ECUAC/ONES POL/NOM/CAS DE TERCER Y CUARTO GRADO por Ne/o ALLAN Hernanclo PEREZ INTRODUCC/ON. Los primeros problemas a los g edmetras de e cuacion es lineales y mat emdt icos de los primeros JI polinomic as se pl ante aron tiempos como nec e s ario s en la compren sion de otros tem as de mayor intere s para e llos, y aun que en la actuali dad, la t eoria de ecuacione s tiene in teres por si mi sma (T eoria de Galois) bien se b ace ne c e s ari a en el es tudio de otros topicos m atemdti cos Las s olucione s de lae e cuacione s cdbic a y cudrtic a, surgieron pe tenc ia entre los matem dticos fue el primero en resolver problemas a Cardano, Sobre la originalidad p articul are s de la e c uac idn de tercer (pre sentado de scomponerla proceso La solucion cdb ic a, sur gio de l a e cuacion de cuarto par primera ue z por Ferrari, alum no de Cardano, intentando como producto [ue intens amente de estudio en esta exposi cion) es debido de l a s ol ucion de la ecuacion una polemic a entre C ardan o y Tartaglia. grado fue encontrada de una com- ital ianos en el siglo X Vi. P are c e que Tartaglia grado pero el metoda mas general Tartaglia tam- de dos de segundo e s tudiado simplificaron par Vieta, la notacion braica • 51 grado, El me todo de Card ano y ll udd e y otros quiene s en el apar ec ien do la nomenclatura alg e- En e sta epoc a aparecieron de Gregory, quien crey o resolver Lagrange pel oscuro cudrtica, que la reso/vente cualquiera se ~ 5 tiene ti ene una prueba grado s iempre resolvente) se tiene gran influencia de las y princ ipalmente ecuacione reduce el p a- el problema en el metodo s de grado moderno superior de la a resol- la noc ion de s imetric as en este Abel demue stra que la re soluente resolvente n, y con esto introduce la importan cia de las funciones E I estudio Abel y con Galois. de des taca la se en la soluc ion, (En la solucion que sea el metodo, El trabajo de Lagrange grado desempeiia cubic a, llamada reconoce la cudrtica, el problema 10 que re alm ent e ocurria int entd ent ender ver una e cuacion grupo y otras so lucione s, entre las cuales e stu dio, para resolver se continua de una ecuacion con general de de grado mayor que la ecuac idn dada y tambien ob- de la imposibilidad de resolver la ecaacidn general de quinto gr ado , Galois reduce des particulare el e studio s de grupos de el punto de vista de las ecuaciones de p ermutacione de las p ermutacione pos terior , 52 al e s tudio de al gunas propi eda- s, E] es tudio de las ecuaciones s de las raic es se des- deja para un es tudio I) Consideremos (/ • 1) la siguiente x n + al x n-L + , , ecuacidn r ecuacion n , 0 deb ido a Vieta) y re em pl az amos en l a s e obti ene : (/.1) yn+nayn'l+"'+an+a yn.l+"'+a lin Ob s eruem os pue s, que el coe ficiente escogiendo = + an. 1 x + an x = y + a (pro c edimiento Si tomamos (I - 2) en x de gr ado a de man era que de yn-l = na+al an.l+"'+a 0, es 0 -1 y+a n-I a+a =0 n n a + a 1 y por 10 tanto sea, a = - 2 entonces , la n e cuacion (/·2) se reduce E s cl aro que, resoluiendo suelta II) a una de l a forma la e cuacion (/·3) l a ecua cion (1- 1) queda re . Ecuacion cubic a . (Metodo de Cardano- Hudde) . x3 + a x + 6 C onsider emos l a ecu acidn Supongamos Comparando z'/ v incognitas con tales (II ·1) podemos 3zu = que x 0 (II - 1) = z + v de man era que suponer • a o sea Entonces, %3, v3 son las solucion es de la ecuacion a3 = 27 y asi podemos escribir 53 0 - (11·2) De las e cuacion es (11- 2), podemo s calcular los ualore s de to los ualords bien para de x, v y como Sinembargo. x = z+v hay tres ualore s posibles z , v y por tanpara z y tam» entonce s exis tirian seis ualore s posibles pa- ra x .. p ero, la ecu acion de tercer grado tiene tres raic es, es de cir, de ben e a 10 mas tres valor cis diferentes xistir de x , La in de terminac ion se elimina de la s igui en te manera Sean w t =. + i V3 una rai z