FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS Elaborado por: Diego Andrés Villarreal Rivera

FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS
Elaborado por: Diego Andrés Villarreal Rivera
Documento elaborado por Diego Andrés Villarreal Rivera © ([email protected]).
Este documento está protegido por derechos de autor.
1. MÉTODO PARA FACTORIZAR UN POLINOMIO
2. RECONOCE CUÁNDO DEBES USAR CADA MÉTODO (EL NÚMERO CORRESPONDE AL DEL FLUJOGRAMA).
FORMA DEL POLINOMIO
1. Polinomio con factor común
2. Diferencia entre cuadrados
perfectos
• Polinomio con 2 ó más términos.
EJEMPLOS
 12 x  10 x 2  6 x
• En todos los términos hay una misma letra y/o coeficientes con un divisor común.
 mn 2  2m 2 n  7 n3  n
• Polinomio con 2 términos.
 25m2  121n6
1
 x4 
4
CARACTERÍSTICAS
• Los términos tienen signo distinto.
• Los términos son cuadrados perfectos (exponentes pares y coeficientes con raíz
3
cuadrada racional).
3. Suma de cubos perfectos
• Polinomio con 2 términos.
 729  a 3
• Los términos son positivos.
 x6  y3
• Los términos son cubos perfectos (exponentes múltiplos de 3 y coeficientes con
raíz cúbica racional).
3. Diferencia entre cubos
perfectos.
(posteriormente le asociaremos
el mismo método anterior)
• Polinomio con 2 términos.
 m 9  27
• Un término es positivo y el otro negativo.
 p 3  8q 3
• Los términos son cubos perfectos (exponentes múltiplos de 3 y coeficientes con
raíz cúbica racional).
4. Trinomio cuadrado perfecto
• Polinomio con 3 términos.
 a 2  2ab  b 2
• El primer y tercer término son cuadrados perfectos.
 25x 2  20xy 2  4 y 4
• El segundo término es el doble del producto entre las raíces cuadradas del primer
y tercer término.
5. Trinomio de la forma
x 2  bx  c
• Polinomio con 3 términos.
 z 2  3 z  10
• El primer término tiene coeficiente 1 y es cuadrado perfecto
 k 4  4k 2  21
• En el segundo término aparece la raíz cuadrada del primer término.
6. Trinomio de la forma
ax2  bx  c
• Polinomio con 3 términos.
 2d 2  3d  5
• El coeficiente del primer término NO es 1.
 5x 4  x 2  4
• La raíz cuadrada de la parte literal del primer término aparece en el segundo
término.
7. Factor común por agrupación
de términos
• Polinomio con 4 ó más términos (hay muy pocos casos de 3 términos).
• Polinomio con número PAR de términos (en la mayoría de los casos).
• Hay factor común entre algunos términos (agrupaciones).
 m n  m x  ax  an
 4a  2b  2c  2ad 
bd  cd
OTRAS FORMAS
FORMA DEL POLINOMIO
Suma o diferencia de potencias iguales
(Caso 10 – álgebra Baldor)
CARACTERÍSTICAS
• Polinomio con 2 términos.
• A los dos términos se les puede calcular la misma raíz (se obtienen
números racionales).
Nota: En este documento no se presentará el método para
este caso. Para verlo, visitar:
EJEMPLOS
 x  y (Los términos
tienenraíz quinta).
5
5
 m 7  128n 7 (Los términos
tienenraíz séptima).
http://www.youtube.com/watch?v=CCdhPv4byzM&feature=player_embedded
Trinomio cuadrado perfecto por completación
(Caso 5 – álgebra Baldor)
Nota: En este documento no se presentará el método para
este caso. Para verlo, visitar:
• Polinomio con 3 términos.
 x4  x2 y 2  y4
• Los exponentes en el 1er y 3er término son múltiplos de 4.
 c 4  45c 2  100
• Los exponentes en el 1er y 3er término son el doble de los
exponentes del segundo término.
http://www.youtube.com/watch?v=S_vGjoItmWw&feature=player_embedded
Se utiliza cuando un trinomio no se ha podido factorizar por otro método
Cubo perfecto de binomios
• Polinomio con 4 términos, donde el primero y el cuarto son cubos.
 a 3  3a 2b  3ab 2  b 3
• El 2o término es «3 veces el cuadrado de la raíz cúbica del primer
 8  12 a 2  6a 4  a 6
(Caso 8 – álgebra Baldor).
Nota: En este documento no se presentará el método para
este caso. Para verlo, visitar:
http://www.youtube.com/watch?v=tXf0ZvwCadA&feature=player_embedded
término por la raíz cúbica del cuarto» y el 3er término es «3 veces
la raíz cúbica del primero por el cuadrado de la raíz cúbica del
cuarto».
3. MÉTODOS (Los métodos con * son tomados de VILLARREAL, Diego. 2006. IMAT Matemáticas para la vida. 1.ª edición, Bogotá, Editorial GO Fundación Alberto Merani).
*1. Método para factorizar un polinomio con factor común
Modelación del método 1
Observa cómo se factoriza 18m 2 n 2  12m 3 n  24m 4 n 2 , un polinomio
que tiene factor común en todos sus términos.
1.1
1.2 Letras seleccionadas: m 2 n ; entonces
el factor común es: 6m2n.
2.1 6m2n · 3n = 18m2n2
6m2n · −2m = −12m3n
6m2n · −4m2n = −24m4n2.
El polinomio es: 3n  2m  4m 2 n
3.
18m 2 n 2  12m 3 n  24m 4 n 2 

