control activo de vibraciones - IIT

UNIVERSIDAD PONTIFICIA COMILLAS
ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA
Ingeniero en Automática y Electrónica Industrial
PROYECTO FIN DE CARRERA
CONTROL ACTIVO DE VIBRACIONES
Autor:
Miguel Rodríguez García
MADRID, JUNIO 2010
Autorizada la entrega del proyecto:
Control activo de vibraciones
Realizado por:
Miguel Rodríguez García
LOS DIRECTORES DEL PROYECTO:
Aurelio García Cerrada
Fdo:
Fecha:
Juan Luis Zamora Macho
Fdo:
Fecha:
VºBº DEL COORDINADOR DE PROYECTOS:
Álvaro Sánchez Miralles
Fdo:
Fecha:
2
A mis padres, por todo.
3
RESUMEN DEL PROYECTO
La mayoría de las máquinas, equipos y estructuras, pueden presentar
serios problemas estructurales o funcionales debido a las cargas dinámicas
que poseen. Debido a esto, pueden provocar excitaciones al sistema
mecánico, dando lugar a la aparición de vibraciones. Por lo tanto, existen un
gran número de situaciones en las que resulta importante evitar la
transmisión de las vibraciones mediante su reducción o eliminación.
Las vibraciones se han reducido tradicionalmente con los controles
pasivos. Estos controles sólo pueden eliminar las vibraciones en el rango de
frecuencia para la cual fueron calculados, por lo cual pueden resultar
ineficaces o inestables si el rango cambia. Una opción más robusta para
evitar estas restricciones, es acoplar un sistema de control activo en serie o
en paralelo junto con los soportes anteriormente descritos.
Este proyecto aborda la adicción de un sistema de control activo a los
controles pasivos convencionales ya existentes. De este modo, el control
excita al sistema de tal forma que contrarreste el efecto de las perturbaciones
por medio de un actuador, eliminando las frecuencias de la vibración. La
aplicación del control repetitivo es un buen sistema para este tipo de
problemas. Este control avanzado está principalmente indicado para el
seguimiento de referencias y rechazo de perturbaciones periódicas, y es la
opción de control investigada en este proyecto.
El control repetitivo, se ha diseñado, implementado y simulado para
distintas frecuencias de perturbación en un sistema de un solo grado de
libertad (Sistema SDOF) y también a un sistema de un solo grado de libertad
al cual se le incorpora un amortiguador activo (Sistema AMD-SDOF).
Se han realizado dos controles repetitivos en este proyecto: Control
Repetitivo Teórico y Control Repetitivo Modificando Ceros para ambos
4
RESUMEN DEL PROYECTO
CONTROL ACTIVO DE VIBRACIONES
sistemas y se han obtenido unos resultados satisfactorios en simulación. Sin
embargo, el Control Repetitivo Modificando Ceros es mucho mejor que el
Control Repetitivo Teórico como se detalla en el proyecto.
Sin Control
Con Control
1E+6
ECM x 106
1E+5
1E+4
1E+3
1E+2
1E+1
1E+0
10
20
30
40
50
60
70
80
90 100 120 140 160 180 200 220 240
Frecuencia de Perturbación (Hz)
Figura 1: Gráfico de barras comparativo en escala logarítmica de los ECMs (ECM x 10 6) para el
Sistema AMD-SDOF sin control y con control.
Para documentar los resultados obtenidos, se ha calculado el Error
Cuadrático Medio ECM en la aceleración del Sistema AMD-SDOF con y sin
control activo de vibraciones. Los valores de ECM sin control y con control
(Control Repetitivo Modificando Ceros) sintonizado para la frecuencia de
vibración de 10 Hz y múltiples de ésta, se muestran en la Figura 1.
Como se observa en el gráfico, claramente el sistema con control logra
reducir considerablemente la aceleración del sistema hasta más de tres
órdenes de magnitud para la frecuencia de diseño, es decir, para
perturbaciones senoidales de frecuencia 10 Hz.
5
PROJECT ABSTRACT
Most machines, equipment and structures, may have serious structural
or functional problems due to dynamic loads. These loads can lead to
mechanical stimuli, resulting in the appearance of vibrations. There are a
number of situations where it is important to avoid transmission of
vibrations through reduction or elimination.
Traditionally, vibration is reduced using passive methods. These
methods can only eliminate vibrations in the frequency range for which they
were calculated, and therefore can be ineffective or unstable if the range
changes. A more robust approach to avoid these restrictions, is to attach an
active surveillance system in series or in parallel with the passive devices
described above.
This project addresses the addition of active control systems existing
conventional passive systems. The active damper will excite the structure to
counteract the effect of disturbances through an actuator, eliminating the
vibration frequencies. The Application of repetitive control may be a good
alternative for such problems. This advanced control is mainly indicated for
tracking periodic references and for the rejection of periodic disturbances,
and is the choice of control investigated in this project.
The repetitive control has been designed, implemented and simulated
for different disturbance frequency on a test system of one degree of
freedom (SDOF System) as well as on a test system with a single degree of
freedom where an active damper is placed (AMD-SDOF).
Two repetitive controllers have been investigated in this project for the
test systems: An ideal repetitive controller and a Repetitive Control
Modifying its zeros. In both cases satisfactory results have been obtained in
simulation. However, the Modifical Repetitive Control is much better than
the ideal one as detailed in the project.
6
PROYECT ABSTRACT
ACTIVE VIBRATION CONTROL
Figure 1: Bar Chart comparison on a logarithmic scale of the ECMs (ECM x 106) for AMD-SDOF system
without control and with control.
The results are illustrated in Figure 1, in which the acceleration meansquare error (ECM) is calculated for the test system with and without active
control for frequency of vibration of 10 Hz and multiples of it. AMD-SDOF
system has been used in the former case.
As shown in Figure 1, the control system is able to reduce considerably
the
acceleration
of
the
system
for
the
design
frequency.
7
DOCUMENTO
Nº1
MEMORIA
8
ÍNDICES
9
ÍNDICE DE CONTENIDO
DOCUMENTO Nº 1: MEMORIA
Índice de Contenido
ÍNDICE MEMORIA
Índice de Contenido __________________________________________________ 10
Índice de Figuras ____________________________________________________ 13
Índice de Tablas _____________________________________________________ 18
PARTE I MEMORIA _________________________________________________ 19
Capítulo 1 INTRODUCCIÓN ____________________________________________ 20
1
2
3
4
5
Precedentes _____________________________________________________________
Motivación _____________________________________________________________
Objetivos _______________________________________________________________
Metodología ____________________________________________________________
Recursos ________________________________________________________________
20
22
23
23
24
Capítulo 2 CONTROL REPETITIVO ______________________________________ 25
1
2
3
4
5
6
7
8
Introducción ____________________________________________________________
Fundamentos ___________________________________________________________
2.1 Control Repetitivo en tiempo continuo _____________________________________
2.2 Control Repetitivo en tiempo discreto ______________________________________
Estructura ______________________________________________________________
3.1 Tipos __________________________________________________________________
Estabilidad ______________________________________________________________
Ganancia _____________________________________________________________
Compensador
_____________________________________________________
Filtro
______________________________________________________________
Implementación _________________________________________________________
25
25
26
27
29
30
30
33
33
36
39
Capítulo 3 REPRESENTACION DE ESTADO ________________________________ 42
1
2
3
4
Introducción ____________________________________________________________
Conceptos ______________________________________________________________
Representación de estado _________________________________________________
Modelado de sistemas físicos ______________________________________________
4.1 Dependencia Lineal _____________________________________________________
5
Control por Realimentación de Estado ______________________________________
5.1 Controlabilidad _________________________________________________________
5.2 Control Proporcional por Realimentación de Estado _________________________
5.3 Control Integral por Realimentación de Estado ______________________________
42
42
44
46
48
49
49
49
53
Capítulo 4 CONTROL SISTEMA SDOF ____________________________________ 58
1
2
Introducción ____________________________________________________________ 58
Sistema SDOF ___________________________________________________________ 58
10
ÍNDICE DE CONTENIDO
DOCUMENTO Nº 1: MEMORIA
3
4
5
6
Modelo en tiempo continuo _______________________________________________
Modelo en tiempo discreto ________________________________________________
Parámetros del Control Repetitivo _________________________________________
Control Repetitivo Teórico ________________________________________________
6.1 Estabilidad _____________________________________________________________
6.2 Implementación _________________________________________________________
6.3 Simulación _____________________________________________________________
Armónicos ______________________________________________________________
6.4 Resultados _____________________________________________________________
7
Control Repetitivo Modificando Ceros ______________________________________
7.1 Estabilidad _____________________________________________________________
7.2 Implementación _________________________________________________________
7.3 Simulación _____________________________________________________________
Armónicos ______________________________________________________________
7.4 Resultados _____________________________________________________________
8
Comparación Resultados _________________________________________________
59
62
65
65
69
74
75
80
82
84
87
89
89
91
92
94
Capítulo 5 CONTROL SISTEMA AMD-SDOF _______________________________ 98
1
2
3
4
5
6
7
Introducción ____________________________________________________________ 98
Sistema AMD-SDOF _____________________________________________________ 98
Modelo en tiempo continuo _______________________________________________ 99
Control Realimentación de Estado_________________________________________ 106
Modelo en tiempo discreto _______________________________________________ 112
Parámetros del Control Repetitivo ________________________________________ 113
Control Repetitivo Teórico _______________________________________________ 113
7.1 Estabilidad ____________________________________________________________ 117
7.2 Implementación ________________________________________________________ 122
7.3 Simulación ____________________________________________________________ 123
Armónicos _____________________________________________________________ 125
7.4 Resultados ____________________________________________________________ 127
8
Control Repetitivo Modificando Ceros ____________________________________ 130
8.1 Estabilidad ____________________________________________________________ 133
8.2 Implementación ________________________________________________________ 135
8.3 Simulación ____________________________________________________________ 135
Armónicos _____________________________________________________________ 137
8.4 Resultados ____________________________________________________________ 139
9
Comparación Resultados ________________________________________________ 141
Capítulo 6 CONCLUSIONES ___________________________________________ 145
Capítulo 7 FUTUROS DESARROLLOS ___________________________________ 147
BIBLIOGRAFÍA ______________________________________________________ 149
Anexo A TERREMOTOS _______________________________________________ 152
1
2
Introducción ___________________________________________________________
Onda Sísmica __________________________________________________________
2.1 Onda de Cuerpo _______________________________________________________
Onda Primaria P ________________________________________________________
Onda Secundaria S ______________________________________________________
152
155
156
156
157
11
ÍNDICE DE CONTENIDO
DOCUMENTO Nº 1: MEMORIA
2.2 Onda superficial _______________________________________________________
Onda Love _____________________________________________________________
Onda Rayleigh _________________________________________________________
3
Escalas de Magnitudes e Intensidades _____________________________________
3.1 Escala Sismológica de Richter ____________________________________________
3.2 Escala de magnitud de momento sísmico __________________________________
3.3 Escala de Intensidad Mercalli ____________________________________________
3.4 Escala Macrosísmica Europea ____________________________________________
4
Medición ______________________________________________________________
159
160
160
162
162
164
166
168
170
PARTE II ESTUDIO ECONÓMICO ____________________________________ 175
Capítulo 1 ESTUDIO ECONÓMICO______________________________________ 176
12
ÍNDICE DE FIGURAS
DOCUMENTO Nº 1: MEMORIA
Índice de Figuras
Figura 2.1: Diagrama de bloques de un sistema de control en tiempo continuo.
________ 26
Figura 2.2: Fundamento Control Repetitivo en tiempo continuo. ___________________ 27
Figura 2.3: Diagrama de bloques de un sistema de control en tiempo discreto.
Figura 2.4: Fundamento Control Repetitivo en tiempo discreto.
_________ 27
___________________ 28
Figura 2.5: Estructura Control Repetitivo tiempo discreto. _______________________ 30
Figura 2.6: Módulo de
. _____________________________________________ 34
Figura 2.7:Ejemplo de filtro FIR para M=10 (azul), M=20 (verde) y filtro ideal (rojo). ____ 38
Figura 2.8: Filtros FIR paso bajo de orden .
_________________________________ 39
Figura 2.9: Estructura de implementación del Control Repetitivo. __________________ 40
Figura 3.1: Sistema con varias entradas y salidas. _____________________________ 43
Figura 3.2: Masa. _____________________________________________________ 47
Figura 3.3: Fricción Viscosa. _____________________________________________ 47
Figura 3.4: Muelle. ____________________________________________________ 47
Figura 3.5: Ejemplo dependencia lineal del tipo1. ______________________________ 48
Figura 3.6: Ejemplo dependencia lineal del tipo2. ______________________________ 48
Figura 3.7: Diagrama de bloques del Control Proporcional por Realimentación de Estado. 50
Figura 3.8: Diagrama de bloques del Control Integral por Realimentación de Estado.
___ 54
Figura 3.9: Diagrama de bloques del Control Integral por Realimentación de Estado con
Planta Ampliada. ____________________________________________________ 56
Figura 4.1: Modelo del Sistema SDOF.
_____________________________________ 58
Figura 4.2: Diagrama de bloques del Sistema SDOF.
___________________________ 60
Figura 4.3: Repuesta ante un escalón unitario en la Planta.
