circunferencia8

Integrantes:
Marcela Saavedra
Cristian Rubio
Ramo:
Matemáticas 1
La Circunferencia
DEFINICIÓN: Es un lugar geométrico de un punto que se mueve
en un plano de tal manera que se conserva siempre a una distancia
constante de un punto fijo de ese plano.
El punto se llama “centro” de la circunferencia, y la distancia
constante se llama “radio”.
DEFINICIÓN EN EL PLANO: Sea (h, k) un punto del plano y sea r > 0.
El conjunto de los (x, y) cuya distancia al punto (h, k) es r se llama
“circunferencia” de centro (h, k) y radio r.
y
(x, y)
r
(h, k)
x
TEOREMA:
Ecuación canónica de la circunferencia
Podemos utilizar la fórmula de la distancia para escribir la ecuación de
una circunferencia (por ejemplo la circunferencia anterior).
 NOTA:
Fórmula de la distancia: la distancia entre dos puntos (x1, y1) y
(x2, y2) viene dada por
D= (x2- x1)²+ (y2 -y1)²
[ distancia entre(h, k) y (x, y)]= r
(x-h)²+ (y-k)²= r
Elevando al cuadrado obtenemos la ecuación canónica de la
circunferencia.
(x-h)²+(y-k)²= r²
Del teorema se sigue que la ecuación de una circunferencia de radio r y
centro en el origen es
x²+y²= r²
Ejercicios Resueltos.
1.-Hallando la ecuación de una circunferencia.
El punto (2,3) está en la circunferencia de centro (-1, -1), como se
puede ver en la figura siguiente
(2 ,3)
(-1,-1)
SOLUCION: es la distancia entre (-1, -1) y (2,3), así pues:
R= (2-(-1))²+(3-(-1))²
R= (2+1)²+(3+1)²
R= (3)²+(4)²
R= 9+16
R= 25
R=5
Por tanto, el teorema da como ecuación de esa circunf. :
(x- (-1))²+ (y- (-1)) ²= 5²
(x+1) ²+ (y+1) ²=25
Quitando el parentesis en la ecuacion canonica anterior obtenemos
( X+1)² + (y+1) ² = 25
x² + y²+2x +2y –23 =0
Que es una ecuacion de la circunf. de la forma general:
Ax² + By² + Dx + Ey + F =0
La forma gral. de la circunf. es menos util que la ecuacion canonica. Por
ejemplo en el caso anterior lo mas rapido es encontrar el centro y el
radio a traves de la segunda formula. Antes de dibujar una circunf. es
mejor escribir la ecuacion en forma canonica:
2.-Dibujar la circunf. cuya ecuacion general es:
X² + Y² +12X + 18Y + 5= 0
( X² + 12X + ) + ( Y² + 18Y + ) = -5
/agrupar terminos
( X² +12X + 36 ) + (Y² + 18Y + 81 )= -5 +36 +81
Dividir por 2
Y elevar al cuadrado
Dividir por 2
y elevar al cuadrado
( x + 6) ² + (y + 9) ² = 112
/ Forma canonica
Por tanto él circula tiene centro en (-6, -9) y su radio es 112
La ecuacion general Ax² + By² + Dx + Ey + F = 0, no siempre
representa una circunf. Como lo podremos ver en la siguiente situacion:
3.9x² + 9y² + 81x +36 y + 291/4 =0
( x² + 9x + 81/4) + (y² + 4y + 4) = 81/4 –291/ 12 + 4
( x + 9/2) ² + (y + 2) ² = 0
La suma de la izquierda es cero sólo si sus dos sumandos son cero.
