Águeda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matemática Aplicada, FI-UPM. 7. Sucesiones y Series de funciones 7.2. Series de funciones 7.2.1. SERIES DE FUNCIONES Series de funciones Se llama serie de funciones a la suma indicada de los infinitos términos de una sucesión de funciones: f1 (x) + f2 (x) + f3 (x) + . . . + fn (x) + . . . = ∞ X fn (x) n=1 P que, para simplificar, muchas veces se expresa simplemente por fn . Como a veces ocurre, no es necesario que la suma comience en n = 1, pudiéndolo hacer en otro valor cualquiera de n. Convergencia puntual y uniforme P Dada una serie de funciones fn (x), se llama sucesión de las sumas parciales a la sucesión de funciones {Sn (x)}, donde Sn (x) = f1 (x) + f2 (x) + . . . + fn (x) es la suma de las n primeras funciones de la serie. Entonces: P • Se dice que la serie de funciones fn (x) converge puntualmente a la función S(x) si la sucesión de las sumas parciales converge puntualmente a dicha función. P • Se dice que la serie de funciones fn (x) converge uniformemente a la función S(x) en A ⊂ R, si es uniforme la convergencia en A de la sucesión de las sumas parciales. Continuidad, acotación e integración de la función lı́mite P Sea fn una serie de funciones que converge uniformemente a la función S en A ⊂ R. Entonces: • Si todas las funciones fn son continuas, S es continua. • Si todas las funciones fn son acotadas, S es acotada. • Si todas las funciones fn son integrables en [a, b] ⊂ A, S es integrable en [a, b] y ∞ Z X n=1 a Z b fn (x) dx = b S(x) dx a Observación: Si la función suma de una serie de funciones continuas (acotadas) no es continua (acotada), la convergencia de la serie no puede ser uniforme. Criterio mayorante de Weierstrass para la convergencia uniforme P Si |fn (x)| ≤ aP an es convergente, entonces la serie n , para todo x ∈ A y para todo n ≥ n0 , y la serie numérica de funciones fn converge uniformemente en A. Ejercicios 1. Estudia la convergencia puntual y uniforme de las series de funciones: (a) ∞ X xn ∞ X sen nx n=1 n=1 ; (b) 2n n2 . Águeda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matemática Aplicada, FI-UPM. 7. Sucesiones y Series de funciones 7.2. Series de funciones 7.2.2. SERIES DE POTENCIAS Series de potencias Se llama serie de potencias centrada en x0 ∈ R a cualquier serie funcional de la forma: ∞ X an (x − x0 )n = a0 + a1 (x − x0 ) + a2 (x − x0 )2 + . . . + an (x − x0 )n + . . . n=0 con an ∈ R, n ≥ 0. En particular, si x0 = 0 se dice que la serie de potencias está centrada en el origen: ∞ X an xn = a0 + a1 x + a2 x2 + . . . + an xn + . . . n=0 Radio de convergencia P Se llama radio de convergencia de la serie an (x − x0 )n al número (real o infinito) que se obtiene por cualquiera de los lı́mites siguientes: R= limn 1 p n R= |an | 1 ¯ ¯ ¯ an+1 ¯ limn ¯ an ¯ con el convenio de que 1/0 = ∞. Convergencia de la serie de potencias P Si R es el radio de convergencia de la serie an (x − x0 )n , entonces: • La serie converge puntualmente si |x − x0 | < R, es decir en el intervalo abierto (x0 − R, x0 + R). • La serie diverge si |x − x0 | > R, es decir en (−∞, x0 − R) ∪ (x0 + R, ∞). • En |x − x0 | = R, es decir, en x = x0 ± R la serie puede ser convergente o divergente (hay que estudiarlos en cada caso). • La serie converge uniformemente en cualquier intervalo cerrado y acotado [a, b] ⊂ (x0 − R, x0 + R). Campo de convergencia P Se llama campo de convergencia de la serie an (x−x0 )n al conjunto donde converge puntualmente. Si R es el radio de convergencia, el campo de convergencia puede ser (x0 − R, x0 + R), [x0 − R, x0 + R), (x0 − R, x0 + R] o [x0 − R, x0 + R]. Ejercicios 1. Halla el campo de convergencia de las siguientes series de potencias: (a) ∞ X xn (b) n=0 ∞ X xn n=1 n (c) ∞ X xn n=1 n2 2. Halla el campo de convergencia de las siguientes series de potencias: (a) ∞ X (x − 2)n n=0 n! (b) ∞ X (−1)n+1 (x − 