3RO DE SECUNDARIA MATEMÁTICA I - GUIA Nº 7 NOMBRE Y APELLIDOS:............................................................................. TEMA: FRACCIONES FECHA: 07/ 08 / 12 CONCEPTO: Se denomina fracción a una o varias partes que se toma de la unidad dividida. FRACCIONES ORDINARIAS: Son aquellas cuyo denominador es diferente a una potencia de 10: 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 en general: 5 Numerador 6 Denominador FRACCIÓN PROPIA: Si el numerador es menor que el denominador. Ejemplos: 7 9 18 a ; ; . En general: >1 a > b 3 5 7 b 7 4 15 17 ; ; ; 8 9 26 23 Nota: Toda fracción impropia origina una fracción mixta. 7 1 2 ; 3 3 FRACCIONES REDUCTIBLES: Son aquellas cuyos términos (numerador y denominador) no son primos entre sí o sea tienen divisores comunes (se pueden simplificar). 9 4 1 5 5 FRACCIONES HOMOGÉNEAS: Dos o más fracciones son homogéneas si presentan el mismo denominador: Ejemplos: Ejemplos: 8 3 11 ; ; .... 7 7 7 en general 9 21 4 10 ; ; ; 12 49 8 100 FRACCIONES EQUIVALENTES: Una fracción es equivalente a otra cuando tiene el mismo valor, pero sus términos son diferentes. FRACCIONES HETEROGÉNEAS: Dos o más fracciones son heterogéneas si presentan denominadores diferentes. Ejemplos: 3 7 11 ; ; 10 100 10000 FRACCIONES IRREDUCTIBLES: Son aquellos cuyos términos (numerador y denominador) son números primos entre si o sea no tienen divisores comunes. (lo que queremos decir son fracciones que no se pueden simplificar). 4 5 21 a ; ; ; etc. en general: <1 a < b 5 9 49 b FRACCIÓN IMPROPIA: Si el numerador es mayor que el denominador. Ejm: a ; b 10 n ; n N b FRACCIONES DECIMALES Son aquellas cuyo denominador es una potencia de 10: CLASES DE FRACCIONES Ejm: 7 5 7 ; ; 9 4 6 Ejemplos: Todo <> UNIDAD 1 6 BIMESTRE III Ejemplos: 5 8 10 12 ; ; ; 8 9 11 13 3 6 5 10 4 12 5 10 : 9 27 7 14 a en general es equivalente b a c e ; ; ;bdf b d f 1 ak ; k Z bk 1º PROPIEDADES DE LAS FRACCIONES OPERACIONES CON FRACCIONES Propiedad: Si dos fracciones tienen igual denominador, es mayor que el que tiene mayor numerador. Realiza las siguientes operaciones: 11 7 Ejm: 4 4 2º Propiedad: Si dos fracciones tienen igual numerador, es mayor el que tiene menor denominador: Ejm: 3º 7 7 12 15 Propiedad: Si a los términos de una fracción propia se le suma o se le resta un mismo número, la fracción aumenta o disminuye respectivamente. Ejm: 6 6 5 11 11 6 11 11 5 16 16 11 6 62 4 4 6 11 11 2 9 9 11 4º Propiedad: Si a los términos de una fracción impropia, se le suma o se le resta un mismo número la fracción disminuye o aumenta respectivamente. 1. 3 1 5 3 (a ) (b ) 4 1 3 2 2 8 3 13 2 1 4 5 3 (c ) ( d) 4 (e) 2 7 5 4 1 5 3 2 3 4 (f ) 4 2 x 15 7 ( g) 7 4 4 x x1 2 3 9 (h ) 6 6 20 5 Propiedad: Si el numerador de una fracción se le multiplica o divide por un número sin variar el denominador, la fracción queda multiplicada o dividida por dicho número, respectivamente. (i) 4 2 6 2 3 5 6º Propiedad, Si al denominador de una fracción se le multiplica o divide por un número sin variar el numerador, entonces la fracción queda dividida o multiplicada por dicho número, respectivamente. 4 ( j) 5 8 7 7º Propiedad: Si se multiplica o divide por un mismo número los dos términos de una fracción, no se altera el valor de la fracción. Ejm: 11 11 3 14 14 11 6 63 9 9 6 11 11 3 8 8 11 6 63 3 3 6 5º Pag. 2 12 (k ) 25 8 2. 3. 4. 