1.- Ecuaciones de onda relativistas: éxitos y fracasos

1.- Ecuaciones de onda relativistas: éxitos y fracasos
Problema 1.1 Comprobad, usando las ecuaciones de movimiento, que las si~ ~j = 0 :
guientes corrientes se conservan en el sentido que ∂t ρ + ∇
i)
Schrödinger:
iψ̇ = −
ii)
i ∗~
∇2
~ ∗
ψ, ρ = |ψ|2 , ~j = −
ψ ∇ψ − ψ ∇ψ
2m
2m
Klein-Gordon:
(∂ 2 + m2 )φ = 0
!
i
∂
∂
ρ=
ψ∗ ψ − ψ ψ∗ ,
2m
∂t
∂t
iii)
~ − ψ ∇ψ
~ ∗
~j = − i ψ ∗ ∇ψ
2m
Dirac:
(i∂
/ − m)ψ = 0, ρ = ψ † ψ, ~j = ψ~γ ψ
Problema 1.2 Comprobad que las matrices de Dirac, tanto en la representación
de Dirac como en la de Weyl, satisfacen el álgebra:
{γ µ , γ ν } = 2g µν
y la condición de hermiticidad:
γ µ† = γ 0 γ µ γ 0
Problema 1.3 Comprobad que si se multiplica la ecuación de Dirac con interacción electromagnética
(i∂
/ + eA
/ − m) ψ = 0
por (i∂
/ + eA
/ + m) se obtiene
e
(i∂ + eA) − m + σµν F µν ψ = 0
2
2
2
1
2.- Sistemas Continuos y Mecánica Cuántica
Problema 2.1 Determinad las frecuencias propias del sistema de N osciladores
clásicos acoplados. Cuales son las frecuencias máxima y mínima (ver Marion).
Cuál sería la energía del sistema cuántico asociado.
Problema 2.2 Escribid una densidad lagrangiana que de lugar a la ecuación
de Schrödinger. Teniendo en cuenta que la densidad lagrangiana obtenida es
0
invariante bajo una transformación de fase: ψ 0 = eiα ψ , ψ ∗ = e−iα ψ ∗ obtened la
corriente asociada a dicha simetría.
Problema 2.3 Cuantizad el problema de la cuerda vibrante imponiendo condiciones periódicas: u(x, t) = u(x + L, t), ∀x.
3.- El campo de Klein-Gordon
Problema 3.1 Usando las reglas de conmutación canónicas del campo del KleinGordon real y la forma del Hamiltoniano,H, comprobad que
[H, φ(x)] = −iπ(x),
[H, π(x)] = i(m2 − ∇2 )φ(x),
De aquí y de las ecuaciones de movimiento de Heisenberg para los operadores
φ(x), (−iφ̇(x) = [H, φ(x)]) y π(x), (−iπ̇(x) = [H, π(x)]), demostrad que
(∂ 2 + m2 )φ(x) = 0
φ̇(x) = π(x),
Problema 3.2 Usando las reglas de conmutación canónicas del campo del KleinGordon real y la forma del operador momento, P~ comprobad que
h
i
~
P~ , φ(x) = i∇φ(x),
h
i
~
P~ , π(x) = i∇π(x),
Sea F (x) = F (φ(x), π(x)), que se puede desarrollar en serie de potencias de
φ(x) y π(x). Demostrad que
h
~ (x),
P~ , F (x) = i∇F
i
Añadiendo la ecuación de movimiento de Heisenberg para F (x), [H, F (x)] =
−iḞ (x), comprobad que las ecuaciones de movimiento se pueden escribir de
forma covariante como
[P µ , F (x)] = −i∂ µ F (x),
2
con P 0 = H. Usando estos resultados comprobad que
φ(x + a) = eiaP φ(x)e−iaP
(es suficiente con comprobar que ∂φ(x+a)
= i [Pµ , φ(x + a)] ya que obviamente la
∂aµ
ecuación se satisface para aµ = 0).
Problema 3.3 Calculad
h0| φ(x)φ(0) |0i = D(x) =
Z
d3 p~
e−ipx
(2π)3 2Ep
explícitamente en términos de funciones de Bessel para x2 < 0. Comprobad que
el resultado solo depende de x2 .
