A CORUÑA
CONTROL 3ªEV.
MATEMÁTICAS II
/03/13
Nombre..................................................................................................................nº.......

   
 
3.- (2 puntos) a) Sean u y v dos vectores tales que: u  v 
· u  v   17 y u  9 .

Calcula el módulo del vector v .


b) Considera los vectores a = (2, 1, 4) y b = (0, 3, m) con m  R.
 
1) Halla el valor de m para a y b sean ortogonales.
2) Para m = 0 calcula el área del paralelogramo que tiene por lados los vectores

 



c) Dados u , v y w tres vectores, prueba que si u es ortogonal a v y a w entonces
 
ortogonal a cualquier vector de la forma v  w , siendo  y  números reales.
 
a yb.

u es
4.- (1´5 puntos) Considera el punto P = (–1, –1, –12) y el plano  que contiene a los
puntos
A = (1, –1, 1), B = (1, 3, 2) y O = (0, 0, 0).
a) Calcula la ecuación general del plano .
b) Calcula la ecuación de la recta r que pasa por el punto P y es perpendicular al plano .
5.- (1´5 puntos) Definición e interpretación geométrica del producto vectorial de dos
vectores en el espacio.
3.- Razona si cada una de las siguientes afirmaciones es verdadera o falsa. En el caso
de que consideres que la afirmación es falsa pon un ejemplo ilustrativo.
a) Dados a, b y c  R cualesquiera, los vectores (1, a, b), (0,1, c) y (0,0,1) son
linealmente independientes.
 
   
 
b) Si u y v son dos vectores verificando que uxv  0 , entonces u  0 o v  0


 



c) Dados u , v y w tres vectores, si u es ortogonal a v y a w entonces u es ortogonal a
 
cualquier vector de la forma v  w , siendo  y  números reales.
4.-Definición e interpretación geométrica del producto mixto de tres vectores del
espacio.
x  2 y  2z  6  0
estudia su
 7 x  y  2z  0
5.- a) Dados el plano : 2x + ky + 3 = 0 y la recta r  
posición relativo según los valores de k.
b) Para k = 1 calcula el punto de intersección de la recta con el plano.