______________________ 61
Figura 4.4: Bode de la Planta. ____________________________________________ 61
Figura 4.5: Respuesta impulsional del Retenedor de orden 0. ______________________ 63
Figura 4.6: Idea de simulación invariante. ___________________________________ 63
Figura 4.7: Bode de la Planta (azul) y Planta Discretizada (verde). _________________ 64
Figura 4.8: Bode de
. ____________________________________________ 66
Figura 4.9: Bode lazo cerrado perturbación-salida del Control Repetitivo + Planta (verde) y
perturbación-salida de la Planta (azul) en escala logarítmica. ____________________ 67
Figura 4.10: Bode lazo cerrado perturbación-salida de la Planta (azul) y perturbación-salida
del Control Repetitivo + Planta (verde) en escala lineal. ________________________ 68
Figura 4.11: Ampliación del Bode magnitud de la Figura 4.10. _____________________ 68
Figura 4.12: Diagrama polos y ceros de la función de transferencia
____________ 70
13
ÍNDICE DE FIGURAS
DOCUMENTO Nº 1: MEMORIA
Figura 4.13: Diagrama polos y ceros de la función de transferencia
____________ 71
Figura 4.14: Bode Magnitud de
. _______________________________________ 71
Figura 4.15: Bode Magnitud de
. _______________________________________ 72
Figura 4.16: Bode Magnitud de
.
__________________________________ 72
Figura 4.17: Ampliación de la zona lineal de la Figura 4.16.
______________________ 73
Figura 4.18: Diagrama de polos y ceros del lazo cerrado Control Repetitivo + Planta. ___ 74
Figura 4.19: Diagrama Simulink Control + Planta.
____________________________ 75
Figura 4.20: Perturbación sinusoidal de amplitud unitaria y frecuencia 20 Hz. _________ 76
Figura 4.21: Aceleración (salida) del sistema con Control Repetitivo Teórico ante
perturbación sinusoidal de 20 Hz. _________________________________________ 76
Figura 4.22: Comparativa entre la perturbación sinusoidal de 20 Hz de entrada (azul) y la
aceleración (verde) del sistema con Control Repetitivo Teórico. ___________________ 77
Figura 4.23: Distintas aceleraciones (salidas) para distintos valores de la ganancia
en el
Control Repetitivo Teórico ante una perturbación sinusoidal de 20Hz. ______________ 78
Figura 4.24: Diagrama polos y ceros de la función de transferencia
Figura 4.25: Bode Magnitud de
para
.
para
. _ 79
_______________________ 79
Figura 4.26: Ampliación de la zona lineal de la Figura 4.25.
______________________ 80
Figura 4.27: Perturbación sinusoidal de amplitud unitaria y frecuencia 20 Hz +10 armónicos.
__________________________________________________________________ 81
Figura 4.28: Aceleración (salida) del sistema con Control Repetitivo Teórico ante
perturbación sinusoidal de 20 Hz + 10 armónicos. _____________________________ 81
Figura 4.29: Comparativa entre la perturbación sinusoidal de 20 Hz + 10 armónicos de
entrada (azul) y la aceleración (verde) del sistema con Control Repetitivo Teórico. _____ 82
Figura 4.30: Gráfico de barras del ECM para el Control Repetitivo Teórico del Sistema
SDOF. _____________________________________________________________ 84
Figura 4.31: Bode lazo cerrado perturbación-salida del Control Repetitivo Modificando
Ceros + Planta (verde) y perturbación-salida de la Planta (azul) en escala logarítmica.
_ 86
Figura 4.32: Bode lazo cerrado perturbación-salida del Control Repetitivo Modificando
Ceros + Planta (verde) y perturbación-salida de la Planta (azul) en escala lineal. ______ 86
Figura 4.33: Ampliación del Bode magnitud de la Figura 4.32. _____________________ 87
Figura 4.34: Diagrama polos y ceros de la función de transferencia
Figura 4.35: Bode Magnitud de
.
____________ 88
__________________________________ 88
Figura 4.36: Ampliación de la zona lineal de la Figura 4.35.
______________________ 89
Figura 4.37: Aceleración (salida) del sistema con el Control Repetitivo Modificando Ceros
ante perturbación sinusoidal de 20 Hz. _____________________________________ 90
Figura 4.38: Comparativa entre la perturbación sinusoidal de 20 Hz de entrada (azul) y la
aceleración del sistema (rojo) con Control Repetitivo Modificando Ceros. ___________ 90
Figura 4.39: Aceleración (salida) del sistema con Control Repetitivo Modificando Ceros
Control Repetitivo Teórico ante perturbación sinusoidal de 20 Hz + 10 armónicos. _____ 91
14
ÍNDICE DE FIGURAS
DOCUMENTO Nº 1: MEMORIA
Figura 4.40: Comparativa entre la perturbación sinusoidal de 20 Hz + 10 armónicos de
entrada (azul) y la aceleración (rojo) del sistema con Control Repetitivo Modificando Ceros.
__________________________________________________________________ 92
Figura 4.41: Gráfico de barras del ECM para el Control Repetitivo Modificando Ceros del
Sistema SDOF. ______________________________________________________ 94
Figura 4.42: Gráfico de barras comparativo de los ECMs de la Tabla 4.4 de las dos controles
para el Sistema SDOF. _________________________________________________ 95
Figura 4.43: Gráfico de barras comparativo en escala logarítmica de los de los ECMs
Modificados de la Tabla 4.4 (ECM x 10 5) de los dos controles para el Sistema SDOF. ____ 96
Figura 4.44: Reducción en escala logarítmica del Control Repetitivo Modificando Ceros
respecto del Control Repetitivo Teórico del Sistema SDOF. ______________________ 97
Figura 5.1: Modelo del Sistema AMD-SDOF. _________________________________ 98
Figura 5.2: Diagrama de bloques del Sistema AMD-SDOF. _____________________
101
Figura 5.3: Bloque que encierra el diagrama de la Figura 5.2. ____________________
102
Figura 5.4: Diagrama de bloques reducido del Sistema AMD-SDOF.
_____________ 104
Figura 5.5: Bode de la Planta. __________________________________________
Figura 5.6: Respuesta a un escalón unitario en referencia de la Planta.
____________ 106
Figura 5.7: Comprobación de las matrices A, B, C y D mediante Matlab. ___________
Figura 5.8: Control Realimentación de Estado.
105
108
_____________________________ 109
Figura 5.9: Respuesta a un escalón unitario en referencia del Control Realimentación de
Estado+Planta. ____________________________________________________ 110
Figura 5.10: Bode referencia-salida del Control Realimentación de Estado + Planta. __
111
Figura 5.11: Respuesta a un escalón unitario en perturbación del Control Realimentación de
Estado+Planta. ____________________________________________________ 111
Figura 5.12: Bode perturbación-salida del Control Realimentación de Estado + Planta.
Figura 5.13: Bode de
.
112
_________________________________________ 115
Figura 5.14: Bode lazo cerrado perturbación-salida del Control Repetitivo Teórico + Planta
(rojo) y perturbación-salida de la Planta (azul) en escala logarítmica. ____________ 116
Figura 5.15: Bode lazo cerrado perturbación-salida del Control Repetitivo Teórico + Planta
(rojo) y perturbación-salida de la Planta (azul) en escala lineal. ________________ 116
Figura 5.16: Ampliación del Bode magnitud de la Figura 5.15. ___________________
117
Figura 5.17: Diagrama polos y ceros de la función de transferencia
__________ 118
Figura 5.18: Diagrama polos y ceros de la función de transferencia
__________ 119
Figura 5.19: Bode Magnitud de
. _____________________________________
120
Figura 5.20: Bode Magnitud de
. _____________________________________
120
Figura 5.21: Bode Magnitud de
.
________________________________ 121
Figura 5.22: Ampliación de la zona lineal de la Figura 5.21.
____________________ 121
15
ÍNDICE DE FIGURAS
DOCUMENTO Nº 1: MEMORIA
Figura 5.23: Diagrama de polos y ceros del lazo cerrado Control Repetitivo Teórico +
Planta. __________________________________________________________
Figura 5.24: Diagrama Simulink Control + Planta.
122
__________________________ 123
Figura 5.25: Perturbación sinusoidal de amplitud unitaria y frecuencia 20 Hz.
______ 124
Figura 5.26: Aceleración (salida) del sistema con Control Repetitivo Teórico ante
perturbación sinusoidal de 10 Hz. _______________________________________
124
Figura 5.27: Comparativa entre la perturbación sinusoidal de 10 Hz de entrada y la
aceleración (salida) del sistema con Control Repetitivo Teórico. ________________
125
Figura 5.28: Perturbación sinusoidal de amplitud unitaria y frecuencia 10Hz +10 armónicos
(azul). ___________________________________________________________ 126
Figura 5.29: Aceleración (salida) del sistema con Control Repetitivo Teórico ante
perturbación sinusoidal de 10 Hz + 10 armónicos. ___________________________
126
Figura 5.30: Comparativa entre la perturbación sinusoidal de 10 Hz + 10 armónicos de
entrada (azul) y la aceleración (verde) del sistema con Control Repetitivo Teórico. ___
127
Figura 5.31: Gráfico de barras en escala logarítmica del ECM Modificado de la Tabla 5.2
(EMC x 103) para el Control Repetitivo Teórico del Sistema AMD-SDOF. __________ 129
Figura 5.32: Bode lazo cerrado perturbación-salida del Control Repetitivo Modificando
Ceros + Planta (verde) y perturbación-salida de la Planta (azul) en escala logarítmica. 131
Figura 5.33: Bode lazo cerrado perturbación-salida del Control Repetitivo Modificando
Ceros + Planta (verde) y perturbación-salida de la Planta (azul) en escala lineal. ____ 132
Figura 5.34: Ampliación del Bode magnitud de la Figura 5.33. ___________________
Figura 5.35: Diagrama polos y ceros de la función de transferencia
Figura 5.36: Bode Magnitud de
.
132
__________ 133
________________________________ 134
Figura 5.37: Ampliación de la zona lineal de la Figura 5.36.
____________________ 134
Figura 5.38: Diagrama de polos y ceros del lazo cerrado Control Repetitivo Modificando
Ceros+ Planta. ____________________________________________________ 135
Figura 5.39: Aceleración (salida) del sistema con el Control Repetitivo Modificando Ceros
ante perturbación sinusoidal de 10 Hz. ___________________________________ 136
Figura 5.40: Comparativa entre la perturbación sinusoidal de 10 Hz de entrada (azul) y la
aceleración del sistema (rojo) con Control Repetitivo Modificando Ceros. _________ 136
Figura 5.41: Aceleración (salida) del sistema con Control Repetitivo Modificando Ceros ante
perturbación sinusoidal de 10 Hz + 10 armónicos. ___________________________ 138
Figura 5.42: Comparativa entre la perturbación sinusoidal de 10 Hz + 10 armónicos de
entrada (azul) y la aceleración (rojo) del sistema con Control Repetitivo Modificando Ceros.
________________________________________________________________ 138
Figura 5.43: Gráfico de barras en escala logarítmica del ECM Modificado de la Tabla 5.3
(EMC x 106) para el Control Repetitivo Modificando Ceros del Sistema AMD-SDOF. _ 140
Figura 5.44: Gráfico de barras comparativo en escala logarítmica de los ECMs Modificados
de la Tabla 5.4 (ECM x 106) de los dos controles para el Sistema AMD-SDOF. _______ 142
Figura 5.45: Reducción en escala logarítmica del Control Repetitivo Modificando Ceros
respecto del Control Repetitivo Teórico del Sistema AMD-SDOF. _______________
144
16
ÍNDICE DE FIGURAS
DOCUMENTO Nº 1: MEMORIA
Figura A.1: Mapa que muestra la ubicación y movimiento de las placas tectónicas en la
corteza terrestre. ___________________________________________________
Figura A.2: Límites de las placas tectónicas donde se suelen producir los terremotos.
Figura A.3: Localización del hipocentro y epicentro de un terremoto.
153
_ 154
_____________ 155
Figura A.4: Tipos de ondas sísmicas. _____________________________________
156
Figura A.5: Onda P.
_________________________________________________ 157
Figura A.6: Onda S.
_________________________________________________ 158
Figura A.7: Ondas P y S de un sismógrafo. _________________________________
Figura A.8: Onda Love.
159
______________________________________________ 160
Figura A.9: Onda Rayleigh.
___________________________________________ 161
Figura A.10: Ondas Love y Rayleigh de un sismógrafo.
_______________________ 162
Figura A.11: Reproducción de un sismograma. ______________________________
Figura A.12: Simulación de un sismógrafo.
163
________________________________ 170
Figura A.13: Sismograma 1- Terremoto Pisco.
______________________________ 171
Figura A.14: Sismograma 2 – Terremoto Japón.
_____________________________ 172
Figura A.15: Calculo Terremoto 1. _______________________________________
172
Figura A.16: Calculo Terremoto 2. _______________________________________
173
17
ÍNDICE DE TABLAS
DOCUMENTO Nº 1: MEMORIA
Índice de Tablas
Tabla 4.1: Parámetros del Sistema SDOF. ___________________________________ 59
Tabla 4.2: ECM del Sistema SDOF con el Control Repetitivo Teórico para distintas
frecuencias de perturbación. _____________________________________________ 83
Tabla 4.3: ECM del Sistema SDOF con el Control Repetitivo Modificando Ceros para
distintas frecuencias de perturbación. ______________________________________ 93
Tabla 4.4: Comparativa de los ECM para los dos controles del Sistema SDOF.
________ 95
Tabla 4.5: Diferencia entre Control Repetitivo Teórico y Control Repetitivo Modificando
Ceros del Sistema SDOF. _______________________________________________ 97
Tabla 5.1: Parámetros del Sistema AMD-SDOF.
______________________________ 99
Tabla 5.2: ECM del Sistema SDOF con el Control Repetitivo Teórico para distintas
frecuencias de perturbación. ___________________________________________
128
Tabla 5.3: ECM del Sistema AMD-SDOF con el Control Repetitivo Modificando Ceros para
distintas frecuencias de perturbación. ____________________________________ 139
Tabla 5.4: Comparativa de los ECM para los dos controles del Sistema AMD-SDOF.
