Modelización de un sistema de transporte de

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Modelización de un sistema de transporte de muchos orígenes
a muchos destinos con un solo hub
Lucía Barcos, Victoria M. Rodríguez y Mª Jesús Álvarez
Departamento de Organización Industrial de la E.S. Ingenieros de San Sebastián,
Universidad de Navarra, España
Francesc Robusté
Catedrático de Transporte, Director de la Cátedra abertis
E.T.S. Ingenieros de Caminos de Barcelona, Universidad Politécnica de Cataluña, España
RESUMEN
Este trabajo se centra en los sistemas logísticos de transporte de varios orígenes a varios
destinos con un solo hub. Se presenta una formulación matemática para dicho problema y se
muestra su complejidad en la aplicación práctica. Dada la necesidad de recurrir a algoritmos
heurísticos, se pretende profundizar en la estructura de estos problemas con el fin de deducir
reglas de diseño que puedan ser introducidas en dichos algoritmos.
1. INTRODUCCIÓN
Las redes logísticas de muchas empresas de transporte, como puede ser la de una empresa de
paquetería, están configuradas por una serie de servicios de transporte con orígenes y destinos
en el país o área de actuación, que aseguran, a través de unas determinadas frecuencias y
capacidad de vehículos, un plazo de entrega (normalmente 24 horas o entrega al día siguiente
antes de las 10:00 para mensajería del sector servicios) y precio adecuado al cliente.
La viabilidad del sistema (tanto en términos económicos como logísticos y comerciales) exige
la sustentación de los servicios en puntos de ruptura de las cadenas origen/destino (y la
consecuente manipulación y clasificación de la mercancía) estratégicamente localizados en el
territorio; estos puntos son las delegaciones y las terminales de rotura de carga o hubs. El
número y ubicación de las delegaciones y hubs determinan la configuración de la red de
distribución física, mientras que los servicios dependen de la tipología de los vehículos
(capacidad), sus frecuencias y la meta de plazo de entrega ofertado.
Habitualmente, los servicios de paquetería suelen asegurar la cobertura de todo un territorio
nacional. Las delegaciones tienen un ámbito de influencia aproximadamente provincial y su
misión es la de consolidar la carga de su zona de influencia. La distribución y recogida local
dentro de estas zonas (pickup and delivery, PUD) se realiza habitualmente con camiones
pequeños o furgonetas mientras que el transporte de larga distancia entre delegaciones
(linehaul) se efectúa mediante camiones de gran capacidad.
.
Este trabajo se centra en el transporte de largo recorrido entre delegaciones, de manera que el
sistema logístico a considerar tiene como orígenes y destinos las delegaciones del área en la
que se ofrece el servicio. Así, el envío de una carga desde su origen a su destino puede
realizarse directamente (si hay suficiente carga para “casi” llenar un camión), con paradas
múltiples (peddling) entre delegaciones próximas en origen o en destino, o a través de un
terminal de rotura de carga (hub), que pueden tener un ámbito de influencia nacional o
regional.
De esta forma, para cada par origen-destino de la mercancía existe una cadena de transporte
configurada por una combinación de servicios-puntos de apoyo que resulta óptima en términos
económicos y/o de nivel de servicio. Esta selección no depende exclusivamente de la
localización del origen y destino considerado y del volumen movido entre los dos puntos, sino
también de la demanda existente en la red y de la configuración de costes logísticos existentes;
el problema es global y la optimización exige una visión integral. A pesar de que en muchos
casos un porcentaje de ahorro pequeño puede significar consideraciones económicas
relevantes, normalmente en los problemas reales no se obtienen las soluciones óptimas debido
a la complejidad y gran tamaño que presentan.
2. APORTACIONES SOBRE EL PROBLEMA
Daganzo (1991) explica la importancia que tiene la utilización de hubs en un sistema de
transporte de muchos orígenes a muchos destinos, puesto que ello puede suponer una
reducción significativa en los costes logísticos. Sin embargo, cuando se trata de un problema
de transporte desde un origen a varios destinos (o viceversa) la existencia de rutas a través de
hubs solo se justifica cuando existen restricciones en la longitud de las rutas o en el tamaño de
los camiones de distribución.
Hall (1987) demuestra que transportar a través de dos terminales es una estrategia atractiva
cuando el número de orígenes y destinos es grande, siempre que no existan restricciones
temporales. Transportar a través de una sola terminal es conveniente cuando bien el número de
orígenes o bien el número de destinos es pequeño, siendo así una estrategia lógica para redes
de aprovisionamiento y distribución. Cuando es muy importante mantener una distancia de
