2.3 Consecuencia Lógica

Consecuencia Lógica: primera
aproximación
En la construcción de un lenguaje formal, LE en este caso, se recorren tres de las
cuatro etapas que caracterizan el estudio de la consecuencia que lleva a cabo la
Lógica contemporánea: se analizan las categorías formales que definen la estructura
de los enunciados de un argumento, se elige un simbolismo apropiado para estas
categorías, y, finalmente, se elabora una gramática formal encargada de regular el
manejo de tales símbolos –cf. [2], cap. 1.2-. Falta ofrecer un criterio de corrección que
permita distinguir argumentos correctos de aquellos otros que no lo son. Es a este
último aspecto del problema al que se va a dedicar buena parte del resto de este
curso.
Al disponer de un lenguaje formal en el que expresar la estructura de los
enunciados que forman un argumento, y por tanto, de esos mismos argumentos, el
asunto de la Lógica comienza a incorporar de forma sutil dosis progresivas de aparato
matemático y formal ya existente. Los argumentos de los que se ha hablado hasta
ahora son secuencias del tipo <O1,O2,...On;On+1> en las que cada Oi representa un
enunciado del castellano; la serie O1,O2,...On recibía el nombre de premisas, y On+1 el
de conclusión. Una vez se fija un lenguaje formal, LE en este caso, se tiene que
[1]
Un argumento es un par ordenado del tipo <X,A>, donde X⊆LE y A∈LE.
Es decir, un argumento es un par formado por un conjunto X de fbfs que
corresponden a las premisas y una fbf A que corresponde a la conclusión. En lo
sucesivo respetaré la convención de emplear las últimas letras del alfabeto, X, Y, etc
para representar conjuntos de fórmulas, y las primeras, A,B, etc para representar
fórmulas.
Lógica de Enunciados
Así visto, el objetivo que se propone la Lógica no es otro que establecer una
partición del conjunto de todos los pares del tipo anterior en dos clases, la formada por
aquellos pares que representan argumentos aceptables desde un punto de vista
lógico, y los que no. Desde un punto de vista puramente intuitivo, hablar de
consecuencia lógica es hablar, prima facie, de una relación, la relación de
consecuencia lógica. Esta presunta relación es la que se supone que existe entre una
colección de premisas y cada una de sus conclusiones lógicamente aceptables. Desde
un punto de vista formal, la relación de consecuencia lógica dado LE es:
[2]
R|={<X,A>/ A es consecuencia de X}
En otras palabras, la relación de consecuencia lógica definida sobre LE y
representada simbólicamente como R|, consiste en el conjunto formado por todos los
pares <X,A> tales que A es consecuencia de X. No parece mucho, ciertamente, pero
al menos se ha conseguido establecer qué tipo de entidad es la consecuencia desde
un punto de vista puramente matemático o abstracto: es una relación de un cierto tipo.
Desde el punto de vista de la Filosofía tradicional puede resultar un tanto
insólito el uso de expresiones como “una relación es un conjunto de elementos del tipo
... tales que...”. Sin embargo, es un rasgo distintivo de la Lógica contemporánea
interpretar las relaciones precisamente como conjuntos de un cierto tipo. Para aclarar
este punto, fundamental en todo lo que sigue, será bueno introducir algo de
terminología.
[3]
Considérese una serie finita de conjuntos cualesquiera M1,M2 ,...Mn a la
que se denomina base.
i.
Una n-tupla sobre una base M1,M2,...Mn es cualquier secuencia
ordenada <x1,x2,...x n> en la que cada xi es un elemento de Mi.
94
Consecuencia lógica
ii.
El producto cartesiano de una base M1,M2,...Mn, M1xM2x...xMm
en símbolos, es el conjunto de todas las m-tuplas tales que cada
xi∈Mi.
Para algunos valores especiales de n, las correspondientes n-tuplas poseen un
nombre característico. Así, si n=2, hablamos de pares, si n=3 de triplos. Cuando n=1,
admitimos confundir –si no hay posibilidad de error- las 1-tuplas, que deberían
representarse como <x>, con los propios elementos x de la correspondiente base.
