tema 6: metodos modernos de determinación.

TEMA 6: Métodos modernos de determinación.
TEMA 6: METODOS MODERNOS DE DETERMINACIÓN.
6.1
INTRODUCCIÓN.
La determinación del geoide mediante la fórmula integral de Stokes posee dos
serias limitaciones:
a)
No deben haber masas por encima del geoide.
b)
La medida de la gravedad tomada en la superficie terrestre debe ser reducida al
geoide.
Esto requiere que para resolver correctamente a) necesitemos conocer las
densidades de las masas topográficas, y para resolver correctamente b) debamos
conocer el valor de la variación de la gravedad con la altura a lo largo de la línea
vertical entre la superficie topográfica y el geoide, lo cual nos devuelve al problema del
conocimiento de las densidades de las masas topográficas a lo largo de esa línea
vertical.
Con todo esto el método clásico de determinación del geoide (que no quiere
decir que ya no se utilice) se encuentra con el grave problema de que, actualmente, no
se tiene un buen conocimiento de las densidades de las masas situadas por encima
del geoide.
Para solucionar este problema, un método alternativo de cálculo fue propuesto
en 1945 por el científico ruso M.S. Molodensky. En lugar de usar el geoide, introdujo
el teluroide como superficie auxiliar para determinar la figura de la tierra.
El teluroide se define como la superficie formada por aquellos puntos Q que
poseen el mismo potencial normal que el del geopotencial en los diferentes puntos P de
la superficie de la tierra, figura 6.1.
1
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Topografia
P
ζ
WP=UQ
Teluroide
Q
H
hP
H*
PO
Wo
Wo=Uo
QO
Geoide
N
Uo
Elipsoide
Figura 6.1: Telutoide, altitud normal H* y anomalía de altitud ζ.
A la distancia ζ desde P a Q se le llama anomalía de altura y al valor:
Δg P = g P − γ Q
Se le denomina también anomalía aire-libre. La altitud normal H* se puede
obtener a partir de medidas de nivelación y gravedad (números geopotenciales) como
hemos visto en el tema 5 sin que, para ello, sea necesaria ninguna hipótesis sobre la
densidad de los materiales.
De esta manera hemos denominado anomalía aire-libre a dos cantidades
situadas en escenarios diferentes: una de ellas en el escenario planteado por la teoría
de Stokes-Helmert y otra en el escenario planteado por la teoría de Molodensky. En el
escenario de Stoles-Helmert esta cantidad se definía como:
Stokes − Helmert
Δg Aire
= g PO − γ QO = (g P + 0.3086 H ) − γ QO
Libre
Y en el escenario de Molodensky:
2
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(
)
Molodensky
Δg Aire
Libre = g P − γ Q = g P − γ QO − 0.3086 H *
De forma general no se comete un error final superior a los 1-2 cm en la
determinación de la ondulación del geoide si se considera que
H ≈ H * , por lo que, a
pesar de plantearse dos escenarios completamente diferentes, las anomalías de
gravedad presentan el mismo valor numérico en ambos.
Como ya hemos dicho en alguna ocasión, se cumplen los mismos principios
físicos para las cantidades referidas a PO y QO como a las cantidades referidas a P y Q,
por lo tanto, gracias al teorema de Bruns, tenemos que:
ζP =
TP
γQ
(6.1)
Donde ahora TP (potencial perturbador), se refiere a la superficie de la tierra en
lugar de al geoide, es decir, hemos trasladado el problema de contorno planteado del
geoide a la superficie topográfica, antes nuestra frontera o contorno era el geoide y allí
resolvíamos el problema y ahora el problema se plantea sobre el propio contorno
topográfico y es allí donde intentamos resolver.
No obstante, el teluroide no es una superficie de nivel, y a cada punto P de la
superficie terrestre le corresponde una superficie equipotencial W = WP diferente. Por
lo tanto, la relación entre
Δg y ζ es considerablemente más complicada que para la
ondulación del geoide.
Finalmente, se debe tener en cuenta que también podemos dibujar las
anomalías de altitud ζ por encima del elipsoide, de esta forma obtendremos una
superficie próxima al geoide que Molodensky llamo cuasigeoide.
Así pues el problema es determinar esa anomalía de altitud ζ.
6.2
MÉTODO Y TEORÍA DE MOLODENSKY.
Este método propone expresar el potencial anómalo T como el potencial de una
capa superficial sobre la superficie de la tierra o, con la misma precisión, sobre el
teluroide:
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TP =
φ
∫∫ d dΣ
(6.2)
Σ
Donde φ representa, en este caso, la densidad de superficie (ρ) multiplicada por
la constante de gravitación y dΣ el elemento diferencial de superficie del teluroide.
Sobre la superficie el potencial anómalo será continuo, pero las derivadas
normales difieren si nos aproximamos a esa superficie desde el lado de dentro o desde
el lado de fuera.
