Introducción a la Meteorologia (Geógrafos) - 2008

Introducción a la Meteorologia - 2009
(Licenciatura en Geografía)
PRACTICO 1
PROCESO DE MEDICION
Podemos considerar a la meteorología como una ciencia experimental. Esto implica que los
fenómenos que analizaremos y que nos servirán para la formulación de leyes, deben ser
observados y medidos.
¿Que significa medir? Significa que debemos llevar a cabo un proceso (proceso de medición) en el
que intervienen tres sistemas:
1. el sistema objeto: al cual queremos medir, por ejemplo la presión en superficie, o la temperatura
del aire, etc…
2. el sistema de medición: es decir, el aparato que usamos. En nuestros ejemplos anteriores un
barómetro para la presión o un termómetro para la temperatura.
3. El sistema de comparación: porque medir significa comparar nuestro objeto con otro patrón,
reconocido universalmente que se define como unidad. Para nuestros variables de presión y
temperatura, el Pascal y el ºC podrían ser unidades útiles, pero no las únicas. (citar otros ejemplos)
Esto ultimo nos da idea del por que existen diferentes sistemas de unidades y/o múltiplos o
submultiplos de los mismos.
Es tarea de un buen experimentador elegir la unidad más adecuada para el proceso de medición que
esta realizando y comunicarla claramente cuando da a conocer sus mediciones.
Recuerden: las unidades son tan importantes como el valor de la medida. Si les dijéramos que la presión
atmosférica en superficie es de 1020, eso no les diría nada, eso podría ser 1020 Pa, mm de Hg o peras!!
El resultado final de un proceso de medición es, entonces, un numero real, valor de una magnitud
física y su unidad.
TEORIA DE ERRORES
No existe un valor exacto e incambiado de una determinada magnitud. Por ejemplo si tres personas
diferentes miden la temperatura, seguramente obtengan distintos resultados (dependiendo por ejemplo
de su grado de atención, cansancio, etc… a la hora de medir).
Podemos clasificar los errores en tres grupos:
a) cuando medimos varias veces la misma magnitud y obtenemos distintos valores debido a
causas impredecibles (el "cansancio" del experimentador, diferentes reflejos si distintos
personas hacen la experiencia, etc…). Los llamamos errores aleatorios.
b) Cuando TODOS los valores están corridos una cantidad constante, por ejemplo si
medimos con un termómetro descalibrado que tiene un desfazaje de 10ºC, TODOS
nuestras temperaturas van a ser 10º mayores, los llamamos errores sistemáticos.
c) errores impuestos por el límite del instrumento. Existen dos conceptos importantes
asociados con los errores que son la apreciación y la estimación.
Una forma de disminuir el error descripto en el ítem a) es con una técnica utilizada en la
observación astronómica denominada “ecuación personal”, que consiste en calibrar la
velocidad de reacción del operador y elegir el operador con la menor “ecuación personal”
para que realice las medidas.
Habíamos planteado antes que el proceso de medición da un número real y una unidad
asociada (valores de la magnitud física a medir). Un número real, en el sentido matemático
estricto y abstracto, tiene infinitas cifras después de la coma. Pero en el laboratorio tenemos
un límite dado por el instrumento.
Si uso un termómetro graduado en ºC y decimos de º no tiene sentido decir que la temperatura
del aire es 18,327827 ºC. Lo mínimo que permite medir el instrumento es 0,1 ºC.
Definimos la apreciación como el mínimo intervalo de magnitud que el instrumento puede
registrar. Sin embargo, en el ejemplo de la temperatura podría ocurrir que un experimentador
con buena agudeza visual y mucha confianza en sí mismo se ‘animara’ a distinguir un
intervalo menor de 0,1 ºC (típicamente 0.05 ºC). Esta persona estaría estimando la medida en
el caso que la temperatura (o cualquier otra magnitud) cayera entre dos marcas consecutivas
de la escala. Esto implica que debemos ser cuidadosos con las cifras significativas.
Como vimos que toda medida tiene asociado un error, cuando comunicamos una medida
debemos comunicar también un error, pero si el límite del instrumento es 0.1 ºC no puedo
decir que el objeto mide 18.327827 ºC con un margen de 0.1 ºC. Sólo la primer cifra después
de la coma tiene sentido, es una cifra ‘significativa’. El ‘margen de error’ de 0.1 ºC se
representa como +/- 0.1 ºC. Entonces, para nuestro ejemplo, la forma correcta de expresar la
medida sería
T = (18.3 +/- 0.1) ºC,
si usamos la apreciación
T = (18.30 +/- 0.05) ºC,
si usamos la estimation, estimando razonablemente a 0.05 ºC.
PARÁMETROS ESTADÍSTICOS
Supongamos una serie de N medidas de una misma magnitud, que dieron resultados
ligeramente diferentes (debido a errores experimentales, como discutimos antes). Llamamos a
estas medidas x1, x2, x3, ... xN, todas ellas solamente con cifras significativas. Pero necesitamos
un solo valor. Imaginemos la situación si para cada magnitud medida en un experimento
diéramos como resultado N medidas!
¿Cómo podemos encontrar a partir de esos N valores, uno que sea lo más cercano posible
al ‘verdadero valor’? (es decir el valor más probable de la magnitud).
Llamamos x al valor más probable y definimos  i  x  xi como desviaciones respecto a x .
El subíndice i significa que tengo una serie de desviaciones, una para cada medida xi. Estos
números 1, 2, ..., i, ..., N serán números positivos y negativos, entonces su suma
algebraica no tiene sentido físico, podría dar 0 incluso, aunque los i fueran distintos de 0.
Para compensar esto, elevamos todo al cuadrado, entonces definimos la suma de las
‘desviaciones cuadráticas’.
N