Nada impide que para formar un cierto producto cartesiano se repita una o más veces
alguno de los conjuntos de la base considerada. En el límite, se puede dar el caso de
una base formada por un único conjunto M que se utiliza n veces para formar un
producto cartesiano Mx...xM. En tales casos, ese producto cartesiano se representa
simbólicamente como Mn.
[4]
Dada una base M1,...Mi, decimos que Rn es una relación n-aria definida
sobre dicha base, si Rn es un subconjunto del correspondiente producto
cartesiano definido sobre M1 ,...Mi.
Se tiene, en definitiva, que una relación n-aria no es sino un conjunto de ntuplas. Si la base está formada por un único conjunto M, una relación n-aria sobre esa
base será un subconjunto de Mn, esto es, Rn⊆Mn. Las relaciones que consisten
simplemente en conjuntos de pares, esto es, aquellas que son relaciones del tipo R2,
reciben el nombre de relaciones binarias. Este último tipo de relaciones constituyen un
objeto de especial interés para la Lógica y la Matemática. Como se verá más adelante,
cualquier relación de ariedad mayor puede ser expresada en última instancia como
una relación binaria peculiar. Esto permite que el estudio de las relaciones binarias
constituya un lugar privilegiado para el análisis del comportamiento abstracto de
cualesquiera relaciones.
Es frecuente emplear el término “extensión” para hacer referencia al conjunto
de n-tuplas en que consiste una cierta relación. No es raro oír que la extensión de esta
95
Lógica de Enunciados
relación está incluida en la de aquella otra, que tal o cual n-tupla son miembros de la
extensión de una cierta relación, o que la extensión de una relación R es, por ejemplo,
el conjunto vacío. Con ello se está dando a entender de forma implícita que la relación
a la que en cada caso se hace referencia es un combinado de esa extensión y algo
más. Esta es una vieja disputa dentro de la Lógica y de su filosofía a la que no me voy
a referir por el momento. En lo que sigue, una relación no es nada distinto de su
extensión. Mientras permanezcamos fieles a este principio abrazaremos lo que se
denomina una concepción extensional del significado. Los sistemas lógicos que
ocupan un curso introductorio de Lógica son, por lo general, ejemplos de este tipo de
posición y por ello no es infrecuente utilizar el término Lógica extensional para
referirse a ellos.
Muchas de las propiedades que una relación posee pueden ser expresadas
haciendo uso de técnicas puramente formales sin tener en cuenta, por tanto, el asunto
particular del que trata esa relación, una de las ventajas de operar de acuerdo a una
doctrina extensional del significado. Así,
[5]
Algunas propiedades características de las relaciones binarias:
i.
Reflexividad: R es reflexiva syss –si y sólo si- cada par del tipo
<x,x> pertenece a su extensión.
ii.
Simetría: R es simétrica syss siempre que un par <x,y>
pertenece a su extensión, el par <y,x> también es miembro de la
misma.
iii.
Antisimetría: R es antisimétrica syss siempre que <x,y> e <y.x>
pertenecen a R, sucede que x=y.
iv.
Transitividad: R es transitiva syss sucede que si los pares <x,y>
e <y,z> pertenecen a su extensión, entonces también pertenece
el par <x,z>.
96
Consecuencia lógica
La lista no termina aquí, desde luego. De hecho, es fácil imaginar el modo de
introducir nuevos requisitos útiles para caracterizar otros casos de interés.
Buena parte de la conducta que posee una relación como la de “ser de la
misma edad o en todo caso más joven que...” se debe a que es una relación reflexiva,
antisimétrica y transitiva, algo que con frecuencia se denomina relación de orden. Esa
conducta coincide en gran medida con la que presenta la relación de “ser menor o
igual que...” definida, por ejemplo, sobre los números naturales, que también
constituye una relación de orden.
Parece tentador emplear este tipo de análisis abstracto de las relaciones para
caracterizar algo que ahora se presenta también como una relación: la de
consecuencia. ¿Hay propiedades de este tipo que quepa asociar a cualquier
interpretación plausible de la misma, aún sin entrar en la construcción de un criterio de
corrección como el que nos hemos fijado como objetivo? Confirmar la existencia de
tales propiedades sería un hecho ciertamente curioso ya que tendrían que proceder de
aspectos muy básicos acerca de nuestro modo de entender la conexión entre
premisas y conclusión cuando se afirma que de tales premisas ciertamente se sigue
aquella conclusión.