Como eso ocurre sólo cuando:
x = -9/4 e
y= -2
graficamente hay un solo punto: (-9/4, -2)
De hecho, puede incluso carecer de puntos solucion si al completar el
cuadrado se llega a un resultado negativo:
( X-h) ² + (y-k) ² = Nº negativo
Entonces la ecuacion general representa una circunf. de radio diferente
a cero, solamente sí:
D² + E² - 4F > 0
Las coordenadas del centro son entonces (-D/2, -E/2) y el radio es:
½ D² + E² - 4F
4.-Hallar el centro y el radio de la circunf. que tiene circunscrito él
triangulo de vertices A (0, 0) B (6, 2) C (8, 0)
y
B
x
A
C
Sabemos que los vertices estan sobre la circunf. , entonces debe
satisfacer la forma general:
( 0, 0)
( 6, 2)
( 8, 0)
0 + 0 +0+0+E=0
36 + 4 + 6D + 2E + F = 0
64 + 0 + 8D + 0 + F = 0
que podemos escribir:
F=0
6D + 2E + F = -40
8D + F = -64
8D + 0 = -64
D = -8
-48 + 2E = -40
2D = 8
D=4
Estos valores se reemplazan en la ecuacion general quedando:
x² + y² - 8x + 4y + 0 = 0
( x² - 8x + 16) + (y² + 4y + 4) = 16 + 4
( x – 4) ² + (y + 2) ² = 20
( x – 4) + (y + 2) =  20
Entonces el Centro esta en el punto (-4, 2) y el radio es 2 5
La ecuacion canonica ( x-h ) ²+ ( y- k ) ² = r, hay tres constantes
arbitrarias independienrtes ( h , k , r ). De manera semejante en la
ecuacion general x² + y² + Dx + Ey + F = 0,
Hay tres constantes arbitrarias e independientes ( D, E , F ). Como
la ecuacion de cualquier circunferencia puede escribirse de cualquiera
de las dos formas , la ecuacion de cualquier circunferencia puede
obtenerse determinando los valores de las tres constantes . Esto
requiere de un sistema de tres ecuaciones.
5.-Hallar la longitud de la tangente desde el punto P1 ( x1 , y1 ) a la
circunferencia ( x-h ) ² + ( y – k ) ² = r ²
y
l
P1 (x 1, y 1)
r
C (h,k)
X
O bien:
l² = (p1, C) ² - r²
l ² = (x1 – h) ²+ (y1 – k) ² - r²
De donde se llega a que:
l =  (x 1 – h) + (y1 - k) - r²
En consecuencia, la longitud de la tangente de cualquier circunferencia
es igual a la raiz cuadrada del valor que se obtiene al sustituir las
coordenadas del punto en la ecuacion de la misma.
Sea P’ (x’, y’) un punto cualquiera del eje radical pedido:
Tendremos : l 2 =  x’² + y’² + D1 x’ + E 1y’ + F1’
l 2 =  x’² + y’² + D2 x’ + E2 y’ + F2’
Como l1 = l2 entonces:
 X’2 + y’2 + D1x’ + E1y’ + F1 =
 x’2 + y’2 + D2x’ + E2y’ + F2
Elevando al cuadrado, simplificando y eliminando las primas, queda:
( D1 - D 2)x + (e1 - E2)y + F1 - F2 = 0
Que es una ecuación de una recta.
6.-Hallar la ecuación de la circunferencia que pase por los puntos A(1,2),
B(3,4) y sean tangentes a la recta 3x + y –3 = 0
3x +y –3 = 0
B
A
Para hallar las coordenadas del centro, C (h, k) se tiene en cuenta las
igualdades CA=CB y CA = CN, es decir:
( h- 1) ² + (k – 2) ² = (h- 3) ² + (k – 4) ²
(h – 1) ² + (k – 2) ² = “ (3h + k – 3 /  10) ² “
( 3h + k - 3 /  3² + (1)) ² = (3h + k – 3 /  10) ²
Donde Ax es igual a 3h y By es igual a k, siendo C igual a 3, para
desarrollar el divisor se realiza a traves de la siguiente formula:
Ax + By +C /  A² + B²
Desarrollando, la ecuación precedente, y simplificando se obtiene:
h+k =5y
h² + 9k² - 6hk – 2h – 34k + 41 = 0
Resolviendo este sistema de ecuaciones se obtiene:
h= 4, k= 1 y h = 3/2, k= 7/2
( x – 4) + ( y – 1 ) = 10 y ( x – 3/ 2 ) ² + ( y – 7/ 2 ) ²= 10/ 4
x² + y² -8x – 2y + 7 =0 y x² + y² -3x – 7y +12 = 0
7.-Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos (1,3)
y ( -1 , 1) y cuyo centro esta situado en la recta x – 3y – 11 = 0.
