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CONCEPTOS DE CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
P. Reyes / marzo 2008
CONCEPTOS DE CONTROL
ESTADÍSTICO DEL PROCESO
Participante: ___________________________________________________
DR. PRIMITIVO REYES AGUILAR
Marzo 2008
Mail. [email protected] / Cel. 044 55 52 17 49 12
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CONCEPTOS DE CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
P. Reyes / marzo 2008
OBJETIVOS: Al finalizar el curso, el participante será capaz de:

Cumplir el punto ISO/TS 8.1.2 Conocimiento de conceptos estadísticos básicos sobre
la comprensión y utilización de conceptos estadísticos básicos, tales como la variación,
control (estabilidad), capacidad de proceso y sobre –ajuste (en todos los niveles de la
organización).
•
Comprender la aplicación e interpretación de los métodos de control estadístico para
asegurar la calidad del producto.
•
Comprender la determinación de la capacidad del proceso para cumplir
especificaciones y sus diversos índices.
•
Comprender los diferentes errores que se presentan en la medición y la determinación
de los errores R&R.
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CONCEPTOS DE CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
P. Reyes / marzo 2008
CONTENIDO TEMÁTICO
1. CONCEPTO DE VARIACIÓN
3

Introducción

Componentes de la variación

Causas comunes y causas especiales

Características de un proceso normal

Área o probabilidad bajo la curva normal

Prueba de normalidad
2. Control Estadístico del proceso
18

Introducción

Control estadístico del proceso

Cartas de control por variables
3. Capacidad de procesos
37

Definiciones

Capacidad de procesos

Índices de capacidad de procesos Cp, Cpk, Cpm, Cpkm
4. Capacidad de sistemas de medición

Fuentes de variación del proceso

Definición de errores en la medición

Estudio de R&R método largo

Interpretación de resultados
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CONCEPTOS DE CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
P. Reyes / marzo 2008
1. CONCEPTO DE VARIACIÓN
Introducción
La variación representa la diferencia entre las cosas, no hay en la naturaleza dos cosas
EXACTAMENTE IGUALES, lo cual origina el estudio de la estadística.
La variación es inherente en todos los procesos, por ejemplo:
Componentes de la variación
La variación a largo plazo se denomina variabilidad del producto o proceso. Hay
diferencia entre el promedio del proceso y la variación de lote a lote. Puede ser
necesario analizar cada línea de productos por separado. También se presenta la
variación de tiempo a tiempo, la variación de pieza a pieza, la variación posicional
dentro de la misma pieza, el error de medición cuando es significativo, y al final solo
queda la variabilidad inherente del proceso, que es la reproducibilidad instantánea de
la máquina bajo condiciones ideales.
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CONCEPTOS DE CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
P. Reyes / marzo 2008
Causas comunes y causas especiales o asignables (E. W. Deming):
Causas comunes
La variabilidad natural siempre existe en cualquier proceso de producción, no importa que tan
bien diseñado esté. Esta variabilidad natural es denominada causas comunes o aleatorias de
variabilidad, un proceso que opera en estas condiciones se dice que está en control
estadístico.
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CONCEPTOS DE CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
P. Reyes / marzo 2008
SI LAS VARIACIONES PRESENTES SON IGUALES,
SE DICE QUE SE TIENE UN PROCESO “ESTABLE”.
LA DISTRIBUCION SERA “PREDECIBLE” EN EL TIEMPO
Predicción
Tiempo
Proceso en control, solo causas comunes presentes
De la figura cuando el proceso está en control, la mayor parte de la producción se encuentra
dentro de los límites de control (LSC y LIC).
Las causas de variación común son el resultado de causas naturales, o diferencias normales
pequeñas entre productos que se espera ver, por ejemplo:

Diámetro de cobre, tiene una variación ± pero dentro de control

Espesor de acabado, con una variación normal

Temperatura del horno con variaciones de temperatura normales.
Esta variación no puede ser reducida sin cambios fundamentales en el proceso por la dirección
(cambio de maquinaria, nuevos materiales, etc.), el intento de ajustar el proceso para reducir
este tipo de variación al final incrementa la variación alrededor de la media del proceso
(Tampering o corrupción).
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CONCEPTOS DE CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
P. Reyes / marzo 2008
Tampering
• Al manejar de México a Acapulco, mantener la
velocidad entre 90 y 110 Km/hr.
– Pisar el freno se se exceden los 110 Km / hr.
– Pisar el acelerador si la velocidad es menor a 90 Km / hr.
SPC for SME - David Drain
8
Cuando sólo se tienen presentes en el proceso causas comunes, entonces logramos un
PROCESO ESTABLE, con un patrón de comportamiento consistente y normal en el tiempo
como sigue:
Time
De esta forma se pueden determinar los límites de control dentro de los cuales se tendrá la
variabilidad natural de este proceso estable el 99.73% del tiempo.
UCL
LCL
Causas especiales:
Existen otras fuentes de variabilidad que pueden ser causadas por fallas en máquinas, errores
de operadores, materiales defectuosos o alguna otra discrepancia de las 6M’s (medio
ambiente, métodos, mediciones). Esta variabilidad es muy grande en relación con la
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variabilidad natural y es originada por causas especiales o asignables haciendo que el proceso
opere fuera de control estadístico.
LIC
LSC
LSC
Proceso fuera de control, con causas especiales presentes, el
proceso no es predecible
Las causas especiales normalmente provocan que los procesos sean INESTABLES y salgan de
control estadístico.
Esta variabilidad se puede corregir en el área de trabajo por el personal involucrado, y no es
necesaria la intervención de la dirección para su corrección.
En una carta de control los patrones de anormalidad más comunes son: las causas especiales,
las tendencias crecientes o decrecientes y las corridas de nivel
Ejemplo de variación anormal en el tiempo:
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Características de un Proceso normal
Un proceso opera en condiciones normales, si tiene los materiales dentro de especificaciones y
del mismo lote, un método consistente, un medio ambiente adecuado, el operador
capacitado, y el equipo ajustado correctamente, si se toman mediciones en alguna
característica del producto, mostrará el siguiente comportamiento:
Distribución gráfica de la variación
– La Curva normal
LAS PIEZAS VARÍAN DE UNA A OTRA:
TAMAÑO
TAMAÑO
TAMAÑO
TAMAÑO
Pero ellas forman un patrón, tal que si es estable, se denomina distr. Normal
SIZE
TAMAÑO
TAMAÑO
LAS DISTRIBUCIONES PUEDEN DIFERIR EN:
UBICACIÓN
TAMAÑO
DISPERSIÓN
TAMAÑO
FORMA
TAMAÑO
. . . O TODA COMBINACIÓN DE ÉSTAS
Construcción de la distribución normal
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La distribución normal es una de las distribuciones más usadas e importantes. Se ha
desenvuelto como una herramienta indispensable en cualquier rama de la ciencia, la industria
y el comercio.
Muchos eventos reales y naturales tienen una distribución de frecuencias cuya forma es muy
parecida a la distribución normal. La distribución normal es llamada también campana de
Gauss por su forma acampanada.
Cuando se incluyen todos los datos de un proceso o población, sus parámetros se indican con
letras griegas, tales como: promedio o media =  (mu), y desviación estándar (indicador de la
dispersión de los datos) =  (sigma).
Para el caso de estadísticos de una muestra se tiene media = X y desv. est.= s.
Propiedades de la distribución normal estándar

La distribución normal estándar tiene media  = 0 y desviación estándar  =1. La media,
Mediana y Moda coinciden, son iguales y se localizan en el pico.
La desviación estándar
sigma representa la
distancia de la media al
punto de inflexión de la
curva normal
X
x-3
x-2
x-
x
x+
x+2
x+3
z
-3
-2
-1
0
1
2
3
Fig. 1.2 Propiedades de la distribución normal

El área bajo la curva o probabilidad de menos infinito a más infinito vale 1.