Problema 3.4 En el problema anterior D(x) satisface la ecuación de Klein-Gordon,
puesto que φ(x) la satisface
y solo depende de x2 por invariancia Lorentz. Para
√
x2 < 0, se define s = −x2 . Comprobad que si una función f (s) satisface la
ecuación de Klein-Gordon y solo depende de s, debe de satisfacer la ecuación
3
f 00 (s) + f 0 (s) − m2 f (s) = 0
s
Los dos primeros términos serian equivalentes a la Laplaciana en cuatro dimensiones en coordenadas esféricas generalizadas. Encontrad las soluciones de esta
ecuación que satisfacen las condiciones
s→+∞
f (s) −→ 0,
s→0
f (s) −→
1
4π 2 s2
Comprobad que la solución coincide con la D(x) encontrada anteriormente.
Problema 3.5 Encontrad un Lagrangiano que de lugar a la ecuación de Schrödinger:
∇2
iψ̇ = −
ψ
2m
con ψ complejo.
i)
Desarrollad las soluciones de la ecuación de Schrödinger en ondas planas
y cuantizadla con reglas de conmutación. Tiene sentido un campo de Schrödinger
real?
ii) Obtened el Hamiltoniano y desarrolladlo en operadores de creación y destrucción. Es definida positiva la energía?
3
iii) Obtened la corriente conservada asociada a un cambio de fase ψ → e iα ψ
y desarrolladla en operadores de creación y destrucción. Que interpretación podría tener?
iv) Calculad el conmutador de dos campos a tiempos diferentes.
4.- El campo de Dirac
Problema
4.1 Apartir de laforma del Hamiltoniano para el campo de Dirac
R
~ + m ψ(x) y de las reglas de anticonmutación entre los
H = d3 ~xψ̄(x) −i~γ ∇
campos comprobad queh las ecuaciones
de movimiento de Heisenberg −i ψ̇(x) =
i
†
†
[H, ψ(x)], −iψ̇ (x) = H, ψ (x) son equivalentes a la ecuación de Dirac.
Problema 4.2 Sean
1
PR = (1 + γ5 )
2
1
PL = (1 − γ5 ),
2
Usando que Γi ≡ (1,γ5 ,γ µ PL , γ µ PR , σ µν ) forman una base del espacio de matrices 4 × 4 demostrad que (por simplicidad escribimos ui ≡ u(pi ))
1
(ū1 APL u2 )(ū3 PR Bu4 ) = (ū3 γ µ PL u2 )(ū1 Aγµ PR Bu4 )
2
donde A y B son matrices arbitrarias 4 × 4. (Desarrollad la matriz u 2 ū3 en la
P
base, es decir escribid u2 ū3 = i αi Γi y comprobad que solo las componentes
γ µ PR contribuyen. Los coeficientes αi se pueden determinar multiplicando este
desarrollo por Γj y tomando la traza en ambos lados). En el caso particular que
A = γ ν y B = γν con índices sumados se obtiene
(ū1 γ ν PL u2 )(ū3 γν PL u4 ) = −(ū3 γ ν PL u2 )(ū1 γν PL u4 )
(Usad PR γν = γν PL y γν γµ γ ν = −2γµ ). Se pueden obtener identidades similares para los campos en lugar de los espinores, pero entonces hay que tener
en cuenta los signos que aparecen cuando se anticonmutan campos fermiónicos.
Identidades de este tipo se denominan identidades de Fierz y son muy útiles para
simplificar cálculos complicados.
Problema 4.3 Cuantizad la ecuación de Schrödinger como en el problema 3.5
pero ahora con reglas de anticonmutación. En particular comprobad que:
i)
El mismo Lagrangiano obtenido en 3.5 da lugar a la ecuación de Schrödinger aunque los campos anticonmuten.
4
ii) Desarrollad las soluciones de la ecuación de Schrödinger en ondas planas
y cuantizadla con reglas de anticonmutación.
iii) Obtened el Hamiltoniano y desarrolladlo en operadores de creación y destrucción. Es definida positiva la energía?
iv) Obtened la corriente conservada asociada a un cambio de fase ψ → e iα ψ
y desarrollad la carga asociada en operadores de creación y destrucción. Que
interpretación podría tener?
v)
Calculad el anticonmutador de dos campos a tiempos diferentes.
