Algunas propiedades importantes de los polinomios de Hermite

ANÁLISIS DE SEÑALES Y SISTEMAS:
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Trabajo Práctico Nº : Desarrollos ortogonales
Pág.1
Desarrollos ortogonales
Como ya hemos estudiado la condición para que dos funciones distintas g(x) y f(x), sean ortogonales entre si en
un intervalo (a,b), con respecto a una función de peso w(x) es que se verifique que su producto interno sea nulo:
b
 g ( x), f ( x)   g ( x). f ( x).W ( x).dx  0
(1)
a
Además, del concepto de producto interno surge la definición de norma de una función como:
b
f
f ( x)   f ( x), f ( x)  
2
( x).W ( x).dx
(2)
a
Así, podemos afirmar que un conjunto con N (posiblemente infinito) funciones T  f n ( x)n0 , es un conjunto
ortogonal en el intervalo (a,b) respecto a la función de peso W(x) si para cualquiera, dos funciones distintas
tomadas de T se verifica (1).
Es sabido también que, puesto que T es un conjunto ortogonal de funciones ( generador de un espacio funcional ),
es posible representar una función cualquiera h(x) (que pertenezca a este espacio) como una combinación lineal
de las funciones de T, según:
n N
N
h ( x )   an . f n ( x )
n 0
(3)
Denominamos a ésta, “Serie generalizada de Fourier”
Donde los coeficientes an se calculan a través de:
b
an 
 h( x), f ( x) 
f ( x)
2

 h( x). f
n
( x).W ( x).dx
a
b
f
2
( x).W ( x).dx
(4)
a
Como puede apreciarse, todos los conceptos citados anteriormente son de carácter general en lo que respecta al
tipo de funciones que pueden utilizarse para formar T ( solo se requiere que satisfagan (1)).
Sin embargo cada tipo de función que se utiliza para conformar T determina un espacio funcional distinto, o
dicho de otra manera en (3), las f n (x) elegidas determinan las posibles h(x) que podrán obtenerse, así como el
error que se obtendrá en caso de una aproximación. Esto se debe simplemente a que h(x) debe pertenecer al
espacio generado por la base T  f n ( x)n0 para poder ser escrita como una combinación lineal de las f n (x) que
la conforman.
Si por ejemplo elegimos un conjunto infinito de exponenciales complejos relacionados armónicamente para
n N
formar: T  e jnwt ( x)n 0 Obtenemos la llamada Serie de Fourier, mediante la cual podemos desarrollar señales
n 
periódicas de energía finita en un periodo. Si en cambio elegimos como conjunto generador a T  Pn ( x)n0
donde Pn (x) es un Polinomio de Legendre de grado n ( Serie de Legendre), podremos utilizarlo en el desarrollo de
funciones seccionalmente continuas solo en el intervalo (-1,1).
n
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De la misma manera podemos hallar desarrollos basados en funciones de Bessel, Polinomios de Tchebishev,
Polinomios de Hermite, Polinomios de Laguerre, etc...
El objetivo de este practico es esencialmente que el alumno visualice la amplitud del concepto “Desarrollo
Ortogonal”, mediante una pequeña introducción a algunas de las variantes citadas anteriormente. En particular:
Serie de Legendre
Serie de Chebyshev
Serie de Hermite
Serie de Fourier
De estas la que más trataremos como sé verá es la Serie de Fourier, de amplia aplicación en ingeniería, debido a
que posibilita el desarrollo de fenómenos periódicos.
POLINOMIOS DE LEGENDRE
En diversos problemas físicos (gravitación, electroestática, etc.) nos encontramos con fuerzas que dependen del
inverso de la distancia entre dos cuerpos. Los polinomios de Legendre aparecen naturalmente en el problema
geométrico de determinar esta distancia inversa, lo cual los vincula con numerosas situaciones de interés físico.
Función generatriz:
A
r0
d

O
r
B
Consideremos dos segmentos (r0 y r) que unen un punto O con dos puntos A y B. Por el teorema del coseno la
distancia d esta dada por:
Si definimos:
d=
r 2  r02  2rr0 cos
x = cos 
si r > r0 y hacemos s 
,
1  x  1
r0
 1 , se tiene
r
1 1
1

d r 1  s 2  2sx
si por el contrario r0 > r y hacemos s 
r
 1 , se tiene
r0
1 1
1

d r0 1  s 2  2sx
En ambos casos la segunda fracción es la misma y resulta ser precisamente la función generatriz de los
polinomios de Legendre. Pues de su desarrollo en s, por serie de Taylor con centro en cero se obtiene:
 ( x, s) 
1
1  s 2  2sx

