© Abel Martín Un empresario dispone un determinado día de 3600

La programación lineal
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091.– PAU – Universidad de Oviedo – Fase Específica – Opción A – Extraordinaria 2012
Un empresario dispone un determinado día de 3600 euros para fabricar ratones y
teclados. Cada ratón le cuesta 30 euros y lo vende a 34 euros. En cuanto a los
teclados, cada uno tiene asociado un coste de fabricación de 40 euros y un precio
de venta de 45 euros. Por restricciones de la empresa, no se pueden fabricar más
de 95 aparatos en total en un día.
(a) ¿Cuántos ratones y cuántos teclados puede fabricar en un día? Plantea el
problema y representa gráficamente el conjunto de soluciones. ¿Podría fabricar en
un día 15 ratones y 20 teclados?
(b) Teniendo en cuenta que el beneficio es la diferencia entre el precio de venta
y el coste y que la empresa vende todo lo que fabrica, ¿cuántos aparatos de cada
tipo debe fabricar en un día para que el beneficio sea máximo?
(c)* ¿Cuántos tendría que fabricar para maximizar el número de teclados?
RESOLUCIÓN apartado (a)
DETERMINACIÓN DE INCÓGNITAS
x ≡ "Número de ratones fabricados en un día"
y ≡ "Número de teclados fabricados en un día"
CONJUNTO DE RESTRICCIONES
30x + 40y ≤ 3600 → Costes
x + y ≤ 95
x≥0
y≥0
Simplificamos expresiones...
3x + 4y ≤ 360
x + y ≤ 95
x≥0
y≥0
LA REGIÓN FACTIBLE
Realizamos unas sencillas tablas de valores...
3x + 4y = 360
x
0
120
y
90
0
x + y = 95
x
0
95
y
95
0
En la PAU tendremos que ir realizando la actividad con lápiz y papel, en un solo dibujo,
aunque en el aula podremos utilizar herramientas auxiliares como lo puede ser una calculadora
gráfica, en nuestro caso, la fx – CG20 de CASIO. Para una mejor comprensión por parte del
alumnado, vamos a mostrar, de forma pautada, las imágenes de cómo se va obteniendo la
región factible en cada momento.
El nombre de la función y la verificación de uno de los infinitos puntos del semiplano figuran,
en cada momento, a la derecha de los mismos.
3x + 4y ≤ 360
Punto (0, 0)
0 ≤ 360
SÍ se verifica
(0, 0) ∈ semiplano correspondiente
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Del aula a la PAU
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x + y ≤ 95
(0, 0)
0 ≤ 95
SÍ se verifica
(0, 0) ∈ semiplano correspondiente
x≥0
Todos los valores del primero y cuarto
cuadrantes
y≥0
Todos los valores del primero y segundo
cuadrantes
Finalmente podremos observar la solución del sistema de inecuaciones en forma de zona
sombreada, los vértices y los nombres de las rectas.
Las distintas combinaciones de elementos de informáticos fabricados en un día
vienen representadas por los puntos (x, y) pertenecientes a la región factible
(sombreada), donde "x" es número de ratones e "y" es el número de teclados, con la
condición de que tanto "x" como "y" sean números naturales.
• ¿Podría fabricar en un día 15 ratones y 20 teclados?
Sí es posible pues esa combinación viene representada por el punto (15, 20) y se
encuentra claramente dentro de la región factible.
RESOLUCIÓN apartado (b)
• Teniendo en cuenta que el beneficio es la diferencia entre el precio de venta y el coste y
que la empresa vende todo lo que fabrica, ¿cuántos aparatos de cada tipo debe fabricar en un
día para que el beneficio sea máximo?
B(x, y) = 4x + 5y
LOCALIZACIÓN DE SOLUCIONES
Teorema fundamental de la programación lineal: Como la región factible existe y está
acotada, el valor óptimo de la función objetivo se alcanzará en uno de los vértices del polígono
que limita la región, o a lo largo de uno de los lados.
Por lo tanto, lo primero que tendremos que hacer es averiguar los VÉRTICES del polígono
que constituye la región factible:
CÁLCULO DE VÉRTICES
A → Visualización directa en la gráfica y tabla de valores: A(0, 0)
B → Visualización directa en la gráfica y tabla de valores: B(0, 90)
C(x, y) Resolvemos el sistema
 Abel Martín
La programación lineal
( −3)
x + y = 95 
 →
(1) 3x + 4y = 360
− 3x − 3y = −285

3x + 4y = 360 
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→ y = 75
x + 75 = 95
x = 20
x = 20 → y = 75 →
C(20, 75)
D → Visualización directa en la gráfica y tabla de valores: D(95, 0)
LA FUNCIÓN OBJETIVO
B(x, y) = 4x + 5y
ANÁLISIS DE ÓPTIMOS
Aplicamos el TEOREMA mencionado:
Vértices
A(0, 0)
B(0, 90)
C(20, 75)
D(95, 0)
B(x, y) = 4x + 5y
4·0 + 5·0 =
4·0 + 5·90 =
4·20 + 5·75 =
4·95 + 5·0 =
Valor
0
450
455
380
Para maximizar los beneficios tendrá que fabricar diariamente 20 ratones y 75
teclados, momento en el que dichos beneficios ascenderán a 455 euros.
RESOLUCIÓN apartado (c)*
¿Cuántos tendría que fabricar para maximizar el número de teclados ?
Para contestar a la pregunta, habrá que observar cuál es el mayor valor que toma "y" dentro
de la región factible.
Vemos que se encuentra en el punto D(0, 90)
Para maximizar el número de teclados habrá que fabricar 90 teclados y ningún ratón.
Criterios de corrección y calificación especificados en la prueba oficial:
(a) Plantear las inecuaciones: 0.75 puntos. Representar la región factible: 0.75 puntos. Cuestión:
0.25 puntos. (b) 0.75 puntos.
 Abel Martín