1 5 1 1 1 + 3 4 2 3 5 Operar: Calcular los 3 3 2 de las de los de 72 4 7 9 1 1 2 3 6 5 Operar: 1 3 8 8 4 5 0,8 CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS DECIMALES EXACTOS O LIMITADOS Cuando el número de la parte decimal tiene cifras limitadas 0,75 = 75 3 = 100 4 0,8 = 8 4 10 5 5. Simplifica la siguiente expresión: 1 2 3 1 3 3 4 4 E 8 4 2 3 15 15 5 5 6. Simplificar: 1 1 = INEXACTOS O ILIMITADOS Cuando el número de la parte decimal tiene cifras ilimitadas. a) Periódicos puros 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 2 1 1 1 1 5 1 1 1 2 3 4 5 1 1 1 1 8. Simplificar: H 2 3 3 4 4 5 5 6 1 1 1 1 6 7 7 8 8 9 9 10 0,aaa ......................... = 0, a = a 9 0, abab ...................... =0, ab = ab 99 0,555 ......................... = 0,2727 ....................... = b) Periódicos mixtos Operar: 1 H 3 0, abbb............ = 0,a b = 1 6 ab a 90 1 6 6 1 6 0, abcbc .................... = 0, abc = abc a 990 0,24111 ..................... = NÚMERO DECIMAL: 0.7333 ....................... = Es la representación de una fracción en su forma lineal, la cual contiene dos partes, una parte entera y una parte decimal. Ejemplos : 15 = 26 0,576923 0,9111 ....................... = 0,0111 ....................... = a, bccc ...................... = a, b c = a+0, bc 2,4666 ....................... = 27 18 Pag. 3 = 2,076923 11,3222 ..................... = Ejm 1 : Simplificar: E ii) ¿Qué parte del número de hombres número de mujeres? 0,666... 0,5 0,833... 2 3 10 5 5 9 0, 084 0, 0625 0, 05 0, 0125 0, 025 0, 42 FRACCIÓN DE FRACCIÓN Se denomina así a las partes que se consideran de una fracción que se ha dividido en partes iguales. Así por ejemplo: fracción el P 50 5 T 30 3 Ejm 2: Reducir y calcular el valor numérico de “H” en: H es 1 1 de indica que la 9 4 1 se ha dividido en 9 partes iguales, de 4 los que se ha tomado 1 1/4 1 de 1 9 4 Ejm. 3 3 3 2 Calcular los de las de los de 72 4 7 9 iii) ¿Qué parte es el número de personas que bailan respecto al número de personas que no bailan? P 30 3 T 50 5 * Análisis de cuanto se saca (pierde) o agrega (gana) de una cantidad: Se saca o pierde Sus: Queda Agrego o gano Resulta 3 4 1 4 1 2 3 2 2 5 3 5 8 9 17 9 4 15 11 15 3 7 10 7 Ejm: 5 Una persona tenía S/. 240 pierde y gana alternadamente en cinco juegos de azar: 1/3; 3/4; 2/7; 3/5; 7/8 ¿Cuánto dinero le quedó finalmente? Solución 3 3 2 3x3x 2x 72 9x8 36 1 x x x 72 5 4 7 9 4x 7 x9 2x 7 7 7 Fracción como Relación "Parte - Todo" f= Parte Todo es; son de; del Ejm. 4: En una reunión asistieron 80 personas donde 30 eran varones en determinado momento 15 parejas están bailando. i) ¿Qué parte de los reunidos son mujeres? P Mujeres 50 5 T Todos 80 8 Pag. 4 Resolución 1 3 2 3 7 1 1 1 1 1 240 3 4 7 5 8 2 7 5 8 1 240 40 3 4 7 5 8 Ejm. 6 Diana va al mercado y gasta en carne 1/3 de lo que tiene; en cereales 1/4 de lo que le quedaba y 3/8 del resto en verduras. Si todavía le queda S/. 20. ¿Cuánto gastó? Resolución Suponemos que tiene “x” soles Gasta i) En carne: 1 x 3 2 x 3 12 En cereales: x 4 3 3 2 le queda x 4 3 entonces le queda ii) iii) 3 3 2 En verduras: x 8 4 3 5 3 2 le queda x 8 4 3 Ejm. 8 Un obrero puede realizar un trabajo en 20 horas, otro obrero lo puede hacer en 30 horas. Si trabajan los dos juntos, qué tiempo se tardarán en realizar dicho trabajo Resolución Tiempo que emplea c/u de los obreros: t1 = 20h t2 = 30h Analizando el trabajo que hacen en una hora: 1 de la obra. 20 1 El 2º obrero hará de la obra. 30 El 1º obrero hará por dato: 5 3 2 x 20 8 4 3 los dos juntos harán: 1 1 5 1 + = = de la obra. 20 30 60 12 x = 64 Gastó 64 – 20 = S/. 