La distribución normal es simétrica, la mitad de curva tiene un área de 0.5.

La escala horizontal de la curva se mide en desviaciones estándar.

La forma y la posición de una distribución normal dependen de los parámetros  ,  , por
lo que hay un número infinito de distribuciones normales.
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Curvas
Curvas Normales
Normales con
con Medias
Medias iguales
iguales pero
pero
Desviaciones
estándar
diferentes
Desviaciones estándar diferentes


3.9
3.9
 == 5.0
5.0

Límite inferior de especs.
Límite superior de especificaciones
Distribuciones normales con varias desv. estándar
Normales
Normales con
con Medias
Medias yy
Desviaciones
estándar
Desviaciones estándar diferentes
diferentes
=
= 5,
5,  == 33
 == 9,
9, =
= 66
 == 14,
14, == 10
10
LIE
LSE
Distribuciones
normales
desviaciones estándar
con
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varias
medias
y
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P. Reyes / marzo 2008
Área o probabilidad bajo la curva normal estándar
Existe una relación del porcentaje de probabilidad o área bajo la curva normal a la desviación
estándar. En la figura observamos por ejemplo que el área bajo la curva para  1 tiene un
porcentaje de 68.26%,  2 = 95.46% y
-3s -2s -1s
 3  99.73% .
+1s +2s +3s
68.26%
95.46%
99.73%
Área bajo la curva de Distribución normal
Lo anterior se puede calcular con la Tabla de distribución normal o con Excel (Fx
=distr.norm.estand(Z) proporciona el área desde menos infinito hasta Z).
En la tabla normal, se busca el valor de Z y se encuentra el área bajo la curva.
La primera tabla sirve para determinar el área o probabilidad que se encuentra fuera de los
límites de especificaciones. La segunda tabla proporciona valores de área bajo la curva para Z’s
mayores a cero. En cada una se muestran ejemplos de su uso.
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CONCEPTOS DE CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
Ejemplo
a) Determinar el área bajo la curva de menos infinito a Z = - 1.
P(Z<= -1) = 0.1587
b) Determinar el área bajo la curva de menos infinito a Z = - 2.
P(Z<= - 2) = 0.0228
c) Determinar el área bajo la curva entre Z >= -2. hasta Z <= -1
P(- 2 <= Z<= -1) = 0.1259
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P. Reyes / marzo 2008
CONCEPTOS DE CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
P. Reyes / marzo 2008
Ejemplo:
a) Determinar el área bajo la curva de menos infinito a Z = 1.
P(Z <= 1) = 0.8413
b) Determinar el área bajo la curva de menos infinito a Z = 2.
P(Z <= 2) = 0.9772 8
c) Determinar el área bajo la curva de menos Z = 1 a Z = 2
P(1 <= Z <= 2) = 0.9772 – 0.8413 = 0.1369
Ejercicio:
¿Qué porcentaje del área bajo la curva normal estándar o probabilidad está incluido dentro de
los siguientes rangos?
a) P(1.2 <= Z <= 2.2) = P(Z <= 2.2) – P(Z <= 1.2) =
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CONCEPTOS DE CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
P. Reyes / marzo 2008
Estandarización de valores reales a su equivalente Z
Determina el número de desviaciones estándar  entre algún valor X y la media de la
población  Para calcular el valor de Z usamos la siguiente fórmula.
Z
X 
Z1 

X1  
Z2 

X2  

DISTRIBUCIÓN NORMAL CON DATOS REALES
Desviación estándar real
X1
Media
Real
X2
DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTANDARIZADA
Desviación estándar = 1
Z1
Media=0
Z2
Estandarización de datos reales para cálculo de área
Ejemplo: El departamento de personal de una empresa requiere que los solicitantes a un
puesto en cierta prueba alcancen una calificación de 500. Si las calificaciones de la prueba se
distribuyen normalmente con media   485 y desviación estándar   30 ¿Qué porcentaje
de los solicitantes pasará la prueba?
Calculando el valor de Z obtenemos:
Z
X 

= 500  485  0.5
30
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CONCEPTOS DE CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
P. Reyes / marzo 2008
Buscamos el valor correspondiente Z en las tablas de distribución normal estándar o por
medio de Excel =distr.norm.estand(0.5). Z0.5 = 0.69146 = 69.146%. donde la probabilidad de
que la calificación sea menor a 500 es P (X <= 500). Dado que el porcentaje pedido es
P( X  500)
la solución es 1-0.69146 =0.3085, por tanto sólo 30.85% de los participantes
pasarán la prueba.
Otra forma es tomando la Z como negativa con P(Z <= -0.5) = 0.3085.
485
30.85%
Z.05
Área bajo la curva de Distribución normal
Ejemplo: Suponga que un proceso tiene una distribución normal dada tiene una media de 20 y
una desviación estándar de 4. Calcule la probabilidad
P (X >=24) = 1 – P(X <= 24) =
En la barra de herramientas seleccione el icono de funciones
fx>Estadísticas>Distr.Norm.Estand. OK. El sistema muestra la siguiente ventana, en la cual
llenamos los siguientes datos:
Cálculo del área bajo la curva normal sin Z
El resultado de la fórmula = 0.8413. , dado que esta es la probabilidad P(X  24), la probabilidad
buscada es: P(X > 24) = 1 - 0.8413= 0.1587
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CONCEPTOS DE CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
P. Reyes / marzo 2008
Prueba de normalidad
Para probar normalidad de datos, se pueden utilizar los métodos de Anderson Darling o Ryan,
en el caso de tener más de 15 datos y la de Kolmogorov Smirnov si se tienen 15 o menos
datos, y la gráfica de probabilidad normal.
a) Método de Anderson Darling o Ryan Joiner.
1. Stat > Basic statistics > Normality Test
2. Variable C1 Seleccionar Ryan Joiner test OK
El P value debe ser mayor a 0.05 para que los datos sean normales
Probability Plot of Datos
Normal
99.9
Mean
StDev
N
RJ
P-Value
99
95
Percent
90
269.3
30.72
100
0.994
>0.100
80
70
60
50
40
30
20
10
5
1
0.1
150
200
250
Datos
300
350
Gráfica de probabilidad de un proceso normal
b) Otra opción por medio de una gráfica de probabilidad normal, se tiene:
3. Graph > Probability plot > Normal
4. Graph Variable C1 OK
Los puntos deben quedar dentro del intervalo de confianza.
Probability Plot of Datos
Normal - 95% CI
99.9
Mean
StDev
N
AD
P-Value
99
95
Percent
90
269.3
30.72
100
0.317
0.533
80
70
60
50
40
30
20
10
5
1
0.1
150
200
250
300
350
400
Datos
Gráfica
de
probabilidad
normal
con
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Intervalo
de
confianza
CONCEPTOS DE CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
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2. CONTROL ESTADISTICO DEL PROCESO
Introducción
W. A. Shewhart demostró que cuando se extraen muestras de tamaño 4 – 6 de distribuciones
casi normales, triangulares, uniformes, etc., y se calculan las medias de esas muestras, al
graficar las medias en un histograma siguen una distribución normal.1
*
**
***
***
* * *
**
**
* *
Distribución de promedios
de las muestras
Universo
Experimentos de Shewhart para las cartas de control
Encontró que las medias de las muestras correspondían a las medias de la población y que la
desviación estándar de las medias de las muestras están relacionadas con la desviación
estándar de la población, como sigue:
 
