Para multiplicar monomios por polinomios se aplica la ley distributiva de la...

OPERACIONES DE MULTIPLICACIÓN Y
DIVISIÓN CON POLINOMIOS
Ahora se estudiarán las operaciones de
multiplicación y división entre polinomios, como
complemento de las operaciones vistas
anteriormente.
Para multiplicar monomios por polinomios se
aplica la ley distributiva de la multiplicación con
respecto a la suma o la resta, es decir, se
multiplica cada uno de los términos del
polinomio por el monomio teniendo en cuenta la
ley de los signos. Luego se separan los
productos parciales por sus respectivos signos.
Multiplicar:
Multiplicación de expresiones algebraicas
En álgebra se cumple la ley conmutativa que
dice que el orden de los factores no altera el
producto. a × b puede escribirse también b × a.
axb=bxa
También se cumple la ley distributiva; a x b x c =
a (b x c) = c (a x b)
Ley de los signos
El producto de términos con signos iguales da
como resultado otro término con signo positivo,
y el producto de términos con signos diferentes
da como resultado otro término con signo
negativo.


 
Multiplicación entre polinomios
Para multiplicar dos polinomios se ordena el
polinomio multiplicando y se efectúan los
productos entre todos los términos del
multiplicando por cada uno de los términos del
multiplicador, se tiene en cuenta la ley de los
signos y se reducen los términos semejantes.
 
Ley de los exponentes
Multiplicar:
Para multiplicar potencias de igual base, se
escribe como resultado la misma base elevada
a la suma de los exponentes de los factores.
6x - 4y por -3y + 4x
Se ordena de mayor a menor respecto de la
x.
Se multiplica el primer término del multiplicador
por cada uno de los términos del multiplicando,
y el segundo término del multiplicador por cada
uno de los términos del multiplicando.
Ley de los coeficientes
El coeficiente del producto de dos o más
factores, es el producto entre los coeficientes de
cada uno de los factores.
4b x 5c = 20bc
3b x 5c x 2d = 30bcd
Multiplicación de monomios por polinomios
Luego, se escriben los productos parciales de
manera que queden organizados en forma de
columna los términos semejantes para luego
reducirlos.
Multiplicación de polinomios con exponentes
literales
El coeficiente de la división de dos o más
factores es el resultado de dividir el coeficiente
del dividendo entre el coeficiente del divisor.
Multiplicar:
División entre monomios
Se aplica la ley de los signos, de los exponentes
y coeficientes.
Ordenando respecto de la letra a de mayor a
menor:
División de expresiones algebraicas
Para dividir expresiones algebraicas se utiliza la
ley de los signos que es igual a la de la
multiplicación. Recordando que: la división de
signos iguales da positivo +; y la división de
signos diferentes da negativo -.

 
 
