ACGS_Mat_u6_ejerSol

MATEMÁTICAS
Unidad 6. Estadística
SOLUCIONES
1.- Se tienen las siguientes notas de 20 alumnos que son las siguientes:
9, 5 ,6, 6, 7, 7, 3, 3, 6, 7, 5, 6, 3, 7, 8, 7, 6, 5, 4, 6
Calcular la media y la varianza de las notas.
En primer lugar se hace una tabla con los valores de la frecuencia absoluta de cada valor de la
variable. (El número de veces que aparece en la serie cada valor de la variable)
xi
3
4
5
6
7
8
9
fi
3
1
3
6
5
1
1
Para calcular la media se aplica la fórmula correspondiente:
x
x1  f1  x 2  f 2  x3  f 3  ...  x n  f n
N
En este caso sería:
x
3  3  4 1  5  3  6  6  7  5  8 1  9 1
20
El resultado de la operación anterior es:
x
116
 5´8
20
Para el cálculo de la varianza se utiliza la siguiente fórmula:
2
x 2  f  x 2 2  f 2  x 3 2  f3  ...  x n 2  fn
Sx2  1 1
x
N
En este caso sería:
Sx2 
32  3  42 1 52  3  62  6  72  5  82 1 92 1
 5´8 2
20
El resultado de la operación anterior es:
S x 2  36´2  33´64  2´56
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2.- Para realizar una estadística del peso de los alumnos de un Centro, se ha tomado una
muestra de 50 alumnos y se ha anotado sus tallas. Resulta que hay:
[50,55) 6 alumnos
[55,60) 14 alumnos
[60,65) 18 alumnos
[65,70) 12 alumnos
Calcular la media, la desviación típica y el coeficiente de variación
Para calcular la media se aplica la fórmula correspondiente:
x
x1  f1  x 2  f 2  x3  f 3  ...  x n  f n
N
En este caso como la variable es continua en cada intervalo se calcula la marca de clase haciendo
la media de los límites en cada intervalo. 52´5 en el primer intervalo, 57´5 en el segundo, 62´5 en
el tercero y 67´5 en el cuarto
Sería:
x
52´5  6  57´5  14  62´5  18  67´5  12
50
El resultado de la operación anterior es:
x
3055
 61´1
50
Para el cálculo de la varianza se utiliza la siguiente fórmula:
2
x 2  f  x 2 2  f 2  x 3 2  f3  ...  x n 2  fn
Sx2  1 1
x
N
En este caso, teniendo en cuenta la marca de clase de cada intervalo sería:
Sx2 
52´5 2  6  57´5 2  14  62´5 2  18  67´5 2  12
 61´12
50
El resultado de la operación anterior es:
Sx 2 
187812´5
 61´12  3756´25  3733´21  23´04
50
Para calcular la desviación típica (  ) se hace la raíz cuadrada de la varianza:
S x  S x 2  23´04  4´8
Para calcular el coeficiente de variación CV se aplica la fórmula:
CV =
Sx
x
En este caso sería:
CV =
4´8
 0´07856
61´1
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3.- En un colegio se ha realizado un estudio estadístico sobre la altura de sus alumnos.
Para ello se ha tomado un muestra aleatoria de 50 alumnos. Se han obtenido los siguientes
resultados:

Hay 5 alumnos de 100 cm o más y menos de 110 cm.

