d(x) - Universidad de Puerto Rico, Recinto de Río Piedras

Universidad de Puerto Rico, Rı́o Piedras
Facultad de Ciencias Naturales
Departamento de Matemáticas
San Juan, Puerto Rico
MATE 4081: Álgebra Abstracta
Solución Asignación 8.
1. Encuentre el máximo común divisor (gcd) d(x) de los siguientes polinomios sobre
Q, el cuerpo de los números racionales. Exprese d(x) como una combinación de
los polinomios, i.e. si d(x) = (f (x), g(x)), entonces encuentre a(x), b(x) ∈ Q[x]
tal que
d(x) = a(x)f (x) + b(x)g(x).
(a) x3 − 6x + 7 y x + 4.
Solución: Aplique el Algoritmo de Euclides para polinomios para encontrar
que d(x) = 1. Ahora, haciendo “back-track”, obtenemos que
a(x) = −
b(x) =
1
33
x2 4x 10
−
+ .
33 33 33
Muerto el Pollo.
(b) x2 − 1 y 2x7 − 4x5 + 2.
Solución: Con f (x) = 2x7 − 4x5 + 2 y g(x) = x2 − 1. Aplique el Algoritmo de Euclides para polinomios para encontrar que d(x) = x − 1.
Ahora, haciendo “back-track”, obtenemos que
1
2
b(x) = x5 − x3 − x.
a(x) = −
Muerto el Pollo.
2. Encuentre el gcd, d(x), de f (x) = x3 + x + 1 y g(x) = x2 + 2x + 2 en Z13 [x].
Luego, encuentre a(x), b(x) ∈ Z13 [x] tal que
d(x) = a(x)f (x) + b(x)g(x).
Solución: Aplique el Algoritmo de Euclides para polinomios para encontrar que
d(x) = x + 6. Ahora, haciendo “back-track”, obtenemos que
a(x) = 9
b(x) = 4x + 5.
Muerto el Pollo.
1
3. Suponga que R es un dominio de ideales principales. Demuestre que R tiene
identidad multipicativa.
Demostración: Como R es un dominio de ideales principales, entonces todo
ideal de R es principal. Ahora, R es un ideal de R, por lo tanto, es principal, o
sea, existe a ∈ R tal que R = (a). Concluimos que todo elemento de R es un
multiplo de a. Pero a ∈ R, por lo tanto, existe e ∈ R tal que a = ea. El elemento e es nuestro candidato para la identidad multiplicativa. Para demostrar
que e es en realidad la identidad multiplicativa, tenemos que demostrar que si
r ∈ R, entonces er = r (note que no tenemos que demostrar que re = r, pues
re = er al R ser conmutativo).
Suponga que r ∈ R. Entonces r es un multiplo de a, i.e. existe n ∈ R, tal que
r = na. Luego,
er = e(na) = (en)a = (ne)a = n(ea) = na = r.
Concluimos que er = r para todo r ∈ R. En otras palabras, e es la identidad
multiplicativa de R.
4. Si f (x), g(x) ∈ F [x] (F cuerpo) y g(x)|f (x), entonces demuestre que
(f (x)) ⊆ (g(x)).
Demostración: Suponga que g(x)|f (x). Entonces, existe a(x) ∈ F [x] tal que
f (x) = a(x)g(x). Tome h(x) ∈ (f (x)). Entoces, h(x) es un multiplo de f (x), i.e.
existe b(x) ∈ F [x] tal que h(x) = b(x)f (x). Como f (x) = a(x)g(x), entonces
h(x) = b(x)f (x) = b(x)a(x)g(x) ∈ (g(x)). Concluimos que (f (x)) ⊆ (g(x)). 5. Si f (x), g(x) ∈ F [x] son co-primos y f (x)|h(x) y g(x)|h(x), entonces demuestre
que f (x)g(x)|h(x).
Demostración: Como f (x)|h(x), entonces existe a(x) ∈ F [x] tal que h(x) =
a(x)f (x). Ahora, g(x)|h(x), o sea, g(x)|a(x)f (x). Como f (x) y g(x) son coprimos y como g(x)|a(x)f (x), entonces concluimos que g(x)|a(x), i.e. existe
b(x) ∈ F [x] tal que a(x) = b(x)g(x). Finalmente, observe que
h(x) = a(x)f (x) = b(x)g(x)f (x).
Concluimos que f (x)g(x)|h(x).
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