ctibica de la uni dad (w3 1) Y 2 zl ,v1 ntlm ero s complejo s tales que Los pos ible s ualore s de y de e stos, w v1 • W2v'l zl "i .. wZ1' w2 "t ..w2 z son zl' wZ1' w2z1 Y los de los ualore s de z, v tales que 3 z v zl ' w "t Xt=zl+v1 _ 2 x2-wz1+w v1 _ 2 x3 - w zl + w "L [11) Ecuacidn de cuarto grado • x4 + P x2 + q x + r A •• = (1ll-1) 0 Metodo de Ferrari. De (1l[·1) a v1' son de man era que las raic e s de la ecuacion son (/[-1) v son = - se sigue que (lll - 2) 54 y tomando una incognita a, bo s lados de La e cua cion s umando La e xpr e sion (//1-2) obt enemo s o sea 2 +P..+ai 2 (x Considerando = el segundo t·· 2 +P a+ 2ax2• qx + (a r) 4 mi embro de La e cu acion (/1[-3) (11/-3) como polinomio de segundo grado en x, su di s crimin ant e seria q Es cog iendo 2 2 ·Sa·(a +pa+~·r) p2 a de manera que La expre s ion (Ill enc ontrar M, N ([[[-4) 4 » 4) sea 0 entonc e s podemo s tales que (x2 + k + a)2 = (M x + N y2 ([[[-5) 2 La e xpres ion ([/I- 4) puede e scribirs e de La mane ra si guient e y tom ando f3 = • a obtenemos (Ill - 6) Resolviendo la e cuac ion en la e cu ac ion (ll] - 5) (lll- 6) (e cuacion re saluen Y por tanto la ec uacion Obserue s e que la e cuac ion (Iit- 5) y entonce s el valor de x se se obtiene 1.. 2 + a.M x + N = de una cuaiquiera 0 55 encontrar x (1l[-1) puede escribir cione s : x2 + e) podemos en la siguiente forma de las siguientes e cua - x2 +.J!.. + a - Mx • N 2 En reali dad, este me todo no valores para B. 0 completo pue s la ecuacion (Ill- 6) da tre s a, y entonc es las ecu ac ione s (111- 8) serian en total seis ecua ciones y cada una de ellas lie x, es = tiene dos para x , se tendrian asi dace valores entre los cuales hay que escoger las soluciones de (IlI- 1). Metodo moderno • a) Supongamos que Xl' <z- x3 ,x4 son las so lucione s de la e c uac ion (III-I) entonc e s (111-9) a4 "z x3 ": x4 ' entonces la ec uac ion (111- 9) se puede escribir y as! (111-10) 73 ,'= (Xl + x4) (x2 + x3)' Se pueden somprobar las siguientes nes b1 = T1 + T2 + 73 = 2 «z b2 = 71 72 + 7173 +72 73 = a} + a1 a3 • 4 a4 b3 Evidentemente = 71' 2 2 a4 • v s 71 T2 73 = v i «z «s - 72' T3 son las soluciones 56 al de la ecuacidn rel ac io- Us ando las relac ione s b3 = • (llI -10) se concluye d) Supongamos = i1 2 b1 q2 Y entonce s r1 • i2 • i3 son las soluciones (Comp dre se con la e cuac ion x que • se r':2 = 0 pues sigue que r1 ' i2' xl + x2• que y entonce s podemos = 2 P • b2 p2 - 4 r , de la e cuac ion (llI- 6) ) i3 son las soluciones x3 + x4 = de la e c uacion son las raic e s de l a ecu acion es cribir "i + x2 = l~Tl x3 + x4 = -R Con un razonami ento como el anterior obtenemos las otras e c uaciones sis tema line al OX1 + OX2 + x3 + x4 y~r1 =- y:r; x1+0x2+x~+Ox4 ='y~ Ox1+x2+Ox3+x4 =-Y:G. x1+x2+Ox3+Ox4 cuya matri z es = ": + OX2 + OX3 + x4 /;r3 Ox 1 + x 2 + x 3 + 0 x 4 = - y~ de range maximo y pot tanto s u s olucion J:T2 + y:"T3 ) / 2 (Y:Tj-· y~"7'2'. 03) / 2 xl = ( x2 = l-Tj x3 = ( x4 + -.,;::T"i -t- y:-;;- y~)/ = t : y:Tj-. y-Ti + y-Tj) / 57 2 2 es zinica del IV )Metodo de Gregory • x3 + P x +.q = 0 obten emo s x = u+ v en l a ecu acion Reemplazando u3 + v3 + 3 u v (u + v) +p (u + v) + q = a de otra man era 0 (IV. 1) Multiplicando la e c uacidn (IV. 1) par una expres ion del tipo + c obtenemo s una ecuacion v3 + a v2 + b v de l a forma o (lV·2) don de 3 u2 + 3 au +b + P u3 + 3 a u2 + (3 b + p} u +p a + q +c a4 = au3 +3bu2 +(3c+pa)u+qa+pb b ul + 3 c u2 + P b u +q b + pc cu3 +pcu Escogiendo cion (IV.2) a, b , c, u de m anera que se c onuierte cuya sol ucidn es inmediata E I anterior cultad, + qc metoda Gregory = a2 = a4 = Oa 5 = 0, la e cua - en una de la forma , es ap lic able al caso murid conuencido cion de la e cuacidn a1 de grado de que su metoda de grado arbitrario 58 n , 4 con un poco de mas difi· era aplic able a la res olu- BIBLIOGRAFIA ROTH Richard. 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