OBJETIVO GENERAL Desarrollar habilidades para solucionar

FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS
GRADO: 11
Y NATURALES
TALLER Nº: 2
SEMILLERO DE MATEMÁTICAS
SEMESTRE 1
FRACCIONES, PROPORCIONES Y REGLA DE TRES
RESEÑA HISTÓRICA
En las numerosas inscripciones egipcias se encuentran
variadísimos problemas con números fraccionarios. Con su
peculiar sistema de fracciones, con la unidad como
numerador, los egipcios resolvían los problemas de la vida
diaria tales como la distribución del pan, las medidas de la
tierra, la construcción de las pirámides, etc. Las reglas
para la resolución de las operaciones con números
fraccionarios datan de la época de Aryabhata, siglo VI y
Bramagupta, siglo VII, ambos después de Jesucristo. Un
estudio más amplio y sistemático de las operaciones con
fraccionarios lo ofrecieron los también hindúes, Mahavira
en el siglo IX y Bháskara en el siglo XII. Dichas reglas son
las mismas que se emplean actualmente.
 OBJETIVO GENERAL
Desarrollar habilidades para solucionar problemas con fracciones.
 OBJETIVOS ESPECÍFICOS
1. Comprender el concepto de fracción.
2. Realizar operaciones con fraccionarios y con porcentajes.
3. Resolver problemas cotidianos.
 PALABRAS CLAVES
Fracción, razón, proporción, porcentaje.
 DESARROLLO TEÓRICO
FRACCIONES
Recuerda cómo se resuelven las operaciones con números fraccionarios:
Sean a , b , c y d números enteros.
Suma
a c ad  bc
 
b d
bd
Multiplicación
a c ac
 
b d bd
División:
a c ad
 
b d bc
Si consideras las fracciones o números fraccionarios, puedes distinguir dos tipos:
Fracciones Propias y fracciones Impropias.
Se dice que una fracción positiva
en este caso puedes escribir
m
m
n
es Propia si m  n y diremos que es Impropia si m  n , y
como un número mixto. Un número mixto es aquel que tiene
n
una parte entera y otra fraccionaria.
En el caso de que
m
n
sea fracción impropia, la puedes escribir como q 
cociente y r es el residuo de la división de m entre n . Así
q
r
n
. Por ejemplo,
5
3
m
n
r
n
donde q es el
se escribe como número mixto
2
como número mixto es 1 , pues al dividir 5 entre 3 el cociente es 1 y el
3
residuo es 2 .
De manera inversa puedes escribir un número mixto como fracción, por ejemplo, 3
como fracción es: 3 
7
11
escrito
7
40

.
11
7
Algo usual y también importante a la hora de trabajar con fracciones es preguntar por la emeeneava parte de un número equis.
Por ejemplo, para hallar los
luego procedes haciendo
a multiplicar
m
n
12
3
2
3
de 12 hay que dividir 12 en 3 partes y de esas partes tomar 2 ,
4,
por X , es decir
y así los
m
X
n
2
3
de 12 es 8. Note que la
m
n
parte de X equivale
es la eme- eneava parte de equis.
TANTO POR CIENTO.
Se llama tanto por ciento de un número a una o varias de las cien partes iguales en que se
puede dividir dicho número, es decir, un o varios centésimos de un número. El signo de tanto
por ciento es %. Por ejemplo, El 4% de 80, o 4/100 de 80, equivale a cuatro centésimas
partes de 80, es decir, que 80 se divide en cien partes iguales y de ellas se toman cuatro.
A continuación se dan algunos ejemplos:
Ejemplo 1
En una bolsa hay 4 bolas rojas y 6 bolas blancas. ¿Cuál es el tanto por ciento de bolas
blancas?
Solución: % = (6/(4+6)) x 100 = (6/10) x 100 = 60 %
El porcentaje indica que de cada 100 bolas, 60 son blancas.
Así, hay un 60% de bolas blancas y un 40% de bolas rojas. La suma de ambos porcentajes
siempre es igual a cien.
Ejemplo 2
En la clase de un colegio hay 8 alumnos y 12 alumnas. ¿Cuál es el porcentaje de niños?
Solución: % = (8/(8+12)) x 100 = (8/20) x 100 = 40%.
Así, hay un 40% de niños y por tanto, un 60% de niñas. La suma de ambos porcentajes
2
siempre es igual a cien.
REGLA DE TRES
ALGUNAS DEFINICIONES:
RAZÓN: La razón entre dos cantidades a y b es el cociente indicado entre ellas y la
representamos por: a/b. Antes de que compares dos cantidades debes expresarlas en la
misma unidad de medida.
PROPORCIÓN: Una proporción es una igualdad de dos razones. La proporción a/b=c/d se
lee “a es a b como c es a d”, a y d se llaman extremos de la proporción, b y c se llaman
medios de la proporción, por ejemplo: 4/8=1/2 se lee “4 es a 8 como 1 es a 2”.
PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE LAS PROPORCIONES
En toda proporción se cumple que el producto de los extremos es igual al producto de los
medios, es decir
a c
3 6

