Una introduccirn a la teoroa de pesos Ap

Una introducción a la teoría de pesos Ap
Martha Guzmán Partida
UNISON
Martha Guzmán Partida (UNISON)
Una introducción a la teoría de pesos A p
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Sesión 1.
Examinar teoremas de cubrimiento en Rn para analizar propiedades
de diferenciabilidad de funciones.
Extender el primer teorema fundamental del cálculo, relajando la
hipótesis de continuidad de f por integrabilidad en el sentido de
Lebesgue.
Función de los teoremas de cubrimiento: “casi cubrir” o “cubrir” un
conjunto “arbitrario” de Rn por familias a lo sumo numerables de
cubos o de bolas, o conjuntos más generales. Estas familias pueden
ser ajenas por parejas o presentar otra restricción adicional.
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Análisis de propiedades de diferenciación de integrales es más efectivo
estudiando ciertas funciones maximales.
Existen otros enfoques para estudiar estos problemas de
diferenciación, por ejemplo, la descomposición de Calderón-Zygmund.
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Teoremas de cubrimiento de Vitali
El teorema de cubrimiento más clásico en el estudio de la
diferenciación es el de Giuseppe Vitali (1875-1932).
Presentamos un par de versiones, (no son las originales demostradas
por G. Vitali).
Su demostración es adjudicada a S. Banach (1892-1945).
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AHORA UN POCO DE NOTACIÓN:
Si B es una bola abierta en Rn con centro x0 y radio r y ρ es
cualquier número positivo, el conjunto ρB denotará la bola abierta
con centro x0 y radio ρr .
El radio de una bola B será denotado por radB.
Si A es un subconjunto Lebesgue medible de Rn , jAj denotará la
medida de Lebesgue de A.
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Theorem (V1)
Sea E un subconjunto acotado de Rn . Supóngase que F es una colección
de bolas abiertas con centro en puntos de E , de modo que cada punto de
E es el centro de alguna bola en F . Entonces existe una colección a lo
sumo numerable de bolas de F , digamos, fBi gi tales que:
1
2
fBi gi es ajena por pares.
S
E
3Bi .
i
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Demostración.
Si fradB : B 2 F g no está acotado superiormente, hemos terminado
porque E es acotado y podemos elegir B 2 F con radio su…cientemente
grande tal que B E .
Si fradB : B 2 F g es acotado superiormente, procedemos inductivamente:
Escojamos cualquier bola en F y llamémosla B1 .
Supongamos que hemos elegido las bolas B1 , ..., Bk con k
Sea
n
[k
sk +1 = sup radB : B 2 F , B \
j =1
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1.
o
Bj = ∅ .
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Si no hay bolas así el proceso de selección termina con Bk .
En caso contrario, escogemos Bk +1 2 F tal que
1
sk +1 < radBk +1
2
y
Bk +1 \
[k
j =1
Bj = ∅.
Por construcción, la colección de bolas fBk gk es ajena por pares.
Sea x 2 E y sea B 2 F es una bola con centro x y radio r .
Podemos hallar k tal que B \ Bk +1 6= ∅.
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Si no se pudiera tendríamos B \ Bk +1 = ∅ 8k.
Así la selección de bolas nunca termina, i.e., fBk gk sería una colección
in…nita numerable.
Además r
sk + 1 , k
1.
Como
radBk +1 >
entonces
∞
[
1
r
2
∞
Bk +1 =
lo cual es imposible ya que
∑ jBk +1 j = ∞,
k =1
k =1
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1
sk + 1
2
S∞
k =1
Bk +1 es un conjunto acotado.
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1 : B \ Bk +1 6= ∅g
Sea k0 = min fk
entonces
B\
luego
r
[k 0
j =1
Bj = ∅
sk0 +1 < 2radBk0 +1 .
Si z0 es el centro de Bk0 +1 , y0 2 B \ Bk0 +1 entonces
jx
z0 j
jx
y0 j + jy0
z0 j < r + radBk0 +1 < 3radBk0 +1 ,
es decir, x 2 3Bk0 +1
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Aplicaciones del Teorema V1
Examinar los promedios
1
jB r (x )j
Z
B r (x )
f (y ) dy cuando r ! 0.
Aquí, f 2 L1loc (Rn ) y Br (x ) es la bola abierta con centro x y radio r .
Conviene estudiar la función maximal
1
Mf (x ) := sup
B
j
r (x )j
r >0
Z
B r (x )
jf (y )j dy .