 
Ley de los exponentes
Para dividir potencias de igual base se escribe
como resultado la misma base elevada a la
resta de los exponentes del dividendo menos
los del divisor.
Ley de los coeficientes
División de polinomios por monomios
División entre polinomios
Para dividir dos polinomios se aplica el mismo
procedimiento aritmético, cuando se realiza la
división indicando las restas correspondientes.
La división puede ser exacta o inexacta.
Se multiplica este término cociente por cada uno de
los términos del divisor y los restantes del dividendo.
A los productos de se les cambia de signo y se
acomodan debajo dónde sean semejantes con los
términos del dividendo
División exacta
Se ordena el dividendo y el divisor respecto de
una letra. Si cuando se ordena el dividendo los
exponentes de los términos no siguen una
secuencia ascendente o descendente, se deja
el espacio donde debería estar escrito el
exponente que complete la secuencia.
Se baja el siguiente término del dividendo y se repite
el producto anterior sucesivamente hasta que la
división de como residuo cero. En conclusión:
Luego se divide el primer término del dividendo
entre el primer término del divisor para obtener
el primer término del cociente.
El primer término del cociente se multiplica por
cada uno de los términos del divisor aplicando la
ley de los signos. Cada uno de los productos se
resta del dividendo, para lo cual se le cambia el
signo a cada producto y se escribe cada término
debajo de su semejante. Si algún término de
estos productos no tiene término semejante en
el dividendo, se escribe en el lugar
correspondiente de acuerdo como se haya
ordenado inicialmente el dividendo y el divisor.
Se baja el o los términos siguientes y se repite
de nuevo el proceso hasta que el residuo de la
división sea cero, cuando la división es exacta.
Los procesos en cada caso son:
DIVIDIR
Se ordena el dividendo y el divisor respecto a x:
Prueba de la división
En el dividendo hace falta el término x2 para que la
secuencia descendente sea completa, y como no esta
se deja el espacio correspondiente:
Como la división es el proceso inverso de la
multiplicación, entonces el cociente se multiplica
por el divisor y debe dar como resultado directo
el dividendo.
Ahora se divide el primer término del divisor entre el
primer término del dividendo para obtener el primer
término del cociente
División inexacta
Luego se tiene:
Una división es inexacta cuando su residuo es
diferente de cero.
Hemos visto en productos notables que:
a  b2  a 2  2ab  b 2
a  b2  a 2  2ab  b 2
Potenciación
La potencia de una expresión algebraica es el
resultado de asumirla como factor varias veces.
Recordemos:
Cubo de un binomio
Toda potencia par de una cantidad negativa es
positiva.
Por productos notables:
Toda potencia impar de una cantidad negativa
es negativa.
a  b3  a 3  3a 2b  3ab2  b3
a  b3  a 3  3a 2b  3ab2  b3
Desarrollar:
Potencia de un monomio
Ejemplo:
Para elevar un monomio a una potencia
cualquiera se eleva el coeficiente del monomio a
la potencia dada y se multiplica el exponente de
cada una de las partes literales por el exponente
que indica la potencia. Para este caso se aplica
los
dos
conceptos
anteriores.
Ejemplo
Cuadrado de un binomio
-
La suma de los exponentes de las potencias
de a y b es 5 en cada uno de los términos
del desarrollo.
Potenciación
EL TRIÁNGULO DE PASCAL.
La potencia de una expresión algebraica es el
resultado de asumirla como factor varias veces.
El triángulo de Pascal de ( a + b)² y (a+b)³
ordenamos los coeficientes de sus términos ,
obtenemos:
(a+b)²=1 a² + 2ab+1 b²
 1
2
1
(a+b)³ = 1 a³ + 3 a² b + 3 ab² +1 b³
 1
3
3
1
Si a los coeficientes anteriores se le agregan
los correspondientes a los desarrollos de ( a +
b )º y ( a + b )¹, llamamos n al exponente de
cada binomio y continuamos con exponentes
mayores tenemos :
Recordemos:
Toda potencia par de una cantidad negativa es
positiva.
Toda potencia impar de una cantidad negativa
es negativa.
Potencia de un monomio
Esta figura se llama Triángulo de Pascal
Los números que forman cada fila de esta
figura son los coeficientes correspondientes de
los términos del desarrollo ordenado de un
binomio de la forma ( a + b )n , con n = 0, 1, 2,
3, 4, 5, . . .
El Triángulo de Pascal tiene una ley de
formación: “Al sumar dos números adyacentes
de una fila se obtiene el que estará entre ellos
en la fila siguiente”.
En cada fila de números podemos observar
que tanto el primero como el último es siempre
1.
Ejemplo :
Desarrollemos ( a + b )5 ,
multiplicando los desarrollos de
( a + b )² y ( a + b )³ . Al ordenar el resultado
obtenemos:
( a + b )5 = 1 a5 + 5 a4 b + 10 a³ b² + 10 a² b³
+ 5 ab4 +1 b5
Podemos observar que:
- Las potencias de a comienzan con el exponente 5 y decrecen en forma consecutiva
hasta 0.
- Las potencias de b crecen desde 0 hasta 5.
Para elevar un monomio a una potencia
cualquiera se eleva el coeficiente del monomio a
la potencia dada y se multiplica el exponente de
cada una de las partes literales por el exponente
que indica la potencia. Para este caso se aplica
los dos conceptos anteriores.
Cuadrado de un binomio
Hemos visto en productos notables que:
a  b2  a 2  2ab  b 2
a  b2  a 2  2ab  b 2
(a+b)²=1 a² + 2ab+1 b²
 1
2
1
(a+b)³ = 1 a³ + 3 a² b + 3 ab² +1 b³
 1
3
3
1
Si a los coeficientes anteriores se le agregan
los correspondientes a los desarrollos de ( a +
b )º y ( a + b )¹, llamamos n al exponente de
cada binomio y continuamos con exponentes
mayores tenemos :
Cubo de un binomio
Por productos notables:
a  b3  a 3  3a 2b  3ab2  b3
a  b
3
 a  3a b  3ab  b
3
2
2
3
Ejemplo:
Ejemplo
Esta figura se llama Triángulo de Pascal
Los números que forman cada fila de esta
figura son los coeficientes correspondientes de
los términos del desarrollo ordenado de un
binomio de la forma ( a + b )n , con n = 0, 1, 2,
3, 4, 5, . . .
El Triángulo de Pascal tiene una ley de
formación: “Al sumar dos números adyacentes
de una fila se obtiene el que estará entre ellos
en la fila siguiente”.
En cada fila de números podemos observar
que tanto el primero como el último es siempre
1.
Ejemplo :
Desarrollemos ( a + b )5 ,
multiplicando los desarrollos de
( a + b )² y ( a + b )³ . Al ordenar el resultado
obtenemos:
( a + b )5 = 1 a5 + 5 a4 b + 10 a³ b² + 10 a² b³
+ 5 ab4 +1 b5
Podemos observar que:
- Las potencias de a comienzan con el exponente 5 y decrecen en forma consecutiva
hasta 0.
- Las potencias de b crecen desde 0 hasta 5.
- La suma de los exponentes de las potencias
de a y b es 5 en cada uno de los términos
del desarrollo.
RADICALES
Un radical es una expresión de la forma
EL TRIÁNGULO DE PASCAL.
El triángulo de Pascal de ( a + b)² y (a+b)³
ordenamos los coeficientes de sus términos ,
obtenemos:
n
a , en la
que n
y a
; con tal que cuando a sea
negativo, n ha de ser impar