6m 2 n 3n  2m  4m 2 n

Ahora es tu turno
Identifica el factor común y factoriza el binomio: 5m 2  15m 3
1.1
1.2
2.1
3.
*2. Método para factorizar una diferencia entre cuadrados
Método para
factorizar una
diferencia entre
cuadrados
Modelación del método 2
Observa cómo se factoriza esta diferencia entre cuadrados:
4m 2  9n 6 p16
1. Los términos tienen signo distinto: 4m 2 ;  9n 6 p16 y son
cuadrados.
1. Verificar si los 2 términos del binomio
son cuadrados y tienen signo diferente.
2. • 4m 2  2m
• 9n 6 p16  3n 3 p 8
2. Hallar la raíz cuadrada de cada término
2.1 Obtén la raíz cuadrada
del coeficiente.
2.2 Divide por 2 el
exponente de cada letra.
3. Construir el producto.
3.1 Escribe como primer factor la
suma de las raíces obtenidas en el
paso 2, y, como segundo factor, su
diferencia.
Polinomio
factorizado
2m  3n p 2m  3n p 
3.
3
8
3

8

Luego, 4m2  9n 6 p16  2m  3n3 p8 2m  3n3 p 8

Ahora es tu turno
Factoriza cada uno de los siguientes binomios siguiendo paso a paso el
método 2.
9m 2 n 3  16 p10 q 2
2.
•

•

3.1
4 2 6 1 4
a b  c
9
4
2.
•

•

3.1
3. Método para factorizar una suma de cubos perfectos
Modelación del método 3
• Observa cómo se factoriza esta suma de cubos perfectos:
8w3  27y 6
Método para
factorizar una
suma de cubos
perfectos
1. • 3 8w3  2w
1. Hallar la raíz cúbica de cada término.
1.1 Obtén la raíz cúbica de
los coeficientes.
1.2 Divide por 3 los
exponentes de las letras.
2. Construir el producto.
• 3 27 y 6  3 y 2
2.
2w  3 y ·2w  2w3 y   3 y  
 2w  3 y 4w  6wy  9 y 
2
2
2
2 2
2
2
2
4
• Observa cómo se factoriza esta resta de cubos perfectos:
125a 9  343
1. • 3 125a 9  5a 3
2.1 Escribe como primer factor la
suma de las raíces obtenidas en el
paso 1.
2.2 Escribe como segundo factor
un trinomio conformado por: el
cuadrado de la primera raíz,
menos el producto de las raíces,
más el cuadrado de la segunda
raíz.
• 3 343  7
2.
5a  7 ·5a   5a   7   7 
  5a  7  25a  35a  49 
3
3
3 2
3
6
3
2
Ahora es tu turno
Factoriza paso a paso el siguiente binomio: 64k 3  729
Polinomio
factorizado
Nota: En la resta de cubos perfectos, se deja signo − (menos) en el primer factor (paso
2.1) y en el trinomio (segundo factor) todos los signos quedan positivos (paso 2.2).
1. • 3

•3

2.
4. Método para factorizar un trinomio cuadrado perfecto
Método para
factorizar un
trinomio cuadrado
perfecto
Modelación del método 4
• Observa cómo se factoriza este trinomio cuadrado perfecto:
4a 2  20ab2  25b 4
1. • 4a 2  2a 
• 25b 4  5b 2 
1. Verificar si el primer y tercer término
son cuadrados perfectos.
2. Verificar si el segundo término es el
doble del producto entre las raíces
cuadradas del primer y tercer término.
¡Es cuadrado perfecto!
¡Es cuadrado perfecto!
2. 2·2a·5b2 = 20ab2
3.
2a  5b 
2 2

