TEMA 7 RENTAS CONSTANTES

TEMA 7:
RENTAS CONSTANTES, ANUALES, TEMPORALES Y
PERPETUAS
1.- INTRODUCCIÓN
1.1.- CONCEPTO DE RENTA:
Una renta es un conjunto de capitales financieros convencimientos equidistantes de tiempo.
El concepto de renta exige, por tanto:
 La existencia de varios capitales
 Que los vencimientos sean equidistantes, es decir, que los capitales venzan cada
año, cada mes, cada trimestre, cada dos años, … pero siempre con la misma
periodicidad.
Un ejemplo de renta es un plan de pensiones. En ellos, mediante un proceso de
capitalización, por medio de pagos periódicos a instituciones financieras, éstas nos
entregan determinadas cantidades en el momento de la jubilación, fruto de los pagos
realizados y de los intereses generados por los mismos.
A cada uno de los capitales se le denomina término.
Al tiempo transcurrido entre dos términos consecutivos periodo.
El origen de una renta es la fecha de comienzo de la misma y la duración, el intervalo
entre el principio y el final de la operación financiera.
0
origen
C1
C2
C3
1
2
3
Cn
n términos
n
final
Periodo
Duración
Reyes F.F.
Gestión Financiera
1
1.2.- CLASIFICACIÓN DE LAS RENTAS:
1. Según la naturaleza de los capitales que la componen:
a. Constantes: aquellas en las que todos los capitales tienen la misma cuantía
b. Variables: aquellas cuyos capitales son distintos unos respecto de otros. La variación
puede seguir un orden preestablecido o no, destacando las rentas variables en
progresión aritmética y las variables en progresión geométrica.
2. Según la duración de los periodos:
a. Anuales: Los capitales vencen cada año
b. Fraccionadas: los capitales vencen con periodicidad inferior al año. Ejemplo: renta
mensual, trimestral, etc.
c. Con periodicidad superior al año: el periodo que transcurre entre vencimiento y
vencimiento es mayor que año. Ejemplo: renta bianual, trianual, etc.
3. Por el vencimiento de los términos:
a. Pospagables: los términos vencen al final de cada periodo.
b. Prepagables: los términos vencen al principio de cada periodo.
4. Por el comienzo y finalización de la renta:
a. Inmediatas: El primer periodo de la renta comienza en el momento de constitución
de la misma, y el último término se encuentra en el último periodo de la renta.
b. Diferidas: el primer término comienza cierto tiempo después del momento de
constitución de la renta.
c. Anticipadas: el último periodo está cierto tiempo después del momento de
vencimiento del último término de la renta.
5. Por la duración de la renta:
a. Temporales: tienen un número finito de términos.
b. Perpetuas: constan de infinitos términos.
Por la naturaleza
Por la duración
del término
de los periodos
Por el
Por el comienzo
vencimiento de
y final de la
los términos
renta
Anuales
Constantes
Fraccionadas
Temporales
Diferidas
Prepagables
Con
de la renta
Inmediatas
Pospagables
Variables
Por la duración
periodicidad
Perpetuas
Anticipadas
superior al año
Reyes F.F.
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2
2.- RENTAS ANUALES TEMPORALES CONSTANTES INMEDIATAS
2.1.- POSPAGABLES:
Estamos hablando de rentas:
1. ANUALES: cuyos términos vencen cada año.
2. CONSTANTES: la cuantía de los términos no varía.
3. TEMPORALES: Tienen un número finito de términos.
4. INMEDIATA POSTAPAGABLE: porque el primer pago tiene lugar al finalizar el
periodo en que se constituye la renta, es decir, en el momento 1
Pospagable
C1
C2
C3
Cn
1
2
3
n
0
Para calcular los valores actuales y finales de una renta de este tipo, vamos a tener en
cuenta el caso de una renta cuyo término vale 1€.
2.1.1- VALOR ACTUAL
El valor actual será la
suma de los valores
actualizados de todos los
términos de esta renta
unitaria y se le llama:
0
1
1
1
1
1
2
3
n
Suma de los términos de serie en progresión geométrica decreciente.
Para sumar los términos de esta serie usamos la fórmula:
donde:
Reyes F.F.