Sea ( h , k ) las coordenadas del centro de la circunferencia. Como
( h , k ) debe equidistar de los puntos ( 2 , 3 ) y ( -1 , 1)
 ( h –2 ) ² + ( k – 3 ) ² =  ( h+ 1) ² + ( k – 1 ) ²
Elevando al cuadrado y simplificando se obtiene:
6h + 4k = 11
Como el centro debe estar sobre la recta x–3y–11=0 se tiene, h – 3k =11
Despejando los valores de h y k de estas ecuaciones se deduce:
6h + 4k =11
h – 3k =11
/ *3
/ *4
18 h + 12k = 33
4h – 12 k =44
22h = 77
h = 7/2
k = -5/2
El centro es entonces (7/2, - 5/2), por consiguiente:
r=  (7/2 + 1) ² + (-5/2 – 1) ²
r = ½ 130
E ecuación pedida es:
( x –7/2) ² + ( y + 5/2 ) ² = 130/4
bien:
x² + y² - 7x + 5y – 14 =0
O
8.-Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto (0,0),
tenga radio =13 y la abscisa de su centro sea -12.
Como la circunferencia pasa por el origen :
H2 + k
2
= r o bien, 144 + k2 = 169
Resolviendo:
K ² = 169 – 144 = 25 , k = 5
Luego:
(x + 12 ) ² + ( y – 5 ) ² = 169
( x + 12 ) ² + ( y + 5 ) ²= 169
Desarrollando:
X2 + y 2+ 24x - 10y = 0
X ²+ y² +24x + 10y = 0
9.-Hallar la ecuación de la circunferencia circunscrita al triángulo cuyos
lados son las rectas :
X+y=8
2x + y = 14
3x + y = 22
Resolviendo estas ecuaciones tomadas dos a dos , se obtienen las
coordenadas de los vértices (6,2) , (7,1) , (8, -2)
Sustituyendo estas coordenadas en la ecuación general de la
circunferencia se obtiene el siguiente sistema :
6D + 2E + F =- 40
7D + E + F = -50
8D - 2E + F = -68
cuya solución proporciona los valores :
D = -6, E = 4, F = -1.
Por sustitución se deduce la ecuación pedida:
x² + y² - 6x + 4y –12 = 0
Y
(6,2 )
(
(7,1)
X
0
C (3 ,-2)
(8,-2)
10.-Hallar las ecuaciones de las dos circunferencias que son tangentes
a las rectas 3x – 4y + 1 = 0 y 4x + 3y – 7 = 0 y que pasan por el punto
(2,3).
Sean (h,k) las coordenadas del centro, entonces:
(3h – 4k + 1) / 5 = (4h + 3k – 7) / 5
o bien ; 7h – k – 6 = 0
Por otra parte como r = [(3h – 4k + 1 ) / -5] ²
O bien; 16h² + 9k² - 106h – 142k + 24hk + 324 = 0
Resolviendo un sistema de ecuaciones con los dos resultados anteriores
se obtienen las coordenadas de los dos centros :
Los puntos (2,8) y (6 / 5, 12/5).
Para la circunferencia de centro (2,8):
r = (3h – 4k +1 )/ -5
( 6 – 32 + 1)/ -5 = 5
Por lo tanto, la ecuación de la misma es:
( x – 2) ² + ( y – 8 ) ² = 25
Para el centro :
( 6/5 , 12/5) , r = 1
La ecuación de la circunferencia es:
(x – 6/5) ² + ( y – 12 /5 ) ² = 1
Las ecuaciones de dos circunferencias son :
C1 = x² + y² + 7x – 10y + 31 = 0
C2 = x² + y² - x –6y +3 = 0
11.-Hallar la ecuación de la circunferencia C3, que pasa por las
intersecciones de C1 y C2 y tiene su centro sobre la recta
L = x – y –2 = 0 .