Problema 4.4 Comprobad que los operadores densidad de corriente
j µ = ψ̄(x)γ µ ψ(x)
de la ecuación de Dirac satisfacen la relación
para (x − x0 )2 < 0
[j µ (x), j ν (x0 ] = 0,
como requiere microcausalidad si j µ (x) y j ν (y) son observables en puntos del
espacio-tiempo que no pueden estar conectados causalmente.
Problema 4.5 Demostrad que si en el desarrollo en ondas planas del campo de
Klein-Gordon real imponemos reglas de anticonmutación en lugar de reglas de
conmutación, es decir si imponemos,
{ap~ , ap†~0 } = 2E(p)(2π)3 δ (3) (~
p − p~0 ), {ap~ , ap~0 } = {ap†~ , ap†~0 } = 0
se tiene que para (x − x0 )2 < 0
[φ(x), φ(x0 )] 6= 0, {φ(x), φ(x0 )} 6= 0
y por tanto no hay forma de construir una teoría que respete microcausalidad.
Problema 4.6 Sea el Lagrangiano de Dirac. Definimos los campos
1
1
ψL = (1 − γ5 )ψ, ψR = (1 + γ5 )ψ,
2
2
tales que γ5 ψL = −ψL y γ5 ψR = ψR .
i)
Comprobad que si bajo transformaciones de Lorentz ψ → S(Λ)ψ, se cumple que tanto ψL como ψR se transforman de forma independiente y sin mezclarse
5
ψL → S(Λ)ψL y ψR → S(Λ)ψR .
ii) Comprobad también que el Lagrangiano de Dirac se puede escribir como
L = iψL /∂ψL + iψR /∂ψR − m(ψL ψR + ψR ψL ),
explícitamente invariante Lorentz.
iii) Escribid las ecuaciones de movimiento y comprobad que en el límite de
masa cero las componentes ψL y ψR se desacoplan y en particular ψL describe
fermiones con solo la helicidad negativa y antifermiones con solo la helicidad
positiva (y ψR justo lo contrario).
iv) Reescribid tanto el Lagrangiano como las ecuaciones de movimiento en
términos de espinores de dos componentes usando la representación de Weyl para
las matrices de Dirac.
Problema 4.7 Usando la notación del problema anterior consideremos el Lagrangiano
1
LM = iψL /∂ψL − m (ψLc ψL + ψL ψLc )
2
T
en donde hemos definido ψLc = CψL con C la matriz de conjugación de carga.
i)
Comprobad que
γ5 ψLc = ψLc
por tanto se transforma como ψLc → S(Λ)ψLc y por tanto el Lagrangiano anterior
es invariante Lorentz.
ii) Comprobad que el termino de masas que hemos escrito solo existe si los
campos ψL anticonmutan.
iii) Escribid la ecuación de movimiento para el campo ψL .
iv) Comprobad que el término cinético es invariante bajo la transformación
ψL → eiα ψL mientras que el termino de masas no lo es.
v)
Escribid la corriente asociada a ésta transformación y calculad su divergencia.
c
vi) Definamos el campo ψM = ψL + ψLc que satisface ψM = ψM
. Comprobad
que (a parte de derivadas totales)
1
1
LM = i ψM /∂ψM − m ψM ψM
2
2
vii) ¿Cuales son las ecuaciones de movimiento para ψM .?
viii) Demostrad que ψM describe partículas que son sus propias antipartículas
6
con las dos helicidades.
ix) Reescribid todo lo anterior en términos de espinores de dos componentes
usando la representación de Weyl para las matrices de Dirac.
5.- Matriz S y secciones eficaces
Problema 5.1 Sea una partícula no relativista moviéndose en una dimensión y
sometida a un potencial tipo delta V (x) = gδ(x). Es decir la partícula obedece
la ecuación de Schrödinger
∂
h̄2 ∂ 2
ih̄ ψ(x) = −
+ gδ(x) ψ(x).
∂t
2m ∂x2
!