__
X

n
Donde n es el tamaño de la muestra y  es la desviación estándar de la población.
Seleccionando muestras de tamaño n y calculando la X-media o promedio en cada una se
tiene:
1
Shewhart, W.A., Economic Control of Quality of Manufactured Product, Van Nostrand Reinhold Co.,
1931, p. 182
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CONCEPTOS DE CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
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Población con media  y desviación estándar  y cualquier distribución.
X1
X-media 1
X2
X-media 2
X3
X-media 3
Distribución de las medias muestrales - Normal
Comportamiento de las medias muestrales extraídas de otras distribuciones:
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CONCEPTOS DE CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
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DATOS DE LA POBLACION PARA MOSTRAR TEOREMA DEL LÍMITE CENTRAL
2
1
5
7
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1
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9
8
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8
Media
4.2
5.6
4.0
3.4
7.0
5.4
4.2
5.8
6.0
5.2
3.4
6.6
5.4
3.8
5.2
6.4
4.8
6.8
5.2
4.8
3.6
5.6
7.0
2.8
3.2
5.0
4.6
5.4
6.0
4.2
4.4
5.0
4.2
4.2
3.2
4.4
6.0
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4.2
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4.6
6.6
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6.0
4.6
4.6
4.8
4.4
6.2
4.6
3.6
5.2
4.8
4.6
4.4
3.6
6.0
La distribución de la población de los datos anteriores es la siguiente (no es normal):
Histogram of Datos
40
Frequency
30
20
10
0
2
4
6
8
Datos
En general si las xi están distribuidas en forma idéntica y su distribución se asemeja a la
normal, el teorema del límite central trabaja bien para n>=3 o 4, donde las medias de las
muestras se distribuyen normalmente, condiciones propicias para el control estadístico de los
procesos.
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Histogram of Media
12
10
Frequency
8
6
4
2
0
3.0
3.6
4.2
4.8
5.4
Media
6.0
6.6
7.2
Distribución de las medias muestrales - Normal
Conforme el tamaño de muestra se incrementa las muestras se distribuyen normalmente con
media de medias  y desviación estándar de las medias de las muestras  / n. También se
denomina Error estándar de la media.
Control estadístico del proceso
El CEP es una técnica que permite aplicar el análisis estadístico para medir, monitorear y
controlar procesos por medio de cartas de control. Su propósito es la detección oportuna de la
ocurrencia de causas especiales, para tomar acciones correctivas antes de que se produzcan
unidades defectivas o no conformes, para lo cual se utilizan las cartas de control en línea,
permitiendo también la estimación de la capacidad o habilidad del proceso y la reducción
continua de la variabilidad hasta donde sea posible.
Beneficios que proporciona el CEP:

Son herramientas para mejorar la productividad

Son herramientas de prevención de defectos

Evitan ajustes innecesarios

Proporcionan información de diagnóstico

Proporcionan información de la capacidad del proceso
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CONCEPTOS DE CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
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¿Qué es una carta de control?

Una Carta de Control es como un historial del proceso.... En donde ha estado....En
donde se encuentra....Hacia donde se puede dirigir

Una Carta de control es simplemente un registro de datos en el tiempo con límites de
control superior e inferior, diferentes a los límites de especificación y determinados
con la variación natural del proceso.
Cartas de control
Límite
Superior de
Control
12.5
11.5
10.5
Línea
Central
9.5
8.5
7.5
0
10
20
30
Límite
Inferior de
Control
Carta de control con sus límites de control

Las cartas de control pueden reconocer cambios favorables y desfavorables. ¿Qué
tanto se ha mejorado? …¿Se ha hecho algo inadecuado?

Las cartas de control detectan la variación anormal en un proceso, denominadas
“causas especiales o causas asignables de variación.”

El patrón normal de un proceso se llama causas de variación comunes.