La circunferencia buscada, es un elemento de la familia.
x² + y² + 7x – 7y + 31 + k ( x² + y² - x –6y + 3) = 0
en donde el parámetro k debe determinarse por la condición de que el
centro de la circunferencia en búsqueda esta sobre la recta l. El centro
de cualquier circunferencia de la familia se halla fácilmente y sus
coordenadas son :
x² + y² + 7x – 10y + 31 + x²k + y²k – xk – 6yk + 3k = 0
(x² + y² + x²k + y²k ) – x( k – 7 ) – y ( 10 + 6k )+ 31 + 3k = 0
(x²+ y² )(k + 1) – x(k-7)- y (6k + 10) + (31 +3)(k+1)= 0 / :(k+1)
x² + y² - x(k-7)/ (k+1) – y(6k+ 10)/(k+1)+34 = 0
[(k-7) /2 (k+1) , (5+3k) / (k+1) ]
Como estas coordenadas deben satisfacer la ecuación l , tenemos:
[(k-7) / 2 (k+1) ] – [(3k+5)/ (k+1)] –2 = 0
(k-7) / 2 - 3k – 5 – 2k – 2 = 0
(k-7) / 2 - 5k – 7 = 0
k-7 –10k – 14 = 0
-9k = 21
k = -7/3
/*2
/ *(k+1)
Sustituyendo este valor de k en la ecuación de la familia y simplificando ,
obtenemos para la ecuación C3 :
x² + y² + 7x – 10y +31 – 7/3 x² - 7/3y² + 7/3x + 14y – 7 = 0
-4/3x² - 4/3y² + 28/3x + 4y + 24 = 0
/*3
-x² - y² + 28x + 12y + 72 = 0
/ :-4
x²+ y² - 7x – 3y – 18 = 0
(solución)
Si las ecuaciones de dos circunferencias dadas cualquiera , C1 y C2
son:
C 1 : x² + y² + D 1 x + E 1 y + F1 = 0
C 2 : x² + y² + D 2 x + E 2 y + F 2 = 0
La ecuación entonces;
X² + y² + D1 x + E1 y + F1 + K (x² + y²+ D2 x + E2 y+ F2 ) = 0
Representa a una familia de todas las ecuaciones las cuales tienen su
centro en la recta de los centros C1 y C 2
Si C1 y C2 se cortan en dos puntos diferentes , la ecuación representa ,
para todos los valores de k excepto k =–1 , todas las circunferencias que
pasan por los puntos de intersección C1 y C2 , con la única excepción
de C2 mismo .
Si C1 y C2 son tangentes entre si, la ecuación representa, para todos los
valores de k excepto k= -1, todas las circunferencias que son tangentes
a C1 y C2 en su punto en común, con la única excepción de C2 .
Si C 1 y C2 no tienen ningún punto en común, la ecuación representa
una circunferencia para todo valor de k, excepto k= -1, siempre que la
ecuación resultante satisfaga las condiciones de la ecuación general.
Ningún par de circunferencias de la familia tiene un punto en común con
ninguna de las circunferencias C1 y C2
Si t es la longitud de la tangente desde el punto exterior P1 ( x1 , y1 ) a la
circunferencia ( x – h )² + ( y – k ) ² = r ² , entonces :
T =  ( x1 - h) ² + ( y1 - k ) ²
Porque si T es el punto de tangencia ; de manera que t = P1 T es
tangente a la circunferencia , el radio CT es perpendicular a P1T .Por
tanto , en el triángulo rectángulo P1TC , tendríamos
t² = (CP1²)² - r ²
Como sabemos (CP1) ² es ( x1 - h) ² + ( y1 -k) ²
Lo que al sustituir es :
t² = ( x1 -h ) ² + ( y1 -k) ² -r²
/
T = ( x1 -h ) ² + ( y1 -k) ² -r²
Gracias a esto podemos concluir que si las ecuaciones de dos
circunferencias concéntricas C y C son:
C1 : x² + y² + D1x + E1y + F1 =0
C2 : x² +y² + D2x + E2 y + F2 =0
La eliminación de x² e y² entre estas dos ecuaciones da origen a
una ecuación lineal x ( D1 - D2 ) + y ( E1 - E2 ) + ( F1 - F2 ) =0 , que
es la ecuación del eje radical de C1 y C2