Las funciones de onda de los estados |p, f reei son sencillamente las ondas planas hx |p, f reei = eipx ¿Cuales son las funciones de onda de los estados |p, ini
y |p, outi?. Construid la matriz S del sistema calculando directamente S p0 p =
hp0 , out |p, ini. Usando el desarrollo de la matriz S en términos del operador de
evolución temporal calculad otra vez la matriz S (ahora solo a primer orden en
g).
Problema 5.2 Calculad la integral de espacio fásico para la colisión elástica de
dos partículas, una sin masa y la otra masiva en el sistema de referencia en el que
la partícula masiva inicial está en reposo, es decir
dΦ2 =
Z
d3 p~2
d3~k2
(2π)4 δ (4) (pi − p2 − k2 )
(2π)3 2ω2 (2π)3 2E2
para pi = k1 + p1 = k2 + p2 , con k1 = (ω1 , 0, 0, ω1 ), p1 = (m, 0, 0, 0),
k2 = (ω2 , ω2 sin θ, 0, ω2 cos θ), p2 = k1 + p1 − k2 con p22 = m2 (escogemos
como dirección del eje z la dirección de la partícula con momento k 1 , y como eje
y el perpendicular al plano de colisión, de forma que los momentos son independientes de ϕ. El elemento de matriz al cuadrado sí podría depender de ϕ en caso
que los haces incidentes estén polarizados o se midan polarizaciones en el estado
final)
6.- Campos con interacciones
Problema 6.1 Escribid todos los términos que podríamos añadir al Lagrangiano
de Klein-Gordon real que sean escalares Lorentz y que tengan dimensión menor
o igual que seis. Haced lo mismo con el Lagrangiano de Dirac.
Y si permitimos un fermión de Dirac y un escalar real?
7
Problema 6.2 Considerad el Lagrangiano
1
1
1
1
L = (∂µ φ)2 − M 2 φ2 + (∂µ ϕ)2 − m2 ϕ2 − µφϕ2
2
2
2
2
que describe dos campos reales φ i ϕ con masas M y m respectivamente. El
último término del Lagrangiano describe una interacción entre los dos campos
que permite la desintegración φ → ϕϕ, siempre y cuando M > 2m. Suponiendo
que ésta condición se satisface calculad la vida media, al orden más bajo en µ,
del bosón φ.
Problema 6.3 Usando el Lagrangiano del problema anterior calculad la sección
eficaz en centro de masas, al orden mas bajo en µ, del proceso ϕϕ → φφ.
i)
Dibujad y calculad los diagramas que contribuyen al proceso.
ii) Obtened la distribución angular y dibujadla para µ = M
√ = 1 GeV, m = 0 y
para un valor de la energía en centro de masas, por ejemplo s = 2E1 = 3 GeV.
iii) Integrad la distribución angular y obtened la sección eficaz total. Dibujadla
√
como función de la energía en centro de masas, s.
Problema 6.4 Usando el Lagrangiano del problema anterior calculad la sección
eficaz en centro de masas, al orden más bajo en µ, del proceso ϕϕ → ϕϕ.
i)
Dibujad y calculad los diagramas que contribuyen al proceso.
ii) Obtened la distribución angular y dibujadla para µ = M = 1√GeV, m = 0
y para dos valores de la energía en centro de √
masas, por ejemplo s = 2E1 =
0.5 GeV (no se puede producir el bosón φ) y s = 2E1 = 2 GeV (si se puede
producir).
iii) Integrad la distribución angular y obtened√
la sección eficaz total. Dibujadla
como función de la energía en
√ centro de masas s.
iv) ¿Que sucede cuando s = M ? Teniendo en cuenta que la partícula φ
es inestable ¿cómo se debería modificar el propagador de la φ para evitar este
problema? Recalculad la sección eficaz total incluyendo los efectos de la anchura
finita de la φ y dibujadla como función de la energía en centro de masas.