Luego, 4a 2  20ab2  25b 4  2a  5b 2

2
Ahora es tu turno
3. Expresar, en un paréntesis elevado al
cuadrado, la suma o resta (depende del
signo del segundo término) de las raíces
cuadradas del primer y tercer término.
Polinomio
factorizado
Factoriza paso a paso el siguiente trinomio: 16c 2  24c  9
1. •


•


2.
3.
5. Método para factorizar un trinomio de la forma x2 + bx + c
Método para
factorizar un trinomio
de la forma x2+bx+c
Modelación del método 5
• Observa cómo se factoriza este trinomio de la forma x2 + bx + c:
x 2  10x  24
1. x2 + bx + c
1. Identificar los valores de b y c en el
trinomio.
2.
3.
Para hacer más sencillos los cálculos, tomaremos b y c positivos
(x − 12)(x + 2)
3. Construir el producto
3.2 Escribe como segundo factor la raíz
cuadrada del primer término con el menor
número encontrado en el paso 2. Como signo
central, deja el producto de los signos del
segundo y tercer término del trinomio.
c = −24
12 − 2 = 10
12 • 2 = 24
2. Buscar dos números cuya suma o
resta sea b, y cuyo producto sea c.
3.1 Escribe como primer factor la raíz cuadrada
del primer término con el número mayor
encontrado en el paso 2. Como signo central,
deja el signo del segundo término del
trinomio.
b = −10
↓ ↓
2
x −10x −24
Signo del
-10x
Producto de los
signos: − · − = +
Ahora es tu turno
Factoriza paso a paso el siguiente polinomio: w2  7w  44
1. w2 +7w −44
2.
b=
c=
Para hacer más sencillos los cálculos, tomaremos b y c positivos
*_____ + ______ =
−
______ • _______ =
*Encierra en un círculo el signo que corresponde (suma o resta)
Polinomio
factorizado
3.
*6. Método para factorizar un trinomio de la forma ax2 + bx + c
Modelación del método 6
Observa cómo se factoriza 6m2 − 5m − 6, un trinomio de la
forma ax2 + bx + c.
Método para
factorizar un trinomio
de la forma ax2+bx+c
1.2 Forma un fraccionario dividiendo el nuevo
trinomio por el coeficiente del primer término
del trinomio original.

6 6m 2  5m  6 6 2 m 2  56m  36

6
6
2.
6m  96m  4
1. Expresar el trinomio como uno de la
forma x2+bx+c.
1.1 Multiplica el trinomio por el coeficiente del
primer término; el segundo término se deja
indicado así: coeficiente del segundo por
coeficiente del primero por letra del segundo

1.
6
3.1 32m  3·23m  2  62m  33m  2
6
6
3.2
2. Factorizar el
numerador
(trinomio de la
forma x2+bx+c)
3. Simplificar la fracción
Ahora es tu turno
Factoriza paso a paso el siguiente polinomio: 4k 2  11k  6
3.1 Factoriza (por factor
común) cada factor del
numerador
3.2 Divide los factores del numerador
entre el denominador.
Polinomio
factorizado
1
3.1
2
3.2
7. Método para factorizar un factor común por agrupación de términos
Método para
factorizar un
polinomio por
agrupación
1. Agrupar los términos de forma que en
cada agrupación haya factor común. Se
deja un + separando las agrupaciones.
Modelación del método 7
Observa cómo se factoriza 3x 2  8 y  6xy  4x
3x

1.
2.
 6xy  4 x  8 y 
3xx  2 y   4x  2 y 
3.
Los signos en las agrupaciones son los mismos, pues los 2
paréntesis (x − 2y) son exactamente iguales (y corresponden al
nuevo factor común).
5.
2
x  2 y 3x  4
Observa cómo se factoriza 4xy3  12xyz  y 2  3z
2. Factorizar cada agrupación por el
método asociado al factor común
(Método 1).
3. ¿Los signos en
las agrupaciones
son los mismos?
No
4. Dejar un signo – (menos) entre las
agrupaciones y cambiarle los signos a
los términos de la segunda agrupación.
1. 4xy3  y 2    12xyz  3z 
2. y 2 4xy  1  3z 4xy  1
3. Los signos en las agrupaciones son distintos, pues los 2
4.
5.
paréntesis tienen signos opuestos.
y 2 4xy  1  3z4xy  1
4xy  1y 2  3z 
Ahora es tu turno
Sí
5. Factorizar el polinomio con el factor
común polinomio que ha aparecido.
Polinomio
factorizado
Factoriza paso a paso el siguiente polinomio (si no necesitas del paso
4, deja en blanco el cuadro que le corresponde):
 3m  n 2  2n 2 x  6mx
1.
2.
3.
4.
5.