El patrón anormal debido a eventos especiales se llama causa especial de variación.
Cartas de Control
Causas
normales o
comunes
Causa
especial
DEFINICION
Es una ayuda gráfica para el control de las variaciones
de los procesos administrativos y de manufactura.
Analogía del manejo en carretera con el CEP
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CONCEPTOS DE CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
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Patrones de anormalidad
en la carta de control
“Escuche la Voz del Proceso”
M
E
D
I
D
A
S
C
A
L
I
D
A
D
Región de control,
captura la variación
natural del proceso
original
LSC
LIC
Tendencia del proceso (7P)
Causa Especial
Corrida del Proceso (7P)
identifcada
TIEMPO
Patrones de anormalidad más frecuentes
Patrones principales de anormalidad en Cartas de Control
Puntos fuera de control: Una carta de control indicará una condición fuera de control cuando
uno o más puntos se encuentren más allá de los límites de control.
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CONCEPTOS DE CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
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Tendencias: Se pueden presentar tendencias hacia arriba o hacia abajo en las cartas de control
(ascendentes o descendentes), se considera que 7 puntos o más indican una situación fuera de
control.
Corrimiento en la media del proceso: Esto puede ser generado por un cambio en métodos,
operadores, materias primas, métodos de inspección, etc. se considera que 7 puntos o más
indican una situación fuera de control
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CONCEPTOS DE CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
Otros patrones de anormalidad del proceso
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P. Reyes / marzo 2008
CONCEPTOS DE CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
P. Reyes / marzo 2008
Para reconocer un patrón de comportamiento no sólo se requiere conocer las técnicas
estadísticas, sino también es necesario tener un conocimiento profundo del proceso. Debe
tenerse cuidado de no exagerar en la aplicación de las reglas ya que se pueden tener muchas
falsas alarmas quitándole efectividad al programa del CEP.
Proceso en Control estadístico: Sucede cuando no se tienen situaciones anormales y
aproximadamente el 68% (dos tercios) de los puntos de la carta se encuentran dentro del 1 
de las medias en la carta de control. Es decir, se tiene aprox. el 68% de los puntos dentro del
tercio medio de la carta de control. Si se trata de ajustar el proceso cuando solo la variación
común está presente, podemos incurrir en “Sobre ajustes” o “Tampering”.
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CONCEPTOS DE CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
P. Reyes / marzo 2008
El término “sobre ajuste” se refiere a los ajustes que se hacen al proceso de
producción que no son estadísticamente apropiados, por ejemplo “Tampering”
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CONCEPTOS DE CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
P. Reyes / marzo 2008
Cartas de control por variables
CARTAS DE CONTROL DE MEDIAS-RANGOS (X-R)
Para elaborar la carta, inicialmente se toman al menos 25 subgrupos con muestras de cinco
partes cada cierto periodo (por ejemplo cada hora).
Ejemplo: Se toman varios datos de hilos y se construye una carta
de medias – rangos con m = subgrupos, donde el rango se calcula
tomando el valor mayor menos el valor menor del subgrupo, con n
= 5.
Por ejemplo:
Variables
X1
X2
X3
X4
X5
Media
Rango
Subgrupo
1
2
4
3
5
1
09:00 a.m.
3
4
Subgrupo
2
5
3
6
7
4
10:00 a.m.
5
4
Subgrupo
m
3
4
1
5
2
11:00 a.m.
3
4
Se obtiene una media de medias X y un rango promedio R, para proceder a determinar los
límites de control como sigue:
LSC = X + 0.577x R
LIC = X - 0.577x R
Para el caso de los rangos, la línea central es R . los límites de control para el rango son:
LSC = 2.114x R
LIC = 0
Se identifican situaciones fuera de control, se investigan las causas y se toman acciones
preventivas para prevenir la reincidencia y se recalculan los límites de control futuros.
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CONCEPTOS DE CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
P. Reyes / marzo 2008
Xbar-R Chart of Supp2
1
1
Sample M ean
U C L=602.474
602
_
_
X=600.23
600
598
LC L=597.986
2
4
6
8
10
Sample
12
14
16
18
20
U C L=8.225
Sample Range
8
6
_
R=3.890
4
2
0
LC L=0
2
4
6
8
10
Sample
12
14
16
18
20
Carta de control X-R fuera de control
Después de identificar las causas de las situaciones fuera de control en los subgrupos 2 y 14 y
tomando acciones preventivas para evitar la reincidencia, se eliminan los subgrupos fuera de
control y se recalculan los límites de control.
Xbar-R Chart of Supp2
U C L=602.247
Sample M ean
602
601
_
_
X=599.938
600
599
598
LC L=597.629
2
4
6
8
10
Sample
12
14
16
18
U C L=8.465
Sample Range
8
6
_
R=4.003
4
2
0
LC L=0
2
4
6
8
10
Sample
12
14
16
18
Carta de control de medias rangos X-R estable
.
Ejercicio Hacer una carta X-R utilizando las fichas de ejemplo por equipos.
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R
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
CAUSAS DE NO
REGISTRO
R
X
INSTRUCCIONES
% Z Inf.:
CPK:
0.58 2.11
0.73 2.28
1.02 2.57
0
0
0
0
D3
B4
2.33 2.09
2.06 2.27
1.70 2.57
1.13 3.27
d2
CONSTANTES
D4
1.88 3.27
A2
A) Fin de corrida de
producción
B) Falta de material
C) Ajuste de línea / máquina
D) Cambio de modelo
E) Fin de turno
F) Otro (indicar)
0
0
0
0
B3
4.- Indique en el último
renglón, justo abajo del
subgrupo correspondiente, las
causas por las cuales se deja
de graficar de acuerdo a la
frecuencia indicada, si es que
se presentan el caso. Utilice
las siguientes claves:
3.- Registre la (s) causa (s)
del comportamiento en la
bitácora (al reverso de la
gráfica), así como las
acciones realizadas o
propuestas para corregir la
falla.
2.- Investigue y corrija la
causa del comportamiento. Si
no es posible llame a su
supervisor o Ing. de
Manufactura.
1.- Encierre en un círculo los
patrones anormales de
comportamiento ( puntos fuera
de los límites de control,
tendencias, adhesiones, etc).
% NC:
% Z Sup.:
Cp. :
5
9
L.I.C. R
TIPO DE EVALUACIÓN
5
SUMA
8
L.S.C. R
FRECUENCIA
4
7
R
MUESTRA
4
6
L.I.C.x
CALIBRADOR
3
5
L.S.C.x
CARACTERÍSTICA
3
4
X
MAQUINA
FECHA DE TERMINO
2
3
L.I.E.
OPERACIÓN
FECHA DE INICIO
2
2
L.S.E.
ÁREA
No. DE GRAFICA
n
1
NOMINAL
No. DE PARTE
GRAFICA DE CONTROL DE PROMEDIOS Y RANGOS
1
INICIALES
UNIDADES
HORA
NOMBRE DE PARTE
x
PROMEDIOS
RANGOS
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FECHA
LECTURAS
CONCEPTOS DE CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
P. Reyes / marzo 2008
CONCEPTOS DE CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
P. Reyes / marzo 2008
Ejercicio: Obtener una carta de Medias – Rangos X-R, Se monitorean cada hora subgrupos de
5 pesos de un producto blanqueador con los siguientes resultados:
Datos de cada uno de los subgrupos
x1
15.8
16.3
16.1
16.3
16.8
16.1
16.1
16.2
16.3
16.6
16.2
15.9
16.4
16.5
16.4
16
16.4
16
16.4
16.4
x2
16.3
15.9
16.2
16.2
16.9
15.8
16.3
16.1
16.2
16.3
16.4
16.6
16.1
16.3
16.1
16.2
16.2
16.2
16
16.4
x3
x4
x5
16.2 16.1 16.6
15.9 16.2 16.4
16.5 16.4 16.3
15.9 16.4 16.2
16.7 16.5 16.6
16.7 16.6 16.4
16.5 16.1 16.5
16.2 16.1 16.3
16.4 16.3 16.5
16.4 16.1 16.5
15.9 16.3 16.4
16.7 16.2 16.5
16.6 16.4 16.1
16.2 16.3 16.4
16.3 16.2 16.2
16.3 16.3 16.2
16.4 16.3 16.2
16.4 16.5 16.1
16.3 16.4 16.4
16.5
16
15.8
Media de medias
Xmedia -+A2*Rm
Media
i
16.20
16.14
16.30
16.20
16.70
16.32
16.30
16.18
16.34
16.38
16.24
16.38
16.32
16.34
16.24
16.20
16.30
16.24