Raíz enésima de una raíz: la raíz enésima de
una raíz es igual a otra raíz, cuyo índice es el
producto de los índices. Para todo
m, n, b,  Z  , se
n m
RAIZ CUADRADA DE UN NÚMERO
a  R, b  R  ,
Si
se

cumple
que
b  a, s i s olo s i : a  b , donde a es la raíz
cuadrada de b
2
25  5
Ejemplo:
porque 5 2  25
kn
cumple
que:
b  m n b
Propiedad fundamental de los radicales: Se
puede multiplicar o dividir el índice de la
raíz y el exponente del radicando por un
mismo número y el valor de la raíz no cambia, por tanto
b km  b km / kn  b m / n 
n
b n , donde k  N
RAIZ CUBICA DE UN NÚMERO
a, b  R ,
Si
entonces
se
cumple
que
b  a, s i s olo s i : a  b , donde a es la raíz
cúbica de b
3
3
Ejemplo: 3 125  5
Se debe tener en cuenta que si n es par,
entonces el radicando debe ser positivo
para que exista una raíz real.
porque 5 3  125
RACIONALIZACIÓN
RAIZ ENESIMA DE UN NÚMERO
Si a, b  R , y n  N entonces se cumple que
b  a, s i s olo s i : an  b , donde a es la raíz
enésima de b
n
Ejemplo: 5 32  2
Racionalización: es una operación que tiene por
objeto hacer desaparecer siempre el radical del
denominador.
porque 2 5  32
EXPONENTES RACIONALES
Una expresión radical puede escribirse como una
potencia de exponente racional, es decir
n
a
m

Ejemplo:
m
an
3
52 
2
53
PROPIEDADES DE LOS RADICALES.

Raíz enésima de un número real elevado a
la potencia n: para cualquier n  Z  , se
 
1/n
cumple que: n an  an


n
ab 
n
n  Z  , se cumple que
Para todo n, a, b,  Z  , se cumple que:
n
a
a

n
b
b
Observación: Para racionalizar el denominador de
una fracción bastará multiplicar la fracción por el
factor racionalizante del denominador, en éste caso
por sí mismo.
a  nb
Raíz enésima de un cociente: la raíz enésima de un cociente es igual al cociente de las
raíces enésimas del dividendo y del divisor.
n
Ejemplos:
a
Raíz enésima de un producto: la raíz
enésima de un producto es igual al producto de ls raíces enésimas de los factores. Para cualquier

n
an
2° caso: cuando el radical del denominador es mayor al de segundo grado, es decir radicales de tercer, cuarto, quinto y más grado. (Queda de consulta)
3er Caso: cuando el radical del denominador es un
binomio.
Ejemplos:
Observación: Para racionalizar el denominador de
una fracción bastará multiplicar la fracción por la
conjugada del denominador.
Se llaman cantidades conjugadas a 2 binomios que
tienen las mismas cantidades literales, los mismos
coeficientes y los mismos exponentes, diferenciando solamente en el signo del segundo término del
segundo binomio.
Ejemplos