1 Teoría practica 5 Advección de temperatura: Modelos de

Teoría practica 5
Advección de temperatura: Modelos de predicción
El objetivo de esta práctica consiste en, partiendo de un mapa de geopotencial y
temperatura inicial, calcular una predicción para la variación de la temperatura del día
siguiente. Para alcanzar el objetivo, es necesario definir el concepto de variación de
temperatura.
Derivadas de una variable:
En general, cualquier variable que defina el estado de la atmósfera (la temperatura T por
ejemplo) depende del lugar donde la midamos, las tres coordenadas espaciales (x, y, z)
y del tiempo t. Es decir, la temperatura de una determinada parcela de aire situada en
(x,y,z) en el tiempo t la podremos expresar como función de (t,x,y,z) o lo que es lo
mismo:
T=T(t,x,y,z).
Si tomamos diferenciales, la variación de T, dT vendrá dada por:
dT =
∂T
∂T
∂T
∂T
dt +
dx +
dy +
dz
∂t
∂x
∂y
∂z
Estimando la variación de T con respecto al tiempo (dividiendo los dos lados de la
igualdad por dt):
dT ∂T ∂T dx ∂T dy ∂T dz
=
+
+
+
dt
∂t ∂x dt ∂y dt ∂z dt
Pero las variaciones de x, y y z respecto de dt son la variación de la posición de la
parcela de aire con el tiempo, es decir la velocidad del aire (el viento), que tendrá tres
componentes que llamaremos u,v y w:
u=
dx
dz
dy
;v = ;w =
dz
dt
dt
En la atmósfera, la componente vertical del viento w es frecuentemente despreciable
frente a las horizontales (x e y) por lo que se puede aproximar
dT ∂T ∂T
∂T ∂T
=
+
u+
v=
+ v ·∇T
dt
∂t ∂x
∂y
∂t
[Ecuación 1]
Donde v es el vector viento horizontal y ∇T es el gradiente horizontal de temperatura,
· denota el producto escalar.
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Gradiente y advección de temperatura:
El gradiente de temperatura es una magnitud vectorial cuyo módulo es proporcional
al cambio de temperatura por unidad de distancia (vectores grandes corresponderán a
zonas en las que la temperatura cambia rápidamente). La dirección del gradiente de
temperatura es perpendicular a las isotermas (líneas de igual temperatura) y dirigido de
temperaturas menores a mayores. La expresión matemática del gradiente para una
superficie horizontal es:
 ∂T ∂T 

∇T = 
,
 ∂x ∂y 
Al producto escalar cambiado de signo entre los vectores viento y gradiente de
temperatura se le denomina advección de temperatura.
 ∂T
∂T 

− v·∇T = − u
+v
∂y 
 ∂x
La advección tiene unidades de temperatura entre unidad de tiempo. Indica la variación
térmica que experimenta un punto debida a que este llegando viento que arrastra aire a
diferente temperatura. Si por ejemplo, en el punto donde estamos midiendo llega aire
desde una región más fría, experimentaríamos un enfriamiento y la advección de
temperatura seria un número negativo que nos indicaría exactamente cuantos ºC por
unidad de tiempo está bajando la temperatura.
Derivadas totales y parciales:
Es necesario destacar la diferencia entre derivadas totales (dT/dt) y derivadas parciales
(∂T/∂t por ejemplo). Las derivadas totales se refieren a la variación de la temperatura
siguiendo a la partícula de aire en su movimiento. Es decir dT/dt es la variación que
mediríamos en la temperatura de una partícula si viajásemos dentro de ella (por
ejemplo, midiendo la temperatura montados en un globo arrastrado por el aire). Por el
contrario, la variación parcial ∂T/∂t es la variación en la temperatura en un punto fijo
del espacio. Es decir, la que mediríamos en un intervalo de tiempo dejando un
termómetro en el mismo lugar (es decir, manteniendo el resto de variables x, y, z
constantes). Lo mismo es válido para el resto de coordenadas, por ejemplo ∂T/∂x seria
la variación en la temperatura según nos desplazamos por el eje x dejando el resto de
coordenadas fijas.
Cambio en la temperatura debido a la advección:
Si el viento es horizontal, no habrá ascensos ni descensos, y por lo tanto si nos
movemos solidariamente con la partícula de aire, no existirán cambios en la temperatura
debidos a cambios en la altitud. Si suponemos que el aire se mueve de forma
aproximadamente adiabática, sin que a la parcela de aire entre o salga energía en forma
de calor, la temperatura de la partícula de aire no variará a lo largo de su trayectoria.
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Esto es lo mismo que decir que si nos montásemos en la parcela de aire y nos
moviéramos con ella, no notaríamos cambio en la temperatura porque no hay ninguna
entrada de energía. Matemáticamente esta afirmación equivale a establecer que dT/dt=0
y recordando la ecuación 1, se cumple entonces que:
∂T
≈ −v ·∇T
∂t
Es decir, la variación temporal de la temperatura en cada punto fijo del espacio es igual
a la advección de temperatura cambiada de signo. Si no hay intercambios de calor, la
única manera que tiene el aire de modificar su temperatura en una posición es que esté
llegando, arrastrado por el viento, aire a diferente temperatura.
Esta ecuación nos proporciona un método de calcular cómo variará la temperatura en un
punto fijo. Si conocemos los mapas de viento y temperatura en una región, podremos
calcular la advección de temperatura − v ·∇T , que al fin y al cabo no es más que un
número (un escalar). Así, si conocemos la temperatura T0 de un lugar en el instante t=0,
y queremos calcular la temperatura T en el instante t, tendremos:
∂T T − T0
≈ −v ·∇T
≈
t −0
∂t
Despejando la temperatura final:
T = (− v ·∇T )t + T0
Que es la ecuación que se utilizará en la práctica
Método práctico:
En la práctica se partirá del geopotencial z y la temperatura T en 1000 hPa.
Con el geopotencial se calculará el viento geostrófico en todo el mapa mediante las
ecuaciones (recordar la práctica 4):
g ∂z
f ∂y
g ∂z
vg =
f ∂x
ug = −
3
Z2
∆y
Z3
Z4
O
Como tendrás una matriz de datos, en cada
punto
las
variaciones
parciales
del
geopotencial se pueden aproximar de forma
sencilla (ver figura) como:
∂z Z 2 − Z 1
∂z Z 4 − Z 3
≈
≈
;
∂y
∆y
∂x
∆x
∆x
Con el parámetro de Coriolis f=2·Ω·sen(ϕ).
Donde Ω es la velocidad de rotación de la
Z1
Tierra (Ω=2π/86400s = 7.2722·10-5s-1) y ϕ es
la latitud del lugar. Por lo tanto, sustituyendo el valor de Ω, tenemos que
f=1.4544·10-4·sen(ϕ)
Necesitaremos también el gradiente de temperatura, que se calculará con las expresiones
 ∂T