  Pn ( x)s n
n 0
(5)
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donde Pn (x) es un polinomio de Legendre de grado n.
Observemos que si expandimos  ( x, s ) por serie de Taylor ahora en el argumento m = (s 2  2sx) y centro cero,
obtenemos:
 (m) 

1
1 m

n 0
 (m) n
1
3
m n  1  m  m 2  ...
m!
2
8
Volviendo a las variables originales.
 ( x, s) 
1
1
3
 1  ( s 2  2sx)  ( s 2  2sx) 2  ...
2
8
1  s 2  2sx

1
 1  xs  (3x 2  1) s 2  ...   Pn ( x) s n
2
n 0
Lo cual nos permite encontrar expresiones explicitas para los polinomios de Legendre
P0 ( x)  1
P1 ( x)  x
1
P2 ( x)  (3 x 2  1)
2
1
P3 ( x)  (5 x 3  3x)
2
…
Grafica de algunos polinomios de Legendre
Algunas propiedades importantes de los polinomios de Legendre

Puntos característicos:
Pero
En (5), si hacemos x = 1:

1
1
 (1, s) 

  Pn ( x) s n
1  s 2  2s 1  s n 0

1
  s n , pues s < 1 (Serie geométrica )
1  s n 0
Comparando los coeficientes de s en ambas sumatorias se concluye que:
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Pn (1)  1 n  
(6)
Análogamente:
 (1, s) 
1
1  s 2  2s


1
  (1) n s n
1  s n 0
Ósea que:
Pn (1)  (1) n n  

Formula de Rodríguez: Del desarrollo por serie de Taylor de la función generatriz es posible llegar a una
muy útil expresión en el tratamiento de Polinomios ortogonales, a saber la Formula de Rodríguez. Para
el caso de los polinomios de Legendre, la relación es:
Pn ( x) 

(7)
Ceros:
1 dn
( x  1) n
2 n n! dxn
(8)
Pn (x) posee n ceros simples en el intervalo (-1,1)
Sea u( x)  ( x 2  1) n . Entonces u (x)
Luego:
u (x)
u (x )
u (x)
(9)
posee ceros de multiplicidad n en x = 1 y x = -1.
se anula una vez en (-1,1)
se anula dos veces en (-1,1)
se anula tres veces en (-1,1)
.
.
.
u ( n ) ( x) se anula n veces en (-1,1)
Y por la formula de Rodríguez se ve que si u ( n ) ( x) se anula, entonces Pn (x) también.

Paridad :
Pn (x) es par si n es par
(10)
Pn (x) es impar si n es impar
(11)
Pn ( x)  1 n   y x  (1,1)
(12)

Cota:

Relación de recurrencia:

(2n  1) Pn ( x)  Pn1 ( x)  Pn1 ( x)
(13)
(2n  1).x.Pn ( x)  (n  1) Pn1 ( x)  n.Pn1 ( x)
(14)
Resultado de utilidad:
Puede demostrarse fácilmente utilizando la relación dada en (13) que,
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
1  n  0
1

0 Pn ( x).dx  0  n es par
 P (0)
 n 1
 n es impar
 n 1
(15)
Relación de Ortogonalidad:
Basándonos en las propiedades (9), (10), (11) y (12), podemos inferir que el intervalo de la variable independiente
donde se cumple la ortogonalidad será (-1,1). Si además tomamos W(x) = 1,vemos que los polinomios de
Legendre cumplen con (1) según:
1
 Pn ( x), Pm ( x)   Pn ( x).Pm ( x).dx  0
para n  m
(16)
( x).dx
(17)
1
Análogamente la norma según (2) es:
1
P
Pn ( x)   Pn ( x), Pn ( x)  
2
n
1
La cual resulta:
Pn ( x)
2

2
2n  1
(18)
Serie de Legendre:
n
Siendo los polinomios de Legendre ortogonales en (-1,1), puede formarse una base ortogonal T  Pn ( x)n0 y
utilizar dicha base para representar una función arbitraria f (x) en (-1,1). Así es posible rescribir (3) para formar
la “Serie de Legendre – Fourier” como:

f ( x)   a n .Pn
(19)
n 0
Siempre que la suma converja uniformemente y sea igual a f (x) . En los puntos donde f (x) no es continua la
(19) converge a
f ( x )  f ( x )
, el valor promedio de la función en ese punto.
2
Donde según (4) y (18) los an valen:
1
an 
 P( x), f ( x) 
P( x)
2
 f ( x).P ( x).dx
n