1)n n=1 n (c) ∞ X (−1)n+1 (x + 1)n n=0 2n Águeda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matemática Aplicada, FI-UPM. 7. Sucesiones y Series de funciones 7.2. Series de funciones 7.2.3. DESARROLLOS EN SERIE Derivación e integración de series de potencias P Sea an (x − x0 )n una serie de potencias con radio de convergencia R > 0 y cuya suma es la función f (x) = ∞ X an (x − x0 )n = a0 + a1 (x − x0 ) + a2 (x − x0 )2 + a3 (x − x0 )3 + . . . n=0 Entonces: • La función f es derivable y su serie de potencias es la que se obtiene derivando término a término la serie de f , es decir: ∞ X f 0 (x) = nan (x − x0 )n−1 = a1 + 2a2 (x − x0 ) + 3a3 (x − x0 )2 + . . . n=1 • La función f admite primitiva que es la que se obtiene integrando término a término la serie de f , es decir: Z ∞ X (x − x0 )2 (x − x0 )3 (x − x0 )n+1 f (x) dx = c + an = c + a0 (x − x0 ) + a1 + a2 + ... n+1 2 3 n=0 El radio de convergencia de las series derivada e integral es el mismo R de la serie original, pero el campo de convergencia puede diferir por el comportamiento en los extremos. Desarrollos en series de potencias Desarrollar una función f en serie de potencias de centro x0 es hallar una serie de potencias tal que ∞ X f (x) = an (x − x0 )n , para |x − x0 | < R n=0 ∞ X f n) (x0 ) (x − x0 )n n! n=0 Para hallar series de potencias se recurre a la serie de Taylor, a la serie geométrica y a las propiedades de derivación e integración de series de potencias. Algunas de las más importantes son: Z ∞ ∞ X X x2 x3 (−1)n−1 xn xn dx x =1+x+ + + . . . , ∀x ∈ R ln(1 + x) = = , |x| < 1 e = n! 2! 3! 1+x n n=1 n=0 Z ∞ ∞ X X 1 dx (−1)n x2n+1 n 2 3 = x = 1 + x + x + x + . . . , |x| < 1 arctan x = , |x| < 1 = 1−x 1 + x2 2n + 1 Si f es infinitamente derivable en x0 , la serie de potencias es la serie de Taylor: f (x) = n=0 1 1 = = 1+x 1 − (−x) n=0 ∞ X (−1)n xn , |x| < 1 n=0 ∞ X 1 1 = = 2 1+x 1 − (−x2 ) (−1)n x2n , |x| < 1 n=0 sen x = cos x = ∞ X (−1)n x2n+1 n=0 ∞ X n=0 (2n + 1)! =x− x3 x5 + − . . . , ∀x ∈ R 3! 5! (−1)n x2n x2 x4 =1− + − . . . , ∀x ∈ R (2n)! 2! 4! Ejercicios P 1. Halla las series de la derivada y las primitivas de la función f (x) = ∞ n=1 convergencia de cada una de ellas. ¿Cuál es la expresión algebraica de f ? xn n , calculando el campo de 2. Halla las series de potencias de las siguientes funciones en los puntos que se indican, y el campo de convergencia de cada una de ellas. √ 1 3x − 1 (a) f (x) = , x=0 (c) f (x) = 2 , x=0 (e) f (x) = cos x , x = 0 x+2 x −1 1 (b) f (x) = , x = 3 (d) f (x) = ln x , x = 1 (f ) f (x) = cosh x , x = 0 x Águeda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matemática Aplicada, FI-UPM. 7. Sucesiones y Series de funciones 7.2. Series de funciones EJERCICIOS 1. Determina el campo de convergencia de las siguientes series de potencias: (a) ∞ X 2n n=1 n xn (b) ∞ X n3 n=1 n! xn (c) ∞ X nxn en−1 n=0 2. Se consideran las series de potencias: ∞ X xn (I) n2 3n (d) ∞ X (x + 1)n n=1 y n=1 (e) n2n (II) ∞ X (−1)n (2x)2n n=1 ∞ X xn−1 n=1 n3n 2n . (a) Halla el campo de convergencia de las dos series. (b) Si f es la función definida por la serie (I) en su campo de convergencia, ¿cuál es su derivada en x = 0? 3. (a) Encuentra la serie de potencias de la función f (x) = ln(1 + x) centrada en x = 0, y halla su campo P (−1)n−1 de convergencia. (b) Usa la serie obtenida para sumar la serie numérica: ∞ . n=1 n 4. (a) Encuentra la serie de potencias de la función f (x) = arctan x centrada en x = 0, y halla su campo P (−1)n de convergencia. (b) Usa la serie obtenida para sumar la serie numérica: ∞ n=0 2n+1 . 5. Halla las series de potencias de las siguientes funciones en los puntos que se indican, y el campo de convergencia de cada una de ellas. 4 , x = −2 5−x 3 , x=2 (b) f (x) = 2x − 1 (a) f (x) = 1 , x=0 x2 − 1 1 (d) f (x) = , x=0 (1 − x)2 (c) f (x) = 1 , x=0 (x + 1)3 1+x (f ) f (x) = , x=0 (1 − x)2 (e) f (x) =