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3
En el numerador hemos
sacado factor común a
En el denominador hemos
hecho la diferencia de
fracciones
Si observas la última expresión, en el denominador queda:
expresar de la siguiente forma:
que también podemos
, de forma que podamos simplificar con el
numerador:
Valor actual de una renta temporal,
constante, unitaria y pospagable
Cuando la renta no es unitaria sino que tiene un término constante de cuantía C, el valor
actual de la misma, sería:
Que nos permitirá calcular el valor actual de una renta temporal, constante y pospagable de
“n” términos de “C” unidades monetarias cada uno, valorados al tanto “i” de interés
compuesto.
2.1.2.- VALOR FINAL
El valor final será la suma
de los valores
capitalizados de todos los
términos de esta renta
unitaria y se le llama:
0
1
1
1
1
1
1
2
3
n
Reyes F.F.
Gestión Financiera
4
Suma de los términos de serie en progresión geométrica decreciente.
Para sumar los términos de esta serie usamos la fórmula:
donde:
Cuando la renta no es unitaria sino que tiene un término constante de cuantía C, el valor
final de la misma, sería:
Que nos permitirá calcular el valor final de una renta temporal, constante y pospagable de
“n” términos de “C” unidades monetarias cada uno, valorados al tanto “i” de interés
compuesto.
2.1.3.- RELACIÓN ENTRE VALOR ACTUAL Y FINAL
0
1
1
1
1
2
n
Ejercicios
1 a 13
Reyes F.F.
Gestión Financiera
5
2.2.- PREPAGABLES:
1.
2.
3.
4.
ANUALES: cuyos términos vencen cada año.
CONSTANTES: la cuantía de los términos no varía.
TEMPORALES: Tienen un número finito de términos.
INMEDIATA PREPAGABLE: porque el primer pago tiene lugar al comienzo del
primer periodo en que se constituye la renta, es decir, en el momento 0
prepagable
C1
C2
C3
Cn
0
1
2
n-1
n
2.2.1.- VALOR ACTUAL
Seguiremos tomando como ejemplo una renta constante unitaria.
El valor actual será la
suma de los valores
actualizados de todos los
términos de esta renta
unitaria y se le llama:
1
1
1
1
1
0
1
2
n-1
n
Suma de los términos de serie en progresión geométrica decreciente.
Para sumar los términos de esta serie usamos la fórmula:
donde:
Reyes F.F.
Gestión Financiera
6
Cuando la renta no es unitaria sino que tiene un término constante de cuantía C, el valor
actual de la misma, sería:
Que nos permitirá calcular el valor actual de una renta temporal, constante y prepagable de
“n” términos de “C” unidades monetarias cada uno, valorados al tanto “i” de interés
compuesto.
RELACIÓN ENTRE EL VALOR ACTUAL DE UNA RENTA POSPAGABLE
Y UNA PREPAGABLE
Como puedes observar, entre el valor actual de una renta unitaria constante anual
pospagable y el de una prepagable:
Existe la siguiente relación:
De forma que bien podemos decir:
Reyes F.F.
Gestión Financiera
7
2.2.2.- VALOR FINAL
El valor final será la suma
de los valores
capitalizados de todos los
términos de esta renta
unitaria y se le llama:
1
1
1
1
0
1
2
n-1
n
Suma de los términos de serie en progresión geométrica decreciente.
Para sumar los términos de esta serie usamos la fórmula:
donde:
Cuando la renta no es unitaria sino que tiene un término constante de cuantía C, el valor
final de la misma, sería:
Que nos permitirá calcular el valor final de una renta temporal, constante y prepagable de
“n” términos de “C” unidades monetarias cada uno, valorados al tanto “i” de interés
compuesto.
Reyes F.F.
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8
RELACIÓN ENTRE EL VALOR FINAL DE UNA RENTA POSPAGABLE Y
UNA PREPAGABLE
Como puedes observar, entre el valor final de una renta unitaria constante anual pospagable
y el de una prepagable:
Existe la siguiente relación:
De forma que bien podemos decir:
2.2.3.- RELACIÓN ENTRE VALOR ACTUAL Y FINAL:
0
1
1
1
1
2
n
Ejercicios
14 a 17
Es decir que:
Reyes F.F.
Gestión Financiera
9
RELACIONES ENTRE LOS VALORES ACTUALES Y FINALES DE RENTAS
UNITARIAS, CONSTANTES, TEMPORALES, INMEDIATAS, POSPAGABLES Y
PREPAGABLES:
Como se puede observar, si se conoce el valor actual de una renta unitaria, constante,
temporal, inmediata y posgable:
Se puede conocer el valor actual y final de cualquier otra renta:
Valor actual de una renta constante, temporal,
inmediata y pospagable, cuyo término vale C
Valor final de la renta anterior
Valor actual de una renta constante, temporal,
inmediata y prepagable, cuyo término vale C
Valor final de la renta anterior
Reyes F.F.