 a  d  b  c ; por ejemplo ,

 3 4  2 6 .
b d
2 4
MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES
Dos magnitudes se llaman directamente proporcionales, cuando están relacionadas de un
modo que al duplicar, triplicar, etc., una de ellas, la otra también se duplica, se triplica, etc.
MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES
Dos magnitudes se llaman inversamente proporcionales, si al multiplicar una de ellas por n,
la cantidad correspondiente de la otra queda dividida por n.
TALLER
FRACCIONES
1) ¿El triple de la sexta parte del doble de
27 es?
a) 9
b) 18
c) 27
d) 36
2) Vendí una bicicleta por los 3/4 de los
6/5 de lo que me costó originalmente.
¿Qué fracción del costo original gané o
perdí en la venta?
a) gané 1/10
b) perdí 9/10
c) gané 3/10
d) perdí 1/10
3) He apostado contigo y ahora tengo los
2/3 de lo que tú ahora tienes. Si
inicialmente teníamos lo mismo. ¿Qué
fracción
de
lo
que
teníamos
apostamos?
a) 1/2
b) 1/5
c) 1/4
d) 1/3
4) Si tienes $1.000 y me regalas $300.
¿Qué fracción de lo que me diste te
queda?
a) 1/3
b) 3/7
c) 1/7
d) 7/3
3
5) ¿Con qué fracción de lo que traigo
quedaré si te regalo la mitad del triple
de los 2/7 de lo que traigo?
a) 6/7
b) 3/7
c) 4/7
d) 2/3
8) Compré un gorro por $15.000 y lo
vendo ganando los 3/10 del costo.
Hallar el precio de venta.
a) $18.500
b) $17.500
c) $19.500
d) $20.500
6) Si yo corro el doble de lo que tú en las
3/5 partes del tiempo que tardas en
hacerlo. ¿En qué relación está mi
rapidez respecto a la tuya?
a) 10 a 3
b) 6 a 5
c) 5 a 2
d) 8 a 3
9) Los 5/7 de los 4/3 de un número es 40
¿Cuál es el número?
a) 42
b) 36
c) 40
d) 63
7) Una camisa costó las 3/5 partes del
costo de un pantalón. Si juntos cuestan
$150.000. ¿Cuánto cuesta el pantalón?
a) $90.000
b) $93.750
c) $95.850
d) $87.250
TANTO POR CIENTO I
1. Luís ganó el 35% al cobrar una deuda
de $18400. ¿Cuánto ganó?
a) $3540
b) $5784
c) $6440
d) $9721
2. Al pagar una factura de $6890 me han
descontado el 3.75% ¿Qué rebaja he
obtenido?
a) $720.3
b) $840.5
c) $258.375
d) $572.7
3. En una finca se han plantado 18900
cafetos, habiéndose perdido el 16%.
¿Cuántos quedaron?
a) 15876
b) 10734
10) Saqué de mis ahorros las 2/5 partes y
me gasté $20.000. Si al guardar lo que
me sobró tengo en total los 7/8 de lo
que tenía ahorrado inicialmente.
¿Cuánto eran mis ahorros?
a) $140.000
b) $160.000
c) $180.000
d) $120.000
c) 8964
d) 13521
e) 12721
4. Un hato contiene 25560 reses. Por una
epidemia murieron el 15%. ¿Cuántos
quedaron?
a) 18324
b) 11700
c) 21726
d) 20831
e) 15814
5. Al pagar una factura de $7894 me
dieron el descuento de un 5.16%.
¿Cuánto tuve que pagar?
a) $3541
b) $6936.7
c) $3936.93
d) $7486.7
e) $5044.5
4
6. Alejandro entregó $12890 en pago de
una cantidad de mercancía; habiéndole
hecho la rebaja de un 15%. ¿Cuál es el
valor de la mercancía?
a) $15164.7
b) $14000
c) $ 18720.9
d) $13577
e) $16720
2. Se vende un confite en $150. Si se
hubiera vendido en $15 más se hubiera
ganado $20. ¿Cuál ha sido el porcentaje
de la ganancia sobre el precio de venta?
a) 4 1/3%
b) 4 1/5%
c) 4 ½%
d) 2 ¼%
e) 3 1/3%
7. Un objeto fue vendido por $9000,
habiendo obtenido un 26% de
beneficio. ¿Cuál es el precio del
objeto?
a) 10023
b) 8511.7
c) 7142.8
d) 9598.5
e) 11301.6
3. Un hombre dispuso de 600 euros
invirtiendo el 30% en libros, el 12% en
paseos, el 18% en ropa, el 15% en
limosnas y el resto lo dividió en partes
iguales entre los parientes. ¿Cuánto se
repartió?
a) 150 euros
b) 100 euros
c) 300 euros
d) 50 euros
e) 250 euros
8. Una niña ha comprado chulos por valor