En este caso nos interesa la derivada exterior que responde a la expresión
(Heiskanen et al. 1985, ec. 8-26):
⎛ ∂TP
⎜⎜
⎝ ∂hP
⎞
⎟⎟ = −2πφ cos β +
⎠e
∫∫
Σ
⎛1⎞
∂⎜ ⎟
d
φ ⎝ ⎠ dΣ
∂hP
(6.3)
Donde β es el ángulo de máxima inclinación del terreno, esta fórmula se extrae
directamente de derivar (6.2) con respecto a hP y de considerar que sobre la superficie
el potencial es continuo, pero que será precisamente allí donde mostrará sus
dicontinuidades en cantidades como las segundas derivadas.
Así nuestra condición de contorno aplicada sobre la superficie terrestre será:
−
∂TP
1 ∂γ
+
TP = Δg P
∂h γ Q ∂h
(6.4)
Y, sustituyendo en ella las fórmulas (6.2) y (6.3), quedará de la forma:
2πφ cos β −
∫∫
Σ
⎡ ∂ ⎛ 1 ⎞ 1 ∂γ 1 ⎤
⎢ ⎜ ⎟−
⎥φ dΣ = Δg P
⎢⎣ ∂h ⎝ d ⎠ γ Q ∂hP d ⎥⎦
(6.5)
Ecuación que, realizando una aproximación esférica y considerando que:
dΣ = r 2 sec β dσ
Llevará a la expresión (Heiskanen et al. 1985 pag. 301-302):
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Δg P = 2πφ cos β −
⎛ 3R R 2 (h − h P ) ⎞
⎜
⎟ sec β φ dσ
⎜ 2d +
⎟
d3
⎝
⎠
∫∫
σ
(6.6)
Donde R es el radio medio terrestre.
De tal manera que si de (6.6) podemos llegar a obtener el valor de
φ , podremos
obtener el del potencial anómalo TP de la ecuación (6.2) y, por tanto la anomalía de
altura según la ecuación (6.1).
Para la resolución de de ecuación (6.6) se utiliza un método iterativo, la
φO
primera aproximación consiste en resolver
de la ecuación (aproximación de orden
cero de la ecuación (6.6)):
2πφ O −
3R
2
Donde GO = ΔgP, y siendo
φO
∫∫ d
σ
φO
y
(6.7 )
dσ = G O
O
d O = 2 R sen
ψ
2
aproximaciones de orden cero.
β suele ser un valor pequeño, por lo que su coseno será igual a la unidad.
En esta primera aproximación se llega finalmente a la obtención de (Heiskanen
et al. 1985):
φO =
3G ⎞
1 ⎛
ςO ⎟
⎜ Δg P +
2π ⎝
2R ⎠
Donde G es un valor medio de gravedad, de manera que, para un radio medio
terrestre R, y un valor medio de
ς O ≈ 50 m ,
el segundo miembro de la suma del
paréntesis de la ecuación anterior se puede despreciar con lo que, finalmente:
φO =
Δg P
2π
(6.8)
Una segunda (y última en nuestro caso) aproximación intenta resolver:
5
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φ ≈ φ 0 + φ1
Mediante:
2πφ1 −
3R
2
φ1
∫∫ d
σ
(6.9)
dσ = G1
1
Donde:
G1 = R 2
∫∫
σ
h − hP
R2
φ
d
σ
=
O
2π
d O3
A partir de aquí es posible resolver
∫∫
σ
h − hP
Δg P dσ
d O3
(6.10)
φ , luego TP y, finalmente ς .
Si Recordamos la teoría de Stokes, existirá un camino mucho más sencillo para
resolver nuestro problema: la integral de Stokes resolvía la condición de contorno
sobre las anomalías de gravedad, ahora seguimos utilizando esta misma condición de
contorno (ecuación (6.4)), por lo que podemos utilizar la integral de Stokes pero sobre
las cantidades GO y G1.
Así, aplicando la fórmula de Bruns:
ζ = TP / γ Q
a la integral de Stokes, vemos
que, en este caso, se obtiene:
ζ =ζ O + ζ1 =
R
4πγ
∫∫ Δg
P
S (ψ )dσ +
σ
R
4πγ
∫∫ G S (ψ )dσ
1
(6.11)
σ
Ya que hemos dicho que GO = ΔgP.
Así pues ζ viene determinada por la fórmula de Stokes sobre las anomalías
aire-libre (término ζO) y, además, una corrección ζ1 donde G1 viene expresado por la
ecuación (6.10).
La ecuación (6.11) se puede ver de la forma:
ζ =
R
4πγ
∫∫ (Δg
P
+ G1 ) S (ψ ) dσ
σ
6
(6.12)
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Debemos ahora darle una interpretación física y una visión geométrica a la
ecuación (6.12) obtenida.
Para ello podemos dividir el término G1 en dos partes:
(6.13)
G1 = G11 + G12
Analizando el factor G11 se llega a la definición para él (Heiskanen et al. 1985
apartado 8-8) de:
G11 = −
∂Δg P
h
∂h
(6.14)
Siendo, por la integral de Poisson:
∂Δg P R 2
=
∂h
2π
∫∫
σ
Δg − Δg P
dσ
d O2
Con lo que el término G11 corresponde a la reducción de la anomalía aire-libre
de la gravedad del terreno al elipsoide.