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10
3.- RENTAS ANUALES TEMPORALES CONSTANTES DIFERIDAS
Son rentas diferidas aquellas cuyo momento de valoración es una serie de periodos “d”
anteriores al origen. A esos periodos se les denomina “diferimiento” y SÓLO afecta a los
valores actuales
3.1.- POSPAGABLES:
Diferimiento
0
1
……
..
3
d
C1
C2
Cn
d+1
d+2
d+n
Momento de valoración.
Valor final:
Momento de valoración.
Valor actual:
3.1.1.- VALOR ACTUAL
Para calcularlo sólo hemos de actualizar todos los términos al momento cero. Ese valor será
el mismo de una renta inmediata pospagable pero actualizada durante los “d” periodos del
diferimiento. Tomemos como ejemplo una renta unitaria:
GRAFICAMENTE:
Diferimiento
0
1
3
……
..
1
d
1
d+1
d+2
1
d+n
ANALÍTICAMENTE:
Esto es
Reyes F.F.
Gestión Financiera
11
Cuando los términos de la renta no son unitarios sino que valen “C” unidades monetarias:
3.1.2.- VALOR FINAL
El valor final de una renta diferida es el mismo que el de una renta inmediata pues el
diferimiento no le afecta, por tanto:
3.2.- PREPAGABLES:
3.2.1.- VALOR ACTUAL
Siguiendo con el ejemplo de una renta unitaria:
Diferimiento
0
1
3
……
..
1
d
1
1
d+1
d+n-1
d+n
Sacamos factor
común a:
Esto es
Cuando los términos de la renta no son unitarios sino que valen “C” unidades monetarias:
Reyes F.F.
Gestión Financiera
12
3.2.2.- VALOR FINAL
Al igual que en el caso de las pospagables, el diferimiento no afecta al valor final, que será
el mismo que en el caso de las rentas inmediatas, es decir:
RELACIÓN ENTRE VALORES ACTUAL Y FINAL, POSPAGABLE Y
PREPAGABLE:
Ejercicios
18 a 23
Las relaciones son las mismas que en las rentas constantes inmediatas, es decir:
Valor actual de una renta constante, temporal,
pospagable y diferida, cuyo término vale C
El valor final de la renta diferida coincide con el
de una inmediata
Valor actual de una renta constante, temporal,
prepagable y diferida, cuyo término vale C
El valor final de la renta diferida coincide con el
de una inmediata
4.- RENTAS ANUALES TEMPORALES CONSTANTES ANTICIPADAS
Son rentas anticipadas aquellas cuyo momento de valoración es una serie de periodos “h”
posteriores al final de la renta. A esos periodos se les denomina “anticipación” y SÓLO
afecta a los valores finales
4.1.- POSPAGABLES:
Periodo de anticipación
0
C1
C2
1
2
Cn
n
n+1
n+2
….
n+h
Momento de valoración.
Valor final:
Momento de valoración.
Valor actual:
Reyes F.F.
Gestión Financiera
13
4.1.1.- VALOR ACTUAL
El valor actual de una renta de este tipo coincide con el de una renta inmediata, pues el
periodo de anticipación no le afecta.
4.1.2.- VALOR FINAL
Tal y como venimos haciendo hasta ahora, tomemos como ejemplo el caso de una renta
unitaria:
Periodo de anticipación
0
1
1
1
1
2
n
n+1
n+2
….
n+h
Sacamos factor
común a:
Esto es
Cuando el término de la renta no es unitario, sino que vale “C” u.m.:
4.2.- PREPAGABLES:
4.2.1.- VALOR ACTUAL
El valor actual de una renta de este tipo coincide con el de una renta inmediata, pues el
periodo de anticipación no le afecta.
Reyes F.F.
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14
4.2.2.- VALOR FINAL
Periodo de anticipación
1
1
0
1
1
2
1
n
n-1
….
n+1
n+2
n+h
Sacamos factor
común a:
Esto es
Cuando el término de la renta no es unitario, sino que vale “C” u.m.:
RELACIÓN ENTRE VALORES ACTUAL Y FINAL, POSPAGABLE Y
PREPAGABLE:
Las relaciones son las mismas que en las rentas constantes inmediatas, es decir:
Ejercicio
24
El valor actual de una renta constante,
anticipada coincide con el de una inmediata.