Para poder analizar la relación de consecuencia de este modo, es preciso, en
primer lugar, identificar por completo el tipo de relación en que consiste R|. Al haber
caracterizado esta relación –[2]- como una colección de pares del tipo <X,A> parece
haberse asumido implícitamente que R| es una relación binaria. Sin embargo, no es
exactamente una relación binaria como las que se han definido antes, ya que los
elementos que componen sus pares no son homogéneos: mientras que el primero es
un conjunto de fórmulas, el segundo es una fórmula. Para establecer el tipo de R| se
hace preciso una definición más:
97
Lógica de Enunciados
[6]
Dado un conjunto M, se define su conjunto de partes, o conjunto
potencia, (M) en símbolos, como
(M)={Mi/ Mi⊆M}.
El conjunto de potencia del conjunto LE, (LE), estará formado entonces por
todos los conjuntos –no necesariamente finitos- de fórmulas bien formadas en LE. El
producto cartesiano de (LE) por el propio conjunto LE, (LE)xLE, estará formado, a su
vez, por todos los pares del tipo <X,A>. La relación de consecuencia, hemos dicho, es
un subconjunto de pares de este tipo, por tanto,
[7]
Dado el lenguaje L E, la relación R| se define como un conjunto que
satisface lo siguiente:
R|⊆ (LE)xLE.
¿Qué propiedades abstractas parecen corresponder a la relación de
consecuencia? ¿Dónde hay que mirar para establecer cuáles son estas, si es que
existen? ¿Ofrecen alguna información relevante sobre la noción misma de
consecuencia?
Como es obvio, ninguna de las propiedades que puedan establecerse en este
momento podrán ser interpretadas como el resultado de un cierto criterio de corrección
aplicado a los argumentos del tipo <X,A>. Sencillamente aún no se ha introducido
ninguno. Aunque en esto hay algo de reconstrucción racional de los hechos, habrá que
reconocer que las propiedades abstractas que quepa predicar de la consecuencia son
el resultado un análisis informal previo del acto mental que tiene lugar al afirmar que
un cierto enunciado A es consecuencia de una cierta colección X de premisas . Las
siguientes propiedades son algunas de las cabe interpretar como propiedades
típicamente asociadas a la relación de consecuencia.
98
Consecuencia lógica
[8] Propiedades típicamente asociadas a la relación de consecuencia.
i. Reflexividad:
Para cualquier fórmula A, sucede que si A∈X, entonces
<X,A>∈Rð.
ii. Monotonía:
Para cualesquiera conjuntos X, Y, y cualquier fórmula A,
sucede que si <X,A>∈ Rð, y X⊆Y, entonces <Y,A>∈ Rð.
iii. Transitividad:
Para cualquier conjunto X, y cualesquiera fórmulas A, B,
sucede que si <X,A>∈Rð y <A,B>∈Rð, entonces
<X,B>∈Rð.
La primera de ellas, la reflexividad, es una de las que más fuertemente
caracteriza la relación de consecuencia. Lo que viene a sostener es que a partir de un
enunciado tomado como premisa siempre se puede concluir ese mismo enunciado. Es
cierto que en ocasiones puede resultar extraño que ciertos usos de cláusulas
consecutivas como las que se emplean para la consecuencia se comporten realmente
de este modo. Un poco de análisis suele convencernos de que esa extrañeza se debe
a que en tales casos la consecuencia lógica aparece confundida con otras relaciones
seguramente muy próximas. El caso típico es el que afecta a la noción de explicación.
Mientras que no parece posible rechazar que de el hecho de que ahora llueve se
puede concluir que es el caso que llueve ahora, no sucede lo mismo cuando
pretendemos explicar por qué llueve. Nunca aceptaremos que ahora llueve porque de
hecho llueve ahora sea una instancia satisfactoria de una explicación.