Si C1 y C2 se cortan en dos puntos diferentes su eje radical (ER)
coincide con su cuerda común; si C1 y C2 son tangentes entre si ER es
su tangente común ;si C1 y C2 no tienen puntos en común su Er no tiene
puntos en común con ellas
L’
l
P1
C
Q
T
N
Sea P1 (x1 ,y1)un punto cualquiera de la curva continua C. Sea l la
tangente a C en P1 . Si m es la pendiente de l , la ecuación de la
tangente l es: Y - y1 = m( x -x1)
Sea l’ la recta trazada por P1 , perpendicular a la tangente l ; la recta l se
llama “ normal” a la curva C en el punto P1 . La ecuación de esta es :
Y - y1 = - 1/m ( x - x1) , m  0
Supongamos que la tangente y la normal cortan a x en los puntos T y N
respectivamente y la longitud P1T del segmento de la tangente l
comprendido entre el punto de contacto y el eje x se llama “ longitud de
la tangente “ y su formula es :
Long. Tangente = y1/ m  1 + m²
m0
La longitud P1 N del segmento de la normal l’ comprendida entre el
punto de contacto y el eje x se llama “ longitud de la normal” y su
formula es :
Long. Normal =y1  1 + m²
Por P1 tracemos la ordenada P Q. La proyección QT de la longitud de la
tangente sobre el eje x se llama “subtangente” y su formula es:
Long. Subnormal: my1
Evidentemente por lo anterior la ecuación de la tangente a una
circunferencia dada esta perfectamente determinada cuando se conocen
su pendiente y su punto de contacto ( o alguno de sus puntos) . Si se
tienen estos datos , el otro se debe determinar a partir de las
condiciones del problema ; según esto , tenemos los elementos
necesarios para la solución de cualquier problema en particular. Vamos
a considerar tres problemas a saber:
12.- Hallar la ecuación a la circunferencia x² + y ² - 8x – 6y + 20 =0
el punto (3,5)
en
La recta que pasa por el punto ( 3,5) es :
Y – 5 = m ( x –3)
Al sustituir en la ecuación de la circunferencia :
x² + ( mx – 3m + 5) ² - 8x – 6 ( mx – 3x + 5) +20 =0
que se reduce a :
( m² + 1 )x² - ( 6m –4m + 8 )x + ( 9m² - 12m + 5 ) =0
Esto será tangente a la circunferencia dada “ siempre que las raíces de
estas ultimas sean iguales “ , es decir ; siempre que el discriminante se
anule . Debera verificarse esta condición:
( 6m² - 4m + 8) ² -4 ( 9m² - 12m –15 ) =0
Las soluciones de esta ecuación es m = ½ de manera que la ecuación
de la tangente es :
Y – 5 = ½ ( x –3 ) o sea
X – 2y –7 =0
13.- Hallar la ecuación de la tangente a la circunferencia
x² + Y² - 10x + 2y +18 =0 y tiene la pendiente = 1
La ecuación de las rectas de pendiente 1 es
Y=x+k
Siendo k lo que se debe encontrar
Reemplazando y en la ecuación de la circunferencia se tiene :
x² + ( x +k ) ² - 10x + 2( x +k ) + 18 = 0
2x² + ( 2k –8 )x + ( k² + 2k + 18 ) = 0
La condición de tangencia es :
( 2k – 8 ) ² - 8( k² +2k +18 ) =0
Las raíces de estas ecuaciones son k = -2 , k = 10 . Por lo tanto las
ecuaciones de las tangentes buscadas son :
Y = x –2
e
Y = x –10
14.- Hallar la ecuación de la tangente trazada de punto ( 8 , 6 ) a la
circunferencia x² + y² + 2x + 2y – 24 = 0
Las rectas que pasan por ( 8,6 ) son:
Y – 6 = m( x – 8 )
donde se busca m.