Fue introducida por G. Hardy (1877-1947) y J. Littlewood
(1885-1977) para n = 1, y por N. Wiener (1894-1964) para n
arbitraria.
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Algunas propiedades
Mf es s.c.i., i.e., fx 2 Rn : Mf (x ) > αg es abierto para cada α > 0.
Mf es Lebesgue medible, de hecho, Borel medible.
Mf (x ) < ∞ para casi toda x 2 Rn .
Si f 2 L1 (Rn ) entonces para cada α > 0
jfx 2 Rn : Mf (x ) > αgj
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3n
kf k1 .
α
(1)
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Sean E el conjunto del lado izquierdo de (1) y x 2 E .
Existe una bola B centrada en x tal que
1
jB j <
α
Z
B
jf (y )j dy .
(2)
Para cada k 2 N, formamos la familia Fk de bolas abiertas con centros
en puntos de E \ Bk (0) que además satisfacen la condición (2). n
o
Le aplicamos el Teorema V1 y obtenemos una sucesión de bolas
∑ 3n Bj
(k )
j
Haciendo k ! ∞, obtenemos jE j
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j
(k )
[j 3Bj .
ajenas por pares tal que E \ Bk (0)
Así, para cada k 2 N
jE \ Bk (0)j
(k )
Bj
3n
α
∑
j
Z
(k )
Bj
jf (y )j dy
3n
kf k1 .
α
3n
kf k1 .
α
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Theorem (TDL)
Si f 2 L1loc (Rn ) entonces
lim
r !0
1
jBr (x )j
Z
B r (x )
f (y ) dy = f (x ) para casi toda x 2 Rn .
(3)
Demostración.
SPG podemos suponer que f 2 L1 (Rn ).
Dado ε > 0 existe g 2 Cc (Rn ) tal que
kf
g k1 < ε.
Por continuidad de g obtenemos
1
jBr (x )j
Z
B r (x )
g (y ) dy ! g (x )
si r ! 0.
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Por consiguiente
lim sup
r !0
1
jBr (x )j
= lim sup
r !0
+
M (f
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f (y ) dy
Z
f (x )
B r (x )
1
jBr (x )j
1
jBr (x )j
+ [g (x )
Z
Z
[f (y )
g (y )] dy
B r (x )
g (y ) dy
g (x )
B r (x )
f (x )]j
g ) (x ) + 0 + jf (x )
g (x )j .
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Para α > 0 sean
Eα =
1
x 2 R : lim sup
B
j
r (x )j
r !0
n
Fα = fx 2 Rn : jf (x )
Z
f (y ) dy
B r (x )
f (x ) > α
g (x )j > αg ,
entonces
Eα
Fα/2 [ fx 2 Rn : M (f
y puesto que
Z
α
jF j
2 α/2
F α/2
jf (x )
g ) (x ) > α/2g ,
g (x )j dx < ε,
aplicando la desigualdad (1)
jEα j
2
2 3n
ε+
ε.
α
α
Como ε > 0 es arbitrario obtenemos jEα j = 0 para cada α > 0 y de aquí
se in…ere (3) para x 2
/ [j∞=1 E1/j
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También se pueden considerar conjuntos más generales que bolas para
obtener versiones similares del Teorema (TDL).
Por ejemplo: familias de borelianos de Rn que se “contraen de manera
agradable” al punto x, esto es, borelianos fEr gr >0 que satisfacen
Er
Br (x ) para cada r > 0
y
jEr j > C jBr (x )j ,
donde C > 0 es una constante independiente de r .
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Una segunda versión del teorema de cubrimiento de Vitali.
Theorem (V2)
Sea E un subconjunto arbitrario de Rn y supóngase que F es una familia
de bolas cerradas de radio positivo que satisface la siguiente condición:
dado ε > 0 y dado x 2 E existe B 2 F tal que x 2 B y radB < ε.
Entonces existe una colección a lo más numerable de bolas de F , fBi gi
tales que
1
2
fBi gi es ajena por pares.
S
E
Bi excepto por un conjunto de medida cero.
i
La prueba usa un proceso de selección similar al considerado en la
demostración del Teorema (V1).
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Aplicaciones del Teorema V2
En el siguiente enunciado j j denota la medida exterior.
Theorem (J)
Sea Ω un subconjunto abierto de Rn y Φ : Ω ! Rn una función.
Supóngase que Φ es diferenciable en cada punto del conjunto E
Ωy
también que existe una constante positiva M tal que jJ (x )j M para
cada x 2 E , donde J es el jacobiano de Φ en E . Entonces
jΦ (E )j
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M jE j .