La monotonía informa sobre el carácter persistente de la relación de
consecuencia cuando se producen aumentos de información entendidos estos como la
presencia de nuevas fórmulas en las premisas. Las fórmulas que eran consecuencia
de un cierto conjunto de premisas lo siguen siendo de cualquier conjunto mayor de
premisas que incluya al primero. A diferencia de lo que sucede en el caso de la
reflexividad, la monotonía ha sido desafiada por sistemas que permiten caracterizar
relaciones de consecuencia en los que esta propiedad deja de darse. No obstante, la
99
Lógica de Enunciados
relación entre premisas y conclusión que dichos sistemas analizan parece ser en
sentido propio una relación de consecuencia. Las razones para que esta propiedad
falle pueden ser de muchos tipos, pero la mejor estudiada es aquella en la que la
adición de nueva información se interpreta como parte de un proceso de revisión de la
información previamente admitida. Una respuesta fácil a este tipo de maniobras
consiste en pensar que tal vez, lo que se está alterando son las reglas del juego, y no
las propiedades básicas de la consecuencia.
La transitividad informa de que la consecuencia es, en un cierto sentido, una
relación en la que hay algo que parece preservarse de premisas a conclusión. La
transitividad es una propiedad que aparece en todo tipo de relaciones en las que
existe ese fenómeno de preservación. Si A es consecuencia de X y B lo es a su vez de
A, es obvio que B lo será también de X. Al igual que sucede con la monotonía, hay
buenos ejemplos de sistemas que caracterizan relaciones aparentemente de
consecuencia en los que esta propiedad no se da. Esto suele responder a la
consideración de criterios complejos a la hora de considerar que algo es consecuencia
de un conjunto de premisas.
Como se desprende de los términos empleados en [8] estas propiedades son
sólo propiedades típicamente asociadas a la consecuencia, y aunque hay autores que
han visto en ellas auténticos rasgos definitorios de esta relación, en la actualidad son
pocos lo que se atreven a interpretarlas de este modo. La lista, además, no termina
aquí. Hay al menos otras dos propiedades que cabe incluir en este apartado. Pero
antes es preciso introducir algunas herramientas más.
[9]
i. Una función con dominio en un conjunto A y rango en otro conjunto B,
f:A→B, en símbolos, es cualquier aplicación de los elementos de A en
los de B tal que a cada elemento de A al que f asigna valor le
corresponde un único elemento de B.
ii. Una operación es cualquier función del tipo f:An→A, para n>0.
100
Consecuencia lógica
La suma o el producto definidas sobre los números naturales son operaciones
de tipo 2→. Considerado el conjunto de todas las fórmulas de LE hay una operación –
que a veces recibe también el nombre de endomorfismo- conocida como operación de
substitución uniforme fácil de entender aunque compleja de definir. Imagínese una
función que envía átomos de LE sobre fórmulas de LE. Esta función es una función del
tipo e:{p,q,...p0, p1 ,...pi,...}→LE. Si en cada fórmula de LE procedemos a reemplazar
cada letra de variable por su nuevo valor bajo e el resultado es una substitución
uniforme en la que a partir de la función original e se obtiene una nueva función
Sbe:LE→LE en las que las letras de variable han sido substituidas como establece e.
Formalmente, esto da lugar a lo siguiente:
[10]
Dada una función e:{p,q,...p0, p1,...pi,...}→LE, se obtiene la operación de
substitución uniforme Sbe correspondiente aplicando las siguientes
cláusulas:
i.
Si A es un átomo, Sbe(A)=e(A)
ii.
Sbe(¬A)=¬Sbe(A)
iii.
Sbe(AoB)=Sbe(A)oSbe(B), donde o∈{v,&,→}
Así, si e(p)=p→q, y e(q)=q, Sbe(q→¬p)=q→¬(p→q). Esto permite añadir lo siguiente:
[11] Propiedades típicamente asociadas a la relación de consecuencia (y2)
iv.
Estructuralidad (formalidad): Si <X,A>∈R|, entonces
<Sbe(X),Sbe(A)>∈R|.
v.
Compacidad (finitariedad): Si <X,A>∈R|, entonces existe un
subconjunto finito Xi de X tal que <Xi,A>∈R|.
La propiedad de estructuralidad o formalidad informa de que cualquier instancia
de substitución de un argumento lógicamente aceptable habrá de ser también un
argumento aceptable. Dicho de otra forma, las variables, si son propiamente variables,
101
Lógica de Enunciados
no pueden influir en la aceptabilidad de un argumento, salvo por lo que hace a su
distribución –que es lo que se preserva en una substitución uniforme-. La compacidad
o finitariedad afirma, a su vez, que no hay consecuencias que sólo lo sean de
colecciones infinitas de fórmulas.
