FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS Elaborado por: Diego Andrés Villarreal Rivera Documento elaborado por Diego Andrés Villarreal Rivera © ([email protected]). Este documento está protegido por derechos de autor. 1. MÉTODO PARA FACTORIZAR UN POLINOMIO 2. RECONOCE CUÁNDO DEBES USAR CADA MÉTODO (EL NÚMERO CORRESPONDE AL DEL FLUJOGRAMA). FORMA DEL POLINOMIO 1. Polinomio con factor común 2. Diferencia entre cuadrados perfectos • Polinomio con 2 ó más términos. EJEMPLOS 12 x 10 x 2 6 x • En todos los términos hay una misma letra y/o coeficientes con un divisor común. mn 2 2m 2 n 7 n3 n • Polinomio con 2 términos. 25m2 121n6 1 x4 4 CARACTERÍSTICAS • Los términos tienen signo distinto. • Los términos son cuadrados perfectos (exponentes pares y coeficientes con raíz 3 cuadrada racional). 3. Suma de cubos perfectos • Polinomio con 2 términos. 729 a 3 • Los términos son positivos. x6 y3 • Los términos son cubos perfectos (exponentes múltiplos de 3 y coeficientes con raíz cúbica racional). 3. Diferencia entre cubos perfectos. (posteriormente le asociaremos el mismo método anterior) • Polinomio con 2 términos. m 9 27 • Un término es positivo y el otro negativo. p 3 8q 3 • Los términos son cubos perfectos (exponentes múltiplos de 3 y coeficientes con raíz cúbica racional). 4. Trinomio cuadrado perfecto • Polinomio con 3 términos. a 2 2ab b 2 • El primer y tercer término son cuadrados perfectos. 25x 2 20xy 2 4 y 4 • El segundo término es el doble del producto entre las raíces cuadradas del primer y tercer término. 5. Trinomio de la forma x 2 bx c • Polinomio con 3 términos. z 2 3 z 10 • El primer término tiene coeficiente 1 y es cuadrado perfecto k 4 4k 2 21 • En el segundo término aparece la raíz cuadrada del primer término. 6. Trinomio de la forma ax2 bx c • Polinomio con 3 términos. 2d 2 3d 5 • El coeficiente del primer término NO es 1. 5x 4 x 2 4 • La raíz cuadrada de la parte literal del primer término aparece en el segundo término. 7. Factor común por agrupación de términos • Polinomio con 4 ó más términos (hay muy pocos casos de 3 términos). • Polinomio con número PAR de términos (en la mayoría de los casos). • Hay factor común entre algunos términos (agrupaciones). m n m x ax an 4a 2b 2c 2ad bd cd OTRAS FORMAS FORMA DEL POLINOMIO Suma o diferencia de potencias iguales (Caso 10 – álgebra Baldor) CARACTERÍSTICAS • Polinomio con 2 términos. • A los dos términos se les puede calcular la misma raíz (se obtienen números racionales). Nota: En este documento no se presentará el método para este caso. Para verlo, visitar: EJEMPLOS x y (Los términos tienenraíz quinta). 5 5 m 7 128n 7 (Los términos tienenraíz séptima). http://www.youtube.com/watch?v=CCdhPv4byzM&feature=player_embedded Trinomio cuadrado perfecto por completación (Caso 5 – álgebra Baldor) Nota: En este documento no se presentará el método para este caso. Para verlo, visitar: • Polinomio con 3 términos. x4 x2 y 2 y4 • Los exponentes en el 1er y 3er término son múltiplos de 4. c 4 45c 2 100 • Los exponentes en el 1er y 3er término son el doble de los exponentes del segundo término. http://www.youtube.com/watch?v=S_vGjoItmWw&feature=player_embedded Se utiliza cuando un trinomio no se ha podido factorizar por otro método Cubo perfecto de binomios • Polinomio con 4 términos, donde el primero y el cuarto son cubos. a 3 3a 2b 3ab 2 b 3 • El 2o término es «3 veces el cuadrado de la raíz cúbica del primer 8 12 a 2 6a 4 a 6 (Caso 8 – álgebra Baldor). Nota: En este documento no se presentará el método para este caso. Para verlo, visitar: http://www.youtube.com/watch?v=tXf0ZvwCadA&feature=player_embedded término por la raíz cúbica del cuarto» y el 3er término es «3 veces la raíz cúbica del primero por el cuadrado de la raíz cúbica del cuarto». 