Valor final de una renta constante, temporal,
pospagable y anticipada, cuyo término vale C
El valor actual de una renta constante,
anticipada coincide con el de una inmediata.
Valor final de una renta constante, temporal,
prepagable y anticipada, cuyo término vale C
Reyes F.F.
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15
5.- RENTAS ANUALES PERPETUAS
Son rentas que tienen un número infinito de términos.
En este tipo de rentas, el problema es calcular el valor final, ya que NUNCA se llega a él, es
decir, no tienen valor final.
5.1.- RENTAS ANUALES, CONSTANTES, PERPETUAS E
INMEDIATAS
5.1.1.- VALOR ACTUAL DE LAS POSPAGABLES:
Seguimos tomando como ejemplo el caso de una renta unitaria
El valor actual será la
suma de los valores
actualizados de todos los
términos de esta renta
unitaria y se le llama:
0
Como se trata de una renta perpetua
1
1
1
1
2
3
……
, luego
Por tanto:
5.1.2.- VALOR ACTUAL DE LAS PREPAGABLES:
El valor actual será la
suma de los valores
actualizados de todos los
términos de esta renta
unitaria y se le llama:
1
1
1
1
0
1
2
………...
Reyes F.F.
Gestión Financiera
16
Como se trata de una renta perpetua
, luego
Por tanto:
5.2.- RENTAS ANUALES, CONSTANTES, PERPETUAS Y DIFERIDAS
5.2.1.- VALOR ACTUAL DE LAS POSPAGABLES:
Procederemos igual que se ha hecho con las rentas inmediatas pero, teniendo en cuenta que
una renta diferida se valora “d” periodos antes de su origen.
Así pues si el valor actual de una renta diferida, temporal, constante, anual y pospagable
era:
En caso de que la renta fuera perpetua:
Cuando los términos de la renta no son unitarios sino que valen “C” unidades monetarias:
Reyes F.F.
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17
5.2.2.- VALOR ACTUAL DE LAS PREPAGABLES:
Procederemos igual que se ha hecho con las rentas inmediatas pero, teniendo en cuenta que
una renta diferida se valora “d” periodos antes de su origen.
Así pues si el valor actual de una renta diferida, anual, constante, prepagable y temporal
era:
En caso de que la renta fuera perpetua:
Cuando los términos de la renta no son unitarios sino que valen “C” unidades monetarias:
Ejercicios
25 y 26
Reyes F.F.
Gestión Financiera
18
1.
INTRODUCCIÓN
1.1.-Concepto de renta
1.2.-Clasificación de las rentas.
2.
RENTAS ANUALES, TEMPORALES, CONSTANTES, INMEDIATAS.
2.1.- POSPAGABLES
1.1.1.- Valor actual
1.1.2.- Valor final
1.1.3.- Relación entre el valor actual y final
2.2.- PREPAGABLES
2.2.1.- Valor actual
2.2.2.- Valor final
2.2.3.- Relación entre el valor actual y final.
3.
RENTAS ANUALES, TEMPORALES, CONSTANTES, DIFERIDAS.
3.1.- POSPAGABLES
3.1.1.- Valor actual
3.1.2.- Valor final
3.2.- PREPAGABLES
3.2.1.- Valor actual
3.2.2.- Valor final
4.
RENTAS ANUALES, TEMPORALES, CONSTANTES, ANTICIPADAS.
4.1.- POSPAGABLES
4.1.1.- Valor actual
4.1.2.- Valor final
4.2.- PREPAGABLES
4.2.1.- Valor actual
4.2.2.- Valor final
5.
RENTAS ANUALES, PERPETUAS
5.1.- RENTAS ANUALES, CONSTANTES, PERPETUAS E INMEDIATAS
5.1.1.- Valor actual de las pospagables
5.1.2.-Valor actual de las prepagables
5.2.- RENTAS ANUALES, CONSTANTES, PERPETUAS Y DIFERIDAS
5.2.1.-Valor actual de las pospagables
5.2.2.-Valor actual de las prepagables.
BIBLIOGRAFÍA:
“Gestión Financiera” Edit Thomson Paraninfo
“Gestión Financiera” Edit. McGrawHill
“Matematicas Financieras” Teoría y 950 ejercicios de Concepción Delgado y Juan Palomero.
Reyes F.F.
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19