Hay 7 alumnos de 110 cm o más y menos de 120 cm

Hay 12 alumnos de 120 cm o más y de menos de 130 cm

Hay 20 alumnos de 130 cm o más y de menos de 140 cm

Hay 6 alumnos de 140 cm o más y de menos de 150 cm
a) Realizar la tabla de frecuencias agrupando los datos en 5 intervalos, señalando las
marcas de clase para cada intervalo.
b) Calcular la media y el coeficiente de variación
a) En primer lugar se hace una tabla con los valores de la frecuencia absoluta. En este caso
es una variable continua y es necesario agruparlos en intervalos. Para hacer la tabla en la
primera columna se señalan los intervalos, en la segunda la marca de clase y en la tercera
los valores de la frecuencia absoluta de cada intervalo. La tabla sería:
xi
xi
fi
[100,110)
105
5
[110,120)
115
7
[120,130)
125
12
[130,140)
135
20
[140,150)
145
6
b) Para calcular la media se aplica la fórmula correspondiente:
x
x1  f1  x 2  f 2  x3  f 3  ...  x n  f n
N
En este caso como la variable es continua en cada intervalo se utiliza la marca de clase como
valor representativo en cada intervalo.Sería:
x
105  5  115  7  125  12  135  20  145  6
50
El resultado de la operación anterior es:
x
6400
 128
50
Para el cálculo de la varianza se utiliza la siguiente fórmula:
2
x 2  f  x 2 2  f 2  x 3 2  f3  ...  x n 2  fn
Sx2  1 1
x
N
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En este caso, teniendo en cuenta la marca de clase de cada intervalo sería:
Sx2 
105 2  5  115 2  7  125 2  12  135 2  20  145 2  6
 128 2
50
El resultado de la operación anterior es:
Sx 2 
825850
 128 2  16517  16384  133
50
Para calcular la desviación típica (  ) se hace la raíz cuadrada de la varianza:
S x  S x 2  133  11´53
Para calcular el coeficiente de variación CV se aplica la fórmula:
CV =
Sx
x
En este caso sería:
CV =
11´53
 0´09
128
4.- Se han seleccionado al azar 8 alumnos y se han preguntado sus pesos y alturas, dando
como resultado la siguiente tabla:
Peso (Kg)
49
55
43
47
51
60
63
58
Altura (cm)
158
165
155
161
154
167
162
171
a) Representar gráficamente el diagrama de dispersión, deduce si hay correlación positiva o
negativa.
Diagrama de dispersión
altura
172
170
168
166
164
162
160
158
156
154
152
0
10
20
30
40
50
60
70
peso
Hay una correlación positiva, al aumentar el peso aumenta la altura
b) Calcular la covarianza entre ambas variables
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Para calcular la covarianza el primer paso es calcular las medias marginales. Es decir la media de
los pesos, x y las medias de las alturas,
y
Para los pesos sería:
x
49  55  43  47  51  60  63  58
 53´25 kg
8
Para las alturas sería:
y
158  165  155  161  154  167  162  171
 161´625 cm
8
Una vez que se tienen las medias marginales se aplica la fórmula de la covarianza,
x  y  x 2  y 2  x 3  y 3  ...  x n  y n
S xy  1 1
xy
N
En este caso sería:
S xy 
49  158  55  165  43  155  47  161  51 154  60  167  63  162  58  171
 53´25  161´62
8
S xy  24´34
c) Analizar la dispersión calculando el coeficiente de correlación
Para calcular el coeficiente de correlación se necesitan las desviaciones típicas marginales, es
decir de los pesos, S x y de las alturas, S y
Para los pesos la varianza sería:
Sx2 
49 2  55 2  43 2  47 2  512  60 2  63 2  58 2
 53´25 2  41´6875
8
y la desviación típica sería:
S x  41´6875  6´456
Para las alturas la varianza sería:
Sy2 
158 2  165 2  155 2  1612  154 2  167 2  162 2  1712
 161´625 2  30´484
8
y la desviación típica sería:
S y  30´484  5´52
Una vez que se tienen las desviaciones típicas marginales se aplica la fórmula del coeficiente de
correlación:

S xy
Sx  Sy
En este caso sería:

24´34
6´456  5´52
  0´683
Es una relación fuerte ya que el valor es próximo a 0´7.
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Es una correlación positiva, como ya se dedujo del diagrama. Esto significa que a mayor peso
mayor altura.
5.- En una clase se preguntó a seis alumnos elegidos al azar, las horas que dedicaban
semanalmente a ver la televisión y a estudiar. Los resultados obtenidos fueron los
siguientes:
Horas de TV
12
10
15
20
28
8
Horas de estudio
7
8
5
2
3
10
a) Representa el diagrama de puntos, deduce si hay correlación positiva o negativa
b) Calcula el coeficiente de correlación.
c) Halla la ecuación de la recta de regresión
d) Si una persona ve 5 horas de TV a la semana estima con la recta de regresión las
horas que estudiará a la semana.
a)
Diagrama de dispersión
12
horas de estudio
10
8
6
4
2
0
0
5
10
15
20
25
30
horas de TV
Hay una correlación negativa, al aumentar las horas que se ve la TV disminuye el número de
horas de estudio
b) Calcula el coeficiente de correlación.
Para calcular el coeficiente de correlación el primer paso es calcular las medidas marginales, tanto
las medias como las desviaciones típicas. Es decir la media de los horas de TV, x y la media de
las horas de estudio,
y . Por otro lado la desviación típica de las horas de TV ,
S x y la desviación
típica de las horas de estudio, S y
La media de los horas de TV sería:
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x
12  10  15  20  28  8
 15´5 horas
6
La varianza de los horas de TV sería:
12 2  10 2  15 2  20 2  28 2  8 2
 15´5 2  45´917
6
Sx2 
y la desviación típica sería:
S x  45´917  6´78
Para las horas de estudio la media sería:
y
7  8  5  2  3  10
 5´83 horas
6
La varianza de los horas de estudio sería:
Sy2 
7 2  8 2  5 2  2 2  3 2  10 2
 5,83 2  7´844
6
y la desviación típica sería:
S y  7´844  2´8
Una vez que se tienen las medias marginales se necesita también la covarianza:
x  y  x 2  y 2  x 3  y 3  ...  x n  y n
S xy  1 1
xy
N
En este caso sería:
S xy 
12  7  10  8  15  5  20  2  28  3  8  10
 15´5  5´83
6
S xy  16´53
Una vez que se tienen las medidas marginales y la covarianza se aplica la fórmula del coeficiente
de correlación:

S xy
Sx  Sy
En este caso sería:

 16´53
6´78  2´79
  0´87
Es una relación fuerte ya que el valor es próximo a 0´9.
Es una correlación negativa, como ya se dedujo del diagrama. Esto significa que a mayor horas de
TV menos horas de estudio.
c) Halla la ecuación de la recta de regresión
La ecuación de la recta de regresión de y sobre x es:
y  axb
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Siendo:
 S xy
a= 
S 2
 x