44 Toda la obra lo harán en (aplicando “regla de tres”): 12 horas Ejm. 7: Dos tercios de los profesores de un colegio son mujeres. Doce de los profesores varones son solteros, mientras que los 3/5 son casados. ¿Cuál es el número de profesores? Para este tipo de problemas es recomendable aplicar: 1 1 1 1 P ..... t1 t 2 t 3 tn T Resolución Prof.: x 2 x 3 1 V: x 3 M: C: S: 3 1 x 5 3 2 1 x 5 3 Donde: tk = tiempo que demora c/obrero en hacer la obra. P = parte de la obra a hacer. Si es toda P = 1 T: tiempo que demora en hacerse la parte de la obra, actuando juntos. Dato: Profesores solteros: 12 21 x 12 53 x = 90 * Para el ejemplo anterior: t1 = 20h ; t2 = 30 h 1 1 1 = 20 30 T m.c.m. = 60T REDUCCIÓN A LA UNIDAD: Aplicable a problemas en los que intervienen grifos, llaves, obreros. Pag. 5 3T + 2T = 60 5T = 60 T = 12h PROBLEMAS 1. Dada la fracción m / n . Halla el menor valor de m + n sabiendo que si aumentamos dicha fracción en sus 2/3 es igual a 2/3. 2. Una fracción a / b disminuida en sus 3/5 es igual a 3/5. Halla a – b 3. Halla el número que aumentado en 8 unidades, produce un resultado igual al que se obtiene dividiéndolo entre 3 / 5. 4. Halla el número que disminuido en 7 unidades, origina un resultado equivalente al que se obtendría multiplicándolo por 3 / 10. 5. ¿Cuál es la fracción que al ser dividida por su inversa, da por cociente 169 / 961?. 6. Daniel pesa 18 Kg más la séptima parte de su peso total . Halla la tercera parte de su peso. 7. Los 2/5 de una botella están con vino. Si la botella tiene una capacidad de litro y medio. ¿Cuántos litros de vino se tiene?. 8. Si a los términos de una fracción se les resta 1, el valor de la fracción es 1/3 y si a los dos términos se le añade 3, el valor de la fracción es 1/2. Determinar la fracción. 9. Si en una reunión los 2/3 de los concurrentes son mujeres y 3/5 de los varones son casados, en tanto que los otros seis son solteros. Halla el número de asistentes a la reunión. 12. Al preguntar un padre a su hijo cuánto había gastado de los S/140 de propina que le dio, el hijo contestó: He gastado las 3 / 4 partes de lo que no gasté. ¿Cuánto gastó?. 13. Una bomba A puede llenar una piscina funcionando sólo en 4 horas. Otra bomba B lo puede llenar en 5 horas, pero otra bomba C lo puede descargar totalmente en 20 horas. ¿Qué tiempo emplearán las tres bombas funcionando a la vez para llenar totalmente la piscina?. 14. Una tubería "A" puede llenar un estanque en 6 horas y otra tubería "B" de desagüe la puede vaciar en 8 horas. Estando vacío el estanque se hace funcionar "A" durante dos horas y luego se abre la otra tubería "B" funcionando así las dos. ¿Qué tiempo total emplearon para llenar el estanque? 15. Tres tuberías "A"; "B" y "C" funcionando juntas, pueden llenar la mitad de un tanque en cuatro horas. Si funcionando sólo "A" y "B" pueden llenar todo el estanque en 10 horas; y si funcionando "B" y "C" lo llenan en 15 horas. ¿En cuántas horas llenará la tercera parte del estanque la tubería "B", si funciona sola? 16. Estando el desagüe de una piscina cerrado un caño demora 6 horas en llenarla; y estando abierto el desagüe, el caño demora 9 horas en llenarla. Si llenamos la piscina y cerramos el caño. ¿En cuántos se vaciará completamente? 10. Si quedan por transcurrir las 3 / 4 partes de lo ya transcurrido en un día.¿Cuántas horas del día ya transcurrieron?. 17. Dos obreros pueden realizar un trabajo en 15 días, si uno de ellos se demora 16 días más que el otro trabajando solo. ¿En qué tiempo haría la obra el más eficiente? 11. Manuel reparte su dinero de la siguiente manera: a Félix le da la cuarta parte, a César la tercera parte y a Alex le da la sexta parte, quedándole aún S/1800. ¿Cuánto le tocó a Alex?. 18. Diana puede hacer un trabajo en 12 días y María hace el mismo trabajo en 60 días, después de trabajar juntos durante 2 días se retira Diana. ¿En qué tiempo terminará María la parte que falta? Pag. 6