viaje pequeña la estrategia más adecuada sería enviar la carga a través de la terminal (o las dos
terminales) que presenten menor distancia de viaje. Esta situación es característica de las redes
en las que los orígenes y los destinos están muy esparcidos o cuando el flujo de carga entre
orígenes y destinos es grande.
Hall (1989) examina varias estrategias simples como: ruta por la terminal más cercana (al
origen o al destino), ruta por las dos terminales más cercanas al origen y a destino
respectivamente, ruta por la terminal que produce la distancia mínima, estrategias con
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terminales tipo “master” (todos los envíos entre diferentes zonas se hacen a través de una
terminal “master” y los envíos dentro de una zona se hacen a través de la terminal de la zona),
y otras estrategias híbridas. En este trabajo, Hall introduce nuevos aspectos en el análisis,
como son: el tiempo necesario para la clasificación y reorganización de la carga, el tiempo que
supone viajar por rutas que se desvían mucho de la ruta directa para pasar por la terminal, la
necesidad de tener que hacer clasificación de la carga en el lugar de origen cuando de éste sale
mercancía hacia varias terminales, la necesidad de realizar viajes en vacío cuando el número
de aviones que entran a una terminal es diferente al número de aviones que salen de la misma.
Hall (1.996) extiende el análisis hasta incluir el subsistema de reparto y recogida local.
Como ya se ha mencionado anteriormente, un factor decisivo para las empresas de paquetería
es el cumplimiento del plazo de entrega. Esto implica que aunque existan rutas óptimas en
términos de costes se elijan otras estrategias de ruta que proporcionen un mayor nivel de
servicio. La implementación informática de un algoritmo heurístico (Robusté et al., 1996)
mostró que para muchas parejas origen-destino no es factible el transporte por rutas que pasen
por dos hubs, puesto que al desvío respecto a la dirección principal se le añade un doble
manejo de la carga con el consumo de tiempo que ello supone. Así, para muchos pares origendestino solo será posible transportar la carga a lo sumo por un hub, bien sea el más cercano al
origen (o al destino) o bien el hub que proporciona la distancia mínima.
Teniendo en cuenta lo anterior, no es difícil encontrarse con un conjunto de pares origendestino asignados a un solo hub, pudiendo elegirse para el transporte entre cada par una ruta
directa, una ruta con paradas múltiples o bien una ruta a través del hub. Esta elección supone
un problema muy complejo en el que la decisión a tomar para cada par origen-destino está
influenciada por las decisiones tomadas para el resto de los pares.
3. FORMULACIÓN Y COMPLEJIDAD DEL PROBLEMA
El presente trabajo aborda el siguiente problema: dado un conjunto de pares origen destino
asignados a un mismo y único hub, se debe elegir para cada par aquella ruta que desemboque
en un menor coste. La alternativas de ruta existentes son: transporte directo, ruta con dos
paradas en origen y un único destino (peddling de dos puntos en origen) y transporte a través
del hub. Como se puede observar, las posibilidades de hacer peddling se han reducido a dos
paradas a lo sumo, y además en origen, para poder tratar el problema de una manera más
sencilla.
Sea el conjunto de orígenes i∈ N ={1, 2, 3, …, n} y el conjunto de destinos j∈ M ={1, 2, 3 …,
m}. Sea qij la carga a transportar entre el origen i y el destino j, bien sea directamente, con dos
paradas en origen o a través del hub H (véase la Fig. 1). Se asume una capacidad C (en
unidades de carga) única para los vehículos. Es evidente que cuando un vehículo se llena en el
origen lo más rentable es enviar el vehículo directamente, con lo cual se asume sin pérdida de
.
generalidad que 0 ≤ qij <C.
N
M
1
1
2
2
.
.
.
.
.
.
.
.H
dih
i
dhj
dik
k
.
.
n
dij
dkj
j
.
.
m
dikj=dik+dkj
Fig. 1 – Red con n orígenes, m destinos y un hub
En este planteamiento no se va a considerar el coste de parada al hacer peddling ni el coste de
parada y manipulación en el hub, de manera que minimizar el coste significará minimizar el
número de vehículos-kilómetro necesarios para realizar el servicio.
Por otro lado, aunque en algunas ocasiones pueda ser beneficioso el partir una carga para ser
transportada por dos rutas diferentes, en la práctica esta posibilidad es poco factible puesto que
complicaría mucho la operación y aumentaría el riesgo de extraviar la mercancía. Por tanto, se
asume que para cada qij solamente es posible una única alternativa de ruta.
La formulación matemática del modelo exige la definición de una serie de variables de
decisión:
1 si la carga de i a j debe enviarse directamente
X ij = 
0 en el caso contrario
Z ikj
1 si la carga qij se transporta siguiendo una ruta con dos paradas en origen

