ACTIVIDAD 4: IC y Contraste de Hipótesis (1 y 2 poblac.)

Actividad 4: IC y Contraste de Hipótesis (1 y 2 poblac.)
ACTIVIDAD 4: IC y Contraste de Hipótesis (1 y 2 poblac.)
CASO 4-1: LÁMINAS DE ALUMINIO____________________________________
Sabemos que una determinada máquina produce láminas de aluminio cuya longitud sigue
una distribución aproximadamente normal, cuya media debería ser de 40 cm y cuya
desviación típica es de 0,4 cm.
A fin de comprobar si la máquina funciona correctamente, el operario encargado de la
misma toma, de forma periódica, muestras compuestas por 5 láminas cada una. La última de
dichas muestras ha proporcionado los siguientes datos en cuanto a longitudes (en cm.) de
las láminas:
40,1
39,2
39,4
39,8
39,0
La media de esta muestra es de 39,5 cm., valor que difiere de la media ideal. ¿Es esta
diferencia estadísticamente significativa?, es decir: ¿se debe esta diferencia a fluctuaciones
aleatorias o por el contrario debemos concluir que la máquina está funcionando mal?
1.
Realizar un contraste de hipótesis para un nivel de significación α = 0,05.
Tomaremos como hipótesis nula H0 : µ = 40 , y como hipótesis alternativa H1 : µ ≠ 40
Colocamos los datos anteriores en C1 y seleccionamos Stat > Basic Statistics > 1Sample Z :
Z-Test
Test of mu = 40,000 vs mu not = 40,000
The assumed sigma = 0,400
Variable
C1
N
5
Mean
39,500
StDev
0,447
SE Mean
0,179
Z
-2,80
P
0,0053
A4 - 1
Estadística Aplicada con Minitab
Como el p-valor obtenido es de 0,0053 < 0,5 concluiremos que hay indicios suficientes como para
pensar que la máquina no está funcionando correctamente.
2.
Realizar un contraste similar suponiendo ahora que desconocemos σ.
En este caso deberemos seleccionar Stat > Basic Statistics > 1-Sample t :
T-Test of the Mean
Test of mu = 40,000 vs mu not = 40,000
Variable
C1
N
5
Mean
39,500
StDev
0,447
SE Mean
0,200
T
-2,50
P
0,067
Observar que ahora p-valor = 0,067 > 0,05 . Por tanto, en caso de desconocer la desviación estándar
deberíamos quedarnos con la hipótesis nula de que la media poblacional es de 40 pues no tenemos
indicios suficientes como para rechazarla.
A4 - 2
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CASO 4-2: ZAPATOS PARA CHICOS___________________________________
Una empresa productora de zapatos para chicos quiere comparar dos materiales, A y B, que
se usan en la elaboración de las suelas. Para ello, selecciona 10 chicos y les entrega un par
de zapatos, uno elaborado con suela tipo A y el otro con suela tipo B. Pasado un mes, se
recogen los zapatos y se mide el nivel de desgaste de cada uno de ellos, obteniendo los
siguientes resultados (a mayor número, mayor desgaste):
Chico
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1.
Material A
13,2
8,2
10,9
14,3
10,7
6,6
9,5
10,8
8,8
13,3
Material B
14,0
8,8
11,2
14,2
11,8
6,4
9,8
11,3
9,3
13,6
Estudiar mediante un gráfico Plot la variabilidad existente entre los diferentes chicos
(variabilidad entre muestras), comparándola con la variabilidad existente, para cada
chico, entre los dos materiales (variabilidad dentro de cada muestra).
Seleccionamos Graphs > Plot :
Para visualizar mejor el gráfico, pulsaremos sobre Edit Attributes :
A4 - 3
Estadística Aplicada con Minitab
Ahora, para superponer ambos gráficos, pulsamos sobre Frame > Múltiple Graphs :
El resultado será algo similar al siguiente:
GRÁFICO DE DESGASTE VS CHICO
SEGÚN MATERIAL
material A
material B
15
Desgaste de Materiales
14
13
12
11
10
9
8
7
6
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Chicos
El gráfico nos muestra una gran diferencia entre el desgaste entre chico y chico. Así, p.e., el chico 6
desgastó mucho menos las suelas que el chico 4. Por otra parte, para cada uno de los chicos, la diferencia
entre los dos materiales no es demasiado grande. En resumen: observamos una gran variabilidad entre
las diferentes muestras, mientras que la variabilidad dentro de cada muestra no parece muy significativa.
Observar también lo siguiente: en 6 de los 10 casos los materiales A están por encima de los B mientras
que en los 4 restantes están los dos muy juntos.
A4 - 4
Actividad 4: IC y Contraste de Hipótesis (1 y 2 poblac.)
2.
Construir una nueva columna con las diferencias entre C3 y C2. Hallar el intervalo de
confianza a nivel del 95% para la media de dichas diferencias.
Seleccionamos Calc > Calculator :
Observar que con ello generamos una nueva columna formada por las diferencias entre las dos
anteriores:
Seleccionamos Stat > Basic Statistics > 1-Sample t :
A4 - 5
Estadística Aplicada con Minitab
T Confidence Intervals
Variable
C4
N
10
Mean
0,410
StDev
0,387
SE Mean
0,122
(
95,0 % CI
0,133;
0,687)
Podemos interpretar el resultado obtenido como: “estamos 95% seguros de que la diferencia media entre
ambos materiales es un valor comprendido entre 0,133 y 0,687”.