i1
N
2
i

  x  xi

2
i1
Esta suma nos daría una idea del apartamiento total respecto a x . Como queremos encontrar
el ‘valor más probable’ x , éste debe ser tal que haga mínimas las desviaciones i (debe ser lo
más cercano posible a los xi).
de donde obtenemos que
x
x
i
N
mediante cálculos matemáticos.
Esta ecuación es muy importante, porque nos dice que el valor más probable es el promedio
aritmético de las medidas.
Seria bueno tratar de encontrar también una expresión relacionada con el error en esa serie de
medidas. Vamos a volver a
N

i 1
2
i
Recordemos que los i son las desviaciones respecto al promedio, podrían constituir una
buena expresión para el error si somos cuidadosos en algunas cosas. Primero, que si el
número de medidas (N) es MUY grande, aunque los i sean pequeñas la suma de sus
cuadrados puede ser grande y dar una idea equivocada del error.
N
Para esto definimos,
v

i 1
2
i
N 1
llamada varianza que permite independizarnos del número total de observaciones (en los
manuales de las calculadoras aparece con el nombre de variante imparcial).
Además, las dimensiones físicas de  no son las de los datos originales (por haber elevado
los i al cuadrado), entonces definimos
 x  x 
2
 v
i
N 1
que tiene las mismas dimensiones de x y que por lo tanto se puede comparar numéricamente
con el promedio.
A  se le llama desviación estándar y es una buena magnitud asociada al error en el proceso
de medición. Ahora bien, ¿qué ocurre cuando el  es muy pequeño, por ejemplo si por la
precisión del instrumento la mayoría de las mediciones dan iguales? ¿Podemos despreciarlo y
decir que el experimento no tiene error? En este caso lo que se hace es comunicar como error
en la experiencia la apreciación del instrumento, porque como ya discutimos antes siempre
hay un error asociado al proceso de medición.
Conclusión: para una serie de N medidas de una magnitud
x la forma correcta de hallar y comunicar el valor
de esta magnitud es:
x   
x  
unidades
unidades (si  es menor que la apreciación )
CURVA DE GAUSS E HISTOGRAMAS
Existe un método gráfico, una especie de ‘ayuda visual’, que permite ver la distribución de
nuestras N medidas de una misma magnitud. Tomemos un par de ejes coordenadas, si
dividimos el eje x (horizontal) en intervalos pequeños de tamaño arbitrario x, podemos
colocar en cada intervalo el número de observaciones n que caen en ese intervalo.
Obviamente  n = N. Esta gráfica se conoce como histograma y tiene un aspecto como el de
la figura 1.
Figura 1
Cuanto más grande sea el número N de medidas, más pequeño podemos hacer x sin perder
la chance de tener un número considerable de medidas n en cada intervalo.
Existen dos cosas importantes a tener en cuenta: la primera es que las medidas tienden a
‘acumularse’ en torno al promedio (lo cual es razonable por la forma en que dedujimos el
promedio). Lo otro es que los histogramas pueden ser aproximados por una función continua
bien definida, que depende de dos variables que pueden tomar distintos valores según el caso
(, x ) que son la desviación estándar y el promedio definidos anteriormente.
Simplemente a efectos informativos les mostramos esta función:
n 