=  según la secuencia i-k-j
0 en el caso contrario

1 si la carga qij se transporta pasando por el hub
Yijh = 
0 en el caso contrario
Wih = número de vehículos que viajan desde el origen i al hub
Whj = número de vehículos que viajan desde el hub al destino j
La nomenclatura seguida para las distancias existentes entre los distintos puntos (orígenes,
destinos, hub) del sistema es la siguiente:
.
d ij = distancia directa entre el origen i y el destino j
d ikj = distancia recorrida al viajar desde el origen i al destino j haciendo peddling
en origen con k , siguiendo la secuencia i-k-j
d ih = distancia existente entre el origen i y el hub
d hj = distancia existente entre el hub y el destino j
Con todo lo anterior el problema puede formularse de la siguiente manera:
Minimizar
n
n
m
m
n
m
i =1
j =1
(1)
(q
(1.1)
i =1 j =1
Sujeto a:
n
∑∑ d ij X ij + ∑∑∑ d ikj Z ikj + ∑ d ihWih + ∑ d hjWhj
ij
i =1 k =1 j =1
k ≠i
+ q kj )Z ikj ≤ C
i=1, 2 , 3, …, n
k=1, 2 , 3, …, n; k≠i
j=1, 2 , 3, …, m
n
n
k =1
k ≠i
k =1
k ≠i
X ij + ∑ Z ikj + ∑ Z kij + Yijh = 1
i=1, 2 , 3, …, n
(1.2)
j=1, 2 , 3, …, m
m
∑q Y
j =1
ij ijh
n
∑q Y
i =1
ij ijh
≤ C Wih
i=1, 2 , 3, …, n
(1.3)
≤ C Whj
j=1, 2 , 3, …, m
(1.4)
i=1, 2 , 3, …, n
(1.5)
X ij , Z ikj , Yijh ∈ {0, 1}
k=1, 2 , 3, …, n; k≠i
j=1, 2 , 3, …, m
+

 
 m

 ∑ qij  

j =1
 
Wih ∈ 0, 1, 2 ...,
 C  

 


 


i=1, 2 , 3, …, n
(1.6)
+

 n
 

 ∑ qij  

Whj ∈ 0 , 1, 2 ..., i =1  
j=1, 2 , 3, …, m
(1.7)
C





 



+
Donde [x] es la parte entera superior de x
Las inecuaciones (1.1) reflejan el hecho de que solo será posible realizar una ruta con dos
paradas en origen cuando la carga total que se recoge en el peddling quepa en un vehículo. Las
.
ecuaciones (1.2) obligan a escoger para cada par origen-destino una sola ruta, evitando así que
una carga qij pueda partirse para ser enviada al destino a través de dos rutas diferentes. Las
inecuaciones (1.3) y (1.4) establecen las variables Wih y Whj como el mínimo número de
vehículos necesarios para transportar toda la carga que se envía desde cada origen al hub y
desde el hub a cada uno de los destinos respectivamente.(1.5) define a las variables Xij, Zikj e Yijh
como variables binarias, mientras que (1.6) y (1.7) definen a las variables Wih y Whj como
variables enteras.
El número de variables y restricciones que requiere esta formulación es:
Número de variables tipo X ij = mn
Número de variables tipo Z ikj = nm(n − 1)
Número de variables tipoYijh = nm
Número de variables tipo Wih = n
Número de variables tipo Whj = m
Número de restricciones tipo (1.1) = nm(n − 1)
Número de restricciones tipo (1.2) = nm
Número de restricciones tipo (1.3) = n
Número de restricciones tipo (1.4) = m
Cabe añadir que, con pequeñas modificaciones, esta formulación también permite trabajar con
vehículos de varias capacidades aunque eso implicaría el uso de un mayor número de
variables.
El número de posibles soluciones , S, para el problema puede calcularse con la fórmula que se
muestra a continuación. Algunas de ellas pueden no ser factibles por no cumplir las
restricciones (1.1) de la formulación expuesta anteriormente. Por otro lado, solo se ha
considerado como posible solución la mejor alternativa de hacer peddling con dos orígenes (i
y k) y un destino j, es decir, la mejor entre la rutas i-k-j y k-i-j.
m
Si n es par


