MATEMÁTICA I - GUIA Nº 7

3RO DE SECUNDARIA
MATEMÁTICA I - GUIA Nº 7
NOMBRE Y APELLIDOS:.............................................................................
TEMA: FRACCIONES
FECHA: 07/ 08 / 12
CONCEPTO:
Se denomina fracción a una o varias partes que
se toma de la unidad dividida.
FRACCIONES ORDINARIAS:
Son aquellas cuyo denominador es diferente a
una potencia de 10:
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
en general:
5  Numerador
6  Denominador
FRACCIÓN PROPIA: Si el numerador es menor
que el denominador.
Ejemplos:
7 9 18
a
; ; . En general:
>1 a > b
3 5 7
b
7 4 15 17
; ; ;
8 9 26 23
Nota: Toda fracción impropia origina una fracción
mixta.
7
1
2 ;
3
3
FRACCIONES REDUCTIBLES:
Son aquellas cuyos términos (numerador y
denominador) no son primos entre sí o sea tienen
divisores comunes (se pueden simplificar).
9
4
1
5
5
FRACCIONES HOMOGÉNEAS:
Dos o más fracciones son homogéneas si
presentan el mismo denominador:
Ejemplos:
Ejemplos:
8 3 11
; ;
....
7 7 7
en general
9 21 4 10
; ; ;
12 49 8 100
FRACCIONES EQUIVALENTES:
Una fracción es equivalente a otra cuando tiene el
mismo valor, pero sus términos son diferentes.
FRACCIONES HETEROGÉNEAS:
Dos o más fracciones son heterogéneas si
presentan denominadores diferentes.
Ejemplos:
3 7
11
;
;
10 100 10000
FRACCIONES IRREDUCTIBLES:
Son aquellos cuyos términos (numerador y
denominador) son números primos entre si o sea
no tienen divisores comunes. (lo que queremos
decir son fracciones que no se pueden
simplificar).
4 5 21
a
; ;
; etc. en general:
<1 a < b
5 9 49
b
FRACCIÓN IMPROPIA: Si el numerador es
mayor que el denominador.
Ejm:
a
; b  10 n ; n  N
b
FRACCIONES DECIMALES
Son aquellas cuyo denominador es una potencia
de 10:
CLASES DE FRACCIONES
Ejm:
7 5 7
; ;
9 4 6
Ejemplos:
Todo <> UNIDAD
1
6
BIMESTRE III
Ejemplos:
5 8 10 12
; ; ;
8 9 11 13
3 6

5 10
4 12 5 10

: 
9 27 7 14
a
en general
es equivalente
b
a c e
; ; ;bdf
b d f
1
ak
; k  Z
bk
1º
PROPIEDADES DE LAS FRACCIONES
OPERACIONES CON FRACCIONES
Propiedad: Si dos fracciones tienen igual
denominador, es mayor que el que tiene
mayor numerador.
Realiza las siguientes operaciones:
11 7

Ejm:
4 4
2º
Propiedad: Si dos fracciones tienen igual
numerador, es mayor el que tiene menor
denominador:
Ejm:
3º
7
7

12 15
Propiedad: Si a los términos de una fracción
propia se le suma o se le resta un mismo
número, la fracción aumenta o disminuye
respectivamente.
Ejm:
6
6  5 11
11 6




11
11  5 16
16 11
6
62 4
4 6

  
11
11  2 9
9 11
4º
Propiedad: Si a los términos de una fracción
impropia, se le suma o se le resta un mismo
número la fracción disminuye o aumenta
respectivamente.
1.
3 1
 
5 3
(a )
(b ) 4
1 3 2
  
2 8 3
13 2 1
  
4
5 3
(c )
( d) 4
(e)
2 7
 
5 4
1 5 3
  
2 3 4
(f )
4 2
x 
15 7
( g)
7 4
4
x x1 
2 3
9
(h )
6
6
 
20 5
Propiedad: Si el numerador de una fracción
se le multiplica o divide por un número sin
variar el denominador, la fracción queda
multiplicada o dividida por dicho número,
respectivamente.
(i) 4
2
6
2 
3
5
6º
Propiedad, Si al denominador de una
fracción se le multiplica o divide por un
número sin variar el numerador, entonces la
fracción queda dividida o multiplicada por
dicho número, respectivamente.
4
( j) 5 
8
7
7º
Propiedad: Si se multiplica o divide por un
mismo número los dos términos de una
fracción, no se altera el valor de la fracción.
Ejm:
11
11  3 14
14 11




6
63
9
9
6
11
11  3 8
8 11

  
6
63 3
3 6
5º
Pag. 2
12
(k ) 25 
8
2.
3.
4.
1 5 1 1 1
 +  
3 4 2 3 5
Operar:
Calcular los
3
3
2
de las
de los
de 72
4
7
9
1 1 2
 