Tabla A.1: Escala Intensidad Mercalli.
_ 142
___________________________________ 168
Tabla A.2: Escala Macrosísmica Europea. _________________________________
170
18
MEMORIA
19
Capítulo 1 INTRODUCCIÓN
1. INTRODUCCIÓN
1 Precedentes
Las vibraciones son un problema importante en muchos sistemas de
ingeniería estructural. Las acciones convencionales contra las vibraciones
en estructuras emplea dispositivos pasivos, uno de los cuales es el
amortiguador dinámico de vibraciones (“dynamic vibration absorber”
DVA) o amortiguador de masas (“tuned mass damper” TMD). El debate
de éste y otros dispositivos se puede encontrar en muchos textos de
vibración estándar, por ejemplo, Den Hartog (1956), Inman (1989), y
Meirovitch (1986). Un amortiguador dinámico de vibraciones es un
dispositivo pasivo de control sencillo y fiable, pero tiene limitaciones
importantes en aplicaciones estructurales ante perturbaciones porque sólo
es eficaz en una sola banda estrecha de frecuencias. Esta incapacidad de los
dispositivos pasivos de hacer frente con eficacia a vibraciones de banda
ancha de naturaleza altamente incierta, así como una serie de otros
factores, ha llevado a parte de la comunidad de ingeniería civil a aceptar el
concepto de control activo de vibraciones en estructuras.
Un gran número de sistemas en la ingeniería están sometidos a
perturbaciones que ocurren simultáneamente en múltiples bandas de
frecuencia estrecha. En ciertos casos, la perturbación es periódica, excitando
a la estructura a una frecuencia fundamental y a múltiplos enteros de esa
frecuencia que se conocen como armónicos. Estos son problemas en los que
se ha demostrado que el control activo es particularmente eficaz. En el
contexto de la ingeniería, una aplicación del control activo, podría ser
controlar las vibraciones provocadas por una máquina rotativa cuando está
en funcionamiento.
20
MEMORIA
Capítulo 1 – Introducción
Independientemente del método de control de vibración empleado, casi
todos los controles de banda estrecha, incluyen un par de polos en la
frecuencia fundamental de la perturbación, que se quiere eliminar. Esto es
una consecuencia del principio de modelo interno propuesto por primera
vez por Francisco y Wonham (1975). Olgac ha aplicado este concepto en
“tuned delayed resonator” (Olgac, Elmali y Vijayan, 1996; Olgac y HolmHansen, 1994, 1995), que es básicamente un amortiguador de masa activa
(“active mass damper” AMD) que emplea la realimentación de posición en
relación con el retardo del control. El objetivo del control es forzar al sistema
a una condición de estabilidad marginal. Esto se hace mediante el ajuste del
retardo a fin de colocar un par de polos en el eje imaginario. Más
recientemente, Olgac y Hosek (1995) amplió el concepto “delayed
resonator”, empleando la realimentación de posición simultáneamente con
respecto a dos pares de polos, por lo que suprime dos frecuencias de
perturbación.
Mientras éste y otros métodos colocan como máximo, dos pares de polos
en el controlador, pero se pueden colocar infinitamente muchos más pares
de polos en el eje imaginario, cuando se ve en tiempo continuo. El control
repetitivo es una forma de aprendizaje de control (“learning control”),
porque la señal de control actual se basa en información de la señal de error
calculado
en
el
ciclo
anterior. El
algoritmo
ha
sido
desarrollado
primeramente por Hara et al. (1988) para sistemas en tiempo continuo, pero
también es aplicable a los sistemas en tiempo discreto. De hecho, gran parte
del trabajo en esta área se ha centrado en sistemas de control de tiempo
discreto.
Recientemente, los sistemas de control repetitivo en tiempo discreto han
sido aplicados específicamente a problemas de vibraciones. Hillerström
(1996) investigó un control repetitivo adaptativo utilizando la estrategia de
modelo externo con realimentación de la aceleración y Hac (1995) desarrolló
21
MEMORIA
Capítulo 1 – Introducción
un esquema de control repetitivo bilineal usando realimentación de estado y
con un amortiguador dinámico semiactivo.
El control repetitivo sigue mostrándose como una promesa fuerte, pero
tiene que investigarse para comprobar su utilidad en el control de
vibraciones.
2 Motivación
En la mayoría de las máquinas, equipos y construcciones civiles, se
pueden presentar serios problemas estructurales o de funcionamiento
debido a las cargas dinámicas que producen vibraciones, por lo que resulta
importante evitar la propagación de las mismas mediante su absorción o
eliminación.
Cuando un equipo o estructura está bajo la acción de alguna forma de
movimiento, se pueden emplear muchos procedimientos para tratar de
controlar y mantener la vibración dentro de ciertos límites. El método
tradicional para aislar la transmisión de vibraciones, es separar la máquina
de la estructura por medio de soportes elásticos disipativos. Este tipo de
control es pasivo (no requiere de potencia externa), e involucra la reducción
de las vibraciones por medio de resortes, materiales elásticos y
amortiguadores que se añaden a la estructura desde la etapa de diseño. La
principal desventaja de este tipo de aislamiento está en que sólo elimina las
vibraciones en el rango de frecuencia para la cual fue calculado, por lo cual
puede resultar ineficiente o inestable si el rango cambia.
En este proyecto se estudia una alternativa para un sistema de control
activo a los controles pasivos convencionales ya existentes, para que de este
modo el control excite al sistema de tal forma que contrarreste el efecto de
las perturbaciones por medio de un actuador, eliminando las frecuencias de
la vibración.
22
MEMORIA
Capítulo 1 – Introducción
3 Objetivos
El objetivo principal del proyecto es el diseño de un control activo de
vibraciones en un sistema poco amortiguado. Los objetivos concretos a
cumplir son los siguientes:
Desarrollo y diseño de un sistema de control de vibraciones más
complejo que los controles tradicionales. En este caso, se ha optado
por el control repetitivo, que está especialmente indicado para seguir
referencias o rechazar perturbaciones periódicas. Se simulará un
sistema
con
control
repetitivo
con
el
fin
de
estudiar
su
comportamiento antes diferentes frecuencias de vibración. Se
analizará el resultado obtenido en comparación con los objetivos
iniciales.
Estudio de investigación en una posible aplicación del control
repetitivo diseñado para paliar los daños de terremotos en
estructuras.
4 Metodología
La metodología que se va a seguir para poder ir cumpliendo los
objetivos es la siguiente:
Controles Tradicionales: Se estudiaran los diferentes controles típicos
como es el caso del control proporcional, diferencial, integral o el más
común que es el proporcional integral derivativo con el fin de tener
un primer contacto con el comportamiento del modelo elegido para
las pruebas.
Control Repetitivo: Se estudiara más en profundidad este control
debido a que sirve para el rechazo o seguimiento de referencias
23
MEMORIA
Capítulo 1 – Introducción
periódicas, en concreto para esta aplicación, se utilizará para el
rechazo de las perturbaciones.
Otros Controles: Se comparará o combinará el control repetitivo con
otros controles con el fin de contrastar y obtener conclusiones sobre
su efectividad o mejora.
5 Recursos
Para el desarrollo de este proyecto, van a ser utilizadas diferentes
herramientas informáticas, a continuación se especifican cuales son:
Matlab®: Utilizando este software matemático y usando sus
múltiples comandos que incorpora, se podrán diseñar los diferentes
controles.
Simulink®: Utilizando esta herramienta de simulación de sistemas,
que funciona sobre el entorno de programación Matlab®. Se podrán
implementar todos los controles diseñados en el modelo del sistema
y de esta forma simular el comportamiento que va a tener al
exponerlo
ante
vibraciones.
Las
simulaciones
se
realizarán
previamente a los respectivos ensayos con el prototipo.
24
Capítulo 2 CONTROL REPETITIVO
2. CONTROL REPETITIVO
1 Introducción
Este capítulo tiene como propósito explicar el sistema de Control
Repetitivo que sirve para el rechazo o seguimiento de referencias periódicas.
La idea original del control repetitivo fue presentada por Inoue [18] para
el control preciso de una fuente de alimentación, que debería seguir una
referencia periódica. El uso de la realimentación positiva y un retardo, hizo
posible realizar el seguimiento de la señal de control a la perfección. Esta
propiedad hizo que el control repetitivo se convirtiese en una solución
atractiva para la compensación de señales periódicos en perturbación.
El control repetitivo ha sido utilizado con éxito en diferentes áreas como
los filtros activos [1] [13] [2], las maquinas de control numérico [9], el control
de CDs y discos duros [4] [5] [6], los rectificadores electrónicos [12], la
robótica [7] [8] o la supresión de vibraciones [10] [11] entre otros.
2 Fundamentos
El control repetitivo es una técnica de control lineal que utiliza el
Principio del Modelo Interno (PMI) para el diseño de controladores capaces
de seguir referencias y rechazo de perturbaciones.
El PMI es uno de los principios importantes dentro de la teoría de
control. Este principio básico de la teoría de control establece que para
conseguir, en régimen permanente, un error de seguimiento nulo, es
necesario y suficiente que el sistema generador de la señal de referencia (o
de perturbación, en su caso) esté incluido en el lazo de control. En el
dominio de la frecuencia, el PMI se traduce en introducir una ganancia
25
MEMORIA
Capítulo 2 – Control Repetitivo
infinita en aquellas frecuencias que corresponden a las señales que se desean
seguir y a las perturbaciones que se desean rechazar. Los controladores
resonantes y repetitivos corresponden a la aplicación del PMI a este tipo de
señales.
2.1 Control Repetitivo en tiempo continuo
Un sistema de control típico en tiempo continuo, como el mostrado en
la Figura 2.1 se compone de un regulador, que recibe el nombre de
una planta
y
a controlar.
Figura 2.1: Diagrama de bloques de un sistema de control en tiempo continuo.
Partiendo de una perturbación
de periodo
.
compuesta por una señal periódica
Para conseguir error cero en régimen permanente,
básicamente basta con que se cumpla (2.1). Así, para
, se cumple
que el error es cero.
(2.1)
Aplicando la Transformada de Laplace en la ecuación (2.1) se obtiene la
ecuación básica del control repetitivo que es la siguiente:
(2.2)
Así como su diagrama de bloque correspondiente a la ecuación(2.2), es
el que se muestra a continuación:
26
MEMORIA
Capítulo 2 – Control Repetitivo
Figura 2.2: Fundamento Control Repetitivo en tiempo continuo.
2.2 Control Repetitivo en tiempo discreto
Originalmente, el control repetitivo se desarrolló como un controlador
en tiempo continuo de dimensión infinita. Sin embargo, la implementación
analógica de este tipo de controladores resulta extremadamente compleja.
La aparición de los microprocesadores en el mundo industrial, provocó
la necesidad de discretizar los controles para su implementación en los
sistemas. Un sistema de control típico en tiempo discreto tiene la misma
estructura que el sistema un sistema en tiempo continuo (Figura 2.1) pero
con el regulador y la planta discretizada como se presenta en la Figura 2.3.
Figura 2.3: Diagrama de bloques de un sistema de control en tiempo discreto.
Afortunadamente, su implementación en tiempo discreto es más
sencilla, de modo que, si el período de la señal de referencia o perturbación
que se quiere seguir o rechazar
muestreo
es un múltiplo entero
del periodo de
, de tal forma que la ecuación resulta de la siguiente forma:
27
MEMORIA
Capítulo 2 – Control Repetitivo
(2.3)
La relación entre
donde
y
de la ecuación (2.3) será nombrada como
,
es el orden del controlador. Así, la función de transferencia del
regulador en tiempo discreto, tomando
se puede escribir como:
(2.4)
Para la implementación de
de la ecuación (2.4) se le pude asociar
el diagrama de bloques de la Figura 2.4.
Figura 2.4: Fundamento Control Repetitivo en tiempo discreto.
Este bloque presenta N polos uniformemente distribuidos sobre el
círculo unidad y, por lo tanto, una ganancia infinita en todas aquellas
frecuencias que son múltiplos de
, empezando por frecuencia cero (con
lo cual también realiza la función de integrador puro). Cabe mencionar
que, con esta implementación en tiempo discreto, sólo se pueden seguir o
rechazar con error nulo aquellas componentes frecuenciales de la señal que
están por debajo de la frecuencia de Nyquist del sistema
.
Desde un punto de vista intuitivo, se puede afirmar que, en tareas de
seguimiento de referencias periódicas, el controlador repetitivo utiliza en
cada momento los valores del error del periodo anterior para acumular
información y reducir el error de seguimiento en el régimen permanente.
El caso de rechazo de perturbaciones periódicas es análogo, pero aquí la
información se utiliza para compensar la perturbación. Por este motivo, a
28
MEMORIA
Capítulo 2 – Control Repetitivo
menudo, se relaciona el control repetitivo con técnicas de aprendizaje [19].
Como ya se ha hecho notar, este proceso de aprendizaje requiere que el
periodo de muestreo
esté sincronizado con el periodo de la señal de
referencia o perturbación
, de modo que dicha señal sea también
periódica en tiempo discreto.
3 Estructura
Este apartado se dedica únicamente a explicar la estructura completa de
la que se compone el control repetitivo, es decir, la notación de los bloques
utilizados en este sistema de control. El diagrama de bloques completo se
puede que se va a utilizar se puede ver en la Figura 2.5.
La explicación de cada uno de los bloques es la siguiente:
representa la función retraso.
representa un filtro que limita el ancho de banda del
regulador.
es una ganancia de realimentación.
es un compensador. Se utiliza para garantizar la estabilidad
del sistema de control.
representa un regulador previo a la planta que se utiliza
para mejorar las prestaciones del regulador repetitivo.
representa la planta en tiempo discreto.