Problema 6.5 Las desintegraciones semileptónicas del pión cargado π − , π − →
µ− νµ y π − → e− νe , se pueden describir mediante el Lagrangiano
LI = κπ − (mµ µ̄PL νµ + me ēPL νe ) + h.c.
donde, π − es un campo de Klein-Gordon complejo, µ, e, νµ , y νe son campos de
Dirac del muón, el electrón, el neutrino muónico y el neutrino electrónico respectivamente, mµ = 106 MeV y me = 0.5 MeV son las masas del muón y del
8
electrón y PL ≡ (1 − γ5 )/2 es el proyector de quiralidad levógiro. ¿Qué dimensiones tiene la constante de acoplamiento κ? Escribid las reglas de Feynman
para estas interacciones. Despreciando la posible masa de los neutrinos calculad los ritmos de desintegración Γ(π − → µ− νµ ) y Γ(π − → e− νe ) en términos
de las masas y la constante de acoplamiento. Usando los valores de las masas (
mπ = 140 MeV) calculad R ≡ Γ(π − → µ− ν̄µ )/Γ(π − → e− ν̄e ) y comparad con
el valor experimental Rexp = 8129.
Problema 6.6 Si los neutrinos, ν, tienen masa es probable que tengan nuevas
interacciones. Por ejemplo, podrían tener una interacción con un nuevo escalar
neutro, φ, de la forma
Lνφ = igφ ν̄γ5 ν φ ,
donde gφ es una constante de acoplamiento. Suponiendo que el escalar φ no tiene
masa (o es tan ligero que su masa se puede despreciar) y que los neutrinos ν
son campos de Dirac con una masa m, calculad la sección eficaz diferencial en
centro de masas del proceso ν ν̄ → φ φ. A partir de ella calculad también la
sección eficaz diferencial total.
7.- Campos de spin 1: fotones y campos de Proca.
Problema 7.1 Comprobad explícitamente que las ecuaciones de movimiento que
se obtienen del Lagrangiano
1
λ
Lλ = − Fµν F µν − ∂µ Aµ ∂ν Aν − j µ Aµ
4
2
son
∂ 2 Aµ − (1 − λ)∂ µ ∂ν Aν = j µ .
En caso que λ = 1 estas ecuaciones también se pueden obtener del Lagrangiano
de Fermi
1
LF = − (∂ µ Aν ) (∂µ Aν ) − j µ Aµ
2
Por tanto LF y Lλ=1 deben diferir, como máximo, en una divergencia total. Comprobadlo.
Problema 7.2 Calculad los momentos canónicos asociados a A µ con los dos Lagrangianos del problema anterior, LF y Lλ , e imponed las reglas de conmutación
canónicas:
[Aµ (~x, t), π ν (~y, t)] = igµν δ (3) (~x − ~y),
9
[Aµ (~x, t), Aν (~y, t)] = 0,
[π µ (~x, t), π ν (~y, t)] = 0.
Para λ = 1 comprobad que, aunque los momentos canónicos son diferentes en
los dos Lagrangianos, las reglas de conmutación escritas en términos de A µ y Ȧµ
son idénticas en ambos casos a
[Aµ (~x, t), Ȧν (~y , t)] = −ig µν δ (3) (~x − ~y),
[Aµ (~x, t), Aν (~y , t)] = 0,
[Ȧµ (~x, t), Ȧν (~y, t)] = 0.
8.- Procesos elementales con fotones y con campos de Proca.
Problema 8.1 Usando los elementos de matriz obtenidos para e + e− → µ+ µ− y
la simetría de cruce, obtened las secciones eficaces diferenciales, en centro de
masas, de los procesos e− µ− → e− µ− y e− µ+ → e− µ+ .
Problema 8.2 La amplitud para el proceso Compton, γ e− → γ e− , se puede describir mediante una expresión de la forma M = T µν µ (k1 , λ1 )ν (k2 , λ2 ), siendo
µ (k1 , λ1 ) y k1 , y ν (k2 , λ2 ) y k2 los vectores de polarización y cuadrimomentos del fotón inicial y final respectivamente. La invariancia gauge exige que,
tanto para el fotón inicial como para el fotón final, si hacemos µ (k1 , λ1 ) →
µ (k1 , λ1 ) + αk1µ el elemento de matriz permanece invariante. En particular esto
implica T µν k1µ = 0 T µν k2ν = 0. Comprobad explícitamente que eso es así y que
la cancelación ocurre entre los dos diagramas que contribuyen al proceso.