16.30
16.22
16.292
Media LIC
16.292 16.021
16.292 16.021
16.292 16.021
16.292 16.021
16.292 16.021
16.292 16.021
16.292 16.021
16.292 16.021
16.292 16.021
16.292 16.021
16.292 16.021
16.292 16.021
16.292 16.021
16.292 16.021
16.292 16.021
16.292 16.021
16.292 16.021
16.292 16.021
16.292 16.021
16.292 16.021
A2=0.577
LSC
16.563
16.563
16.563
16.563
16.563
16.563
16.563
16.563
16.563
16.563
16.563
16.563
16.563
16.563
16.563
16.563
16.563
16.563
16.563
16.563
Rmedio
Rango
i
Rmedio
0.80
0.47
0.50
0.47
0.40
0.47
0.50
0.47
0.40
0.47
0.90
0.47
0.40
0.47
0.20
0.47
0.30
0.47
0.50
0.47
0.50
0.47
0.80
0.47
0.50
0.47
0.30
0.47
0.30
0.47
0.30
0.47
0.20
0.47
0.50
0.47
0.40
0.47
0.70
0.47
0.47
LICr
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
a) Obtener una carta de control X-R de medias rangos. ¿Está el proceso en control
estadístico?
i) En Excel (seleccionar la información de la carta X – verde y después la del rango R – amarillo,
usar el asistente de gráficas, gráfica de líneas, ajustar escalas y colores)
En Minitab, copiar los datos de las columnas X1 a X5 e C1 a C5.
Stat > Control Charts > Xbar – R
Seleccionar Subgroups across rows off X1 X2 X3 X4 X5
OK
b) Si no está en control, asumir que se pueden identificar las causas asignables, y que se
toman acciones para prevenir su recurrencia, eliminar el subgrupo 4 (seleccionar el renglón 4 y
borrarlo en Minitab) recalcular los límites de control con otra corrida.
Página 32 de 55
LSCr
0.994
0.994
0.994
0.994
0.994
0.994
0.994
0.994
0.994
0.994
0.994
0.994
0.994
0.994
0.994
0.994
0.994
0.994
0.994
0.994
CONCEPTOS DE CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
P. Reyes / marzo 2008
CARTAS PARA LECTURAS INDIVIDUALES / RANGO MÓVIL (I-MR)
Se aplican para un tamaño de muestra n =1, por ejemplo:
1. Cuando hay inspección automática de parámetros o piezas individuales.
2. La tasa de producción es muy baja y conviene tomar muestras de una pieza.
3. Las mediciones entre unidades muestra difieren muy poco (sólo por errores de medición
de laboratorio) como en procesos químicos.
Los rangos móviles se empiezan a calcular a partir de la segunda muestra, tomando la
diferencia entre cada dos valores consecutivos como sigue: MR i = X i  X i 1 .
Ejemplo: Se toman varios datos de viscosidades y se construye
una carta de lecturas individuales, donde el rango se calcula
tomando cada dos valores consecutivos, por tanto el valor de n =
2 y habrá (m – 1) rangos en total. Con m = número de valores
individuales. Por ejemplo:
Valores individuales
Rango
12
-
15
3
11
4
14
3
8
6
9
1
Al final se hace un promedio de los valores individuales X y un
promedio de rangos móviles R y los límites de control para la
carta I-MR se calculan con las fórmulas siguientes:
LSCx  X  (2.66 * R )
Para la carta I:
LICr 0
y para la carta R:
LICx  X  (2.66 * R )
LSCr 3.27 * R
I-MR Chart of Supp1
1
1
U C L=601.176
Individual V alue
601
600
_
X=599.548
599
598
LC L=597.920
1
1
10
20
30
40
50
60
O bser vation
70
80
90
100
1
M oving Range
2.4
1
U C L=2.000
1.8
1.2
__
M R=0.612
0.6
0.0
LC L=0
1
10
20
30
40
50
60
O bser vation
70
80
90
Página 33 de 55
100
Página 34 de 55
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
L.I.C.x
18
19
20
R
21
22
CALIBRADOR
23
L.S.C. R
24
25
T. MUESTRA
26
L.I.C. R
27
28
FRECUENCIA
29
30
TIPO DE EVALUA.
INSTRUCCIONES
% Z Inf.:
CPK:
CONSTANTES
A) Fin de corrida de producción
B) Falta de material
C) Ajuste de línea / máquina
D) Cambio de modelo
E) Fin de turno
F) Otro (indicar)
4.- Indique en el último renglón, justo abajo
del subgrupo correspondiente, las causas por
las cuales se deja de graficar de acuerdo a la
frecuencia indicada, si es que se presentan
el caso. Utilice las siguientes claves:
3.- Registre la (s) causa (s) del
comportamiento en la bitácora (al reverso de
la gráfica), así como las acciones realizadas
o propuestas para corregir la falla.
2.- Investigue y corrija la causa del
comportamiento. Si no es posible llame a su
supervisor o Ing. de Manufactura.
1.- Encierre en un círculo los patrones
anormales de comportamiento ( puntos fuera
de los límites de control, tendencias,
adhesiones, etc).
% NC:
% Z Sup.:
Cp. :
2.67 1.13 0 3.27
5
L.S.C.x
CARACTERÍSTICA
R
4
X
MAQUINA
en
E2 D2 D3 D4
3
L.I.E.
OPERACIÓN
FECHA DE TERMINO
está
X
2
L.S.E.
ÁREA
FECHA DE INICIO
no
R
1
NOMINAL
No. DE PARTE
No. DE GRAFICA
proceso
INICIALES
LECTURAS
x
UNIDADES
NOMBRE DE PARTE
HORA
GRAFICA DE CONTROL DE LECTURAS INDIVIDUALES
El
RANGOS
I-MR.
FECHA
Carta de control
estadístico.
VALORES
CONCEPTOS DE CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
P. Reyes / marzo 2008
control
Ejercicio Hacer una carta I-MR utilizando las fichas de ejemplo por equipos.
CONCEPTOS DE CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
P. Reyes / marzo 2008
Carta de control I-MR: se muestran a continuación los siguientes datos de mediciones
individuales de una viscosidad de un elemento:
=Xmedia -+
2.66*Rmedio
Viscocidad
Media
LIC
LSC
=3.267*Rmedio
6.00
6.00 5.92
6.08
Rango
Rmedio LICr
LSCr
5.98
6.00 5.92
6.08
0.02
0.03
0
0.099
5.97
6.00 5.92
6.08
0.01
0.03
0
0.099
6.01
6.00 5.92
6.08
0.04
0.03
0
0.099
6.15
6.00 5.92
6.08
0.14
0.03
0
0.099
6.00
6.00 5.92
6.08
0.15
0.03
0
0.099
5.97
6.00 5.92
6.08
0.03
0.03
0
0.099
6.02
6.00 5.92
6.08
0.05
0.03
0
0.099
5.96
6.00 5.92
6.08
0.06
0.03
0
0.099
6.00
6.00 5.92
6.08
0.04
0.03
0
0.099
5.98
6.00 5.92
6.08
0.02
0.03
0
0.099
5.99
6.00 5.92
6.08
0.01
0.03
0
0.099
6.01
6.00 5.92
6.08
0.02
0.03
0
0.099
6.03
6.00 5.92
6.08
0.02
0.03
0
0.099
5.98
6.00 5.92
6.08
0.05
0.03
0
0.099
5.98
6.00 5.92
6.08
0.00
0.03
0
0.099
6.01
6.00 5.92
6.08
0.03
0.03
0
0.099
5.99
6.00 5.92
6.08
0.02
0.03
0
0.099
5.99
6.00 5.92
6.08
0.00
0.03
0
0.099
5.98
6.00 5.92
6.08
0.01
0.03
0
0.099
6.01
6.00 5.92
6.08
0.03
0.03
0
0.099
5.99
6.00 5.92
6.08
0.02
0.03
0
0.099
5.98
6.00 5.92
6.08
0.01
0.03
0
0.099
5.99
6.00 5.92
6.08
0.01
0.03
0
0.099
6.00
6.00 5.92
6.08
0.01
0.03
0
0.099
5.98
6.00 5.92
6.08
0.02
0.03
0
0.099
6.02
6.00 5.92
6.08
0.04
0.03
0
0.099
5.99
6.00 5.92
6.08
0.03
0.03
0
0.099
6.01
6.00 5.92
6.08
0.02
0.03
0
0.099
5.98
6.00 5.92
6.08
0.03
0.03
0
0.099
5.99
6.00 5.92
6.08
0.01
0.03
0
0.099
5.97
6.00 5.92
6.08
0.02
0.03
0
0.099
5.99
6.00 5.92
6.08
0.02
0.03
0
0.099
6.01
6.00 5.92
6.08
0.02
0.03
0
0.099
5.97
6.00 5.92
6.08
0.04
0.03
0
0.099
6.02
6.00 5.92
6.08
0.05
0.03
0
0.099
5.99
6.00 5.92
6.08
0.03
0.03
0
0.099
6.02
6.00 5.92
6.08
0.03
0.03
0
0.099
6.00
6.00 5.92
6.08
0.02
0.03
0
0.099
6.02
6.00 5.92
6.08
0.02
0.03
0
0.099
6.01
6.00 5.92
6.08
0.01
0.03
0
0.099
Promedio
Rango
Promedio
6.00 =PROMEDIO(B6:B46)
=ABS(B44B45)
Página 35 de 55
0.03
CONCEPTOS DE CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
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a) Construir una carta I-MR:
i) En Excel (seleccionar la información de la carta X – verde y después la del rango R – amarillo,
usar el asistente de gráficas, gráfica de líneas, ajustar escalas y colores)
ii) En Minitab, copiar los datos de la viscosidad a una columna C1 u otra.
Stat > Control Charts > I – MR
Variable Viscocidad
OK
Límites de control
b) Para carta de valores individuales LIC=
c) Para carta de rangos
LIC =
Media=
Rango promedio =
d) ¿Está el proceso en control estadístico? ___ Si
LSC=
LSC =
___ No
e) En caso de que no se encuentre en control estadístico eliminar el punto que sale de control
(se asume que se identifica la causa y se toman acciones para prevenir su recurrencia
seleccionar el punto 5 y borrarlo con DEL) para que quede en control y recalcular los límites,
repitiendo la corrida en Minitab.
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3. CAPACIDAD DE PROCESOS
Definiciones