3. MÉTODOS (Los métodos con * son tomados de VILLARREAL, Diego. 2006. IMAT Matemáticas para la vida. 1.ª edición, Bogotá, Editorial GO Fundación Alberto Merani). *1. Método para factorizar un polinomio con factor común Modelación del método 1 Observa cómo se factoriza 18m 2 n 2 12m 3 n 24m 4 n 2 , un polinomio que tiene factor común en todos sus términos. 1.1 1.2 Letras seleccionadas: m 2 n ; entonces el factor común es: 6m2n. 2.1 6m2n · 3n = 18m2n2 6m2n · −2m = −12m3n 6m2n · −4m2n = −24m4n2. El polinomio es: 3n 2m 4m 2 n 3. 18m 2 n 2 12m 3 n 24m 4 n 2 6m 2 n 3n 2m 4m 2 n Ahora es tu turno Identifica el factor común y factoriza el binomio: 5m 2 15m 3 1.1 1.2 2.1 3. *2. Método para factorizar una diferencia entre cuadrados Método para factorizar una diferencia entre cuadrados Modelación del método 2 Observa cómo se factoriza esta diferencia entre cuadrados: 4m 2 9n 6 p16 1. Los términos tienen signo distinto: 4m 2 ; 9n 6 p16 y son cuadrados. 1. Verificar si los 2 términos del binomio son cuadrados y tienen signo diferente. 2. • 4m 2 2m • 9n 6 p16 3n 3 p 8 2. Hallar la raíz cuadrada de cada término 2.1 Obtén la raíz cuadrada del coeficiente. 2.2 Divide por 2 el exponente de cada letra. 3. Construir el producto. 3.1 Escribe como primer factor la suma de las raíces obtenidas en el paso 2, y, como segundo factor, su diferencia. Polinomio factorizado 2m 3n p 2m 3n p 3. 3 8 3 8 Luego, 4m2 9n 6 p16 2m 3n3 p8 2m 3n3 p 8 Ahora es tu turno Factoriza cada uno de los siguientes binomios siguiendo paso a paso el método 2. 9m 2 n 3 16 p10 q 2 2. • • 3.1 4 2 6 1 4 a b c 9 4 2. • • 3.1 3. Método para factorizar una suma de cubos perfectos Modelación del método 3 • Observa cómo se factoriza esta suma de cubos perfectos: 8w3 27y 6 Método para factorizar una suma de cubos perfectos 1. • 3 8w3 2w 1. Hallar la raíz cúbica de cada término. 1.1 Obtén la raíz cúbica de los coeficientes. 1.2 Divide por 3 los exponentes de las letras. 2. Construir el producto. • 3 27 y 6 3 y 2 2. 2w 3 y ·2w 2w3 y 3 y 2w 3 y 4w 6wy 9 y 2 2 2 2 2 2 2 2 4 • Observa cómo se factoriza esta resta de cubos perfectos: 125a 9 343 1. • 3 125a 9 5a 3 2.1 Escribe como primer factor la suma de las raíces obtenidas en el paso 1. 2.2 Escribe como segundo factor un trinomio conformado por: el cuadrado de la primera raíz, menos el producto de las raíces, más el cuadrado de la segunda raíz. • 3 343 7 2. 5a 7 ·5a 5a 7 7 5a 7 25a 35a 49 3 3 3 2 3 6 3 2 Ahora es tu turno Factoriza paso a paso el siguiente binomio: 64k 3 729 Polinomio factorizado Nota: En la resta de cubos perfectos, se deja signo − (menos) en el primer factor (paso 2.1) y en el trinomio (segundo factor) todos los signos quedan positivos (paso 2.2). 1. • 3 •3 2. 4. Método para factorizar un trinomio cuadrado perfecto Método para factorizar un trinomio cuadrado perfecto Modelación del método 4 • Observa cómo se factoriza este trinomio cuadrado perfecto: 4a 2 20ab2 25b 4 1. • 4a 2 2a • 25b 4 5b 2 1. Verificar si el primer y tercer término son cuadrados perfectos. 2. Verificar si el segundo término es el doble del producto entre las raíces cuadradas del primer y tercer término. ¡Es cuadrado perfecto! ¡Es cuadrado perfecto! 2. 2·2a·5b2 = 20ab2 3. 2a 5b 2 2 Luego, 4a 2 20ab2 25b 4 2a 5b 2 2 Ahora es tu turno 3. Expresar, en un paréntesis elevado al cuadrado, la suma o resta (depende del signo del segundo término) de las raíces cuadradas del primer y tercer término. Polinomio factorizado Factoriza paso a paso el siguiente trinomio: 16c 2 24c 9 1. • • 2. 