29
MEMORIA
Capítulo 2 – Control Repetitivo
Figura 2.5: Estructura Control Repetitivo tiempo discreto.
3.1 Tipos
Existen dos tipos de control repetitivo:
Control Repetitivo (a secas). Cuando el regulador previo
Control Repetitivo “plug-in”. Cuando el regulador previo
, en muchos casos
4 Estabilidad
La estabilidad del control repetitivo es un tema delicado. Existen
bastantes autores que tratan la estabilidad del control repetitivo, en este
apartado se ha basado principalmente en [1] [2].
La función de transferencia del error
es:
30
MEMORIA
Capítulo 2 – Control Repetitivo
(2.5)
Definiendo
y
de la ecuación (2.5) como:
(2.6)
(2.7)
Donde los respectivos elementos que aparecen en la ecuación (2.5)
están definidos en el apartado “Estructura” salvo
que se define en la
ecuación (2.8), de tal forma:
(2.8)
Para que el sistema sea estable tanto
y
deben ser estables. Se
debe cumplir la ecuación (2.9) como condición suficiente de estabilidad para
.
(2.9)
con
Para garantizar el mayor cumplimiento posible de la condición de
estabilidad de la ecuación (2.9), es necesario que
se quiere minimizar dicha ecuación, lo ideal es que
siempre y cuando
. Si
,
, que al ser un filtro digital cumplirá la
siguiente ecuación:
31
MEMORIA
Capítulo 2 – Control Repetitivo
(2.10)
con
Una vez descrita la situación, se define
como:
(2.11)
(2.12)
con
Para minimizar
hay que maximizar
que los resultados sugieren que se defina
(2.12) por lo
como:
(2.13)
Donde
es un modelo de la planta estimado y
es el modelo
de la planta en bucle cerrado estimado, de tal forma que cuanto mejor se
aproxime
al modelo real, más exacta será la cancelación entre
. Si la cancelación es exacta, la ganancia
y
es la única que habría que
diseñar para cumplir con la ecuación (2.12).
Para poder utilizar la ecuación (2.13) es necesario que
no tenga
ceros fuera del círculo unidad, ya que si no la inversa de la planta da lugar
a un sistema inestable.
32
MEMORIA
Capítulo 2 – Control Repetitivo
5 Ganancia
La ganancia
, es la ganancia del control repetitivo. La posición de la
ganancia dentro del regulador se muestra en la Figura 2.5.
(2.14)
Si
es exactamente
[2], es decir, se estima perfectamente la
planta, la ecuación (2.15) queda
, por lo tanto la ganancia
tiene que tener valores comprendidos entre
estabilidad. Se recomienda
para garantizar la
para dar un margen mayor de
seguridad, para tener en cuenta posibles errores de modelado en la planta.
Por este motivo, también se incluye un filtro FIR paso bajo que se describe
en el apartado “Filtro
”, para contribuir con la estabilidad, ya que a altas
frecuencias la incertidumbre en la estimación de la planta es mayor.
6 Compensador
Uno de los elementos importantes del control repetitivo, es el
compensador
estabilidad
, el cual es una función de transferencia que sirve para la
del
sistema
como
se
ha
tratado
en
el
apartado
“Estabilidad” de este mismo capítulo. Su colocación dentro del regulador
está señalada en la Figura 2.5.
Partiendo de la ecuación (2.12), se ha representado el módulo del
número complejo
en función de los parámetros
y , siendo:
(2.15)
33
MEMORIA
Capítulo 2 – Control Repetitivo
Figura 2.6: Módulo de
El módulo de
.
se ha representado en la Figura 2.6 para valores de
entre 0 grados y 180 grados. En el eje x de la gráfica se encuentra el valor de
A, mientras que en el eje y se encuentra
.
Como se observa, el único valor para el cual se cumple
en todo el rango
de
donde se cumple
es con
. A medida que se incrementa
, la región
va disminuyendo, por lo que lo ideal sería
. Para conseguir esto, la función de transferencia
debe de cumplir
la ecuación (2.16).
(2.16)
Como ya se comentó en el apartado de estabilidad, el inconveniente de la
ecuación (2.16) es la existencia de ceros fuera del circulo unidad.
34
MEMORIA
Capítulo 2 – Control Repetitivo
Este problema de estabilidad se soluciona [20] [21] [22] partiendo de la
función de transferencia de la planta del sistema (2.13) donde
polos y
son los
son los ceros de la planta, que se dividen en los ceros
cancelables
y los ceros no cancelables
. En otras palabras,
contiene todos los ceros fuera o encima del círculo unidad y también
cualquier cero indeseable dentro del círculo unidad, mientras
contiene
los restantes ceros, es decir, los ceros dentro del círculo unidad.
(2.17)
Una vez definida la planta, la función de transferencia
control repetitivo a secas, es decir, con
para un
cuya ecuación sería la
inversa de la planta (2.18), se redefine a la ecuación (2.19) para este tipo de
casos.
(2.18)
(2.19)
Donde
y
son los polos y ceros de la planta anteriormente
descritos. Es importante hacer notar que
reemplazando
por
, es
pero
en el polinomio. El parámetro b es una simple
ganancia que se selecciona para mejorar el rendimiento y mantener la
estabilidad mediante la ecuación (2.20).
(2.20)
con
Si el control repetitivo es “plug-in”, es decir,
, la ecuación (2.16)
no es válida. Hay que redefinir la ecuación de
, para este caso,
35
MEMORIA
Capítulo 2 – Control Repetitivo
desarrollando la ecuación (2.21) se obtienen los polos y los ceros para definir
la función
(2.19).
(2.21)
(2.22)
Por lo tanto
queda definida de la siguiente forma:
(2.23)
Todos los términos son análogos a los términos para el control repetitivo
a secas, por lo tanto el término
ecuación (2.20) pero con
se define de igual forma que en la
.
7 Filtro
El filtro
tiene como objetivo limitar el funcionamiento del control
repetitivo a altas frecuencias, el cual, previene de errores de modelado en la
planta, sobre todo a altas frecuencias. Por lo tanto, puede diferenciarse
significativamente de la planta real y causar problemas de inestabilidad.
Consecuentemente, el filtro sacrifica rendimiento del regulador para
conseguir la robustez necesaria. La posición del filtro
dentro del control
se muestra en la Figura 2.5.
El modulo de
no afecta de forma negativa a la estabilidad del
sistema, siempre y cuando sea menor que la unidad. Esto ya se ha explicado
en el apartado “Estabilidad”, más concretamente en la ecuación (2.10). La
fase tampoco modifica la estabilidad, aunque si pueden existir problemas en
la eliminación correcta de los armónicos.
36
MEMORIA
Capítulo 2 – Control Repetitivo
El diseño de un filtro
ideal es:
(2.24)
(2.25)
Además, la fase del filtro debe de ser lineal para todo el rango de
actuación del control, por tanto:
(2.26)
De forma general, un filtro paso bajo de fase lineal se puede escribir
como [1]:
(2.27)
Donde
es el retardo que introduce el filtro. Para el regulador
repetitivo este retardo debe de ser cero. En el diseño, se va a utilizar un filtro
FIR de fase cero.
Se define un filtro FIR (“Finite Impulse Response”) [28] como aquel en el
que cada muestra de salida es una suma ponderada de un número finito de
muestras de la secuencia de entrada ya recibida, lo que significa que su
respuesta es causal. Esta funcionalidad se puede expresar en la ecuación
(2.28). Esta ecuación recibe el nombre de ecuación en diferencias.
(2.28)
o su representación alternativa en forma de convolución discreta:
37
MEMORIA
Capítulo 2 – Control Repetitivo
(2.29)
donde
es la respuesta al impulso del filtro FIR que puede expresarse
de forma compacta como:
(2.30)
La función de transferencia es la transformada
de la respuesta al
impulso. Por tanto, se puede concluir el siguiente resultado.
(2.31)
Donde M es la longitud del filtro. Un valor de M mayor supondrá una
pendiente
mayor
en
la
banda
pasante
del
filtro,
pero
también
incrementará el coste computacional. El valor de M también está limitado
por el número de retrasos posibles de compensar con el control. Un ejemplo
de filtro FIR se muestra en la Figura 2.7.
Figura 2.7:Ejemplo de filtro FIR para M=10 (azul), M=20 (verde) y filtro ideal (rojo).
38
MEMORIA
Capítulo 2 – Control Repetitivo
Un filtro FIR de fase cero que es de común uso por varios autores [20]
[36], tiene la siguiente estructura:
(2.32)
Donde n es el orden del filtro. Un diagrama de bode de un filtro de
primer orden se muestra en la Figura 2.8, donde se observa que la fase es
cero.
Figura 2.8: Filtros FIR paso bajo de orden .
8 Implementación
La principal dificultad en la implementación de este control en Simulink
es que no soporta funciones de transferencia no causales, es decir, funciones
que tengan más ceros que polos. Algunos de los elementos que se han
descrito anteriormente, como es el filtro
y el compensador
serán
no realizables (no causales) en la mayor parte de los casos.
39
MEMORIA
Capítulo 2 – Control Repetitivo
En general,
es un bloque no causal, de modo que no puede
implementarse de forma directa y se deben aprovechar
retardos de la
cadena directa de la celda del control repetitivo para conseguir la causalidad
del bloque. De esta forma, ambos sistemas se vuelven inseparables a la hora
de implementar el controlador.
Figura 2.9: Estructura de implementación del Control Repetitivo.
Asimismo al bloque
le pasa lo mismo, así que aprovecha
retardos
de la cadena directa de la celda del control repetitivo para conseguir la
causalidad del bloque.
Para ello el regulador de la Figura 2.5 sufre una pequeña alteración que
se muestra en el esquema de la Figura 2.9.
La implementación del control repetitivo en Simulink incorpora:
para convertir en realizable a
para convertir en realizable a
(causal).
(causal).
40
MEMORIA
Capítulo 2 – Control Repetitivo
Para realizar estos cambios, el retardo
que hay que compensar los
y
se cambia por
ya
retardos utilizados para
y
como se observa en la Figura 2.9. Además en el lazo de
realimentación positivo del control se introduce un retardo
compensar el
para
ya que está fuera del lazo.
Esta implementación suele ser posible porque
es muy grande y se
cumple la siguiente ecuación:
(2.33)
41
Capítulo 3 REPRESENTACION DE ESTADO
3. REPRESENTACION DE ESTADO
1 Introducción
En este capítulo se aborda el modelado de sistemas físicos mediante
representación de estado e introduce las técnicas básicas de control mediante
la realimentación del estado [3].
La representación de estado es la forma más completa de modelado.
Aplicable prácticamente a todos los sistemas, independientemente de su
complejidad, incluyendo sistemas con múltiples entradas y salidas. Conocer
el modelado mediante representación de estado es esencial para el control de
sistemas complejos. Para analizar un sistema de este tipo, es esencial reducir
la complejidad de las expresiones matemáticas.
El enfoque en representación de estado para los análisis de sistemas es el
más conveniente. En tanto que la teoría de control convencional se basa en la
descripción de las ecuaciones de transferencia, la teoría de control moderna
se basa en la descripción de las ecuaciones de un sistema en términos de n
ecuaciones diferenciales de primer orden. El uso de la notación matricial
simplifica enormemente la representación matemática de los sistemas de
ecuaciones. El incremento en la cantidad de variables de estado, de entradas
y de salidas no aumenta la complejidad de las ecuaciones.
En este capítulo se describe el procedimiento de diseño de controles
mediante asignación de polos y sus principales compromisos.
2 Conceptos
Los sistemas complejos pueden tener entradas y salidas múltiples y estas
pueden variar en el tiempo. Este tipo de sistema se muestra en la Figura 3.1.
42
MEMORIA
Capítulo 3 – Representación de Estado
El estado de un sistema dinámico es el conjunto más pequeño de
variables, de modo que el conocimiento de estas variables en
con el conocimiento de la entrada para
, junto
, determina por completo el
comportamiento del sistema para cualquier tiempo
.
Figura 3.1: Sistema con varias entradas y salidas.
Las variables de estado de un sistema dinámico son las variables que
forman el conjunto más pequeño de variables que determinan el estado del
sistema dinámico. Si se necesitan al menos
variables
para
describir por completo el comportamiento de un sistema dinámico, éstas se
consideran los
componentes de un vector
, que se denomina vector de
estado. A partir del sistema de la Figura 3.1 se definen tres vectores que se
agrupan en la ecuación (3.1), donde:
es el vector de variables de entrada de orden
es el vector de variables de salida de orden
es el vector de variables de estado de orden
.
.
.
43
MEMORIA
Capítulo 3 – Representación de Estado
(3.1)
Por tanto el vector de variables de estado es aquel que determina de
manera única el estado del sistema
vez que se obtiene el estado en
para cualquier tiempo
, una
y se especifica la entrada
para
.
3 Representación de estado
El espacio de dimensión
el eje
, el eje
,…, el eje
cuyos ejes de coordenadas están formados por
, se denomina espacio de estados. Cualquier
estado puede representarse mediante un punto en el espacio de estados.
En el análisis de las ecuaciones en el
espacio de estados, nos
concentramos en tres tipos de variables involucradas en el modelado de
sistemas dinámicos: variables de entrada, variables de salida y variables de
estado, todas ellas definidas en la ecuación (3.1).