de $12560, habiéndole hecho una
rebaja del 40%. ¿Cuánto ganó?
a) $10500
b) $8373.3
c) $7300
d) $6543.9
e) $9013.63
9. Compré 90 libros, vendí el 60%.
¿Cuántos me quedan?
a) 36
b) 45
c) 15
d) 16
e) 46
TANTO POR CIENTO II
1. Se vendieron dos casas a 12960 euros
cada una. En una se ganó el 8% del costo
y en la otra se perdió el 8% del costo. ¿Se
perdió o se ganó en total, y cuánto?
a) no se ganó ni se perdió
b) se ganó 226 euros
c) se perdió 180 euros
d) se ganó 150.26 euros
e) se perdió 166.96 euros
4. ¿Qué porcentaje del costo se gana
cuando se vende en $8.000 lo que ha
costado $6.000?
a) 15%
b) 27%
c) 35%
d) 18 ½%
e) 33 1/3%
5. ¿Qué % de la venta se gana cuando se
vende en $8.000
lo que ha costado
$6.000?
a) 30%
b) 25%
c) 50%
d) 70%
e) 60%
6. Un comerciante compra artículos con un
descuento del 25% sobre el precio de lista
y lo vende en un 25% más que el precio de
lista. ¿Cuál es su % de ganancia sobre el
costo?
a) 3%
b) 45%
5
c) 66 2/3%
d) 3 2/3%
e) 50%
7. No quise vender una casa cuando me
ofrecían por ella $38’400.000, por lo cual
hubiera ganado el 28% del costo y algún
tiempo después tuve que venderla por
$37’500.000. ¿Qué porcentaje del costo
gané al hacer la venta?
a) 38%
b) 10%
c) 15%
d) 25%
e) 18%
8. Un hombre vendió dos chocolatinas
cobrando $5400 por cada una. En una de
ellas ganó el 20% de lo que había costado
REGLA DE TRES SIMPLE
1. ¿Cuál será el precio de 500Kg de
aluminio a 200 dólares los 100 Kilos?
a) 300
b) 1000
c) 100
d) 600
2. Sabiendo que 500 litros de pintura
cuestan 300 dólares, ¿cuál es el valor de
700 litros de la misma pintura?
a) 200
b) 570
c) 420
d) 630
3. Para construir un edificio, 50 hombres
han empleado 90 días. ¿Cuántos días
emplearán para hacer otro edificio
semejante al anterior 30 obreros?
a) 45
b) 30
c) 100
d) 150
y en la otra perdió el 20% de lo que había
costado. ¿Ganó o perdió en total, y
cuánto?
a) Ganó $20
b) Ganó $500
c) Perdió $150
d) Ganó $200
e) Perdió $450
9. Tenía $350.000 y pague $140.000 que
debía. Lo que me queda, ¿qué porcentaje
es de lo que tenía al principio?
a) 40%
b) 60%
c) 30%
d) 50%
e) 65%
4. Dos hermanos arriendan un restaurante.
El primero ocupa los 2/9 del restaurante y
paga $1200 dólares por alquiler al mes.
¿Cuánto paga por alquiler mensual el otro
hermano?
a) 7200
b) 4200
c) 2500
d) 3000
5. Una finca de un matrimonio “pareja de
casados” al divorciarse es repartida así: a
la mujer le toca los 3/7 de la finca, que está
avaluada en 90000 dólares. ¿Cuál es el
valor de lo que le corresponde al marido?
a) 50000
b) 10000
c) 120000
d) 12000
6. En construir un acueducto, un grupo de
trabajadores emplean 128 días trabajando
10 horas diarias Si hubiesen trabajado 2
horas menos al día ¿en cuantos días
habrían terminado la obra?
a) 160
6
b) 220
c) 256
d) 150
7. 18 trabajadores pueden hacer una obra
en 10 días ¿Cuántos trabajadores más
harán falta para hacer la obra en 2 días?
¿Cuántos trabajadores menos para hacer
la obra en 30 días?
a) 36 y 6
b) 30 y 20
c) 90 y 6
d) 72 y 12
8. Dieciocho obreros pueden hacer un
tanque para almacenar agua en 10 días.
¿Cuántos obreros más harán falta para
hacer el tanque en 4 días menos?
a) 30
b) 12
c) 20
d) 10
9. Se ha comprado tela para fabricar una
bandera, el vendedor gana 630 pesos en
cada metro de tela. ¿Cuántos metros se
han vendido si la ganancia ha sido
1890000 pesos?
a) 2000 m
b) 3000 m
c) 200 m
d) 300 m
REGLA DE TRES COMPUESTA
1. Un grupo de 30 técnicos se
comprometen a terminar el montaje de
equipos electrónicos en una subestación