3
6 5
Operar:
1 3

8 8
4
5
0,8
CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS
DECIMALES
EXACTOS O LIMITADOS
Cuando el número de la parte decimal tiene cifras
limitadas
0,75 =
75
3
=
100 4
0,8 =
8
4

10 5
5. Simplifica la siguiente expresión:
1 2 3 1
  
3
3 4 4
E
8 4 2 3
  
15 15 5 5
6. Simplificar:

1 


1 

=
INEXACTOS O ILIMITADOS
Cuando el número de la parte decimal tiene cifras
ilimitadas.
a) Periódicos puros
1   1   1   1
 1   1   1  
2   3  4   5 2

1   1   1   1 5
 1   1   1  
2   3  4   5
1
1
1
1



8. Simplificar: H  2  3 3  4 4  5 5  6
1
1
1
1



6  7 7  8 8  9 9 10
0,aaa ......................... = 0, a =
a
9
0, abab ...................... =0, ab =
ab
99
0,555 ......................... =
0,2727 ....................... =
b) Periódicos mixtos
Operar:
1
H  3
0, abbb............ = 0,a b =
1
6
ab  a
90
1
6
6
1
6  
0, abcbc .................... = 0, abc =
abc  a
990
0,24111 ..................... =
NÚMERO DECIMAL:
0.7333 ....................... =
Es la representación de una fracción en su forma
lineal, la cual contiene dos partes, una parte
entera y una parte decimal.
Ejemplos :
15
=
26
0,576923
0,9111 ....................... =
0,0111 ....................... =
a, bccc ...................... = a, b c = a+0, bc
2,4666 ....................... =
27
18
Pag. 3
=
2,076923
11,3222 ..................... =
Ejm 1 :
Simplificar:
E
ii) ¿Qué parte del número de hombres
número de mujeres?
0,666...  0,5  0,833...
2 3 10
 
5 5 9
0, 084  0, 0625  0, 05
0, 0125  0, 025  0, 42
FRACCIÓN DE FRACCIÓN
Se denomina así a las partes que se consideran
de una fracción que se ha dividido en partes
iguales. Así por ejemplo:
fracción
el
P 50 5


T 30 3
Ejm 2:
Reducir y calcular el valor numérico de “H” en:
H
es
1
1
de
indica que la
9
4
1
se ha dividido en 9 partes iguales, de
4
los que se ha tomado 1

1/4
1 de 1
9
4
Ejm. 3
3
3
2
Calcular los
de las
de los
de 72
4
7
9
iii) ¿Qué parte es el número de personas que
bailan respecto al número de personas que no
bailan?
P 30 3


T 50 5
*
Análisis de cuanto se saca (pierde) o
agrega (gana) de una cantidad:
Se saca o
pierde
Sus:
Queda
Agrego o
gano
Resulta
3
4

1
4
1
2

3
2
2
5

3
5
8
9

17
9
4
15

11
15
3
7

10
7
Ejm: 5
Una persona tenía S/. 240 pierde y gana
alternadamente en cinco juegos de azar: 1/3; 3/4;
2/7; 3/5; 7/8 ¿Cuánto dinero le quedó finalmente?
Solución
3 3 2
3x3x 2x 72 9x8 36
1
x x x 72 


5
4 7 9
4x 7 x9
2x 7
7
7
Fracción como Relación "Parte - Todo"
f=
Parte
Todo
 es; son
 de; del
Ejm. 4:
En una reunión asistieron 80 personas donde 30
eran varones en determinado momento 15
parejas están bailando.
i) ¿Qué parte de los reunidos son mujeres?
P Mujeres 50 5



T
Todos
80 8
Pag. 4
Resolución
 1  3  2  3  7 
1   1   1   1   1    240
 3  4  7   5  8 
2 7 5 8 1
     240  40
3 4 7 5 8
Ejm. 6
Diana va al mercado y gasta en carne 1/3 de lo
que tiene; en cereales 1/4 de lo que le quedaba y
3/8 del resto en verduras. Si todavía le queda S/.
20. ¿Cuánto gastó?
Resolución
Suponemos que tiene “x” soles
Gasta
i)
En carne:
1
x
3
2
x
3
12 
En cereales:  x 
4 3 
3 2 
le queda  x 
4 3 
entonces le queda
ii)
iii)
3  3  2 
En verduras:   x  
8  4  3 
5  3  2 
le queda   x  
8  4  3 
Ejm. 8
Un obrero puede realizar un trabajo en 20 horas,
otro obrero lo puede hacer en 30 horas. Si
trabajan los dos juntos, qué tiempo se tardarán
en realizar dicho trabajo
Resolución
Tiempo que emplea c/u de los obreros:
t1 = 20h
t2 = 30h
Analizando el trabajo que hacen en una hora:
1
de la obra.
20
1
El 2º obrero hará
de la obra.
30
El 1º obrero hará
por dato:
5 3 2
  x  20
8 4 3
 los dos juntos harán:
1
1
5
1
+
=
=
de la obra.
20 30 60 12
x = 64
 Gastó 64 – 20 = S/. 44
Toda la obra lo harán en (aplicando “regla de
tres”):
12 horas
Ejm. 7:
Dos tercios de los profesores de un colegio son
mujeres. Doce de los profesores varones son
solteros, mientras que los 3/5 son casados. ¿Cuál
es el número de profesores?
Para este tipo de problemas es recomendable
aplicar:
1 1 1
1 P
   ..... 
t1 t 2 t 3
tn T
Resolución
Prof.: x
2
x
3
1
V: x
3
M:
C:
S:
3 1 
 x
5 3 
2 1 
 x
5 3 
Donde:
tk = tiempo que demora c/obrero en hacer la obra.
P = parte de la obra a hacer.
Si es toda  P = 1
T: tiempo que demora en hacerse la parte de la
obra, actuando juntos.
Dato: Profesores solteros: 12