El sistema dinámico debe incorporar elementos que memoricen los
valores de la entrada para
. Dado que los integradores de un sistema
de control en tiempo continuo funcionan como dispositivos de memoria, las
salidas de los integradores se consideran las variables que definen el estado
interno del sistema dinámico. Por tanto, las salidas de los integradores
funcionan como variables de estado. La cantidad de variables de estado
necesarias para definir completamente la dinámica del sistema es igual a la
cantidad de integradores que contiene el sistema.
Supóngase que un sistema de entradas y salidas múltiples contiene
integradores. Por lo tanto existen
entradas
,
salidas
y las salidas
44
MEMORIA
Capítulo 3 – Representación de Estado
de los integradores como variables de estado
. A continuación el sistema
se describe mediante las ecuaciones (3.2) y (3.4).
(3.2)
(3.3)
(3.4)
Las ecuaciones (3.2) y (3.4) se convierten en:
(3.5)
(3.6)
La ecuación (3.5) es la ecuación de estado y la ecuación (3.6) es la
ecuación de salida. Si las funciones vectoriales
y/o
involucran
explícitamente el tiempo, el sistema se denomina sistema variante con el
45
MEMORIA
Capítulo 3 – Representación de Estado
tiempo. Linealizando las ecuaciones (3.5) y (3.6) alrededor del estado de
operación, se obtienen las ecuaciones de estado y de salida linealizadas:
(3.7)
(3.8)
Donde
se denomina matriz de estado,
es la matriz de salida y
Si las funciones vectoriales
es la matriz de entrada,
es la matriz de transmisión directa.
y
no involucran el tiempo explícitamente,
el sistema se denomina sistema invariante con el tiempo. Si además el
sistema es lineal, las ecuaciones (3.7) y (3.8) se simplifican a:
(3.9)
(3.10)
4 Modelado de sistemas físicos
Un sistema de control puede tener varios componentes. Para mostrar las
funciones que lleva a cabo cada componente en la ingeniería de control por
lo general se usa la representación denominada diagrama de bloques. En
esta sección se van a tratar los sistemas mecánicos de traslación que son los
que interesan para este documento.
Para modelar un sistema mecánico de traslación se usan básicamente
tres elementos, una masa, una fricción viscosa y un muelle.
Una masa como la que se puede ver en la Figura 3.2 y su ecuación de
movimiento y función de transferencia en la ecuación (3.11).
46
MEMORIA
Capítulo 3 – Representación de Estado
Figura 3.2: Masa.
(3.11)
La fricción viscosa que se representa en la Figura 3.3, cuya ecuación de
movimiento y función de transferencia se puede ver en la ecuación (3.12).
Figura 3.3: Fricción Viscosa.
(3.12)
El muelle se muestra en la Figura 3.4, cuya ecuación de movimiento y
función de transferencia se puede ver en la ecuación (3.13).
Figura 3.4: Muelle.
(3.13)
47
MEMORIA
Capítulo 3 – Representación de Estado
4.1 Dependencia Lineal
Algunas veces, en ciertos sistemas mecánicos aparecen ciertas
dependencias lineales que hay que tener en cuenta a la hora de modelar el
sistema. Las dos dependencias para los sistemas mecánicos de traslación
son las siguientes:
1) Cuando la variable de salida es una posición y esa posición no se
pueda determinar con la energía del sistema. En este caso, hay que
incluirla como una variable de estado más. Un ejemplo de este caso
se puede ver en la Figura 3.5.
Figura 3.5: Ejemplo dependencia lineal del tipo1.
2) Cuando existen
elementos que almacenan energía, pero no son
variables de estado porque dos guardan una dependencia entre
ellas. En este caso hay que disminuir en uno las variables de
estado.
Figura 3.6: Ejemplo dependencia lineal del tipo2.
Un ejemplo de este caso se puede ver en la Figura 3.6, donde hay
tres elementos que almacenan energía, pero las deformaciones de
los muelles dependen una de la otra, por lo tanto las variables de
estado son dos en lugar de tres.
48
MEMORIA
Capítulo 3 – Representación de Estado
5 Control por Realimentación de Estado
En este apartado se describen los dos controles por realimentación de
estado (control proporcional y control integral), además de la matriz de
controlabilidad.
5.1 Controlabilidad
La controlabilidad es la propiedad que determina si es posible llevar
un sistema dinámico de una posición inicial
tiempo finito
, siendo
al origen
mediante una entrada
en un
.
Un sistema lineal e invariante en el tiempo como el definido en las
ecuaciones (3.9) y (3.10) de
variables de estado, es un sistema controlable
si cumple la ecuación (3.14). Si el sistema es monovariable la expresión se
reduce a la ecuación (3.15).
(3.14)
(3.15)
Donde
es la matriz de controlabilidad definida en la ecuación
(3.16).
(3.16)
5.2 Control Proporcional por Realimentación de Estado
El esquema básico del control proporcional por realimentación de
estado se muestra en la Figura 3.7, donde se puede observar el bloque de la
Planta y el control formado por los bloques
y .
49
MEMORIA
Capítulo 3 – Representación de Estado
Figura 3.7: Diagrama de bloques del Control Proporcional por Realimentación de Estado.
Partiendo de un sistema invariante en el tiempo, definido en las
ecuaciones (3.9) y (3.10). Se redefine la planta por la ecuación (3.17)
partiendo del sistema que se observa en la Figura 3.7. Los distintos
elementos se describen a continuación:
es el vector de variables de entrada de orden
es el vector de variables de salida de orden
es el vector de variables de estado de orden
.
.
.
es el vector de variables de perturbación de orden
.
es el vector de variables de referencia de orden
.
matriz de estado de orden
matriz de salida de orden
La matriz
y
.
se descompone en:
50
MEMORIA
Capítulo 3 – Representación de Estado
matriz de las entradas en referencia de orden
.
matriz de las entradas en perturbación de orden
matriz de transición en referencia de orden
.
.
matriz de transición en perturbación de orden
.
(3.17)
La estrategia de control, que es igualmente válida para sistemas
continuos y discretos consiste en utilizar las variables de estado
para
realimentar el sistema mediante una matriz , y comparar el estado con
unas señales de referencia
por una matriz
, de donde se obtiene la
ecuación siguiente:
(3.18)
El control proporcional definido en la ecuación (3.18) está formado por:
matriz de ganancias de orden
matriz de ganancias de orden
A partir de la planta (3.17) y el control (3.18), se obtiene el sistema
controlado en lazo cerrado de la ecuación (3.19).
(3.19)
51
MEMORIA
Capítulo 3 – Representación de Estado
El procedimiento del diseño del control consiste en determinar la
matriz de ganancias
de la realimentación de estado, tal que los polos del
sistema en lazo cerrado tengan los valores deseados.
La matriz
fija los autovalores del sistema realimentado, que habrá
tantos como variables de estado. Los autovalores ajustan la rapidez y el
amortiguamiento del sistema en lazo cerrado.
Para obtener la matriz
solamente hay que resolver la ecuación (3.20)
donde es la matriz identidad y
se define en la ecuación (3.22) donde
son los polos del sistema en lazo cerrado con un amortiguamiento y
rapidez elegidos por el diseñador, a esto se le conoce cómo “asignación de
polos”.
(3.20)
(3.21)
Resolver la ecuación (3.20) es una peliaguda labor, por lo que existen
dos comandos de Matlab en (3.22) y (3.23) para obtener la solución.
Si es un sistema monovariable, se puede usar el comando “acker” de
Matlab, que permite polos múltiples.
(3.22)
Si es un sistema multivariable o monovariable, se puede usar el
comando “place” de Matlab, pero no permite polos coincidentes.
(3.23)
La matriz
fija la precisión del sistema, es decir, el seguimiento de
referencia. Para obtener la matriz
, se estudia el régimen permanente del
52
MEMORIA
Capítulo 3 – Representación de Estado
sistema controlado de la ecuación (3.19) quedando definido por el
siguiente sistema de ecuaciones:
(3.24)
Sustituyendo
en la segunda ecuación, se obtiene la salida del sistema
realimentado que se observa en la ecuación (3.25). Solamente hay que
resolver la ecuación (3.25), donde se quiere que la salida sea igual a la
referencia, por lo tanto, se debe cumplir la ecuación (3.26).
(3.25)
(3.26)
Igualando las dos ecuaciones anteriores, se obtiene la matriz
.
(3.27)
5.3 Control Integral por Realimentación de Estado
El diagrama del control integral por realimentación se presenta en la
Figura 3.8. Para la formulación del control de una manera más sencilla, se
ha redefinido la Planta, incorporando la acción integral del control a ella,
de este modo la Planta se pasa a llamar Planta Ampliada.
53
MEMORIA
Capítulo 3 – Representación de Estado
Figura 3.8: Diagrama de bloques del Control Integral por Realimentación de Estado.
Siendo la Planta un sistema invariante en el tiempo definido en las
ecuaciones (3.28) y el control, un Control Integral definido en la ecuación
(3.29).
(3.28)
(3.29)
La Planta Ampliada se define como la suma de las ecuaciones (3.28) y
(3.29) obteniéndose el sistema de ecuaciones (3.30)
(3.30)
Los distintos elementos se describen a continuación:
es el vector de variables de referencia de orden
.
54
MEMORIA
Capítulo 3 – Representación de Estado
es el vector de variables de entrada de orden
es el vector de variables de salida de orden
.
.
es el vector de variables de estado de orden
.
es el vector de variables de estado de la acción integral de
orden
.
matriz de estado de orden
matriz de entrada de orden
.
matriz de salida de orden
matriz de transición de orden
.
Debido a la Planta Ampliada, el vector de variables de estado
redefine a
, como se describe en la ecuación (3.31) donde incorpora
la acción integral del control. La matriz
orden
se
de
es el nuevo vector de estado de
.
(3.31)
Agrupando términos en la ecuación (3.30) se puede obtener la matriz
de estado A ampliada
y la matriz de entrada
ampliada
, ambas se
puede ver en las ecuaciones (3.32) y
(3.33) respectivamente. Finalmente la Planta Ampliada queda resumida
en la ecuación (3.34).
(3.32)
55
MEMORIA
Capítulo 3 – Representación de Estado
(3.33)
(3.34)
Con la Planta Ampliada el sistema a controlar queda del mismo modo
que si fuese un control proporcional por realimentación de estado como se
observa en la Figura 3.9.
Figura 3.9: Diagrama de bloques del Control Integral por Realimentación de Estado con Planta
Ampliada.
La estrategia de control, es la misma que para un control proporcional,
consiste en utilizar las variables de estado
para realimentar el sistema
mediante una matriz , y comparar el estado con la salida de la acción
integral del control
por una matriz
, de donde se obtiene la
ecuación siguiente:
(3.35)
El control integral definido en la ecuación (3.35) está formado por:
56
MEMORIA
Capítulo 3 – Representación de Estado
matriz de ganancias de la acción integral de orden
matriz de ganancias de orden
El procedimiento de diseño del control consiste en determinar la matriz
de ganancias
, compuesta por las matrices
y
como se puede ver en
la ecuación (3.36).
(3.36)
Para obtener la matriz
donde
solamente hay que resolver la ecuación (3.37)
es la matriz identidad y
son los polos que se quieren obtener
del sistema en lazo cerrado. De esta forma se realiza la “asignación de
polos”.
(3.37)
Cómo ocurre en el diseño de un control proporcional, resolver la
ecuación anterior es una ardua labor, por lo que se pueden utilizar
cualquiera de los dos comandos de Matlab que se describen en las
ecuaciones (3.22) y (3.23). En este caso se utilizan las matrices
y
ampliadas.
57
Capítulo 4 CONTROL SISTEMA SDOF
4. CONTROL SISTEMA SDOF
1 Introducción
En este capítulo se estudia y diseña el control activo de vibraciones de un
sistema SDOF, aplicando el algoritmo de control repetitivo para el rechazo
de vibraciones.
2 Sistema SDOF
Un sistema SDOF (“single degree of freedom”) es un sistema de un
grado de libertad. Los grados de libertad son las variables necesarias para
definir de manera unívoca la configuración del sistema.
Figura 4.1: Modelo del Sistema SDOF.
El sistema SDOF presentado en [36] que se va a controlar, es un sistema
mecánico formado por una masa
, una fricción viscosa
y un muelle . La
58
MEMORIA
Capítulo 4 – Control Sistema SDOF
posición de cada elemento se muestra en la Figura 4.1 y el valor de cada
elemento está detallado en la Tabla 4.1.
Sistema SDOF
10
12.5
Tabla 4.1: Parámetros del Sistema SDOF.
3 Modelo en tiempo continuo
En este apartado se escriben las ecuaciones en tiempo continuo del
sistema SDOF. Es un sistema de un grado de libertad, cuya ecuación del
movimiento en el dominio de Laplace es:
(4.1)
Donde
es el desplazamiento de la masa
perturbación y
,
es la fuerza de la
es la fuerza del actuador.
Sustituyendo la transformada de Laplace
de la ecuación (4.1) por la
derivada del desplazamiento de la masa, se obtiene la ecuación (4.2).
(4.2)
Despejando la segunda derivada de
de las ecuación anterior, se
consigue las ecuación (4.3) donde se puede observar la función que describe
la aceleración de la masa
.
(4.3)
59
MEMORIA
Capítulo 4 – Control Sistema SDOF
A partir de esta ecuación, se realiza el diagrama de bloques para
Simulink® con los integradores y ganancias que describen el modelo del
sistema SDOF. Este diagrama se muestra en Figura 4.2.
Figura 4.2: Diagrama de bloques del Sistema SDOF.
A continuación, se describen las funciones de transferencia en lazo
cerrado entre la entrada-salida
y perturbación-salida
.
(4.4)
(4.5)
Sustituyendo los valores de cada elemento de las ecuaciones (4.4) y (4.5)
se obtienen las ecuaciones respectivas (4.6) y (4.7).