,
 ∂x
∂T 

∂y 
Como en el caso anterior, las variaciones en la temperatura en una matriz de datos se
pueden aproximar de manera muy sencilla (ver figura):
∂T T4 − T3
∂T T2 − T1
≈
;
≈
∂x
∆x
∂y
∆y
(Las derivadas parciales de la temperatura se
calculan análogamente a las variaciones de
geopotencial)
Con esto, la advección de temperatura, que
llamaremos at se puede aproximar mediante:
 ∂T
∂T 

at = − u g
+ vg
∂y 
 ∂x
Puedes comprobar que las unidades de at son ºK/s (equivalentes a ºC/s). Por lo que nos
indica cuantos ºC cambia la temperatura cada segundo debido a la advección.
Finalmente, como conocemos que cada segundo la temperatura varia at ºC, podremos
estimar nuestro pronóstico de temperatura para un día después multiplicando dicho
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valor por los segundos que tiene un día, es decir por t=86400s. Por supuesto dicho
producto nos daría la variación de la temperatura a lo largo del día, para saber cual es la
temperatura final, tendremos que sumar a dicha variación la temperatura inicial. Por lo
tanto nuestro pronóstico se obtendrá representando:
Tfinal=Tinicial+at·86400
Ayuda para realizar la práctica
Para esta práctica necesitarás abrir los ficheros de geopotencial y de temperatura.
Recuerda que se hace con las siguientes órdenes:
sdfopen ../datos/z_mayo2002.nc
sdfopen ../datos/t_mayo2002.nc
En lo sucesivo supondremos que se han abierto los ficheros en dicho orden.
Es muy importante que antes de realizar ningún cálculo selecciones la región y el nivel
correctos. Si los seleccionas mal, los cálculos sólo se realizaran sobre la zona
seleccionada y tendrás que repetir los cálculos.
Recuerda que la temperatura del fichero t_mayo2002.nc viene en grados Kelvin,
para pasarla a ºC es necesario restar 273.16
Ayuda para el cálculo del gradiente de temperatura
Tienes que usar la orden cdiff para calcular las diferencias de temperatura, también
necesitarás la distancia entre los puntos de la matriz.
dtx=cdiff(air.2,x)
dty=cdiff(air.2,y)
dx=555787*cos(lat*0.01745)
dy=555787
gtx=dtx/dx
gty=dty/dy
Tras introducir estas órdenes, en las variable gtx y gty tienes componente x e y del
vector gradiente de temperatura medido en ºC/m (NOTA: en la práctica tendrás que
representarlo en ºC/km)
Ayuda para el cálculo del viento geostrófico
f=0.000145*sin(lat*0.01745)
dzx=cdiff(hgt.1,x)
dzy=cdiff(hgt.1,y)
ug=-(9.8/f)*(dzy/dy)
vg=(9.8/f)*(dzx/dx)
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Tras introducir estas órdenes, en la variable ug y vg tienes componente x e y del viento
geostrófico en m/s.
Cálculo de la advección de temperatura
La advección temperatura se calcula multiplicando escalarmente los vectores viento y
gradiente (y cambiando de signo). Conviene que definas una variable (por ejemplo at)
con la advección de temperatura (antes de usar esta orden necesitas haber calculado el
viento geostrófico):
at=-(ug*gtx+vg*gty)
Este valor está en ºC/s
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