eléctrica en 28 días. Cuando van 18 días
sólo llevan 3/7 del montaje ¿Cuántos
técnicos tendrán que adicionarse para
terminar el montaje en el tiempo fijado?
a) 360
b) 150
c) 144
d) 42
2. De acuerdo con el ejercicio anterior
¿con cuantos técnicos se terminará el
montaje?
a) 30
b) 144
c) 45
d) 72
3. En una zona establecida para diálogos
de paz hay 3500 reinsertados, los cuales
tienen alimentos para 50 días a razón de 4
raciones diarias, si se retiran de la mesa de
diálogos 1500 de ellos. ¿Cuántas raciones
diarias podrán tomar cada reinsertado si se
quiere que los alimentos duren 125 días
más?
a) 5
b) 2
c) 4
d) 3
4. De acuerdo con el ejercicio anterior
¿Cuántas raciones diarias podrá tomar
cada reinsertado si se quiere que dure 20
días más?
a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
5. 20 albañiles han enchapado “forrado” en
40 días una piscina con baldosín. La
piscina tiene 50 metros de largo, 25 metros
de ancho y 2 metros de profundidad. ¿En
cuánto tiempo hubiesen “forrado” la piscina
4 albañiles menos?
a) 60 días
b) 80 días
c) 50 días
d) 40 días
6. ¿En cuánto tiempo hubiesen “forrado” la
piscina 5 albañiles más?
a) 45 días
b) 20 días
c) 50 días
d) 32 días
7
7. ¿En cuánto tiempo hubiesen forrado otra
piscina de 40 m de largo, 30m de ancho y
3m de profundidad?
a) 41.8 días
b) 43 días
c) 57.6 días
d) 46 días
8. ¿En cuánto tiempo hubiesen forrado otra
piscina de 40 m de largo, 30m ancho y 3m
de profundidad si fueran.4 hombres
menos?
a) 50 días
b) 51 días
c) 72 días
d) 54.7 días
a)
b)
c)
d)
2.
9. ¿En cuánto tiempo hubiesen forrado otra
piscina de 40 metros de largo, 30 metros
de ancho, 3 de profundidad, si fueran 4
hombre mas?
a) 48 días
b) 36 días
c) 37 días
d) 60 días
a)
b)
c)
d)
 PEQUEÑOS RETOS
b)
Preguntas del 1 al 4.
c)
A
4
5
3
C1
1
1.
C2
3.
a)
d)
B
5
2
1
4.
C3
6
5
7
3
C4
8
C
A
D
El diagrama muestra los canales mediante
los cuales un rio desemboca al mar por
cuatro bocas A, B, C y D. Los números del
1 al 8 representan boyas que señalan la
dirección de la circulación
para la
navegación por los canales. Los puestos
de control se indican con C1, C2, C3 y C4.
Un barco que ingresa por la boya 1 al
sistema de canales puede salir por una
boca cualquiera, siguiendo únicamente las
rutas indicadas por las flechas.
a)
b)
c)
d)
De las afirmaciones siguientes la única
que no es posible, para un barco que
hizo su recorrido entre la boya 1 y el
mar, es:
Encontró un puesto de control
Encontró dos puestos de control
Encontró tres puestos de control
No encontró puestos de control
Aceptando
como
verdadera
la
afirmación: “un barco que ingresó por la
boya 1 , encontró solamente dos
puestos de control en su recorrido al
mar”. Entonces de las afirmaciones
siguientes, de la única que se tiene
certeza es:
El barco no salió por la boca A
El barco no salió por la boca B
El barco no salió por la boca C
El barco no salió por la boca D
De las proposiciones siguientes la única
verdadera es:
Si un barco no pasó por la boya 6,
entonces, no pasó por la boya 5
Si un barco pasó por la boya 6,
entonces, pasó por la boya 5
Si un barco pasó por la boya 5,
entonces, pasó por la boya 6
Si un barco no pasa por la boya 6,
entonces, tiene que pasar por la boya 5
Si aceptamos como verdadera la
proposición “Un barco que ingresó por
la boya 1, se encuentra ahora en el mar
y cruzó por mas de un puesto de
control”, entonces de las afirmaciones
siguientes, de la única que se tiene
certeza es:
El barco paso por la boya 8
El barco paso por la boya 6
El barco paso por la boya 5
El barco paso por la boya 7
FIN
8