Estrategia de Solución

1
Normalmente requieres la temperatura en dos instantes
para obtener C y k.
PRIMER ORDEN
Estrategias de Solución
Circuito Serie
Variables Separables
Escribir
dy
dx
Separar
1
g(y) dy
= f (x) · g(y) (requiere separabilidad)
di
Modelo: L dt
+ R i = E(t)
Modelo: R dq
dt +
= f (x)dx
R 1
R
Integrar g(y) dy = f (x)dx
1
C
q = E(t)
L es inductancia (bobina) en henrios
R es resistencia (resistor) en ohmios
Homogéneas
Escribir y 0 =
f (x,y)
g(x,y)
C es capacitancia (condensador) en faradios
E es voltaje (bobina) en voltios
Reconocer homogeneidad
Sustituir y = u · x, y 0 = u + x u0 : u + x du
dx =
f (1,u)
g(1,u)
Resolver por variables separables
Incógnita q(t) es carga eléctrica en coulumbs
Incógnita i(t) es corriente eléctrica en amperios
Regresar u = y/x en la solución
ORDEN SUPERIOR
Ecuación Lineal
Reducción de Orden
0
Escribir y + p(x) y = h(x) (requiere linealidad)
Reconocer p(x) y h(x)
Aplicar fórmula y =
R
µ(x) = e
• Sin y sin derivar, aplicar y 00 = z 0 y y 0 = z
1
µ(x)
R
µ(x) h(x) dx + C , donde
p(x) dx
• Resolver para y
Escribir M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0
Revisar exactitud:
∂
∂y M
Integrar parcialmente
R
=
Caso II:
∂
∂x N
• Sin x (independiente), aplicar y 00 = z
M (x, y) dx ,
R
N (x, y) dy
Sumar resultados restando los repetidos (repetidos aparecen una vez) e igualar a C.
Factor Integrante
Si
Nx −My
M
= p(x) entonces µ(x) = e
= p(y) entonces µ(y) = e
R
R
p(x) dx
p(y) dy
MODELOS
Decaimiento Radiactivo/Crecimiento Poblacional
dM
dt
• Resolver para z
• Regresar z = y 0
• Resolver para y
Resolver: an rn + · · · + a1 r + ao = 0
Clasificar raı́ces:
• Las no repetidas tienen Cj er x
• Las repetidas tienen Cj xi er x , i = 0, 1, . . . , k − 1
• Las complejas r = α + β i tienen
Ci eα x cos(β x) + Ci+1 eα x sin(β x)
= kM
Solución: M = Mo ek t
k=
y y0 = z
Escribir: an y (n) + · · · + a1 y 0 + ao y = 0
Si aplica caso, multiplicar por µ y aplicar exactas.
Modelo:
dz
dy
EDHCC(n)
Escribir M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0
My −Nx
N
• Resolver para z.
• Regresar z = y 0
Ecuación Exacta
Si
Caso I:
MODELOS
ln(1/2)
; Mo es dato/población/masa inicial
vida media
Ley Newton sobre Enfriamiento
Modelo:
dT
dt
= k(T − Tamb )
Solución: T = Tamb + C ek t
Tamb temperatura medio.
Si To es la temperatura inicial t = 0, C = To − Tamb
Resorte
Modelo: M x00 + d x0 + k x = F
M = masa, d relativo al amortiguador, k resorte, F
fuerza externa. MSK
Circuito RLC
Modelo: L q 00 + R q 0 +
1
C
q=V