φ φ φ φ φ φ

Temas de Física Atómica
Miraglia, 2do cuat. 2009
Modelo de Thomas Fermi (TF).
Guía de problemas
En este modelo la energía potencial de un electrón ligado a un átomo neutro cuyo núcleo tiene
carga Z se escribe como
V (r ) = −
Z
φ ( x)
r
(1)
donde φ (x) puede interpretarse como el apantallamiento, con x = r / b y b = 0.8853 Z −1 / 3 el
radio de TF. La función φ (x) obedece la siguiente ecuación diferencial
φ ′′( x) =
1
[φ ( x)]3 / 2
x
(2)
con las condiciones de contorno φ (0) = 1 y lim x →∞ φ ( x) = 0 . La hipótesis del modelo TF es
relacionar la densidad electrónica n(r) con el potencial como
(3π
2
n( r ) )
2
2/3
= −V (r )
Un parámetro importante del modelo es φ ′ (0) , la pendiente de φ (x) en el origen. La integración
numérica de la ecuación diferencial da φ ′ (0) = −1.588558 (Ref. J. Schwinger, Phys. Rev. A 22,
1827 (1980)).
Esta práctica tiene como objetivo estudiar algunas de las propiedades de φ (x) y algunas de las
aproximaciones más conocidas para la misma.
1. Una aproximación muy usada para φ (x) es la de Moliere (G. Moliere. Z.f. Naturforsch,
A2:133, 1947):
φ M ( x ) = 0.35 e −0.3 x + 0.55 e −1.2 x + 0.10 e −6 x
la cual concuerda muy bien con las soluciones numéricas para 0 ≤ x ≤ 10
a) Verifique las condiciones de contorno y el valor de φ ′( 0) para este potencial
b) Obtenga la expresión para la densidad de electrones a partir del potencial de Moliere.
2. Otros potenciales de apantallamiento muy utilizados son:
•
Lenz-Jensen (W. Lenz. Z.f. Physik, 77:713, 1947)
φ LJ ( x) = 0.7466 e −1.038 x + 0.2433 e −0.3876 x + 0.01018 e −0.206 x
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•
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Ziegler-Biersack-Littmark ( J.F. Ziegler, J.P. Biersack, and U. Littmark. The stopping and
range of ions in solids. Pergamon Press, New York, 1985)
φ ZBL ( x) = 0.1818 e −3.2 x + 0.5099 e −0.9423 x + 0.2802 e −0.4029 x + 0.02817 e −0.216 x
Grafique y compare potenciales y densidades con Moliere, ZBL y Lenz-Jensen para algún
elemento. Compare con la densidad obtenida por Hartree-Fock. Hágalo con algún programa
tipo Matemática (ver apéndice)
Obtendrá algo similar la siguiente figura realizada para el Si
Fig: Función apantallamiento φ (r ) para el Silicio en función de la distancia al
núcleo (ref: figura 5.6 en J. M. Hernandez Vargas, Simulación de la
Implantación iónica en semiconductores, Universidad de Valladolid, 2000).
3. Dada ecuación de Thomas-Fermi, ec. (2) , demuestre las siguientes propiedades:
a) ∞ [φ ( x )]3 / 2
∫
0
∞
b)
∫
x
dx = −φ ′ (0)
x [φ ( x)]3 / 2 dx = 1
0
∞
c)
∫
0
[φ ( x)]5 / 2
5
dx = − φ ′(0)
7
x
2
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4. Expansiones de φ (x) en serie de potencias:
a) Para x pequeños el potencial puede expandirse en serie de la siguiente forma
φ ( x) = 1 + ∑ C n x n / 2
n=2
Muestre entonces que los primeros coeficientes tienen los siguientes valores C 2 = φ ′ (0) ;
C3 = 4 / 3 ; C 4 = 0 ; C5 = 2 / 5 C 2 ; C 6 = 1 / 3 ; C 7 = 3 / 70 C 2
2
b) Muestre que si suponemos que para grandes x φ ( x) ≈ C / x n , entonces φ ( x) → 144 / x 3
5. Dada la relación entre el potencial de Thomas-Fermi y la densidad
Φ (r ) =
∫
(3π 2 ) 2 / 3
[n(r )] 2 / 3
2
r
muestre que para el átomo neutro n( r ) dr = Z
6. En el modelo TF la energía tiene una dependencia característica con Z7/3,
7
3
7/3
siendo E K = C 7 Z 7 / 3 ; E eN = − C 7 Z ; E ee =
1
C7 Z 7 / 3
3
y la energía total ETF = E K + E eN + E ee = − C 7 Z 7 / 3 ,
con C 7 = 0.76871 .
La corrección al modelo TF incluyendo un término de exchange se conoce como modelo
Thomas-Fermi-Dirac (TFD), donde la contribución de exchange a la energía tiene la forma
Eexch = −C 5 Z 5 / 3 , con C 5 = 0.220815 .
La energía total en TFD será: ETFD = E K + EeN + Eee + E exch
Una modificación importante al modelo de TF vino de la condición de cota de la densidad
electrónica cerca del núcleo, propuesta por von Weizsäcker, dando lugar al modelo TFDW. Scott
en 1952 vio que esta corrección debía llevar a agregar un témino en la energía proporcional a Z2
EW = 0.5 Z 2
En ese caso la energía total será ETFDW = E K + E eN + E ee + E exch + EW
Compare las energías de TF,TFD y TFDW, calculadas con las expresiones dadas más arriba.
Grafíque E/Z7/3 en función de Z para los distintos modelos e incluya en la comparación los
valores de las energías obtenidas por Hartree-Fock para algunos elementos (Z<54).
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