21 
 x   12
53 
x = 90
*
Para el ejemplo anterior:
t1 = 20h ;

t2 = 30 h
1
1
1

=
20 30 T
m.c.m. = 60T
REDUCCIÓN A LA UNIDAD:
Aplicable a problemas en los que intervienen
grifos, llaves, obreros.
Pag. 5
3T + 2T = 60
5T = 60
T = 12h
PROBLEMAS
1. Dada la fracción m / n . Halla el menor valor
de m + n sabiendo que si aumentamos dicha
fracción en sus 2/3 es igual a 2/3.
2. Una fracción a / b disminuida en sus 3/5 es
igual a 3/5. Halla a – b
3. Halla el número que aumentado en 8
unidades, produce un resultado igual al que
se obtiene dividiéndolo entre 3 / 5.
4. Halla el número que disminuido en 7
unidades, origina un resultado equivalente al
que se obtendría multiplicándolo por 3 / 10.
5. ¿Cuál es la fracción que al ser dividida por su
inversa, da por cociente 169 / 961?.
6. Daniel pesa 18 Kg más la séptima parte de
su peso total . Halla la tercera parte de su
peso.
7. Los 2/5 de una botella están con vino. Si la
botella tiene una capacidad de litro y medio.
¿Cuántos litros de vino se tiene?.
8. Si a los términos de una fracción se les resta
1, el valor de la fracción es 1/3 y si a los dos
términos se le añade 3, el valor de la fracción
es 1/2. Determinar la fracción.
9. Si en una reunión los 2/3 de los concurrentes
son mujeres y 3/5 de los varones son
casados, en tanto que los otros seis son
solteros. Halla el número de asistentes a la
reunión.
12. Al preguntar un padre a su hijo cuánto había
gastado de los S/140 de propina que le dio, el
hijo contestó: He gastado las 3 / 4 partes de
lo que no gasté. ¿Cuánto gastó?.
13. Una bomba A puede llenar una piscina
funcionando sólo en 4 horas. Otra bomba
B lo puede llenar en 5 horas, pero otra
bomba C lo puede descargar totalmente en
20 horas. ¿Qué tiempo emplearán las tres
bombas funcionando a la vez para llenar
totalmente la piscina?.
14. Una tubería "A" puede llenar un estanque
en 6 horas y otra tubería "B" de desagüe la
puede vaciar en 8 horas. Estando vacío el
estanque se hace funcionar "A" durante
dos horas y luego se abre la otra tubería
"B" funcionando así las dos. ¿Qué tiempo
total emplearon para llenar el estanque?
15. Tres tuberías "A"; "B" y "C" funcionando
juntas, pueden llenar la mitad de un tanque
en cuatro horas. Si funcionando sólo "A" y "B"
pueden llenar todo el estanque en 10 horas; y
si funcionando "B" y "C" lo llenan en 15 horas.
¿En cuántas horas llenará la tercera parte del
estanque la tubería "B", si funciona sola?
16. Estando el desagüe de una piscina cerrado un
caño demora 6 horas en llenarla; y estando
abierto el desagüe, el caño demora 9 horas
en llenarla. Si llenamos la piscina y cerramos
el
caño.
¿En
cuántos
se
vaciará
completamente?
10. Si quedan por transcurrir las 3 / 4 partes de lo
ya transcurrido en un día.¿Cuántas horas del
día ya transcurrieron?.
17. Dos obreros pueden realizar un trabajo en 15
días, si uno de ellos se demora 16 días más
que el otro trabajando solo. ¿En qué tiempo
haría la obra el más eficiente?
11. Manuel reparte su dinero de la siguiente
manera: a Félix le da la cuarta parte, a César
la tercera parte y a Alex le da la sexta parte,
quedándole aún S/1800. ¿Cuánto le tocó a
Alex?.
18. Diana puede hacer un trabajo en 12 días y
María hace el mismo trabajo en 60 días,
después de trabajar juntos durante 2 días se
retira Diana. ¿En qué tiempo terminará María
la parte que falta?
Pag. 6