Quizá sea bueno comprobar mediante un poco de reflexión si todas estas
propiedades se deducen realmente de un análisis intuitivo del significado y uso
ordinario de la noción de consecuencia. Cuando he hablado de una cierta
reconstrucción racional en este modo de ver las cosas pretendo dar a entender que el
proceso real por el cual se asocian estas propiedades a la consecuencia tal vez tuviera
lugar de otro modo. En concreto, no se puede despreciar en todo esto la existencia
previa de un criterio de corrección argumental que mostraba de hecho una conducta
conforme a las propiedades descritas. No obstante, también es cierto que existen
buenas razones para afirmar que este tipo de estudio de la consecuencia, al que
denominaré abstracto, no precisa realmente de criterio previo alguno.
El primero en apreciar la importancia del estudio abstracto de la consecuencia
como herramienta de análisis de un concepto informal fue el lógico polaco A. Tarski,
investigador justamente considerado como una de las grandes figuras de la Lógica
contemporánea. Su estudio no interpreta la noción de consecuencia como una relación
del tipo descrito en [7]. En su lugar opta por caracterizarla como una operación, algo
que como se verá a continuación, facilita este tipo de estudio abstracto. La
consecuencia entendida como una operación consiste, simplemente, en aquella
función que a cada conjunto de fórmulas le asigna otro, el de todas las conclusiones
que se siguen de aquellas. Esto da lugar a lo siguiente:
[12] La operación de consecuencia es una operación del tipo:
-
102
C: (LE)→ (LE)
Consecuencia lógica
Las propiedades de la operación de consecuencia que corresponden a las
descritas líneas atrás para la relación R| se formulan del siguiente modo:
[13] Propiedades típicamente asociadas a la operación de consecuencia:
i.
Reflexividad: X⊆C(X)
ii.
Monotonía: Si X⊆Y, entonces C(X)⊆C(Y)
iii.
Transitividad: C(C(X))⊆C(X)
iv.
Estructuralidad: Sbe(C(X))⊆C(Sbe(X))
v.
Compacidad: C(X)=WC(Xi), Xi es un subconjunto finito de X.
Es fácil darse darse cuenta de que no hay diferencias de fondo entre la
interpretación de la consecuencia como una relación o como una operación. De hecho,
considerada una de estas versiones siempre es posible obtener la restante mediante
una definición trivial:
[14] Interdefinición de la relación y la operación de consecuencia:
i.
Dada una operación de consecuencia C, se define R| de modo que
<X,A>∈R| syss A∈C(X)
ii.
Dada una relación de consecuencia R|, se define C de modo que
C(X)={A/ <X,A>∈R|}
El estudio abstracto de la consecuencia plantea la plausibilidad de ciertas
propiedades en lo que en el fondo es un cierto tipo de análisis formal de una noción
intuitiva. Esto ha llevado a acuñar un término, consecuencia clásica, para hacer
referencia a la relación u operación que satisface precisamente las propiedades que
aquí se acaban de presentar –reflexividad, monotonía, transitividad, compacidad,
estructuralidad-. No tengo inconveniente en emplear ese término siempre que se deje
103
Lógica de Enunciados
al margen el debate de si se trata o no de condiciones que deban ser necesariamente
satisfechas por cualquier entidad formal que aspire a representar fidedignamente el
concepto intuitivo de consecuencia. Atacar o defender alguna de éstas sin disponer de
nuevos elementos de juicio no parece dar mucho más de si, salvo que admitamos
entrar en un debate de generalidades poco fructífero a mi entender. Este estudio no
parece poder avanzar más, ni situarnos más cerca de lo que era en principio nuestro
objetivo: ofrecer un canon de corrección argumental. El estudio abstracto de la
consecuencia constituye, desde este punto de vista, una clara subdeterminación del
tópico.
Después de todo lo dicho, parece claro que ofrecer uno de estos cánones o
criterios equivale a dar una definición de la relación R|. A continuación voy a presentar
lo que son las dos técnicas fundamentales desde las que la Lógica contemporánea se
ha planteado la definición explícita de la consecuencia. Se trata de dos estrategias que
por su carácter han acabado por ser entendidas como la realización de dos
capacidades cognitivas capaces de intervenir simultáneamente sobre nuestra
habilidad para el manejo e interpretación de símbolos. Su presentación y comparación
va a ocupar una buena parte de este curso.