y a x
b=
En este caso sería:
a=
16´53
 0´36
45´917
b = 5´83  ( 0´36)  15´5  11,41
Realizando las operaciones quedaría:
y  0´36  x  11´41
d) Si una persona ve 5 horas de TV a la semana estima con la recta de regresión las horas
que estudiará a la semana.
Si sustituimos en la ecuación de la recta de regresión el valor x = 5 se obtiene el valor estimado de
las horas de estudio:
y  0´36  5  11´41  9,61 horas
6.- Se ha preguntado a 6 personas dos cuestiones, la primera la calificación en un examen
de matemáticas y la segunda el número de días que han dedicado a estudiarlo. La
representación de la nube de puntos de las respuestas es:
Diagrama de dispersión
días de
estudio
7
6
5
4
3
2
1
0
0
2
4
6
8
10
calificación
a) Rellena la siguiente tabla de datos a partir de la nube de puntos.
Calificación (X)
…
…
…
…
…
…
Días de estudio (Y)
…
…
…
…
…
…
b) Calcula el coeficiente de correlación e interprétalo
c) Hallar la recta de regresión
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a) Rellena la siguiente tabla de datos a partir de la nube de puntos.
Calificación (X)
2
3
5
5
7
8
Días de estudio (Y)
1
3
4
5
5
6
b) Calcular el coeficiente de correlación e interpretarlo
Para calcular el coeficiente de correlación el primer paso es calcular las medidas marginales, tanto
las medias como las desviaciones típicas. Es decir la media de las calificaciones, x y la media del
número de días de estudio,
y . Por otro lado la desviación típica de las calificaciones,
S x y la
desviación típica del número de días, S y
La media de las calificaciones sería:
x
235578
5
6
La varianza de las calificaciones sería:
Sx2 
22  32  52  52  72  82
 5 2  4´326
6
y la desviación típica sería:
S x  4´326  2´08
Para el número de días de estudio la media sería:
y
1 3  4  5  5  6
 4 días
6
La varianza del número de días sería:
Sy2 
12  3 2  4 2  5 2  5 2  6 2
 4 2  2´667
6
y la desviación típica sería:
S y  2´667  1´63
Una vez que se tienen las medias marginales se necesita también la covarianza:
x  y  x 2  y 2  x 3  y 3  ...  x n  y n
S xy  1 1
xy
N
En este caso sería:
S xy 
2  1 3  3  5  4  5  5  7  5  8  6
54
6
S xy  3´17
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Una vez que se tienen las medidas marginales y la covarianza se aplica la fórmula del coeficiente
de correlación:

S xy
Sx  Sy
En este caso sería:

3´17
2´08  1´63
  0´93499
Es una relación fuerte ya que el valor es mayor que 0´9.
Es una correlación positiva, a mayor calificación mayor número de días se ha dedicado a
prepararlo.
c) Hallar la recta de regresión
La ecuación de la recta de regresión de y sobre x es:
y  axb
Siendo:
 S xy
a= 
S 2
 x

 yb=


y a x
En este caso sería:
a=
3´17
= 0´73
2´08 2
b = 4  0´73  5  0´35
Realizando las operaciones quedaría:
y  0´73 x  0´35
7.- La siguiente tabla muestra las alturas y los pesos de cinco individuos elegidos al azar
en una clase de bachillerato:
Altura (cm)
166
172
160
171
176
Peso (Kg)
58
80
55
73
73
a) Calcular la recta de regresión de y sobre x
b) Hallar el peso estimado de un individuo que mida 180 cm.
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a) Para calcular el coeficiente de correlación el primer paso es calcular las medidas
marginales, tanto las medias como las desviaciones típicas. Es decir, la media de las
alturas, x y la media del peso,
y . Por otro lado la desviación típica de las alturas,
S x y la
desviación típica del peso, S y
Las medias serían:
x
166  172  160  171  176
 169 cm
5
y
58  80  55  73  73
 67´8 Kg
5
Las varianzas serían:
Sx2 
166 2  172 2  160 2  1712  176 2
 169 2  30´4
5
Sy2 
58 2  80 2  55 2  73 2  73 2
 67´8 2  92´56
5
y las desviaciones típicas son:
S y  92´56  9´62
S x  30´4  5´51
Una vez que se tienen las medias marginales se necesita también la covarianza. En este caso
sería:
S xy 
166  58  172  80  160  55  171 73  176  73
 169  67´8
5
S xy  45´6
Una vez que se tienen las medidas marginales y la covarianza se aplica la fórmula del coeficiente
de correlación:

45´6
5´51 9´62
  0´86
La ecuación de la recta de regresión de y sobre x es:
y  axb
 S xy
a= 
S 2
 x
Siendo:

 yb=


y a x
En este caso sería:
a=
45´6
= 1´5
30´4
b = 67 ´8  1´5  169  185 ´7
Realizando las operaciones quedaría:
y  1´5  x  185´7
b) Para calcular el peso estimado de un individuo que mida 180 cm. se sustituye en la
ecuación de la recta de regresión el valor x = 180
Por tanto:
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y  1´5  180  185´7
y = 84´3 kg.
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