1
2
2n  1
1
1
 (n  ).  f ( x).Pn ( x).dx
2 1
(20)
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POLINOMIOS DE CHEBYSHEV
Otra familia de polinomios ortogonales, también de amplia aplicación, es la conocida como los polinomios de
Chebyshev. Existen dos clases de polinomios, la primera Tn (x) y la segunda Un (x) , de las cuales la más
importante y la que veremos en nuestro caso es la primera clase.
Función generatriz:
Las funciones generatrices de las dos clases de polinomios son:

1  tx

Tn ( x)t n , para -1<x<1 y t  1 ; Primera clase

2
1  2tx  t
n 0
(21)

1

U n ( x)t n

2
1  2tx  t
n 0
(22)
; Segunda clase
Análogamente a lo desarrollado con los polinomios de Legendre, es posible obtener de (21) expresiones explicitas
de los polinomios de Chebyshev de primera y segunda clase, siendo los de primera clase:
T0 ( x )  1
T1 ( x )  x
T2 ( x )  2 x 2  1
T3 ( x )  4 x 3  3 x
...
Grafica de algunos polinomios de Chebyshev
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
Puntos característicos:
En (21), si hacemos x = 1:
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
T ( x)t
n 0
n
n
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
1 t
1 t
1


2
2
1  2t  t
(1  t )
(1  t )

Pero
1
  t n , pues t < 1 (Serie geométrica )
1  t n 0
De donde se concluye que:
Tn (1)  1 n  
(23)
0  si n es par
Tn (0)   n/2
(-1)  si n es impar

Formula de Rodríguez: Para el caso de los polinomios de Chebyshev de primera clase, la relación de
Rodríguez es:
 (1  x 2 )
1
n 
dn 
2
Tn ( x) 
(1  x ) 2 
1 dx n 
n

(2) (n  )
2


Paridad :
Cota:
(24)
Tn ( x) es par si n es par
(25)
Tn ( x) es impar si n es impar
(26)
Tn ( x)  1 n   y x  (1,1)
(27)
Relación de Ortogonalidad:
Nuevamente, vemos que por (23) y (27), el intervalo donde se cumple la ortogonalidad es (-1,1). Si además
1
tomamos W(x) =
, vemos que los polinomios de Chebyshev cumplen con (1) y (2) según:
(1  x2 )
0, m  n
1
1 T ( x )T ( x )
n
 Tn ( x), Tm ( x)   m
dx    , m  n (n  0)
1
2
(1  x 2 )
 , m  n  0

(28)
Serie de Chebyshev:
n 
Puesto que los polinomios de Chebyshev son ortogonales en (-1,1), mediante la base M  Tn ( x )n 0 es posible
representar una función arbitraria seccionalemente continua f (x) en (-1,1) según (3) como:

f ( x)   an .Tn
n 0
Siempre que la suma converja uniformemente y sea igual a f (x) .
(29)
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La que llamaremos “Serie de Chebyshev-Fourier”. En los puntos donde f (x) no es continua la (29) converge a
f ( x )  f ( x )
, el valor promedio de la función en ese punto.
2
Donde según (4) y (28) los an valen:
1
an 
 T ( x), f ( x) 
T ( x)
2


1
 2 1 f ( x).Tn ( x)
.dx  n  0
.dx  
2
2

(1

x
)
(1  x )
 1
 1
2
T ( x)
 1 f ( x).Tn ( x) .dx  n  0
  (1  x 2 )
 1
f ( x).Tn ( x)
(30)
POLINOMIOS DE HERMITE
De una manera análoga a los casos anteriores, surge un tercer conjunto de polinomios que podrá ser utilizado para
el desarrollo ortogonal de funciones en el intervalo (, ) . Estos son los denominados polinomios de Hermite y
encuentran amplio uso en distintas ramas de la ciencia como Física cuántica, Química, Criptografía,
Probabilidad, etc.
Función generatriz:
La función generatriz de esta clase de polinomios es:

Hn
( x)t n
n 0 n !
e2tx  x  
2
Desarrollando (31) encontramos.
H 0 ( x)  1
H1 ( x )  2 x
H 2 ( x)  4 x 2  2
H 3 ( x)  8 x3  12 x
...
(31)
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Grafica de algunos polinomios de Hermite.
Algunas propiedades importantes de los polinomios de Hermite