La primera de estas estrategias se propone establecer un criterio, no importa
cuan ideal, al que se ajusten todos los argumentos que quepa considerar aceptables
desde un punto de vista lógico. Este criterio responderá, en realidad, a
consideraciones muy elementales basadas en el análisis informal de aquello que actúa
en nuestra mente a la hora de aceptar o rechazar argumentos. Creo que es fácil
reconocer que una buena razón para desestimar la bondad de un argumento consiste
en encontrar una circunstancia en las que las premisas sean verdaderas mientras que
la conclusión es falsa. Y ello con independencia, incluso, de cualesquiera
consideraciones acerca de la forma o contenido de dicho argumento. Se trata de un
criterio sumamente general que sólo parece tener en cuenta la noción de verdad y el
hecho de que los argumentos a los que se aplica están formados por enunciados
susceptibles de ser verdaderos o falsos. Este criterio negativo se convierte en una
104
Consecuencia lógica
condición de aceptabilidad sin especial esfuerzo. Basta para ello tener en cuenta
ciertas relaciones básicas entre la verdad y la falsedad de los enunciados: en
particular, que todo enunciado que no es verdadero habrá de ser falso y que todo
enunciado que no es falso será verdadero. El resultado es la definición de lo que a
partir de ahora denominaremos relación de consecuencia semántica.
[15]
Consecuencia semántica: Una fbf A es consecuencia semántica de un
conjunto X de fbfs tomadas como premisas, X√A en símbolos, syss se
cumple que:
En todas aquellas circunstancias en las que cada una de las
fórmulas en X son verdaderas, A es también verdadera.
Como es evidente, esta definición no se puede tomar más que como una
aproximación a una caracterización completa de la consecuencia semántica. Faltan
demasiadas cosas por aclarar para que este criterio pueda ser aplicado sobre fórmulas
del lenguaje L E. Hay que aclarar, por ejemplo, qué se entiende por cada una de esas
circunstancias mencionadas en [15], y de qué modo es verdadera o falsa una fórmula.
Sea como fuere, es obvio también que la relación así definida, también denominada en
ocasiones entrañamiento, es una relación de consecuencia en el sentido que el
estudio abstracto indica. Basta definir R| de modo que R|={<X,A>/ X√A}. Se puede
comprobar, además, que a resultas sólo de esa definición es posible garantizar ya
algunas de las propiedades abstractas de la consecuencia: reflexividad, monotonía y
transitividad son inmediatas.
La razón de que esta relación se califique como semántica se explica por la
presencia de la noción de verdad en su definición. Siempre que la noción de verdad u
otras que puedan considerarse desempeñando el mismo papel, intervengan en un
cierto ámbito, aceptaremos estar ante un dominio de tipo semántico. Esto se debe a
que es habitual entender que, desde un punto de vista lógico, la verdad o falsedad de
un enunciado, lo que suele denominarse su valor de verdad, constituye el significado
105
Lógica de Enunciados
de ese enunciado. Y la manipulación del significado de las expresiones de un lenguaje
es una operación que pertenece precisamente a su semántica.
La segunda de las estrategias orientadas a definir la relación de consecuencia
|
R parte de presupuestos totalmente distintos. Para empezar, ni siquiera se puede
considerar que se trate de ofrecer un criterio al cual hayan de ajustarse todos y sólo
los argumentos lógicamente aceptables. La idea en este caso está orientada a
construir sólo aquellos argumentos que, de hecho, estamos dispuestos a aceptar. La
razón por la que una fórmula A puede obtenerse como conclusión de un conjunto X de
fórmulas es que existe un medio de construir A a partir de las fórmulas en X mediante
el sólo uso de ciertas reglas de manipulación de símbolos. Un ejemplo claro capaz de
ilustrar perfectamente el punto es el que ofrece el cálculo de las raíces de una
ecuación del tipo ax2+b=0. Todos hemos aprendido a afrontar este tipo de problemas
como la construcción de una serie o listado de ecuaciones, identidades, que empiezan
con la propia expresión del problema, ax2+b=0, y terminan con algo del tipo x=k. Cada
paso intermedio es el resultado de aplicar alguna regla definida sobre símbolos que da
lugar a una nueva identidad tan aceptable como la anterior. Mover un término a uno u
otro lado del signo “=” es una de estas reglas, eliminar el exponente de un término
mediante la aplicación de un signo de extracción de raíces es otra, etc.