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Un corolario inmediato del Teorema J es el siguiente.
Theorem (Sard)
Sea Ω un subconjunto abierto de Rn y Φ : Ω ! Rn una función.
Supóngase que Φ es diferenciable en cada punto del conjunto E
Ωy
que J (x ) = 0 para cada x 2 E . Entonces Φ (E ) es un conjunto de
medida cero.
Es decir:
El conjunto de valores críticos de Φ es un conjunto de medida cero.
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Teorema de cubrimiento de Besicovitch
Originalmente probado por A. Besicovitch (1891-1970) para bolas del
espacio euclideano Rn .
Presentamos una versión usando cubos en Rn y la medida de
Lebesgue.
Pueden considerarse conjuntos y medidas más generales.
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Diferencia entre Teoremas de Vitali y Besicovitch:
* Vitali es aplicable a una clase más grande de cubrientes, pero
a una familia más restringida de medidas.
* En el caso Besicovitch ocurre a la inversa.
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Theorem (B)
Sea K un subconjunto acotado de Rn . Para cada x 2 K , sea Qx un cubo
abierto con centro x y lados paralelos a los ejes coordenados. Entonces,
existe una colección a lo sumo numerable de puntos fxj gj de K tales que:
1
[
K
Qxj .
(4)
j
2
Para casi toda y 2 Rn se veri…ca
∑ χQ
j
xj
(y )
24n .
(5)
En otras palabras, para casi toda y 2 Rn la cubierta Qxj j sólo puede
tener una colección …nita de cubos que contiene al punto y .
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Demostración.
Sea
s0 = sup fl (Qx ) : x 2 K g .
Si s0 = ∞, entonces existe x1 2 K tal que l (Qx1 ) > 4L, donde [ L, L]n
contiene a K .
Así, K está contenido en Qx1 , por lo que el teorema es válido con m = 1.
Supongamos ahora que s0 < ∞. Elijamos x1 2 K tal que l (Qx1 ) > s0 /2.
De…namos
K1 = K n Qx1 ,
s1 = sup fl (Qx ) : x 2 K1 g ,
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y seleccionemos x2 2 K1 tal que l (Qx2 ) > s1 /2.
Luego de…namos
K2 = K n (Qx1 [ Qx2 ) ,
s2 = sup fl (Qx ) : x 2 K2 g ,
y seleccionemos x3 2 K2 tal que l (Qx3 ) > s2 /2.
Continuamos este proceso hasta encontrar el primer entero m tal que Km
es vacío.
Si tal m no existe, continuamos el proceso inde…nidamente y sea m = ∞.
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A…rmamos que para cada i 6= j se tiene que
1
1
Qx \ Qx = ∅.
3 i 3 j
En efecto, supongamos que i > j.
Entonces xi 2 Ki
1
También xi 2 Ki
1
/ Qxj .
[ Qxi 1 ), así xi 2
= K n (Qx1 [
Kj
1,
lo que implica que
l (Qxi )
sj
1
< 2l Qxj .
Si existiera y 2 13 Qxi \ 13 Qxj tendríamos
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jxi
xj j
<
<
jxi
p
y j + jy
xj j
p
n
n
l (Qxi ) +
l Qxj
6
p6
n
l Qxj ,
2
y así concluiríamos que xi 2 Qxj , lo cual no ocurre.
Ahora probaremos la inclusión (4).
Si m < ∞, entonces Km = ∅, por lo tanto K
Sm
j =1
Qxj .
Supongamos que m = ∞; puesto que los cubos 31 Qxi son ajenos por pares
y tienen centros en un conjunto acotado, se sigue que la sucesión
∞
l Qxj j =1 converge a cero.
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S
Si existiera y 2 K r j∞=1 Qxj , entonces y 2 Kj para j = 1, 2, ..., y
l (Qy ) sj para todo j, y puesto que sj 1 < 2l Qxj se sigue que
l (Qy ) = 0.
Por consiguiente, el cubo abierto Qy es vacío, lo cual es una contradicción
y así obtenemos (4).
Enseguida, mostraremos la desigualdad (5).
Sea y 2 Rn ; consideremos n hiperplanos Hi paralelos a los hiperplanos
coordenados, que pasen por el punto y .
Así podemos escribir Rn como la unión de 2n octantes abiertos Or y n
hiperplanos Hi de medida de Lebesgue n-dimensional cero.
Mostraremos que existe una cantidad …nita de puntos xj sobre cada
octante Or .