Relación de recurrencia: H n 1 ( x)  2 xH n ( x)  2nH n 1 ( x),

Formula de Rodríguez: Para el caso de los polinomios de Hermite queda:
H n ( x)  (1) n e x


Paridad :
Cota:
2
n 1
d n   x2 
e

dx n 
(32)
(33)
H n ( x) es par si n es par
(34)
H n ( x) es impar si n es impar
(35)
H n ( x)  2n e x n ! ; x  (1,1)
(38)
2
Relación de Ortogonalidad:
Para esta clase de polinomios la ortogonalidad se cumple en (, ) y respecto a la función de peso
W(x) = e x , luego (1) y (2) quedan :
2
0, m  n

2
 H n ( x), H m ( x)   H m ( x) H n ( x)e x dx   n

2 n!  , m  n
(37)
Serie de Hermite:
Así el conjunto ortogonal E   H n ( x )n 0 puede ser utilizado para desarrollar una función seccionalmente
n 
continua f (x) en (, ) según (3) como:

f ( x)   an .H n
n 0
(38)
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La que se llama “Serie de Hermite-Fourier”,
f ( x )  f ( x )
, el valor promedio de la función.
2
En los puntos donde f (x) no es continua (40) converge a
Según lo establecido en (4) los an pueden calcularse mediante:
an 
 H ( x), f ( x) 
H ( x)
2




f ( x) H n ( x)e x dx
2
2n n ! 

1
n
2 n! 



f ( x) H n ( x)e x dx
2
( 39)
Ejercicios
Ejercicio Nº 1:
Hallar el desarrollo por serie de Legendre - Fourier de la función f ( x )   x  1 ( Fig. ) en el intervalo
{-1,1}.
f x
1
0.8
0.6
0.4
0.2
1
0.5
0.5
1
x

Rescribimos la expresión general de la serie de Legendre según (19):
f ( x)   x  1   an .Pn
n 0
Donde los an según (20) valen:
1
1
an  (n  ). ( x  1).Pn ( x).dx
2 1
Para n = 0 :
1
a0 
1
1
1
1
( x  1).P0 ( x).dx   ( x  1).dx 

2 1
2 1
2
Para n impar: Puesto que f (x) es par y Pn (x) es impar (11), su producto es impar y por tanto la integral nula.
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1
1
an  (n  )  ( x  1).Pn ( x).dx  0
2 1
1
Para n par:
1
1
1
1
1
1
1
an  (n  )  ( x  1).Pn ( x).dx  (n  )  x Pn ( x).dx  (n  )  Pn ( x).dx  (n  ).2. xPn ( x).dx
2 1
2 1
2 1
2 0
1
Pues
 P ( x).dx  0 sí n  0 , puede verse en (16) teniendo en cuenta que P ( x)  1.
0
n
1
Luego utilizando la relación dada en (14), (2n  1).x.Pn ( x)  (n  1) Pn1 ( x)  n.Pn1 ( x) podemos escribir.
1
1
1


a n  (2n  1)  xPn ( x).dx   (n  1)  Pn 1 ( x).dx  n  Pn 1 ( x).dx
0
0
0


Utilizando el resultado dado en (15) se llega a:
an  
nP (0)
(n  1)
(n  1)
Pn (0)  n2
  Pn2 (0) 
Pn (0)
(n  2)
n
(n  2)
Así concluimos en que el desarrollo por serie de Legendre de f ( x )   x  1 es:

f ( x)   x  1   an .Pn
n 0
Donde los an valen:
1
2  n  0

(n  1)

a n   Pn  2 (0) 
Pn (0)  n _ par
( n  2)

0  n _ im par


Los primeros 5 términos son:
5
f ( x)  SL   an .Pn 
n 0
1 5  1 3 2  3  3 15 2 35 4 
   x     x 
x 
2 8  2 2  16  8 4
8

Ejercicio Nº 2:
Desarrollar la función del ejercicio anterior, utilizando la serie de Chebyshev –Fourier.