Se sustituye y = mix –8m +6 en la ecuación de la circunferencia y da :
x² + (mx –8m + 6) ² + 2x + 2( mx – 8m +6 ) – 24 = 0
( m² +1 )x² - (16m² -14m –2)x + ( 64m² -112m + 24) = 0
la condición de tangencia es :
( 16m² -14m –2) ² - 4( m² +1) ( 64m² - 112m +24) = 0
Resolviendo esto :
M =1/5 , m = 23/11
Entonces las ecuaciones de las tangentes que cumplen con las
condiciones dadas son:
X – 5y + 22 = 0
y
23x –11y -118 = 0
EJERCICIOS
1.- Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene el centro en el
punto ( 3,-1 ) y de radio 5
2.- Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene el centro en el punto
( -4, 3 ) y sea tangente al eje y
3.- Hallar la ecuación de la circunferencia que sea tangente a los dos
ejes de coordenadas, de radio = 8 , y cuyo centro este en el primer
cuadrante
4.- Hallar el centro y el radio de las circunferencias siguientes.
Determinar si cada una de ellas es real , imaginaria ,o se reduce a un
punto . Aplicar la formula y comprobarla por suma y resta de los
términos adecuados para completar cuadrados :
a)3x²+ 3y² -4x +`2y – 12 = 0
b)x² + y² = 0
c) x² + y² - 8x + 10y – 12 = 0
5.- Hallar la ecuación de la
( 1,1 ) , ( 1,3 ) , y (9,2 )
circunferencia que pasa por los puntos
6.- Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos
( 1,2 ) , ( 3,1 ) , y ( -3,-1 )
7.- Hallar la ecuación de la circunferencia circunscrita al triángulo de
lados x – y + 2 = 0 , 2x + 3y – 1 = 0 , y 4x + y – 17 = 0
8.- Hallar la ecuación de la circunferencia circunscrita al triángulo de
lados 2x – y + 7 = 0 , 3x + 5y – 9 = 0 , y x - 7y – 13 = 0
9.- Hallar la ecuación de la circunferencia inscrita al triángulo de lados
4x – 3y - 65 = 0 , 7x - 24y +55 = 0 , y 3x + 4y – 5 = 0
10.- Hallar la ecuación de la circunferencia inscrita al triángulo de
vértices ( -1, 3) , ( 3,6 ), y ( 31/5)
11.- Hallar la ecuación de la circunferencia de centro ( -2,3 ) que sea
tangente a la recta 20x – 21y – 42 = 0
12.- Hallar la ecuación de la circunferencia de centro ( -1,-3 ) que sea
tangente a la recta que une los puntos ( -2,4 ) y ( 2,1 )
13.- Hallar las ecuaciones de los ejes radicales de las circunferencias
siguientes , y demostrar que se cortan en un punto:
x² + y² + 3x –2y – 4 = 0 , x² + y² - 2x – y = 0 y x² + y² - 1 = 0
14.- Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto
( 3,1 ) y por los de intersección de las circunferencias
x² + y² - x – y – 2 = 0
y x² + y² + 4x – 4y - 8 = 0
15.- Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos de
intersección de las circunferencias x² + y² - 6x + 2y + 4 = 0 y
x² + y² + 2x –4y - 6 = 0 y cuyo centro este en la recta y =x
RESULTADOS
1.- x² + y² - 6x + 2y – 15 = 0
2.- x² + y² + 8x – 6y + 9 = 0
3.- x² + y² + 12x – 16y = 0
,
x² + y² + 12x +16y = 0
4.a)( 2/3,-1/3 ) , r= 1/3  -13 , imaginaria
b)( 0,0 ) , r = 0 , un punto
c)( 4,-5 ) , r =  53 , real
5.- 8x² + 8y² - 79x – 32y + 95 = 0
6.- x² + y² - x + 3y – 10 = 0
7.- 5x² + 5y² - 32x – 8y – 34 = 0
8.- 169x² + 169y² - 8x + 498y – 3707 = 0
9.- x² + y² - 20x + 75 = 0
10.- 7x² + 7y² - 34x – 48y – 103 = 0
11.- x² + y² + 4x –6y – 12 = 0
12.- x² + y² + 2x + 6y – 15 = 0
13.- 5x – y + 2 = 0 , 3x – 2y = 0 y 2x + y + 5 = 0 Punto de
intersección ( -1, -2 ) . Este punto se llama centro radical de las
circunferencias.
14.- 3x² + 3y² - 13x + 3y + 6 = 0
15.- 7x² + 7y² - 10x –10y – 12 = 0