Observar que hubiéramos podido obtener este mismo intervalo sin necesidad de generar la columna C4:
Seleccionamos Stat > Basic Statistics > Paired t :
Paired T-Test and Confidence Interval
Paired T for Material B - Material A
Material
Material
Difference
N
10
10
10
Mean
11,040
10,630
0,410
StDev
2,518
2,451
0,387
SE Mean
0,796
0,775
0,122
95% CI for mean difference: (0,133; 0,687)
T-Test of mean difference = 0 (vs not = 0): T-Value = 3,35
0,009
P-Value =
A4 - 6
Actividad 4: IC y Contraste de Hipótesis (1 y 2 poblac.)
3.
Realizar un contraste de hipótesis, a un nivel de significación α = 0,05, para determinar
si las dos medias muestrales son significativamente diferentes.
El segundo método utilizado en el apartado 2 para hallar un intervalo de confianza también nos ha
proporcionado el p-valor asociado al siguiente contraste de hipótesis bilateral para un nivel de
significación α = 0,05:
H0 : µA = µB vs. H1 : µA ≠ µB
Dicho p-valor era de 0,009.
Otra forma de obtener dicho p-valor sería plantearnos el contraste equivalente:
H0 : µB-A = µB – µA = 0 vs. H1 : µB-A = µB - µA ≠ 0
Seleccionamos Stat > Basic Statistics > 1-Sample t :
El resultado será:
T-Test of the Mean
Test of mu = 0,000 vs mu not = 0,000
Variable
C4
N
10
Mean
0,410
StDev
0,387
SE Mean
0,122
T
3,35
P
0,0085
Observar que, nuevamente, el p-valor obtenido es de 0,009. Como dicho p-valor es menor que 0,05, hay
indicios suficientes como para rechazar la hipótesis nula, i.e.: todo parece indicar que las dos medias son
significativamente diferentes, lo que significa que los datos parecen apuntar a que material A es más
resistente que el B.
A4 - 7
Estadística Aplicada con Minitab
CASO 4-3: ENFERMEDAD DE PARKINSON_____________________________
La enfermedad de Parkinson afecta, entre otras cosas, a la capacidad de hablar. Se realizó
un estudio con enfermos de Parkinson en el cual ocho de los enfermos que participaron en
el mismo recibieron el tratamiento médico habitual en estos casos. Este tratamiento pareció
mejorar las condiciones generales de los pacientes, pero nos preguntamos sobre cómo
afectó a su capacidad de hablar. A fin de dar un poco de luz sobre este tema, se les realizó
un test de habla a los pacientes. Los resultados de dicho test se muestran a continuación (a
mayor puntuación, mayores dificultades en el habla):
Tratamiento
2,6
2,0
1,7
2,7
2,5
2,6
2,5
3,0
1.
No tratamiento
1,2
1,8
1,8
2,3
1,3
3,0
2,2
1,3
1,5
1,6
1,3
1,5
2,7
2,0
Hallar el intervalo de confianza a nivel del 95% para la diferencia entre ambas medias
muestrales. Contrastar, para α = 0,05, la hipótesis de que ambas medias coinciden.
Seleccionamos Stat > Basic Statistics > 2-Samples t :
A4 - 8
Actividad 4: IC y Contraste de Hipótesis (1 y 2 poblac.)
Two Sample T-Test and Confidence Interval
Two sample T for Tratamiento vs No tratamiento
Tratamie
No trata
N
8
14
Mean
2,450
1,821
StDev
0,411
0,556
SE Mean
0,15
0,15
95% CI for mu Tratamie - mu No trata: ( 0,19; 1,07)
T-Test mu Tratamie = mu No trata (vs not =): T = 3,02
18
P = 0,0073
DF =
Obtenemos que, para un nivel de confianza del 95%, la diferencia entre ambas medias muestrales estará
comprendida entre 0,19 y 1,07 (observar que este intervalo no contiene al 0, por lo que ya podemos
deducir el que, para un α = 1 – 0,95 = 0,05, rechazaremos la hipótesis nula de que ambas medias son
iguales). En cuanto al p-valor, éste es 0,0073 < 0,05 por lo que rechazaremos la hipótesis nula, i.e., hay
indicios suficientes como para pensar que ambas medias difieren.
2.
Contrastar, para α = 0,01, la hipótesis de que ambas medias coinciden frente a la
hipótesis alternativa de que la media de los pacientes tratados es mayor.
Seleccionamos Stat > Basic Statistics > 2-Samples t :
Two Sample T-Test and Confidence Interval
Two sample T for Tratamiento vs No tratamiento
Tratamie
No trata
N
8
14
Mean
2,450
1,821
StDev
0,411
0,556
SE Mean
0,15
0,15
99% CI for mu Tratamie - mu No trata: ( 0,03; 1,23)
T-Test mu Tratamie = mu No trata (vs >): T = 3,02 P = 0,0036
DF = 18
Observar que el p-valor obtenido es de 0,0036 < 0,01 por lo que, para este nivel de significación,
rechazaremos la hipótesis nula de que ambas medias son iguales a favor de la hipótesis alternativa de
que la media de los que han recibido tratamiento médico es mayor que la de los que no. En definitiva,
parece pues que el tratamiento recibido tiene efectos negativos sobre la capacidad del habla.
A4 - 9