Lección 7

Tema 7
Integrales m¶
ultiples
1. Plantee la integral doble
ZZ
f (x; y) dx dy en los dos ¶ordenes de integraci¶on siendo D:
D
² El tri¶angulo de v¶ertices (0; 0), (0; 1) y (1; 0).
² f(x; y) jx2 + y 2 · 1; y ¸ 0g.
² f(x; y) jx2 + y 2 · 1; y · 0g.
² f(x; y) jx2 + y 2 · 1g.
² f(x; y) j(x ¡ 2)2 + (y ¡ 3)2 · 1g.
<OJO! En los siguientes es posible que en uno de los ¶ordenes (o en los dos) sea preciso escribir
la integral como suma de varias:
² El tri¶angulo de v¶ertices (¡1; 0), (0; 1) y (1; 0).
² El tri¶angulo de v¶ertices (0; ¡1), (0; 1) y (1; 0).
² f(x; y) jy · x2 ; y ¸ 0; 1 · x · 2g.
2. Calcule las siguientes integrales dobles
Z Z
B
p
Z Z
1
dxdy
x+y
x exp
C
µ
¡x2
y
¶
dxdy
donde B es el cuadrado de v¶ertices (0,0), (1,0), (1,1), (0,1) y C es la regi¶on determinada por las
desigualdades:
x ¸ 0,
y ¸ 1,
y · 2,
y ¸ x2 .
3. Dibuje la regi¶on D que da lugar a las integrales iteradas, cambie el orden de integraci¶on y calcule
entonces la integral
Z 1Z 1
Z 2 Z log y
y3 + 1
sen
e¡x dxdy
dydx
p
2
x
0
1
0
RR
4. Si D es un recinto acotado de R2 y calculamos
D
dxdy, >qu¶e obtenemos?.
5. Sea D = f(x; y) 2 R2 : 0 · x · 2 ;R 0R · y · 1 ; (x ¡ 1)2 + (y ¡ 1)2 ¸ 1g. Escriba los l¶³mites de
integraci¶on necesarios para calcular
dxdy en los dos ¶ordenes posibles.
D
6. Sea D = f(x; y) 2 R2 : x2 + y 2 · 2y ; 2y 2 ¡ x2 ¸ 1 ; x ¸ 0g. Represente el conjunto D e indique
cu¶al o cu¶ales de las expresiones siguientes permiten calcular el ¶area de D.
Z
0
1
Z
1
p
2
p
1+x2
p
1¡ 1¡x2
dydx
Z
0
1
Z p2y¡y2
p
2y 2 +1
dxdy
Z
0
1
Z
p
1+ 1¡x2
1
p
2
p
dydx
1+x2
p
2
2
7. Dibuje la regi¶on de integraci¶
Z Zon − = f(x; y) 2 R : 1 · x · 3; x · y · x g y escriba los l¶³mites de
integraci¶on para calcular
f (x; y) dxdy en los dos ¶ordenes posibles.
−
R R
R2R
2
x
8. Sea
x2 y dxdy = 1 1 x2 y dydx. Dibuje la regi¶on de integraci¶on − y escriba la integral que
−
permite realizar el c¶alculo integrando primero con respecto de la variable x.
1
y
p
en el cuadril¶atero curvil¶³neo que las par¶abolas y 2 =
x2 + y 2 (1 + x)3
4x + 4, y 2 = 9 ¡ 6x, y2 = 2x + 1, y 2 = 4 ¡ 4x determinan en el semiplano superior.
9. Calcule la integral de p
10. Integre cos(x2 + y2 ) en el disco unidad cerrado f(x; y) 2 R2 : x2 + y 2 · 1g y en la regi¶on anular
1 · x2 + y 2 · 4
2
2
2
11. Calcule el volumen del elipsoide xa2 + yb2 + zc2 · 1
p
RR
xy
3
2
2
2
12. Calcule
D x2 +y 2 dxdy siendo D = f(x; y) 2 R : x + y · 1 ; xy ¸ 4 g.
RR
1
2
: y ¸ 0 ; x · 1 ; x ¸ yg.