Rescribimos la expresión general de la serie de Chebyshev según (31):
f ( x)   x  1   an .Tn
n 0
Donde los an según (32) valen:
an 
2

1

1
f ( x).Tn ( x)
(1  x 2 )
.dx
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Para n = 0 :
1
2
a0 
f ( x).T0 ( x)


1
(1  x 2 )
.dx 
2

1

1
f ( x)
(1  x 2 )
.dx 
1
1

x
2
1
.
dx

.
dx



2
 1 (1  x 2 )
  1 (1  x 2 )

1 (1  x )
1
1
 2
2
x
1
  2
.dx  
.dx   (2   ) 
2
  0 (1  x 2 )
 
1 (1  x )
4
 2

( x  1)
1
2
.dx 

Para n impar: Puesto que f (x) es par, Tn ( x) es impar (26) y W(x) es par, el integrando resultante es una
función impar, y por tanto la integral es nula.
an 
2

1

( x  1).Tn ( x)
(1  x 2 )
1
.dx  0
Para n par:
an 

1
Pues

1
Tn ( x)
(1  x 2 )
2

1

( x  1).Tn ( x)
(1  x 2 )
1
.dx 
1
1

T ( x)
2   x Tn ( x)
.dx   n
.dx  

2
  1 (1  x 2 )

1 (1  x )
1
1

2   x Tn ( x)  4  xTn ( x)
.dx  
.dx 


  1 (1  x 2 )    0 (1  x 2 ) 
.dx  0 sí n  0 , puede verse en (30) teniendo en cuenta que T0 ( x)  1 .
1

4  xTn ( x)
an 
.dx   (queda resolver)

  0 (1  x 2 ) 
Los primeros 5 términos son:
5
f ( x)  SCh   an .Tn 
2
4
1
2 x2
8 x2
4 1
3
n 0
8 x4
15
Ejercicio Nº 3:
Desarrollar la función del ejercicio 1, utilizando la serie de Hermite –Fourier.

Rescribimos la expresión general de la serie de Hermite-Fourier según (38):
f ( x)   x  1   an .H n
n 0
Donde como vimos los an valen (39):
an 
1
2 n! 
n



(  x   1) H n ( x)e x dx
2
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Trabajo Práctico Nº : Desarrollos ortogonales
Pág.13
Para n = 0 :
a0 

1
0
2 0! 



(  x   1)e x dx 
2

1  
 x2
 x2

x
e
dx

e
dx 








 

2
1 
1 
1
1

2 xe x    
2( )    
1


2
  0
 


Para n impar: Puesto que f (x) es par, H n ( x) es impar (35) y W(x) es par, él integrando resultante es una
función impar, y por tanto la integral es nula.
an 
1
n
2 n! 



(  x   1) H n ( x)e  x dx  0
2
Para n par:

2
1
1
    x  H ( x)e  x2 dx   H ( x)e  x2 dx 
(  x   1).H n ( x).e x dx  n
n

 n

2 n !  
2 n !   

1
 x2
 2  xH ( x)e x2  0   2
 n
xH
(
x
)
e
n
n


 2n n !  0
2 n !   0
an 

Pues

an 
2
n
2 n! 

n
H n ( x)e x dx  0 sí n  0 , puede verse en (37) teniendo en cuenta que H0 ( x)  1 .
2


0
xH n ( x)e x  (queda resolver)
2
Los primeros 5 términos son:
5
f ( x)  SH   an .H n 
n 0
1
2
4
4 x2
12
48 x2
16 x4
96
En la grafica siguiente puede verse f (x) y las distintas aproximaciones logradas mediante las series desarrolladas
en los ejercicios anteriores. Nótese la bondad de la aproximación con la evaluación de tan solo 5 términos de cada
serie, así como la diferencia en los errores de cada una. ( Error = f(x)-Serie truncada )
Nótese además que, como se estableció en su definición, la serie de Hermite permite aproximar la función en el
intervalo (, ) , por otro lado las series de Legendre y Chebyshev solo aproximan a la función en el intervalo
(-1,1).
Esto ejemplifica como cada base ortogonal elegida posee un intervalo de aplicación y función de peso
característicos que determinan el/los tipos de funciones que podrán desarrollarse, así como el máximo error que se
cometerá en caso de una aproximación.
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f x ;SL x ;SCh x ;SH x
1
0.5
t
1.5
1
0.5
0.5
1
1.5
0.5
Función en Azul; Serie de Legendre en Rojo; Serie de Chebyshev en Verde; Serie de Hermite en Negro
Si ahora tomamos los primeros 20 términos, algo que puede realizarse fácilmente con un programa
computacional, vemos la considerable mejora en la aproximación.
f x ;SL x ;SCh x ;SH x
1
0.8
0.6
0.4
0.2
t
1
0.5
0.5
1
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f x ;SL x ;SCh x ;SH x
2
1.5
1
0.5
t
1
0.5
0.5
1
Las series de Legendre y Chebyshev están superpuestas debido a la pequeñez de su diferencia