Ejemplo de aplicación del teorema local

Ejemplo de aplicación del teorema local-global
Estudia si se puede aplicar el teorema local-global al problema siguiente:
Max. 5x + 6y + 3z
s.a x + y + z = 20
x2 + 3y + 2z 4 ≤ 15
10x + 5y + 2z − 2x2 − y 2 − z 2 − 2yz ≥ 1
x, y, z ≥ 0
Solución: El teorema local-global requiere que se cumplan dos condiciones:
1- Como el problema es de maximizar, la función objetivo debe ser cóncava. En este caso lo es porque
se trata de una función lineal.
2- El conjunto de oportunidades debe ser convexo. El conjunto es:
S = {(x, y, z) ∈ R3 | x + y + z = 20, x2 + 3y + 2z 4 ≤ 15,
10x + 5y + 2z − 2x2 − y 2 − z 2 − 2yz ≥ 1, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0}
Para que sea convexo tiene que cumplirse que la función
f (x, y, z) = x2 + 3y + 2z 4
sea convexa (porque su restricción es de ≤) y que la función
g(x, y, z) = 10x + 5y + 2z − 2x2 − y 2 − z 2 − 2yz
sea cóncava (porque su restricción es de ≥). Las demás restricciones son lineales, luego no hay que
comprobar nada.
Calculamos la hessiana de f :


2 0
0
0 
Hf =  0 0
0 0 24z 2
Vemos que es diagonal y los elementos de la diagonal son todos ≥ 0. Esto implica que la función f es
convexa, como querı́amos probar.
Calculamos la hessiana de g:


−4 0
0
Hg =  0 −2 −2 
0 −2 −2
Como no es diagonal, aplicamos la regla de Jacobi. En primer lugar calculamos el determinante:
|Hg| = 0. Al ser cero, debemos calcular todos los menores principales:
Ø
Ø
Ø −4 0 Ø
Ø
Ø=8≥0
H1 = −4 ≤ 0
H12 = Ø
0 −2 Ø
Ø
Ø
Ø −4 0 Ø
Ø
Ø = 8 ≥ 0 H123 = 0 ≤ 0
H2 = −2 ≤ 0
H13 = Ø
0 −2 Ø
Ø
Ø
Ø −2 −2 Ø
Ø=0≥0
H3 = −2 ≤ 0
H23 = ØØ
−2 −2 Ø
Como se cumplen las desigualdades indicadas, la función es cóncava.
Con esto tenemos probado que el conjunto S es convexo, luego podemos aplicar el teorema local-global
para concluir que todos los máximos locales del problema serán de hecho máximos globales.