3. 5. Método para factorizar un trinomio de la forma x2 + bx + c Método para factorizar un trinomio de la forma x2+bx+c Modelación del método 5 • Observa cómo se factoriza este trinomio de la forma x2 + bx + c: x 2 10x 24 1. x2 + bx + c 1. Identificar los valores de b y c en el trinomio. 2. 3. Para hacer más sencillos los cálculos, tomaremos b y c positivos (x − 12)(x + 2) 3. Construir el producto 3.2 Escribe como segundo factor la raíz cuadrada del primer término con el menor número encontrado en el paso 2. Como signo central, deja el producto de los signos del segundo y tercer término del trinomio. c = −24 12 − 2 = 10 12 • 2 = 24 2. Buscar dos números cuya suma o resta sea b, y cuyo producto sea c. 3.1 Escribe como primer factor la raíz cuadrada del primer término con el número mayor encontrado en el paso 2. Como signo central, deja el signo del segundo término del trinomio. b = −10 ↓ ↓ 2 x −10x −24 Signo del -10x Producto de los signos: − · − = + Ahora es tu turno Factoriza paso a paso el siguiente polinomio: w2 7w 44 1. w2 +7w −44 2. b= c= Para hacer más sencillos los cálculos, tomaremos b y c positivos *_____ + ______ = − ______ • _______ = *Encierra en un círculo el signo que corresponde (suma o resta) Polinomio factorizado 3. *6. Método para factorizar un trinomio de la forma ax2 + bx + c Modelación del método 6 Observa cómo se factoriza 6m2 − 5m − 6, un trinomio de la forma ax2 + bx + c. Método para factorizar un trinomio de la forma ax2+bx+c 1.2 Forma un fraccionario dividiendo el nuevo trinomio por el coeficiente del primer término del trinomio original. 6 6m 2 5m 6 6 2 m 2 56m 36 6 6 2. 6m 96m 4 1. Expresar el trinomio como uno de la forma x2+bx+c. 1.1 Multiplica el trinomio por el coeficiente del primer término; el segundo término se deja indicado así: coeficiente del segundo por coeficiente del primero por letra del segundo 1. 6 3.1 32m 3·23m 2 62m 33m 2 6 6 3.2 2. Factorizar el numerador (trinomio de la forma x2+bx+c) 3. Simplificar la fracción Ahora es tu turno Factoriza paso a paso el siguiente polinomio: 4k 2 11k 6 3.1 Factoriza (por factor común) cada factor del numerador 3.2 Divide los factores del numerador entre el denominador. Polinomio factorizado 1 3.1 2 3.2 7. Método para factorizar un factor común por agrupación de términos Método para factorizar un polinomio por agrupación 1. Agrupar los términos de forma que en cada agrupación haya factor común. Se deja un + separando las agrupaciones. Modelación del método 7 Observa cómo se factoriza 3x 2 8 y 6xy 4x 3x 1. 2. 6xy 4 x 8 y 3xx 2 y 4x 2 y 3. Los signos en las agrupaciones son los mismos, pues los 2 paréntesis (x − 2y) son exactamente iguales (y corresponden al nuevo factor común). 5. 2 x 2 y 3x 4 Observa cómo se factoriza 4xy3 12xyz y 2 3z 2. Factorizar cada agrupación por el método asociado al factor común (Método 1). 3. ¿Los signos en las agrupaciones son los mismos? No 4. Dejar un signo – (menos) entre las agrupaciones y cambiarle los signos a los términos de la segunda agrupación. 1. 4xy3 y 2 12xyz 3z 2. y 2 4xy 1 3z 4xy 1 3. Los signos en las agrupaciones son distintos, pues los 2 4. 5. paréntesis tienen signos opuestos. y 2 4xy 1 3z4xy 1 4xy 1y 2 3z Ahora es tu turno Sí 5. Factorizar el polinomio con el factor común polinomio que ha aparecido. Polinomio factorizado Factoriza paso a paso el siguiente polinomio (si no necesitas del paso 4, deja en blanco el cuadro que le corresponde): 3m n 2 2n 2 x 6mx 1. 2. 3. 4. 5.