Proceso: Éste se refiere a alguna combinación única de máquinas, herramientas,
métodos, materiales y personas involucradas en la producción.

Capacidad o habilidad: Esta palabra se usa en el sentido de aptitud, basada en el
desempeño probado, para lograr resultados que se puedan medir.

Capacidad del proceso: Es la aptitud del proceso para producir productos dentro de los
límites de especificaciones de calidad.

Capacidad medida: Esto se refiere al hecho de que la capacidad del proceso se
cuantifica a partir de datos que, a su vez, son el resultado de la medición del trabajo
realizado por el proceso.

Capacidad inherente: Se refiere a la uniformidad del producto que resulta de un
proceso que se encuentra en estado de control estadístico, es decir, en ausencia de
causas especiales o atribuibles de variación.

Variabilidad natural: Los productos fabricados nunca son idénticos sino que presentan
cierta variabilidad, cuando el proceso está bajo control, solo actúan las causas
comunes de variación en las características de calidad.

Valor Nominal: Las características de calidad tienen un valor ideal óptimo que es el que
desearíamos que tuvieran todas las unidades fabricadas pero que no se obtiene,
aunque todo funcione correctamente, debido a la existencia de la variabilidad natural.
Capacidad de procesos
Su propósito es determinar la capacidad del proceso para cumplir especificaciones o
requerimientos establecidos, se usa para:
1. Predecir que tanto el proceso cumple especificaciones
2. Apoyar a diseñadores de producto o proceso en sus modificaciones
3. Especificar requerimientos de desempeño de equipo nuevo
4. Seleccionar proveedores
5. Reducir la variabilidad en el proceso de manufactura
6. Planear la secuencia de producción cuando hay un efecto interactivo de los procesos en
las tolerancias.
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LSE
Especificación
superior
LIE
Especificación
inferior
Z
s
xi
_
X
p = porcentaje de partes fuera de Especificaciones
Capacidad del proceso
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Procedimiento para realizar estudios de capacidad del proceso
1. Seleccionar una máquina donde realizar el estudio.
2. Seleccionar las condiciones de operación del proceso.
3. Seleccionar un operador entrenado.
4. El sistema de medición debe tener una resolución de al menos el 10% y una habilidad (error
R&R < 10%).
5. Cuidadosamente colectar la información en una carta de control X-R o I-MR.
6. Construir la carta de control y estabilizar el proceso a que este en control.
7. Calcular la media y desviación estándar del proceso (S = Rmedia / d2).
8. Calcular las Z’s correspondientes al límites superior de especificaciones Zs y al límite inferior
de especificaciones Zi.
9. Determinar la fracción defectiva con la tabla normal P(Zs) + P(Zi).
10. Calcular el índice de capacidad potencial Cp = (LSE – LIE) / (6*s), debe ser mayor a 1.33.
11. Determinar el índice de capacidad real Cpk = Menor |Zs; Zi| / 3, debe ser mayor a 1.33.
12. Tomar las acciones correctivas necesarias
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La capacidad de los procesos para cumplir especificaciones se refiere a la uniformidad de los
procesos medida como la variabilidad del producto, hay dos formas de pensar en esta
variabilidad:
1. La variabilidad natural en un cierto tiempo (variabilidad instantánea).
2. La variabilidad en el tiempo.
Es usual tomar 8-sigma de la población  como la dispersión en la distribución de la
característica de calidad del producto como medida de la capacidad del proceso.
Los límites de tolerancia natural del proceso, superior (LTNS) e inferior (LTNI) , se encuentran
en   3 , o sea:
LTNS =  + 8 
LTNI =  - 8 
Para un proceso normal, los límites de tolerancia naturales incluyen 99.9940% de la variable,
sólo (60 ppm) de la salida del proceso se encontrará fuera de estos limites de tolerancia
naturales. Sin embargo, si el proceso no es normal, el porcentaje puede diferir grandemente.
Esto se esquematiza en la figura siguiente:
.00135 LTNI

LTNS .00135
Localización de los límites de tolerancia natural
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¿Cómo vamos a mejorar esto?
Podemos reducir la desviación estándar...
Podemos cambiar la media...
O (lo ideal sería, por supuesto) que podríamos cambiar ambas
Cualquiera que sea la mejora que lleve a cabo,
asegurarse que se mantenga
Acciones para mejorar la Capacidad del proceso
Teoría del camión y el túnel
•El túnel tiene 9' de ancho (especificación). El camión tiene 10’ y el chofer es perfecto
(variación del proceso). ¿Pasaría el camión? NO, la variabilidad del proceso es mayor
que la especificación.
•Centrar es hacer que el promedio del proceso sea igual al centro de la
especificación. Si el camión tiene 8 pies de ancho ¿pasará el camión?, Si. Si
el chofer puede mantener el centro del camión en el centro del túnel. De otra forma
chocará con las paredes del túnel y no pasará a pesar de ser más angosto.
El proceso debe estar en control, tener capacidad y estar centrado
Ancho 9´
Nigel´s Trucking Co.
Capacidad potencial (Cp) y capacidad real del proceso (Cpk)
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Capacidad del proceso – Fracción defectiva
La capacidad en función de la fracción defectiva del Proceso se calcula
En función de la fracción defectiva para cada lado del rango de Especificación.
Rango medio
Desv. Est.=
Constante d2 de acuerdo al tamaño de subgrupo en X-R
Los valores de Z inferior y Z superior se calculan de acuerdo a las fórmulas
Siguientes:
Zi
=
LIE - promedio del proceso
Desviación Estandar
Zs
=
LSE - Promedio del proceso
Desviación Estandar
La fracción defectiva se calcula con las tablas de distribución normal
P(Zi) = Área en tabla (-Z)
P(Zs) = 1 – Área corresp. a Zs en tabla (+Z)
Fracción defectiva = P(Zi) + P(Zs)
Cálculo de la fracción defectiva
Índices de capacidad de procesos Cp, Cpk, Cpkm
ÍNDICE DE CAPACIDAD POTENCIAL Cp
Compara la amplitud de variación permitida por las especificaciones entre la amplitud de
variación entre los límites de tolerancia naturales del proceso.
Cp 
LSE  LIE
6
Ejemplo 3.1 Para el caso de anillos de pistones, donde el LSE =
74.05mm y el LIE= 73.95mm y de la carta R se estimó

R
 0.0099
d2
por tanto se tiene:
Cp = PCR = (LSE – LIE) / 6
= (74.05 – 73.95) / 6 (0.0099)
= 1.68
La función P (inverso de Cp) es el porcentaje de la banda de
especificaciones usada por el proceso.
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 1 
100
P  
Cp


Para el caso del ejemplo se tiene:
P = [(1/1.68)] 100 = 59.5%
Cuando sólo existe un límite de especificaciones, el índice de capacidad potencial Cp o PCR se
define como:
Cps  PCR S 
LSE  
3
para el límite superior
Cpi  PCR I 
  LIE
3
para el límite inferior
Para el caso de la resistencia de las botellas de vidrio, si el
LIE = 200psi,
Cp 
264  200 64

 0.67
3(32)
96
Lo cual indica falta de habilidad, la fracción abajo del límite
inferior es:
ZI 
LIE  