Problema 8.3 Usando los elementos de matriz obtenidos para γ e − → γ e− y la
simetría de cruce, obtened la secciones eficaces diferenciales, en centro de masas,
de los procesos e− e+ → γ γ y γ γ → e− e+ .
Problema 8.4 Si el número muónico no se conserva, en principio podría tener
lugar la desintegración µ− → e− γ.
a) ¿Por qué no es posible describir este proceso mediante una interacción de la
forma? ēγ µ µAµ (e y µ son campos de Dirac que describen el electrón y el muón
respectivamente).
b) ¿Por qué el siguiente Lagrangiano de interacción si puede describir la desintegración fotónica del muón?
LI =
mµ µν
ēσ PR µFµν + h.c.
Λ2
10
c) ¿Que dimensiones tiene Λ?
d) Justificad que la regla de Feynman para el vértice de esta interacción es
−2
mµ µν
σ q ν PR
Λ2
con q el cuadrimomento del fotón (entrando en el vértice) y PR = (1 + γ5 )/2 el
proyector de quiralidad dextrógiro.
c) Usando esta interacción calculad el ritmo de desintegración Γ(µ − → e− γ) (el
cálculo de trazas se puede simplificar teniendo en cuenta que si el muón está en
reposo es posible elegir los vectores de polarización físicos del fotón tales que
cumplan simultáneamente (p1 es el cuadrimomento del muón y q el del fotón)
(q, λ)p1 = 0, (q, λ)q = 0 (λ = 1, 2). En tal caso (q, λ) = (0, ~(q, λ)) con
~(q, λ)~(q, λ) = 1).
Problema 8.5 El bosón de gauge Z se puede describir mediante una campo de
Proca real y su interacción con los fermiones se puede describir mediante el Lagrangiano
LZ = −
e
2sW cW
X
i
ψ̄i γ µ (giV − giA γ5 )ψi Zµ
siendo ψi los campos de Dirac de los diferentes fermiones (e, µ, νe , τ, u, d, · · ·) e
la carga del positrón, sW ≡ sin θW y cW = cos θW un parámetro de la teoría,
y giV y giA los acoplamientos vectoriales y axiales de cada uno de los fermiones
(para neutrinos gνV = 21 , gνA = 21 mientras que para electrones, muones y taus
g`V = − 12 + 2s2W , g`A = − 12 ). Calculad las anchuras de desintegración Z →
e− e+ y Z → ν ν̄ y la sección eficaz diferencial y total en centro de masas del
proceso e+ e− → µ+ µ− despreciando el diagrama con intercambio de fotones
(discutir en que condiciones esto es razonable). ¿Que sucede cuando s = m Z ?
¿Como hay que modificar el propagador del bosón de gauge Z?
Problema 8.6 Uno de los modos de desintegración más importantes del leptón τ
es τ − → ρ− ντ . En donde ρ− es una partícula cargada masiva con espín 1 y por
tanto se puede describir mediante un campo de Proca complejo. Suponed que la
interacción que produce esta desintegración se puede escribir como
LI = g ν̄τ γ µ PL τ ρ+
µ + h.c.
Donde g es la constante de acoplamiento, ντ y τ son los campos de Dirac que
describen, respectivamente, el neutrino taónico y el leptón tau, P L ≡ (1 − γ5 )/2
11
es el proyector de quiralidad levógiro y ρ+
µ es el campo complejo conjugado de
−
ρµ . a) ¿ Que dimensiones tiene g? b) Escribid la regla de Feynman para este
vértice. c) Usando esta interacción y suponiendo neutrinos sin masa calculad el
ritmo de de desintegración del leptón τ a ese canal.
Problema 8.7 El bosón de gauge W + se puede describir mediante una campo de
Proca complejo y su interacción con los leptones se puede describir mediante el
Lagrangiano
g
LW = − √ ν̄γ µ PL e Wµ+
2
siendo ν, y e los campos de Dirac del neutrino y del electrón respectivamente y
PL el proyector de quiralidad levógiro. Calculad la sección eficaz diferencial y
total en centro de masas para el proceso e− e+ → W + W − suponiendo que ésta es
la única interacción relevante en el proceso y que despreciamos las masas de los
neutrinos y electrones ¿Cómo se comporta en el límite s 4m2W ?
12