El término correctivo ζ1, que representa el efecto de G1, puede descomponerse
de la misma forma que G1 en:
(6.15)
ζ 1 = ζ 11 + ζ 12
Entonces:
ζ 11 =
R
4πγ
∫∫ G
11
S (ψ ) dσ = −
R
4πγ
σ
∫∫ h
σ
∂Δg P
S (ψ ) dσ
∂h
Y la segunda componente:
ζ 12 =
R
4πγ
∫∫ G
12
S (ψ ) dσ
σ
7
(6.17)
(6.16)
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Puede evaluarse directamente ya que puede verse como (Heiskanen et al. 1985
apartado 8-8):
ζ 12 =
∂ζ
h
∂h
(6.18)
Con lo que este segundo término no es más que la correspondiente reducción
de la anomalía de la altitud del elipsoide al nivel del terreno (o teluroide en nuestro
caso).
Por tanto la solución definitiva se puede plantear como sigue:
ζ =
⎤ ∂ζ
∂Δg P ⎞
R ⎡ ⎛
h ⎟ S (ψ ) dσ ⎥ +
h
⎢ ⎜ Δg P −
4πγ ⎣⎢ σ ⎝
∂h ⎠
⎦⎥ ∂h
∫∫
(6.19)
Con todo esto la interpretación geométrica de la solución resulta evidente: las
anomalías aire-libre del terreno se reducen al elipsoide mediante:
Δg * = Δg P −
∂Δg P
h
∂h
(6.20)
Entonces la integral de Stokes da las anomalías de la altitud sobre ese
elipsoide o superficie de referencia, que son llevadas al nivel del terreno añadiendo el
segundo término que se encuentra fuera de la integral (6.19); volvemos aquí a
recuperar el concepto de prolongación analítica de las funciones armónicas, en este
caso la prolongación descendente para las anomalías de gravedad y la prolongación
ascendente para la anomalía de altitud.
6.3 DETERMINACIÓN DEL GEOIDE CON ANOMALÍAS A NIVEL DEL TERRENO
Por
último debemos relacionar la ondulación del geoide N (cantidad que es
nuestro objetivo final), con las anomalías de altura obtenidas.
Si ahora trasladamos la anomalía de altura obtenida en (6.12) sobre el
elipsoide obtendremos la figura que hemos llamado al principio del presente tema
cuasigeoide.
Recordando la figura 6.1, encontramos las relaciones:
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h=H +N
h = H * +ζ
(6.21)
Con lo que:
(6.22)
H + N = H * +ζ
Es decir, la relación entre la ondulación del geoide y la anomalía de altura es:
(6.23)
N = ζ + H * −H
Recordando:
H=
H* =
C
g
(6.24)
C
γ
Donde C es el número geopotencial, se llega a:
H * −H =
C
γ
−
C C (g − γ ) g − γ
=
=
H
γg
γ
g
(6.25)
Con lo que la ondulación del geoide responderá a la forma:
N=
R
4πγ
∫∫ Δg
P
S (ψ ) dσ +
σ
R
4πγ
∫∫ G
1
S (ψ ) dσ +
σ
g −γ
γ
H
(6.26)
Así pues N viene dada por la integral de Stokes aplicada a las anomalías airelibre al nivel del terreno, y dos pequeñas correcciones:
1)
El término G1 ya discutido y que no deja de ser o representar el efecto de la
topografía.
2)
(
)
El término que contiene la diferencia g − γ que representa la distancia entre
el geoide y el cuasigeoide.
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La ventaja de este método para la determinación de N es que la densidad de las
masas no es considerada salvo en el paso del geoide al cuasigeoide (paso 2 anterior),
en cambio estaremos resolviendo la integral de Stokes numéricamente con anomalías
aire-libre, que serán muy dependientes de la topografía y, por lo tanto, difíciles de
interpolar correctamente, además el término G1 puede presentar problemas a la hora
de su cálculo y aumentar considerablemente los mismos.
Para finalizar, deberemos conocer las altitudes elipsoidales (h-hP), ecuación
(6.10), aunque se obtiene la misma precisión utilizando los valores (H-HP) o (H*-H*P)
(Heiskanen et al. 1985, pg- 301).
Una fórmula aproximada para obtener la diferencia entre N y ζ es (Heiskanen
et al. 1985, ec. 8-103):
(ζ
Bouguer
− N )metros = − Δg gales
H Km
(6.27 )
Que para el Montblanc, con H=4807 metros, resulta de 1.8 metros.
Puesto que, como sabemos, las anomalías de Bouguer son muy insensibles a
las irregularidades locales, se puede concluir que la anomalía de gravedad Bouguer de
la ecuación anterior permanecerá constante desde un punto de vista local, de modo
que existirá una relación aproximadamente lineal entre la anomalía de altura y las
irregularidades locales de la topografía, con otras palabras, el cuasigeoide refleja la
topografía en mucha mayor medida que el geoide.
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