(4.6)
(4.7)
60
MEMORIA
Capítulo 4 – Control Sistema SDOF
Definitivamente, la planta del sistema queda definida por la función de
transferencia
, por lo tanto, su ecuación en el dominio de Laplace es:
(4.8)
Figura 4.3: Repuesta ante un escalón unitario en la Planta.
Figura 4.4: Bode de la Planta.
61
MEMORIA
Capítulo 4 – Control Sistema SDOF
Como se observa en la Figura 4.3, el sistema es muy poco amortiguado.
La respuesta ante un escalón unitario presenta muchas oscilaciones debido a
que tiene un amortiguamiento muy pequeño
(4.9). También,
analizando la respuesta en frecuencia, es decir, el bode de la planta (Figura
4.4), presenta un pico de resonancia en su frecuencia natural
(4.10). Es justo a esta frecuencia, donde el sistema se comportará
peor ante una vibración.
(4.9)
(4.10)
4 Modelo en tiempo discreto
Una vez conseguido el modelo de la planta en tiempo continuo, solo
falta transformarlo en el dominio de la transformada . Esto es necesario, ya
que, la planta discretizada se utiliza a la hora de diseñar el control repetitivo,
el cual, también se hará en tiempo discreto para su implementación.
Existen varias técnicas para la discretización de funciones de
transferencia [23]. En este documento, se ha elegido para la discretización el
retenedor de orden 0, debido a que proporciona el modelo digital exacto.
El retenedor de orden cero es, con mucho, el más usado en la práctica;
mantiene la salida constante entre instantes de muestreo. La respuesta
impulsional (Figura 4.5), puede descomponerse en un escalón menos un
escalón retrasado
. Su transformada de Laplace es la función de
transferencia de la ecuación (4.11).
62
MEMORIA
Capítulo 4 – Control Sistema SDOF
Figura 4.5: Respuesta impulsional del Retenedor de orden 0.
(4.11)
Al ser un sistema invariante en el tiempo, la discretización está basada
en la idea de reconstruir
con el retenedor de orden cero. Esto se muestra
en la Figura 4.6, donde
es un función de transferencia en . Resulta
entonces, una simulación exacta (invariante) para aquellas formas de
que el retenedor reconstruya exactamente,
.
Figura 4.6: Idea de simulación invariante.
De esta manera, en la ecuación (4.12) se define la transformación que hay
que realizar para la discretización de la planta. La planta ya en el dominio de
la transformada
, utilizando el tiempo de muestreo
definido en el
63
MEMORIA
Capítulo 4 – Control Sistema SDOF
apartado “Parámetros del Control Repetitivo”, se muestra en la ecuación
(4.13).
(4.12)
(4.13)
Para observar que la planta discretizada es igual que la planta en el
dominio de Laplace. En la Figura 4.7, se ha dibujado el bode de ambas
plantas, (
en color azul y
en color verde), donde se observar que
son prácticamente iguales, salvo a bajas frecuencias que es donde difieren.
Figura 4.7: Bode de la Planta (azul) y Planta Discretizada (verde).
64
MEMORIA
Capítulo 4 – Control Sistema SDOF
5 Parámetros del Control Repetitivo
En primer lugar, se debe definir el orden
del control repetitivo. Cuanto
mayor sea el orden, mejor será su comportamiento. Por lo tanto, se ha
elegido
.
El control que se va a diseñar es de orden fijo, por lo tanto, se ha fijado
. Eso quiere decir, que la frecuencia mínima de las
perturbaciones que va a eliminar el controlador es de
y múltiplos
de esta. De esta forma, queda definido el tiempo de muestreo del sistema
. Aparte de que el sistema muestreará a
, también
provoca que el sistema solo puede trabajar en frecuencias por debajo de la
frecuencia de Nyquist (4.14).
(4.14)
6 Control Repetitivo Teórico
Una vez definido el modelo del sistema, sólo falta realizar el control
repetitivo. El control permitirá rechazar las perturbaciones del sistema, es
decir, las vibraciones.
Se diseña un control repetitivo “plug-in” de tal forma que se ha elegido
como regulador previo. Además, se ha estudiado y se ha obtenido
que es el control proporcional que mejor se ajusta al sistema. Por
consiguiente, la función
se reduce a la ecuación siguiente:
(4.15)
Partiendo de la ecuación en
de la planta (4.13), hay que examinar los
ceros y polos, debido a que la planta está involucrada en el diseño de
.
65
MEMORIA
Capítulo 4 – Control Sistema SDOF
La ecuación (4.13) presenta un cero encima del círculo unidad, por lo
tanto, en este caso, hay que usar la fórmula de la ecuación (2.23) comentada
en el apartado “Compensador
De esta forma,
” del “Capítulo 2” de este documento.
queda definida en la ecuación (4.17), mientras que
está definida en la ecuación (4.16).
(4.16)
(4.17)
Siendo
de
donde
, es el valor máximo del módulo
. Esto se puede observar en el bode magnitud de la Figura 4.8.
Figura 4.8: Bode de
.
El filtro FIR paso bajo que se utiliza es el de la ecuación (2.32) donde
el orden del filtro, para un diseño fácil del filtro
es
.
66
MEMORIA
Capítulo 4 – Control Sistema SDOF
Sólo falta seleccionar el valor de la ganancia
para terminar el diseño
del control repetitivo. En un primer momento, se ha seleccionado
es un valor intermedio (rango de valores que puede tomar,
que
), para
comprobar el funcionamiento del sistema. Posteriormente, se ajusta este
parámetro para conseguir una respuesta mejor ante las perturbaciones.
En la Figura 4.10, se ha representado el diagrama de bode perturbaciónsalida de la planta, junto a la función en lazo cerrado perturbación-salida
. Se puede observar en la magnitud del bode de
controlador intenta dar ganancia
que el
a las frecuencias de interés, esto
quiere indicar que a esas frecuencias elimina la perturbación.
Figura 4.9: Bode lazo cerrado perturbación-salida del Control Repetitivo + Planta (verde) y
perturbación-salida de la Planta (azul) en escala logarítmica.
67
MEMORIA
Capítulo 4 – Control Sistema SDOF
Figura 4.10: Bode lazo cerrado perturbación-salida de la Planta (azul) y perturbación-salida del Control
Repetitivo + Planta (verde) en escala lineal.
Figura 4.11: Ampliación del Bode magnitud de la Figura 4.10.
Todo esto, se percibe mejor en la Figura 4.11 donde se ha ampliado la
Figura 4.10. Al mismo tiempo, se aprecia claramente que a la frecuencia para
68
MEMORIA
Capítulo 4 – Control Sistema SDOF
la cual el sistema ha sido diseñado (
), el pico de ganancia es más
punzante, y a medida que la frecuencia aumenta, estos picos empiezan a
deteriorarse, empeorando la respuesta del sistema frente a perturbaciones
cuya frecuencia sea múltiplo de la original. Eso quiere decir, que a
frecuencias múltiples, el sistema elimina peor las vibraciones que si se
tratase de la frecuencia de diseño, esto es debido al filtro FIR paso bajo que
limita las prestaciones del control a altas frecuencias.
6.1 Estabilidad
Una vez diseñado el control, se comprueba que todas las ecuaciones de
estabilidad se cumplen.
Partiendo de la ecuación del error (2.5), deben de ser estables las
funciones de transferencia
y
de las ecuaciones (2.6) y (2.7)
respectivamente. Para ayudar en el seguimiento de la estabilidad del
sistema, ambas ecuaciones serán definidas nuevamente.
En primer lugar, se comprueba la estabilidad de
definida en la
ecuación (4.18), además de mostrar su diagrama de polos y ceros en la
Figura 4.12.
(4.18)
Para estar más seguro, el valor del polo y cero complejo se muestran a
continuación, donde se puede ver con claridad, que los dos están dentro
del círculo unidad, es decir,
es estable.
(4.19)
69
MEMORIA
Capítulo 4 – Control Sistema SDOF
Figura 4.12: Diagrama polos y ceros de la función de transferencia
En segundo lugar, se comprueba la estabilidad de
definida en la
ecuación (4.20). Además de mostrar su diagrama de polos y ceros en la
Figura 4.13, donde se puede comprobar que todos los ceros y polos están
dentro del círculo unidad.
(4.20)
Por razones de simplificación, no se han mostrados los valores de los
polos y ceros, pero todos ellos son estables, convirtiendo a
en
estable.
70
MEMORIA
Capítulo 4 – Control Sistema SDOF
Figura 4.13: Diagrama polos y ceros de la función de transferencia
Para que
sea estable, debe de cumplirse también la ecuación
(2.9), donde por separado
y
deben de tener un módulo menor o
igual a la unidad para cumplirse dicha ecuación (2.9).
Figura 4.14: Bode Magnitud de
.
71
MEMORIA
Capítulo 4 – Control Sistema SDOF
Figura 4.15: Bode Magnitud de
Figura 4.16: Bode Magnitud de
.
.
En la Figura 4.14 y Figura 4.15, están representados los diagramas de
bode magnitud de
y
respectivamente. Ambas funciones de
72
MEMORIA
Capítulo 4 – Control Sistema SDOF
transferencia tienen módulo menor o igual a la unidad en todo el rango de
frecuencias
. Por lo tanto, la ecuación (2.9) que se ha representado en la
Figura 4.16 tiene módulo menor o igual que uno para todos los valores de
frecuencia donde opera el regulador. Para que no quede lugar a duda de la
afirmación anterior, se ha hecho una ampliación en la Figura 4.17.
Figura 4.17: Ampliación de la zona lineal de la Figura 4.16.
Finalmente se comprueba el diagrama de ceros y polos del sistema en
lazo cerrado con el control y la planta. Como se comprueba en la Figura
4.18 el sistema es estable porque todos los polos del sistema están dentro
del círculo unidad.
73
MEMORIA
Capítulo 4 – Control Sistema SDOF
Figura 4.18: Diagrama de polos y ceros del lazo cerrado Control Repetitivo + Planta.
6.2 Implementación
Una vez definidos todos los elementos del control, hay que
implementar el control dentro del sistema (Figura 4.19), para lo cual, se
procede
a
hacer
la
implementación
descrita
en
el
“Implementación” del “Capítulo 2”. Se utilizan sendos
apartado
(para este
diseño) de la cadena directa de la celda del control repetitivo para hacer
causal al filtro
y al compensador
. Estos retardos no se aprecian
en la figura ya que están introducidos dentro de cada bloque.
En el sistema se ha introducido también un retenedor de orden cero y
un muestrador para compatibilizar la parte digital del sistema con la parte
continua. De tal forma, la parte digital (control repetitivo) está en rojo y la
parte continua (planta) en negro para facilitar la visualización.
74
MEMORIA
Capítulo 4 – Control Sistema SDOF
Figura 4.19: Diagrama Simulink Control + Planta.
6.3 Simulación
Una vez implementado el sistema completo, se introduce una
perturbación como se indica en la Figura 4.19 para comprobar el
funcionamiento del control.
La perturbación es de tipo sinusoidal con amplitud unitaria y de
frecuencia
(Figura 4.20). La frecuencia de
es justo la
frecuencia a la que está diseñado el sistema para eliminar las vibraciones
de esa frecuencia y múltiplos de ella.
La salida del sistema es la aceleración de la masa
del sistema SDOF,
la cual, está indicada en la Figura 4.21.
75
MEMORIA
Capítulo 4 – Control Sistema SDOF
Figura 4.20: Perturbación sinusoidal de amplitud unitaria y frecuencia 20 Hz.
Figura 4.21: Aceleración (salida) del sistema con Control Repetitivo Teórico ante perturbación
sinusoidal de 20 Hz.
76
MEMORIA
Capítulo 4 – Control Sistema SDOF
Figura 4.22: Comparativa entre la perturbación sinusoidal de 20 Hz de entrada (azul) y la aceleración
(verde) del sistema con Control Repetitivo Teórico.
La aceleración resultante es una señal sinusoidal de frecuencia la
misma que la perturbación de entrada, pero de amplitud 0.027. La
reducción de la amplitud de la perturbación de entrada, la cual es unitaria,
es significativa, ya que el control ha conseguido reducir la vibración
veces el valor de la entrada.
El resultado es bastante satisfactorio, pero si se recuerda, la ganancia
se eligió de una manera arbitraria, optando por un valor intermedio del
rango que podía tener la ganancia
tomar la ganancia
de
. Debido al valor que puede
, se han simulado distintos controles variando el valor
, pero manteniendo la misma perturbación de amplitud unitaria y
de frecuencia. El resultado de estas simulaciones se puede ver en la
Figura 4.23, donde una ganancia de
que con
es la mejor opción posible ya
el sistema se convierte en inestable.
77
MEMORIA
Capítulo 4 – Control Sistema SDOF
Una ganancia de
reduce las vibraciones
veces el valor
original de la perturbación, reduciéndola a una amplitud de 0.0195.
Se comprueba la estabilidad del sistema con esa nueva ganancia para
que no existan problemas, aunque haya respondido bien con la ganancia
de
.
Figura 4.23: Distintas aceleraciones (salidas) para distintos valores de la ganancia
Repetitivo Teórico ante una perturbación sinusoidal de 20Hz.
Aunque el control haya cambiado,
en el Control
va a seguir siendo estable
porque no influye el control en la función, esto se muestra en la ecuación
(4.24). En cambio
depende del control (4.20), por lo tanto, se ha
dibujado el diagrama de polos y ceros en la Figura 4.24 para comprobar su
estabilidad y como se aprecia
es estable. Al igual que se cumple la
ecuación (2.9) en la Figura 4.25. Se ha hecho una ampliación en la Figura
4.26 para ver con mayor detalle el módulo en la zona lineal de la Figura
78
MEMORIA
Capítulo 4 – Control Sistema SDOF
4.25, y como se observa el módulo es menor que la unidad en todo el rango
de frecuencias.