n!
S = 
5 n / 2 
n/2
 (n / 2 )! 2

Si n es impar


n!
S = 
5 ( n −1) / 2 
( n −3) / 2
 ((n − 1) / 2)! 2

(2.1)
m
(2.2)
A modo de ejemplo y con objeto de reflejar de manera intuitiva la complejidad que alberga
este problema, se calcula el número de variables y restricciones requeridas para la formulación
de un problema con diez orígenes y cinco destinos. También se calcula el número de posibles
soluciones :
.
Número de variables binarias: 550
Número de variables enteras:15
Número de restricciones: 515
Número de posibles soluciones ≅ 2 ⋅ 10 32
El ejemplo conduce a pensar que el número de variables y restricciones que deberían utilizarse
para resolver muchos problemas reales, haría que el planteamiento matemático expuesto fuese
un camino de resolución poco viable. Es por ello por lo que resulta necesario profundizar en la
estructura de estos problemas para crear reglas sencillas de diseño que después puedan ser
introducidas en algoritmos heurísticos. Ésta sería una manera de dotar a este tipo de
algoritmos de una sólida base científica y conceptual.
5. ALGUNAS REGLAS DE DISEÑO
A continuación se citan algunas reglas de diseño muy sencillas y fácilmente demostrables.
Cuando se contempla la posibilidad de utilizar camiones de diferentes capacidades se asume
un coste por kilómetro para cada vehículo lineal con su capacidad.
•
•
•
Dadas dos cargas qij y qkj, siempre será más rentable el envío directo de ambas cargas que
realizar peddling en i y en k cuando la distancia entre i y k es mayor que la mayor de las
distancias directas desde cada origen al destino, es decir, cuando dik>Max(dij, dkj). Esta regla
es válida incluso cuando se trabaja con vehículos de capacidades diferentes.
Hacer peddling en tres orígenes i, k, l y destino en j, siguiendo la secuencia de ruta i-k-l-j,
solo puede ser la mejor alternativa en el caso en el que dik<dij y dkl<dkj (condiciones
necesarias pero no suficientes). Esto también se cumple cuando existe la posibilidad de
trabajar con vehículos de diferentes capacidades.
Dadas dos cargas con un mismo origen y dos destinos diferentes, qij y qig, si la distancia del
origen i al hub es mayor que la suma de las distancias directas desde el origen a los
respectivos destinos, es decir si dih>dij+dig, entonces el envío directo de ambas cargas
siempre será mejor que el envío de las mismas a través del hub. Esta regla se cumple
independientemente de la existencia de otras cargas que viajen a través del hub con
destino en j o g, procedentes de otros orígenes diferentes a i. Esto es válido incluso cuando
se trabaja con vehículos de varias capacidades
Estas reglas son el inicio de una investigación más profunda con la que, siguiendo esta línea,
se persigue un mayor número de reglas de diseño y de mayor consistencia, para
posteriormente introducirlas en un algoritmo heurístico capaz de resolver este tipo de
problemas.
.
6. CONCLUSIONES
El buen diseño de las rutas de un sistema de distribución punto a punto, como es el de una
empresa de paquetería, debe cumplir los requerimientos de nivel de servicio ofrecidos por la
empresa al menor costo posible. Esto conlleva la existencia de conjuntos de pares origendestino cuya carga puede ser transportada a lo sumo por un hub, ya que el paso por dos hubs
podría suponer un consumo de tiempo demasiado elevado para los requerimientos de nivel de
servicio ofertado. Así, no es difícil encontrarse con sistemas de varios orígenes, varios
destinos y un solo hub para los cuales hay que decidir una alternativa de ruta entre las
siguientes: envío directo, ruta con paradas múltiples (en origen o en destino) y ruta a través del
hub.
La formulación matemática de este tipo de problemas alberga una gran complejidad y requiere
el uso de un gran número de variables y restricciones, lo que hace que esta formulación sea
poco viable en muchos problemas reales. Por ello hay que recurrir a la utilización de
algoritmos heurísticos. Para dotar a estos algoritmos de una sólida base científica y conceptual
es necesario un estudio profundo de este tipo de estructuras logísticas para así obtener reglas
de diseño que puedan ser introducidas en los algoritmos. En este trabajo se exponen algunas
reglas de diseño que son el inicio de un estudio más profundo para alcanzar un mayor número
de reglas y de mayor consistencia.
REFERENCIAS
DAGANZO, C. (1991). Logistics Systems Analysis. Springer-Verlag.
HALL, R.W. (1987). Comparison of strategies for routing shipments through transportation
terminals. Transportation Research 21A(6), pp. 421-429.
HALL, R.W. (1989). Configuration of an overnight package air network. Transportation
Research 23A(2), pp. 139-149.
HALL, R.W. (1996). Pickup and delivery systems for overnight carriers. Transportation
Research 30A, pp. 173-187.
ROBUSTÉ, F, ALMOGUERA, J.M., GARGALLO, X. y ARDANUY, A. (1996). Sistema de
ayuda a la decisión para la reestructuración de la red logística de una empresa de transporte
urgente. Actas del II Symposium de Ingeniería de los Transportes, tomo II, pp. 269-277.