13. Calcule
3 dxdy donde − = f(x; y) 2 R
−
2
2
(1+x +y ) 2
14. Calcule el volumen del s¶olido limitado por el paraboloide x2 + y 2 = 3z y el plano z = 3.
15. Calcule el volumen del s¶olido limitado en su parte inferior por el paraboloide x2 + y2 = 3z y en su
parte superior por la esfera x2 + y 2 + z 2 = 6z
16. Calcule el volumen del s¶olido limitado por los paraboloides el¶³pticos
1
1
z = 4 ¡ x2 ¡ y 2 ; z = 3x2 + y 2
4
4
17. Calcule el volumen del s¶olido limitado en su parte superior por el paraboloide x2 + y 2 + z = 1 y en
su parte inferior por el plano z + y = 1.
18. Calcule la masa de un cono circular recto de radio R y altura h si la densidad en cada punto es
proporcional a su distancia al eje del cono.
19. Una l¶amina de masa m tiene forma de semic¶³rculo. Si la densidad en cada punto es proporcional
a la distancia al borde curvo, calcule el centro de masas de la l¶amina y los momentos de inercia
respecto del borde recto, del eje de simetr¶³a y de la recta perpendicular al plano del semidisco que
pasa por el centro de su borde recto.
20. Una l¶amina de masa m tiene forma de tri¶angulo rect¶angulo. Si la densidad en cada punto es
proporcional al cuadrado de la distancia al v¶ertice con ¶angulo recto, calcule el centro de masas de
la l¶amina.
RRR
3
21. Sean a,b,c,d n¶
umeros positivos. Calcule
D dxdydz siendo D el subconjunto de R determinado
por
x2
y2
z2
+
¡
· 1 ; jzj · d
a2
b2
c2
22. Calcule
RRR
D
xyzdxdydz donde D = f(x; y; z) : x2 + y 2 + z 2 · 1; x ¸ 0; y ¸ 0; z ¸ 0g.
23. Halle la masa de una bola de radio R sabiendo que la densidad es proporcional a la distancia a la
super¯cie esf¶erica.
24. Halle la masa de un cono circular de radio R y altura h, sabiendo que la densidad es proporcional
a la distancia al v¶ertice.
25. Use coordenadas cil¶³ndricas para hallar el volumen de un cono de radio r y altura h. Repita la
operaci¶on usando coordenadas esf¶ericas. Suponga que el cono es homog¶eneo y localice su centro de
masas. Calcule tambi¶en el momento de inercia respecto al eje del cono.
26. Calcule los momentos de inercia del elipsoide
x2
a2
2
+
y2
b2
+
z2
c2
· 1 respecto de los ejes coordenados.
27. Hallar la masa del cuerpo
− = f(x; y; z) 2 R3 : x ¸ 0; y ¸ 0; x2 · z · 4 ¡ y 2 g
sabiendo que la funci¶on de densidad est¶a dada por ±(x; y; z) = x4 .
(Planteamiento, incluyendo dominio y posibles cambios de coordenadas hasta, 5 puntos. C¶alculo
efectivo de la masa, hasta 5 puntos. Debe prestarse especial atenci¶on a los extremos de la o las
integrales necesarias, asi como a la obtenci¶on de las primitivas pertinentes.)
28. Hallar el momento de inercia de la placa de la ¯gura respecto a un eje ortogonal a la misma por
el origen de coordenadas, sabiendo que la densidad del n¶
ucleo (zona sombreada) es proporcional
a la distancia al origen y la de las alas (zonas rayadas) lo es a la distancia al borde curvo exterior. El c¶³culo menor es una perforaci¶on. Constante de proporcionalidad = 1. (Los radios de las
circunferencias a la que pertenecen los bordes curvos son, respectivamente 1, 2, 4 y 8).
π/3
π/6
29. Hallar el momento de inercia de la placa de la ¯gura respecto a un eje ortogonal a la misma por
el origen de coordenadas, sabiendo que la densidad del c¶³rculo menor es proporcional a la distancia
al origen y la de las aspas lo es a la distancia al borde curvo exterior. Los radios son 1 y 3 y la
constante de proporcionalidad es 1.
π/3
π/6
3