Figura 4.24: Diagrama polos y ceros de la función de transferencia
Figura 4.25: Bode Magnitud de
para
para
.
.
79
MEMORIA
Capítulo 4 – Control Sistema SDOF
Figura 4.26: Ampliación de la zona lineal de la Figura 4.25.
Armónicos
Una vez observado el comportamiento del sistema ante una
perturbación sinusoidal de frecuencia
y amplitud unitaria. Se ha
procedido a introducir 10 armónicos de amplitud en función de la ecuación
(4.21) y de frecuencia en función de la ecuación (4.23).
(4.21)
(4.22)
La perturbación de frecuencia fundamental
y amplitud unitaria
junto con 10 armónicos cuyas amplitudes y frecuencias se rigen por las
ecuaciones anteriores, se muestra en la Figura 4.27.
80
MEMORIA
Capítulo 4 – Control Sistema SDOF
Figura 4.27: Perturbación sinusoidal de amplitud unitaria y frecuencia 20 Hz +10 armónicos.
Figura 4.28: Aceleración (salida) del sistema con Control Repetitivo Teórico ante perturbación
sinusoidal de 20 Hz + 10 armónicos.
81
MEMORIA
Capítulo 4 – Control Sistema SDOF
Figura 4.29: Comparativa entre la perturbación sinusoidal de 20 Hz + 10 armónicos de entrada (azul) y
la aceleración (verde) del sistema con Control Repetitivo Teórico.
La aceleración de la masa
del sistema SDOF, está indicada en la
Figura 4.28. En la Figura 4.29 se ha mostrado la perturbación de entrada y
la salida del sistema para poder comparar ambas señales.
La aceleración posee una frecuencia de
igual a la frecuencia
fundamental de perturbación, pero con amplitud 0.0459. El control ha
conseguido reducir la vibración
antes eran
veces el valor de entrada mientras que
veces cuando no existían los armónicos.
6.4 Resultados
El diseño del Control Repetitivo Teórico está finalizado y la simulación
para la frecuencia de
está hecho, por lo tanto, solo falta realizar las
simulaciones para distintas frecuencias y de este modo obtener los
resultados. Como se ha observado para la frecuencia de diseño, el control
82
MEMORIA
Capítulo 4 – Control Sistema SDOF
logra atenuar bastante bien la perturbación, ya que eliminar por completo
las perturbaciones es algo imposible, siempre existirá un error.
Los resultados que se documentan están realizados en función del error
anteriormente comentado, es decir, el error que existe en la aceleración de
salida debido a la imposibilidad de obtener una aceleración nula, que sería
lo ideal. Para determinar el error, se utiliza el Error Cuadrático Medio ECM
que es la raíz cuadrada de la media aritmética de los cuadrados de los
errores
, cuya ecuación se observa a continuación.
(4.23)
El ECM en la aceleración de la masa
para las distintas frecuencias de
perturbación se muestra en la Tabla 4.2, donde se muestra la frecuencia de
diseño
sistema
y múltiplos de esta, así como la frecuencia natural del
. Todas las perturbaciones de entrada son de amplitud
unitaria.
Sistema SDOF con el Control Repetitivo Teórico
Frecuencia
ECM
20
60
80
100
Tabla 4.2: ECM del Sistema SDOF con el Control Repetitivo Teóricopara distintas frecuencias de
perturbación.
Para ver de una manera más visual la Tabla 4.2, se ha realizado un
gráfico de barras (Figura 4.30) donde están representados los errores en
83
MEMORIA
Capítulo 4 – Control Sistema SDOF
régimen permanente en función de las distintas frecuencias de
perturbación.
Control Repetitivo Teórico
2,50E-01
ECM
2,00E-01
1,50E-01
1,00E-01
5,00E-02
0,00E+00
20
40
60
80
100
Frecuencia de Perturbación (Hz)
Figura 4.30: Gráfico de barras del ECM para el Control Repetitivo Teórico del Sistema SDOF.
Como se comprueba en el gráfico, el ECM más pequeño se encuentra
cuando el sistema presenta una perturbación de
, debido a que es la
frecuencia de diseño para el control. De este modo, se comprueba que es la
mejor respuesta que va a tener el sistema ya que a múltiplos de esta, la
respuesta se deteriora. Existe una excepción para la frecuencia de
,
donde el error es diez veces más de lo normal y es debido al pico de
resonancia que presenta el sistema SDOF a la frecuencia de
.
7 Control Repetitivo Modificando Ceros
En el apartado anterior se ha descrito el diseño del control teórico para
el sistema SDOF basado en la descripción del “Capítulo 2”. Este apartado,
quiere aportar una modificación sobre la sección anterior, en la cual, como
se comprobará a continuación, mejora la respuesta significativamente ante
vibraciones.
84
MEMORIA
Capítulo 4 – Control Sistema SDOF
Se diseña un control repetitivo “plug-in” de la misma forma que en la
sección anterior, eligiendo
como regulador previo, debido a que
se ha estudiado y se ha obtenido que es el control proporcional que mejor
se ajusta al sistema. Por consiguiente, la función
es la misma que en
la ecuación (4.15) y con los mismos polos y ceros que la ecuación (4.16). A
dicha ecuación, se le ha modificado su cero problemático por otro cero
próximo al original pero dentro del círculo unidad y no encima, como
originalmente se encontraba. Debido a este cambio, la ecuación (4.16)
queda redefinida por la ecuación (4.24).
(4.24)
Donde ahora, la función de transferencia no tiene ningún tipo de
problema de cero o polo inestable. Aunque no se invierte completamente el
modelo, no se espera que las diferencias sean importantes. Para obtener
se utiliza la ecuación (2.16) , cuyo resultado se muestra a
continuación:
(4.25)
El filtro FIR paso bajo se define de la misma forma que en la ecuación
(2.32) con
y la ganancia
del control repetitivo, se ajusta a
ya que es la ganancia que mejores prestaciones aporta estando dentro de los
límites de estabilidad que posteriormente se desarrollan.
En la Figura 4.32 se ha representado el bode perturbación-salida de la
planta, junto a la función en lazo cerrado perturbación-salida
puede observar en la magnitud del bode de
. Se
que el controlador
intenta dar ganancia infinita negativa a las frecuencias de interés, esto
quiere indicar que a esas frecuencias elimina la perturbación.
85
MEMORIA
Capítulo 4 – Control Sistema SDOF
Figura 4.31: Bode lazo cerrado perturbación-salida del Control Repetitivo Modificando Ceros + Planta
(verde) y perturbación-salida de la Planta (azul) en escala logarítmica.
Figura 4.32: Bode lazo cerrado perturbación-salida del Control Repetitivo Modificando Ceros + Planta
(verde) y perturbación-salida de la Planta (azul) en escala lineal.
86
MEMORIA
Capítulo 4 – Control Sistema SDOF
Igualmente que en el apartado anterior, se ha hecho una ampliación en
la Figura 4.33. A priori, este control parece mucho mejor porque los picos
de ganancia negativa son más afilados y tienden más al infinito negativo,
es decir, tienen ganancias negativas mayores.
Figura 4.33: Ampliación del Bode magnitud de la Figura 4.32.
7.1 Estabilidad
Una vez diseñado el control, se comprueba que todas las ecuaciones de
estabilidad se cumplen.
La función de transferencia
(4.18) que no depende del control se
ha demostrado que es estable en la Figura 4.12.
La estabilidad de
, además de estar definida en la ecuación (4.20),
se muestra su diagrama de polos y ceros en la Figura 4.34, donde se puede
comprobar que todos los ceros y polos están dentro del círculo unidad.
Para que
sea estable debe de cumplirse también la ecuación (2.9), y
como se demuestra en la Figura 4.35 el módulo de
es menor o
87
MEMORIA
Capítulo 4 – Control Sistema SDOF
igual a la unidad en todo el rango de frecuencias, como también se
demuestra en la zona lineal del bode magnitud (Figura 4.36).
Figura 4.34: Diagrama polos y ceros de la función de transferencia
Figura 4.35: Bode Magnitud de
.
88
MEMORIA
Capítulo 4 – Control Sistema SDOF
Figura 4.36: Ampliación de la zona lineal de la Figura 4.35.
7.2 Implementación
La implementación del sistema se realiza de la misma manera que el
apartado “Implementación” del ”Control Repetitivo Teórico”.
7.3 Simulación
Una vez implementado el control junto con la planta, se introduce una
perturbación
para
comprobar
el
funcionamiento
del
control.
La
perturbación es la misma que en el apartado “Simulación” del ”Control
Repetitivo Teórico” de esta forma se pueden comparar ambos controles.
Esta perturbación se puede ver en la Figura 4.20.
La salida del sistema con el Control Repetitivo Modificando Ceros, es
la aceleración de la masa
del sistema SDOF, la cual, está indicada en la
Figura 4.37.
89
MEMORIA
Capítulo 4 – Control Sistema SDOF
Figura 4.37: Aceleración (salida) del sistema con el Control Repetitivo Modificando Ceros ante
perturbación sinusoidal de 20 Hz.
Figura 4.38: Comparativa entre la perturbación sinusoidal de 20 Hz de entrada (azul) y la aceleración
del sistema (rojo) con Control Repetitivo Modificando Ceros.
90
MEMORIA
Capítulo 4 – Control Sistema SDOF
La aceleración resultante es una señal sinusoidal de frecuencia
pero de amplitud
. La reducción de la vibración es
veces el
valor de la perturbación de entrada, esta reducción es de 5 órdenes de
magnitud.
Armónicos
Una vez observado el comportamiento del sistema ante una
perturbación sinusoidal de frecuencia
y amplitud unitaria. Se ha
procedido a introducir 10 armónicos de amplitud en función de la ecuación
(4.21) y de frecuencia en función de la ecuación (4.23), dicha perturbación
se muestra en la Figura 4.27.
Figura 4.39: Aceleración (salida) del sistema con Control Repetitivo Modificando Ceros Control
Repetitivo Teórico ante perturbación sinusoidal de 20 Hz + 10 armónicos.
91
MEMORIA
Capítulo 4 – Control Sistema SDOF
Figura 4.40: Comparativa entre la perturbación sinusoidal de 20 Hz + 10 armónicos de entrada (azul) y
la aceleración (rojo) del sistema con Control Repetitivo Modificando Ceros.
La aceleración de la masa
del sistema SDOF tiene
de
frecuencia al igual que la frecuencia fundamental de la vibración. La
amplitud máxima de salida es
conseguido reducir la vibración
, por lo tanto se ha
veces el valor de entrada, eso son 3
órdenes de magnitud el valor de entrada mientras que antes eran 5 órdenes
cuando no existían los armónicos.
7.4 Resultados
Se ha observado que para la frecuencia de diseño, el control logra
atenuar bastante bien la perturbación (Figura 4.8) ya que eliminar por
completo las perturbaciones es algo imposible, siempre existirá un error.
Al igual que en el apartado “Resultados” del “Control Repetitivo
Teórico”, los resultados de la simulación se realizan en función del error en
92
MEMORIA
Capítulo 4 – Control Sistema SDOF
la salida del sistema. Para determinar el error se utiliza el ECM de la
ecuación (4.23). El ECM para las distintas frecuencias de perturbación se
muestra en la Tabla 4.2, donde se muestra la frecuencia de diseño
y múltiplos de esta, así como la frecuencia natural del sistema
.
Todas las perturbaciones de entrada son de amplitud unitaria.
Sistema SDOF con el Control Repetitivo Modificando Ceros
Frecuencia
ECM
20
60
80
100
Tabla 4.3: ECM del Sistema SDOF con el Control Repetitivo Modificando Ceros para distintas
frecuencias de perturbación.
Para ver de una manera más rápida la Tabla 4.3, se ha realizado un
gráfico de barras (Figura 4.41) donde están representados los errores en
régimen permanente en función de las distintas frecuencias de
perturbación.
Como era de esperar, el ECM más pequeño se encuentra cuando el
sistema es excitado por una perturbación de
, como ya se comentó
anteriormente en las Figura 4.32 y Figura 4.33. Mientras que a medida que
van aumentando las frecuencias múltiples de
, la respuesta del
control empeora ya que el error va aumentando. Existe una excepción para
la frecuencia de
, donde el error es más grande de lo normal y es
debido al pico de resonancia que presenta el sistema SDOF cercano a la
frecuencia de
.
93
MEMORIA
Capítulo 4 – Control Sistema SDOF
Control Repetitivo Modificando Ceros
6E-03
5E-03
ECM
4E-03
3E-03
2E-03
1E-03
0E+00
20
40
60
80
100
Frecuencia de Perturbación (Hz)
Figura 4.41: Gráfico de barras del ECM para el Control Repetitivo Modificando Ceros del Sistema
SDOF.
8 Comparación Resultados
Una vez analizados los dos controles repetitivos, se comparan ambos
para comprobar cuál de ellos es el que mejor resultado proporciona. La
comparación se realiza en función de los errores tratados en el apartado
“Resultados” de los respectivos controles. Se ha realizado la Tabla 4.4 donde
se agrupan los datos de ECM de la Tabla 4.2 y Tabla 4.3 del “Control
Repetitivo Teórico” y “Control Repetitivo Modificando Ceros” del sistema
SDOF respectivamente.
En la tabla se comparan los dos controles para las distintas frecuencias
de perturbación. Para ver de una manera visual cuál de ellos tiene menor
error se ha realizado un gráfico de barras en la Figura 4.42, en ella, los datos
están en escala lineal, pero ésta escala hace que la comparación no sea buena.