Cada una de estas reglas de tipo puramente simbólico -aunque creamos saber
su significado, lo cierto es que no necesitamos conocerlo para aplicarlas
correctamente- recibe el nombre de regla de inferencia. Si existe modo de alcanzar
una fórmula A a partir de X mediante la aplicación un número finito de veces de reglas
de este tipo extraídas de una colección finita previamente dada, diremos que A es
derivable a partir de X. Esto lleva directamente a
[16]
Derivabilidad formal: Una fórmula A es formalmente derivable
(derivable) a partir de un conjunto X de premisas, X|A en símbolos, syss
existe una secuencia finita de entidades generada a partir de fórmulas
<x0, x1,...x n> tal que cada una de ellas :
106
Consecuencia lógica
i.
Guarda relación inmediata con un miembro de X, o
ii.
ha sido obtenida de alguna o algunas de las entidades
que le preceden en la secuencia mediante el uso de
alguna regla de inferencia, y
iii.
finalmente, xn es una entidad asociada a la propia A.
Por el momento podemos prescindir de esa extraña alusión a ciertas entidades
dependientes de fórmulas y pensar simplemente en fórmulas. Que este nuevo
concepto sirve para definir la relación R| es tan obvio como en el caso de la
consecuencia semántica. Bastará hacer que R|={<X,A>/ X|A}. La pregunta que se
consigue provocar con esta maniobra es también evidente: ¿se ha definido así la
misma relación o son dos relaciones distintas? Sea como fuere, esta no es una
cuestión que quepa dar por supuesta. Por mucho que todo parezca que nuestra
intención ha sido la de ofrecer dos caracterizaciones alternativas de la consecuencia,
lo cierto es que son de origen y factura tan distintas, como para que se precise una
demostración de su coincidencia.
Lo que se podía decir de la consecuencia sin entrar en los detalles de su
definición ya ha sido dicho. De ahora en adelante estaremos ocupados con la
descripción precisa de la consecuencia semántica para LE, de la derivabilidad formal
para ese mismo lenguaje y de la comparación que entre ellas se pueda hacer. Se
habrá de comprobar también si satisfacen o no las propiedades que se han introducido
a resultas de la investigación abstracta de la consecuencia. Tendremos oportunidad de
ver cómo todo cuadra sorprendentemente bien descubriendo una especie de paraíso
lógico en el que de todos modos no permaneceremos mucho tiempo.
107
Lógica de Enunciados
Orientación bibliográfica.
Los contenidos de este capítulo son menos habituales en la bibliografía al uso
que los expuestos hasta ahora. En él se precisan algunos conceptos de teoría
elemental de conjuntos que no he tratado por separado, pero que por fortuna,
aparecen bien tratados en numerosos manuales. [Badesa, Jané y Jansana, 1998]
dedica 5 capítulos a estos conceptos. El que más nos interesa es el tercero, aunque
mucho me temo que para ello sea preciso leer –con rapidez- los dos primeros.
[Quesada, 1985] añade un Apéndice mucho más escueto y autocontenido. También
hay introducciones o apéndices en apariencia similares en [Kleene, 1952] y en
[Hunter, 1969] pero su lectura puede ser contraproducente, ya que están orientados a
otros fines.
Algunas de las propiedades abstractas de la consecuencia que se analizan
aquí se discuten en [Badesa, Jané y Jansana, 1998] p.161, pero se atribuyen
directamente a la consecuencia semántica. El planteamiento del capítulo responde en
buena medida al que se sigue en [Wojcicki, 1988] cap. 1, secc. 1.2. Y, como no, al
original de Tarski en [Tarski, 1936]. Ambas son lecturas difíciles de seguir, por lo que
quizá sea mejor reservarlas para un repaso posterior del tópico. En ese mismo sentido
tiene interés mencionar [Etchemendy, 1988] y [Etchemendy, 1990] donde se
suscita una interesante polémica entorno a este asunto.
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