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Fijemos Or , y sea xko tal que Qxko contiene a y y la distancia de xko a y es
la más grande posible.
Si xj es otro punto en K \ Or tal que Qxj contiene a y , entonces
l Qxko
l Qxj lo que implica que xj 2 Qxk0 .
Como i > j implica xi 2
/ Qxj , se sigue que j < k0 , y de aquí
l Qxk0 /2 < l Qxj .
Así, todos los cubos Qxj con centros en K \ Or que contienen al punto …jo
y , tienen lados comparables a los de Qxk0 .
Sea α = l Qxko /2 y fQxs gs 2I la colección de cubos tales que para cada
s 2 I se tiene que α < l (Qxs ) 2α, y 2 Qxs y los cubos 13 Qxs son ajenos
por pares.
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Entonces
αn jI j
3n
∑
s 2I
[ 1
1
Qxs =
Qx
3
3 s
s 2I
[
Qxs
(4α)n ,
s 2I
dado que todos los cubos Qxs contienen el punto y y tienen longitud de
lado a lo más 2α, y por tanto, deben de estar contenidos en un cubo de
longitud de lado 4α y centrado en y .
Esta observación prueba que jI j
Or concluimos (5).
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12n , y puesto que existen 2n conjuntos
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Aplicaciones del Teorema B
Obtener una desigualdad de tipo débil (1, 1) para una función
maximal generalizada.
Obtener un teorema de diferenciación de Lebesgue más general.
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Elementos presentes:
w (x ) un peso en Rn , i.e., w 2 L1loc (Rn ) y toma sus valores en
(0, ∞) casi en todas partes.
Para 1 p < ∞, Lp (w ) es la familia de funciones Lebesgue medibles
f de…nidas en Rn tal que
Z
Rn
jf (x )jp w (x ) dx < ∞.
La medida d µ (x ) = w (x ) dx es una medida de Borel regular.
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La función maximal generalizada es:
1
M f (x ) = sup
r >0 w (Q (x, r ))
w
Z
Q (x ,r )
jf (y )j w (y ) dy ,
(6)
donde Q (x, r ) es el cubo con centro en x, longitud de lado 2r y lados
paralelos a los ejes coordenados, y
w (Q (x, r )) =
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Z
w (y ) dy .
Q (x ,r )
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Queremos probar la desigualdad
w (fx 2 Rn : M w f (x ) > λg)
C
k f k L 1 (w )
λ
(7)
para cada λ > 0, donde C es una constante que sólo depende de la
dimensión n.
Como probar (7):
Usando la continuidad de la función
x7 !
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1
w (Q (x, r ))
Z
Q (x ,r )
jf (y )j w (y ) dy
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probamos que el conjunto
Eλ = fx 2 Rn : M w f (x ) > λg
es abierto.
Si K es cualquier subconjunto compacto de Eλ , dado x 2 K elegimos un
cubo Qx centrado en x tal que
1
w (Qx )
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Z
Qx
jf (y )j w (y ) dy > λ.
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Por el Teorema B hay una subcolección a lo sumo numerable de cubos
Qxj j de fQx gx 2K tales que cumplen las condiciones 1 y 2.
Así
w (K )
∑ w Qxj
j
∑
j
1
λ
Z
Q xj
jf (y )j w (y ) dy
24n
k f k L 1 (w ) .
λ
Tomando supremo sobre todos los subconjuntos compactos de Eλ y
usando la regularidad de w (x ) dx, obtenemos la desigualdad (7).
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Comentarios:
La desigualdad (7) puede obtenerse también usando la
descomposición de Calderón-Zygmund.
Hay que pedirle un poco más a la medida w (x ) dx:
w (2B )
Cw (B )
para cada bola B, donde C es una constante absoluta.
Ejemplos: la medida de Lebesgue en Rn , la clase Ap .
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¿Quién es la clase Ap , 1 < p < ∞?
w 2 Ap sii
1
jQ j
Z
w (x ) dx
Q
1
jQ j
Z
w (x )1
p0
p 1
dx
C
Q
para todo cubo Q.
El operador maximal M es continuo en Lp (w ) si y sólo si w 2 Ap .
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Regreso a nuestro problema:
Por desigualdad (7) y regularidad de d µ (x ) = w (x ) dx obtenemos
Theorem (TDLG)
Sea f 2 L1loc (µ), entonces para µ-casi toda x 2 Rn se veri…ca
f (x ) = lim
r !0
1
µ (Q (x, r ))
Z
f (y ) w (y ) dy .
Q (x ,r )
Realmente no importa que la medida µ tenga una densidad.