200  264
 2
32
P(x <= ZI) = 0.0228 o 2.28% por debajo del límite inferior de
especificaciones.
Se recomienda que para procesos existentes el mínimo Cp sea de 1.33 y de 1.67 para procesos
críticos, el ideal es 2.0 para procesos nuevos como es el caso de Motorola en su programa 6sigma. Este índice no toma en cuenta la localización relativa de la media del proceso respecto a
los límites de especificaciones. Por lo que es necesario otro índice adicional.
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INDICE DE CAPACIDAD REAL Cpk
Este índice si toma en cuenta el centrado del proceso respecto a las especificaciones, en este
caso se denomina Cpk, y se evalúa tomando el mínimo entre los Cp’s correspondientes a cada
lado de la media, como sigue,
Cpk  PCRk  min( PCRS , PCRI ) debe ser mayor a 1.33
donde, Cps  PCR S 
LSE  
3
ó Cpi  PCR I 
  LIE
3
Ejemplo: Para un proceso donde los límites de especificación
sean LSE=62, LIE=38, la media del proceso sea =53 y su
desviación estándar =2, se tiene:
Cps  PCR S 
62  53
 1.5 para el límite superior
32
Cpi  PCR I 
53  38
 2.5 para el límite inferior
32
Por tanto, el índice de capacidad real es:
Cpk  PCRk  min( PCRS , PCRI )  min(1.5,2.5)  1.5
Siempre se cumple que, Cpk <= Cp, Siendo el Cpk menor cuando el proceso no está centrado.
Los criterios de mínimo Cpk son similares a los del Cp.
INDICE DE CAPACIDAD Cpm
Es un indicador de capacidad potencial que toma en cuenta el centrado del proceso:
Si V 
C pm 
X T
donde T es el centro de las especificaciones.

Cp
1V
2

LSE  LIE
6  2  (  T ) 2
Cuando T es igual a X media del proceso, Cpm = Cp = Cpk
INDICE DE CAPACIDAD Cpkm
Es un indicador de capacidad real que toma en cuenta el centrado del proceso:
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Si T es el centro de las especificaciones.
C pkm 
Cpk
  T 
1 

  
2
Cuando T es igual a X media del proceso, Cpkm = Cpk
Con Minitab: Con los datos de la carta X-R anterior, una vez que se encuentra en
control:
a) Con los límites de especificación reales de la línea o producto LIE = 15.2 y LSE = 16.6:
En Minitab:
Stat > Quality tools > Capability analysis (Normal)
Seleccionar Subgroups across rows off X1 X2 X3 X4 X5
Lower spec 15.2 Upper spec 16.6
Estimate: Methods of estimate sigma R-Bar
Options: Display Percents o Parts per million
/ Capability Stat Cp, Cpk
o Benchmark Z’s
OK OK
b) Calcular la desviación estándar del proceso o sigma “Std Dev. Within”
c) Determinar los límites de tolerancia natural del proceso (Media +-4*sigma):
LTNI = Media – 4*sigma =
LTNS = Media + 4*sigma =
d) ¿Cuál es el valor de la fracción defectiva total fuera de especificaciones (Exp. Within
performance % Total )?
e) ¿Cuál es el valor del Cp =
es potencialmente hábil el proceso?.
f) ¿Cuál es el valor del Cpk =
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Es realmente hábil el proceso?
g) ¿Qué recomendaría para mejora capacidad real del proceso?.
Con Minitab: Con los datos de la carta I-MR anterior, una vez que se encuentra en
control:
a) si los límites de especificación son LIE = 5.95 y LSE = 6.06, determinar lo siguiente:
En Minitab:
Stat > Quality tools > Capability analysis (Normal)
Data is arranged as a single column: Viscocidad
Subgroup size 5
Lower spec 5.95 Upper spec 6.06
Estimate: Methods of estimate sigma R-Bar
Options: Display Percents o Parts per million
/ Capability Stat Cp, Cpk
o Benchmark Z’s
OK OK
b) Determinar la Desviación estándar (St dev. Within )=
desviación estándar = Rmedio / d2 =
(d2 = 2.326)
Media de medias (Mean) =
c) Limites de tolerancia natural del Proceso (variación natural del proceso):
LTNI = Media - 4* Desv. Estandar =
LTNS = Media + 4* Desv. Estandar =
d) Zlie = (ZLSL)=
Zlse = (ZUSL) =
Z=(Lim. spec.–Media)/Desv.estandar
e)
P(Zlie)= (Exp. Within performance %<LSL) =
P(Zlse)= (Exp. Within performance) =
(%>USL) =
En Excel P(Z)=DISTR.NORM.ESTAND(Zlie o – Zlse)
f) Fracción defectiva = % Total “Within” = P(Zlie) + P(Zlse) = _
Indices de capacidad
g) Potencial Cp =
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h) Real Cpk =
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Conclusiones _
i) ¿Qué se puede hacer para mejorar el Cpk? _
Ejemplo:
De una carta de control X - R (con subgrupos de n = 5), después de que el proceso se estabilizó
quedando sólo con causas comunes, se obtuvo lo siguiente:
Xmedia de medias = 264.06
Rmedio = 77.3
Por tanto estimando los parámetros del proceso se tiene:
 = X media de medias
 = Rmedio / d2 =77.3 / 2.326 = 33.23
[ d2 para n = 5 tiene el valor 2.326]
Si el límite de especificación es: LIE = 200.
El Cpk = (200 - 264.06) / (77.3) (3) = 0.64 por tanto el proceso no cumple con las
especificaciones
Ejercicio : De una carta de control X - R (con tamaño de subgrupo n = 5), después de que el
proceso se estabilizó quedando sólo con causas comunes (LIE = 36, LSE = 46) se obtuvo lo
siguiente:
Xmedia de medias = 40
Rmedio = 5
a) Determinar la desviación estándar del proceso
b) Determinar los límites de tolerancia natural del proceso
c) Determinar la fracción defectiva o porcentaje fuera de especificaciones
d) Determinar el Cp
e) Determinar el Cpk
f) Determinar el Cpm
g) Determinar el Cpkm
h) Establecer conclusiones de los resultados anteriores
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4. Capacidad de equipos de medición
Fuentes de la Variación del Proceso
En cualquier problema que involucre mediciones, de la variabilidad total parte de la
variabilidad observada es debida al producto mismo y parte es debida a la variación del equipo
de medición, o sea:
2
2
 total
  2producto   equipo
.medición
Variación del proceso
Variación
proceso,
real
Variación
deldel
proceso,
real
Variación dentro de la
muestra
Repetibilidad
Variación de la medición
Variación
originada
Equipo
de
mediciòn
por el calibrador
Estabilidad
Reproducibilidad
Linealidad
Sesgo
Calibración
Fig. 4.1 Diagrama de variabilidad observada en el proceso
Definición de errores en la medición

Reproducibilidad: Es la variación, entre promedios de las mediciones hechas por diferentes
operadores que utilizan un mismo instrumento de medición cuando miden las mismas
características en una misma parte.
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Operador-B
Operador-C
Operador-A
Reproducibilidad
Fig. 4.2 Evaluación de la reproducibilidad

Repetibilidad: es la variación de las mediciones obtenidas con un instrumento de medición,
cuando es utilizado varias veces por un operador, al mismo tiempo que mide las mismas
características en una misma parte.
REPETIBILIDAD
Fig. 4.3 Evaluación de la repetibilidad

Valor verdadero: Valor correcto teórico / estándares NIST2

Precisión: Es la habilidad de repetir la misma medida cerca o dentro de una misma zona