N
e
 2

 x x
2 2
2
x
La aproximación es mejor cuanto más grande es N y menor x. Por su forma a esta gráfica, o
a la función que la origina, se las denomina campana de Gauss,  y x no modifican la forma
de la gráfica, sino que actúan como factores de escala. Haciendo cuentas se puede demostrar
(pero les vamos a ahorrar los detalles penosos) que la curva presenta un máximo en x = x , es
simétrica respecto a este valor medio y sus puntos de inflexión están en x +/- .
Figura 2
Esto es importante porque significa que el ancho de la campana de Gauss (o del histograma)
da una idea del error asociado a la medida.
Finalmente, deben relacionar intuitivamente (la matemática asociada a este hecho está fuera
de los objetivos de este curso) que el área encerrada entre dos puntos por la curva de Gauss,
da una idea de la probabilidad que una medida caiga en cierto intervalo. Cerca del promedio
la probabilidad es más alta, mientras que en los extremos se acerca a 0.
Figura 3
Como dato útil la probabilidad que una nueva medida caiga en el intervalo x +/-  = 68 % y
que caiga en x +/- 2 = 95.4 %. Esto nos permite tomar un criterio que dice que cualquier
medida que se aleja más de 3 de x puede descartarse.
Atención: Si una medida es descartada de la tabla de valores deben volver a realizarse los
cálculos de los parámetros estadísticos.
BIBLIOGRAFÍA
Juan G. Roederer, Mecánica Elemental, Cap. 1, Manuales EUDEBA, 1986
EJERCICIOS
1.1
En una estación meteorológica el observador de turno, procede a la lectura de la banda
de un heliofanógrafo (instrumento que registra horas de sol), dicha banda tiene
impresa una escala con un paso de media hora. El observador anota en la libreta: 6 Hs.
12 min. 10 seg. Tiene sentido este valor? Usted que valor pondría?
1.2
Si 6 observadores distintos pero al mismo tiempo miden la temperatura del aire, con el
mismo termómetro, cuya apreciación es de 0,1 ºC, obteniéndose los siguientes valores:
18,5; 19,6; 17,8; 17,2; 18,8; 18,3 utilizando estos datos, cual seria el "valor
verdadero" de la temperatura?, Realice los cálculos y exprese el valor con el error
asociado.
1.3
Convierta las siguientes unidades: cal cm-2
cal cm-2 min-1
en Joule m-2
en watt m-2
1.4
Al tope de la atmósfera llegan, en termino medio, 2 ly min-1, conviértalos en watt m-2.
1.5
Exprese el valor de la presión atmosférica en condiciones normales: 760 mm de Hg en
las siguientes unidades: milibares (mb), hectopascales (hPa) y en N m -2.
1.6
Convierta a ºFarenheit el siguiente valor de temperatura, 22ºC.
1.7
Que fenómenos meteorológicos podríamos incluir dentro de la mesoescala?