El teorema vale si µ es medida de Borel positiva y regular en Rn ,
…nita en compactos.
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Hay otros teoremas de cubrimiento muy importantes (tipo Whitney).
Permiten cubrir un abierto de Rn con frontera no vacía mediante una
sucesión ajena por pares de cubos que se van haciendo más y más
pequeños a medida que nos aproximamos a la frontera del abierto.
Fueron introducidos por H. Whitney (1907-1989).
Son utilizados en Análisis de Fourier, por ejemplo, para obtener
extensiones con cierto grado de diferenciabilidad de funciones
de…nidas en cerrados de Rn .
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El ejemplo de R. Fe¤erman
Las desigualdades débiles
jfx 2 Rn : Mf (x ) > αgj
3n
kf k1
α
y
w (fx 2 Rn : M w f (x ) > λg)
C
k f k L 1 (w )
λ
junto con la continuidad de
M : L∞ (Rn ) ! L∞ (Rn )
y
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M w : L∞ (w ) ! L∞ (w )
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implican continuidad de los operadores
M : Lp (Rn ) ! Lp (Rn )
y
M w : Lp (w ) ! Lp (w )
para 1 < p < ∞.
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Pregunta:
¿Qué ocurre si reemplazamos bolas o cubos en la de…nición de función
maximal por conjuntos más generales como rectángulos con lados
paralelos a los ejes coordenados?
Para precisar más, consideremos la función maximal
Mµ f (x ) = sup
x 2R
1
µ (R )
Z
R
jf (y )j d µ (y )
donde el supremo se toma sobre todos los rectángulos R que contienen al
punto x y µ es cualquier medida.
Respuesta: (R. Fe¤erman)
Ya no es posible obtener resultados de continuidad en Lp (µ), 1 < p < ∞,
para cualquier medida µ.
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R. Fe¤erman establece la siguiente diferencia entre la geometría de bolas
(o cubos) y rectángulos:
En el caso de rectángulos se puede encontrar una sucesión de puntos
distintos en Rn , digamos fxk gk∞=1 y una sucesión de rectángulos
fRk gk∞=1 tal que cada rectángulo Rk contiene al origen y al punto xk ,
pero ningún otro punto xj con j 6= k.
No existe algún ejemplo para bolas (o cubos) con dicha propiedad.
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Por ejemplo (n = 2)
Elijamos sucesiones fαk gk∞=1 y f βk gk∞=1 de números positivos, la primera
estrictamente creciente, la segunda estrictamente decreciente,
Rk = [0, αk ] [0, βk ] y la correspondiente sucesión de puntos es
xk = (αk , βk ).
Ahora consideramos el operador maximal
1
M f (x ) = sup
x 2R µ ( R )
µ
donde
Z
R
jf (y )j d µ (y )
∞
dµ =
∑ δx
k
k =0
y δxk es la medida de Dirac concentrada en xk , x0 = 0.
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Si f = χR 1 entonces f 2 Lp (µ) para cualquier p.
Sin embargo, para k
2
Mµ f (xk )
1
µ (Rk )
Z
Rk
f (y ) d µ (y ) =
1
2
µ fxk gk∞=1 = ∞ y así es imposible que Mµ f 2 Lp (µ).
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Condición técnica de R. Fe¤erman sobre µ para continuidad de Mµ en
Lp (µ), 1 < p ∞:
“Pertenencia uniforme” a la clase A∞ en
cada coordenada para d µ = w (x ) dx.
Traducción:
Algo así como ser absolutamente continua con respecto a la medida de
Lebesgue unidimensional en cada coordenada, pero de manera uniforme.
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Comentarios …nales
Nunca podrá tenerse continuidad para p = 1 para cualquiera de las
funciones maximales mencionadas previamente.
Por ejemplo, en el caso de M se tiene la estimación
Mf (x )
1
C n
jx j
Z
B r (x )
jf (y )j dy
para r > 0, jx j > r y f 2 L1 (Rn ) (C constante que sólo depende de
n).
De hecho, puede probarse que Mf 2
/ L1loc (Rn ).
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Importancia del operador M en Análisis de Fourier:
F Son “controladores” de otros operadores T en el sentido
kTf k kMf k.
Por ejemplo, si el operador T es una convolución con un buen núcleo
radial:
jTf (x )j
para casi toda x 2 Rn .
CMf (x )
F La teoría de pesos Ap .
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S. Banach, Sur un théorème de M. Vitali, Fundamenta Mathematicae
5 (1937), pp. 130-136.
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