Exactitud : Es la diferencia entre el promedio del número de medidas y el valor verdadero.
2
·En EUA se tiene el NIST (National Institute of Standards ando Technology),En México se
tiene el CENEAM o el Centro Nacional de Metrología
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
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Resolución: La medición que tiene exactitud y precisión.
Exacto pero no preciso
Preciso pero no exacto
Exacto y preciso
(resolución)
Fig. 4.4 Evaluación de la precisión y exactitud
- Estabilidad: es la variación total de las mediciones obtenidas con un sistema de medición,
hechas sobre el mismo patrón o sobre las mismas partes, cuando se mide una sola de sus
características, durante un período de tiempo prolongado.
Tiempo 2
Tiempo 1
Fig. 4.5 Evaluación de la estabilidad

Linealidad: diferencia en los valores de la escala, a través del rango de operación esperado
del instrumento de medición.
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Valor
verdadero
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Valor
verdadero
Sesgo
Menor
Sesgo
mayor
(rango inferior)
(rango superior)
Rango de Operación del equipo
Fig. 4.6 Evaluación de la linealidad

Sesgo: distancia entre el valor promedio de todas las mediciones y el valor verdadero.
Error sistemático o desviación.
Valor
Verdadero

Sesgo
Fig. 4.7 Evaluación del sesgo

Calibración: Es la comparación de un estándar de medición con exactitud conocida con
otro instrumento para detectar, reportar o eliminar por medio del ajuste, cualquier
variación en la exactitud del instrumento.
 Importante: para que el equipo de medición tenga una discriminación adecuada en la
evaluación de las partes, su
resolución debe ser al menos 1/10 de la variabilidad del
proceso.
<10% Aceptable
10-30%. Puede ser aceptable, para características no críticas.
>30%. ¡Inaceptable!
En otras industrias fuera de la automotriz se acepta un error total de R&R del 25% como
máximo.
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Estudio de R&R Método largo
• Generalmente intervienen de dos a tres operadores
• Generalmente se toman 10 unidades
• Cada unidad es medida por cada operador, 2 ó 3 veces.

La resolución del equipo de medición debe ser de al menos el 10% del rango de tolerancia
o del rango de variación del proceso.

Las partes deben seleccionarse al azar, cubriendo el rango total del proceso. Es importante
que dichas partes sean representativas del proceso total (80% de la variación)

10 partes NO son un tamaño de muestra significativo para una opinión sólida sobre el
equipo de medición a menos que se cumpla el punto anterior.
Procedimiento para realizar un estudio de R&R
1. Asegúrese de que el equipo de medición haya sido calibrado.
2. Marque cada pieza con un número de identificación que no pueda ver la persona que
realiza la medición.
3. Haga que el primer operador mida todas las muestras una sola vez, siguiendo un orden al
azar.
4. Haga que el segundo operador mida todas las muestras una sola vez, siguiendo un orden al
azar.
5. Continúe hasta que todos los operadores hayan medido las muestras una sola vez (este es
el intento 1).
6. Repita los pasos 3-4 hasta completar el número requerido de ensayos
7. Determine las estadísticas del estudio R&R

Repetibilidad

Reproducibilidad

% R&R
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
Desviaciones estándar de cada uno de los conceptos mencionados

Análisis del porcentaje de tolerancia
8. Analice los resultados y determine las acciones a seguir si las hay.
Métodos de estudio del error R&R:
I. Método de Promedios- Rango

Permite separar en el sistema de medición lo referente
a la Reproducibilidad y a la
Repetibilidad.

Los cálculos son más fáciles de realizar.
II. Método ANOVA

Permite separar en el sistema de medición lo referente a la Reproducibilidad y a la
Repetibilidad.

También proporciona información acerca de las interacciones de un operador y otro en
cuanto a la parte.

Calcula las varianzas en forma más precisa.

Los cálculos numéricos requieren de una computadora.

El Método ANOVA es más preciso
Ejemplo 4.1: Método de ANOVA en Minitab:
1. STAT>QUALITY TOOLS>GAGE STUDY > Gage R&R (Crossed)
2. Seleccione C1 (parte), C2 (operador), C3 (Medición)
3. Método de Análisis ANOVA
4. En Options Seleccionar: Study variation 5.15
Process tolerance 0.006 Alfa to remove
interaction 0.25
5. OK
Interpretación de resultados
Los resultados se muestran a continuación: Gage R&R Study - ANOVA Method
Two-Way ANOVA Table With Interaction
Source
Partes
DF
9
SS
0.0000086
MS
0.0000010
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F
12.2885
P
0.000
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Operadores
Partes * Operadores
Repeatability
Total
2
18
60
89
0.0000002
0.0000014
0.0000063
0.0000165
0.0000001
0.0000001
0.0000001
P. Reyes / marzo 2008
0.9605
0.7398
0.401
0.757
Los operadores y la interacción no fueron significativos, sólo las
partes
Two-Way ANOVA Table Without Interaction
Source
DF
SS
MS
Partes
9 0.0000086 0.0000010
Operadores
2 0.0000002 0.0000001
Repeatability 78 0.0000077 0.0000001
Total
89 0.0000165
F
9.67145
0.75592
P
0.000
0.473
Gage R&R
%Contribution
(of VarComp)
50.93
50.93
0.00
0.00
49.07
100.00
Source
Total Gage R&R
Repeatability
Reproducibility
Operadores
Part-To-Part
Total Variation
VarComp
0.0000001
0.0000001
0.0000000
0.0000000
0.0000001
0.0000002
Source
Total Gage R&R
Repeatability
Reproducibility
Operadores
Part-To-Part
Total Variation
StdDev (SD)
0.0003150
0.0003150
0.0000000
0.0000000
0.0003092
0.0004414
Study Var
(5.15 * SD)
0.0016222
0.0016222
0.0000000
0.0000000
0.0015923
0.0022731
%Study Var
(%SV)
71.36
71.36
0.00
0.00
70.05
100.00
%Tolerance
(SV/Toler)
27.04
27.04
0.00
0.00
26.54
37.88
Number of Distinct Categories = 1
En este caso el sistema de medición no es adecuado para el control de proceso (%SV), ni para
el control del producto final (%Tolerance) que debe ser menor al 10%.
La interacción no es significativa, y los errores de R&R indican que equipo de medición no es
adecuado, ni el número de categorías (debe ser al menos 4).
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Gage R&R (ANOVA) for Datos
Reported by :
Tolerance:
M isc:
G age name:
Date of study :
Components of Variation
Datos by Partes
80
% Contribution
0.006
Percent
% Study Var
% Tolerance
40
0
0.005
0.004
Gage R&R
Repeat
Reprod
1
Part-to-Part
2
3
R Chart by Operadores
Sample Range
1
2
3
0.006
0.0005
_
R=0.000417
0.005
0.0000
LCL=0
1
0.0050
8
9
10
2
Operadores
3
Operadores * Partes Interaction
3
Operadores
UCL=0.005143
_
_
X=0.004717
0.0045
LCL=0.004290
Average
Sample Mean
2
7
0.004
Xbar Chart by Operadores
1
5
6
Partes
Datos by Operadores
UCL=0.001073
0.0010
4
1
0.0050
2
3
0.0045
0.0040
0.0040
1
2
3
4
5
6
Partes
7
8
9
10
Fig. 4.8 Evaluación de la capacidad de sistemas de medición
En este caso la carta R está en control indicando que las mediciones fueron realizadas
adecuadamente.
En el caso de la carta X se muestra que el sistema de medición no discrimina las partes
diferentes que se les presentaron, debe indicar discriminación, mostrando al menos el 50% de
puntos fuera de control.
Las conclusiones son similares que con el método de X barra – R.
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