Debido a esto, en la Figura 4.43 se han representado en escala logarítmica los
datos de la Tabla 4.4 modificados (x
) para que todos sean mayores que la
unidad y de esta forma el logaritmo sea positivo.
94
MEMORIA
Capítulo 4 – Control Sistema SDOF
Sistema SDOF
ECM
Control Repetitivo Teórico
Frecuencia
Control Repetitivo
Modificando Ceros
20
60
80
100
Tabla 4.4: Comparativa de los ECM para los dos controles del Sistema SDOF.
Control Repetitivo Teórico
Control Repetitivo Modificando Ceros
3E-01
2E-01
ECM
2E-01
1E-01
5E-02
0E+00
20
40
60
80
100
Frecuencia de Perturbación (Hz)
Figura 4.42: Gráfico de barras comparativo de los ECMs de la Tabla 4.4 de las dos controles para el
Sistema SDOF.
95
MEMORIA
Capítulo 4 – Control Sistema SDOF
Control Repetitivo Teórico
Control Repetitivo Modificando Ceros
1E+05
ECM x 105
1E+04
1E+03
1E+02
1E+01
1E+00
20
39,76
40
60
80
100
Frecuencia de Perturbación (Hz)
Figura 4.43: Gráfico de barras comparativo en escala logarítmica de los de los ECMs Modificados de la
Tabla 4.4 (ECM x 105) de los dos controles para el Sistema SDOF.
Como se observa en el gráfico, claramente el Control Repetitivo
Modificando Ceros es mucho mejor que el Control Repetitivo Teórico ya que
reduce el error más de un orden de magnitud en cada una de las frecuencias.
En concreto, en la Tabla 4.5 se realiza la diferencia entre ambos controles
para cada una de las frecuencias. Donde se detalla la diferencia entre los
ECM de cada control de la Tabla 4.4, el porcentaje que reduce debido a esa
diferencia y por último el cociente entre el ECM del Control Repetitivo
Teórico y el ECM del Control Repetitivo Modificando Ceros, es decir, ese
valor obtenido indica cuantas veces hay que dividir el ECM del Control
Repetitivo Teórico para obtener el ECM del Control Repetitivo Modificando
Ceros.
Diferencia entre los controles
Frecuencia
Reducción
unidades
20
ECM
%
99.38
162.38
95.20
20.84
97.48
39.70
96
MEMORIA
Capítulo 4 – Control Sistema SDOF
60
94.40
17.87
80
90.21
10.21
100
85.00
6.67
Tabla 4.5: Diferencia entre Control Repetitivo Teórico y Control Repetitivo Modificando Ceros del
Sistema SDOF
El cociente entre los ECMs anteriormente descritos, se han representado
en la Figura 4.44 en escala logarítmica, donde se puede ver claramente que
en la frecuencia de diseño, la reducción es grande
y a medida
que la frecuencia va aumentando esa diferencia va disminuyendo
CR.Teórico/ CR. Modificando Ceros
progresivamente.
162,38
39,70
20,84
20
39,76
17,87
40
60
10,21
6,67
80
100
Frecuencia de Perturbación (Hz)
Figura 4.44: Reducción en escala logarítmica del Control Repetitivo Modificando Ceros respecto del
Control Repetitivo Teórico del Sistema SDOF.
97
Capítulo 5 CONTROL SISTEMA AMD-SDOF
5. CONTROL SISTEMA AMD-SDOF
1 Introducción
En este capítulo se estudia y diseña el control activo de vibraciones para
un sistema AMD-SDOF, aplicando el algoritmo de control repetitivo.
2 Sistema AMD-SDOF
Un sistema AMD-SDOF es simplemente un sistema de dos grados de
libertad compuesto por un sistema SDOF que se combina con un sistema de
amortiguación de masa activa AMD. El modelo esquemático del sistema
utilizado en [36] se observa en la Figura 5.1 y los parámetros del modelo
están resumidos en la Tabla 5.1.
Figura 5.1: Modelo del Sistema AMD-SDOF.
98
MEMORIA
Capítulo 5 – Control Sistema AMD-SDOF
El sistema SDOF (Single Degree Of Freedom) es el sistema mecánico de
un solo grado de libertad de la Figura 5.1, formado por una masa
fricción viscosa
y un muelle
, una
.
Sistema AMD-SDOF
Estructura Primaria
Estructura Secundaria
10
0.1
12.5
0.05
6250
Tabla 5.1: Parámetros del Sistema AMD-SDOF.
El sistema AMD (Active Mass Damper) es un sistema que sirve para
suprimir activamente las vibraciones que puedan dañar o romper una
estructura causado por las oscilaciones. Este sistema está formado por una
masa auxiliar
, una fricción viscosa
, un muelle
opera la masa produciendo una fuerza de control
y un actuador que
que responde a las
perturbaciones sufridas por la estructura. Todos estos elementos están
instalados en la parte superior de la estructura como se aprecia en la Figura
5.1.
3 Modelo en tiempo continuo
En este apartado se escriben las ecuaciones en tiempo continuo del
sistema AMD-SDOF que se observa en la Figura 5.1. Es un sistema de dos
grados de libertad, cuyas ecuaciones del movimiento en el dominio de
Laplace se pueden observar en las ecuaciones (5.1) y (5.2).
(5.1)
(5.2)
99
MEMORIA
Capítulo 5 – Control Sistema AMD-SDOF
Las ecuaciones anteriores se pueden agrupar en la representación
matricial que se puede observar en la ecuación (5.3).
(5.3)
Donde
es el desplazamiento de la masa auxiliar,
desplazamiento de la masa principal,
es el
es la fuerza de la perturbación y
es la fuerza del actuador.
Sustituyendo la transformada de Laplace
de las ecuaciones (5.1) y (5.2)
por la derivada del desplazamiento de cada una de las masas, se obtienen las
ecuaciones (5.4) y (5.5) respectivamente.
(5.4)
(5.5)
Despejando las segundas derivadas de
de las ecuaciones (5.4) y
(5.5) se obtienen las ecuaciones (5.6) y (5.7) donde se pueden observar las
aceleraciones de las dos masas
y
respectivamente.
(5.6)
(5.7)
A partir de estas ecuaciones se realiza el diagrama de bloques con
integradores y ganancias que describen el modelo. Este diagrama se puede
observar en Figura 5.2.
100
MEMORIA
Capítulo 5 – Control Sistema AMD-SDOF
Figura 5.2: Diagrama de bloques del Sistema AMD-SDOF.
El diagrama de bloques de la Figura 5.2 al ser bastante grande, se agrupa
en un solo bloque, creando un subsistema llamado “Planta” que se muestra
en la Figura 5.3. Compuesto por dos entradas: “Fd” y ”Fa” y cinco salidas:
101
MEMORIA
Capítulo 5 – Control Sistema AMD-SDOF
”dXa”, ”dXp”, ”Xa”, ”Xp” e ”y” que es la salida del sistema, es decir, la
aceleración de la masa
Figura 5.3: Bloque que encierra el diagrama de la Figura 5.2.
Resolviendo el diagrama de bloques, se obtiene la función de
transferencia de la planta
del sistema AMD-SDOF. Resolver el
diagrama es una ardua labor, por lo tanto se ha optado por resolverlo
matemáticamente. Aún así este diagrama se utiliza para el diseño, análisis y
simulación del control activo de vibraciones.
Eliminando
de la ecuación (5.1) y (5.2) se reduce a la expresión de la
ecuación (5.8).
(5.8)
Con la ecuación (5.8) se puede obtener las funciones de transferencia
y
respecto al desplazamiento
que se pueden ver en las ecuaciones (5.9)
y (5.10) respectivamente.
(5.9)
(5.10)
102
MEMORIA
Capítulo 5 – Control Sistema AMD-SDOF
Estas ecuaciones relacionan el desplazamiento de la masa principal
con las fuerzas, pero lo que se quiere relacionar es la aceleración con
respecto las fuerzas. La aceleración de la masa
es lo que interesa
controlar del sistema. Para obtener la aceleración, basta con multiplicar
por el desplazamiento
y de esa manera se consiguen las ecuaciones (5.11)
y (5.12). Sustituyendo los parámetros por los valores de la Tabla 5.1 se
obtienen definitivamente las funciones de transferencia
salida , que es la aceleración de la masa
y
respecto a la
.
(5.11)
(5.12)
(5.13)
(5.14)
Partiendo de las ecuaciones (5.11) y (5.12) se puede obtener el diagrama
de bloques reducido del sistema, formado por los bloques “Absorber” y
“Absorber/Plant” (Figura 5.4.). Con estos bloques se consigue el modelo
reducido de la planta
compuesto por dos funciones de transferencia,
que se puede observar a continuación:
103
MEMORIA
Capítulo 5 – Control Sistema AMD-SDOF
(5.15)
(5.16)
Figura 5.4: Diagrama de bloques reducido del Sistema AMD-SDOF.
Finalmente la función de transferencia de la planta
del sistema
AMD-SDOF se observa en la ecuación (5.17).
(5.17)
El diagrama de bode de la planta
se muestra en la Figura 5.5 donde
se representa gráficamente la respuesta en frecuencia del sistema. Se aprecia
que existen dos picos de resonancia y eso quiere decir que el sistema es
subamortiguado. Cuanto mayor es el pico de resonancia, menor es el
amortiguamiento, esto se observa en la Figura 5.6, donde la salida del
sistema oscila significativamente al introducirle un escalón unitario en la
referencia.
104
MEMORIA
Capítulo 5 – Control Sistema AMD-SDOF
Figura 5.5: Bode de la Planta.
La respuesta ante un escalón unitario presenta muchas oscilaciones
debido a que tiene un amortiguamiento muy pequeño
(5.18).
También, analizando la respuesta en frecuencia, es decir, el bode de la planta
(Figura 5.5) presenta un pico de resonancia en su frecuencia natural
(5.19).
(5.18)
(5.19)
105
MEMORIA
Capítulo 5 – Control Sistema AMD-SDOF
Figura 5.6: Respuesta a un escalón unitario en referencia de la Planta.
4 Control Realimentación de Estado
En este apartado se desarrolla el control por realimentación de estado
para la asignación de polos, es decir, utilizar la realimentación de estado
para elegir los polos que se quieren en lazo cerrado. De esta forma, se puede
aumentar el amortiguamiento del sistema para hacerlo menos oscilante,
puesto que el sistema presenta
de amortiguamiento.
En un primer lugar, se declara el vector de variables de estado del
sistema, el cual se muestra en la ecuación (5.20). Está compuesto por las
cuatro variables de estado que son:
y
: Posición de la masa principal y secundaria
respectivamente.
106
MEMORIA
Capítulo 5 – Control Sistema AMD-SDOF
y
: Velocidad de la masa principal y secundaria
respectivamente.
(5.20)
Al ser un sistema invariante en el tiempo, quiere decir que las
funciones vectoriales no dependen del tiempo. Por consiguiente, se
utilizan las ecuaciones (3.9) y (3.10), dando lugar, con los elementos del
sistema, a las ecuaciones (5.21) y (5.22) respectivamente.
(5.21)
(5.22)
Sustituyendo los datos de la Tabla 5.1 en las ecuaciones (5.21) y (5.22), se
obtienen las ecuaciones (5.23) y (5.24) respectivamente.
107
MEMORIA
Capítulo 5 – Control Sistema AMD-SDOF
(5.23)
(5.24)
Para comprobar que las cuatro matrices del sistema son correctas, se ha
comprobando mediante el comando “linmod” de Matlab. Obteniéndose la
Figura 5.7, donde se puede ver que coinciden con las matrices
y
obtenidas en las ecuaciones (5.23) y (5.24).
Figura 5.7: Comprobación de las matrices A, B, C y D mediante Matlab.
Una vez definidas las matrices
y
solo queda realimentar el
sistema con las ganancias de realimentación, como se muestra en la Figura
108
MEMORIA
Capítulo 5 – Control Sistema AMD-SDOF
5.8. Para generar la matriz de ganancias, se ha utilizado la fórmula de
“ackerman” descrita en la ecuación (3.22), obteniéndose la matriz de
ganancias
de la ecuación (5.25).
(5.25)
La matriz de ganancias anterior está diseñada para asignar dos de los
cuatro polos para formar un polo complejo conjugado con
y con un amortiguamiento de
, de esta manera, estos polos serán los
polos dominantes del sistema en lazo cerrado ya que los otros dos
restantes se colocan a cinco veces
Figura 5.8: Control Realimentación de Estado.
Resolviendo el diagrama de bloques anterior, se obtienen las funciones
de transferencia de la planta con el control por realimentación de estado. A
109
MEMORIA
Capítulo 5 – Control Sistema AMD-SDOF
continuación, se describen las funciones de transferencia en lazo cerrado
entre la entrada-salida
y perturbación-salida
.
(5.26)
(5.27)
Figura 5.9: Respuesta a un escalón unitario en referencia del Control Realimentación de Estado+Planta.
110
MEMORIA
Capítulo 5 – Control Sistema AMD-SDOF
Figura 5.10: Bode referencia-salida del Control Realimentación de Estado + Planta.
Figura 5.11: Respuesta a un escalón unitario en perturbación del Control Realimentación de
Estado+Planta.
111
MEMORIA
Capítulo 5 – Control Sistema AMD-SDOF
Figura 5.12: Bode perturbación-salida del Control Realimentación de Estado + Planta.
Como se aprecia en la Figura 5.9, la respuesta ante un escalón en
referencia es mucho más amortiguada de la que se producía antes (Figura
5.6). Del mismo modo ocurre con el diagrama de bode resultante con el
control por realimentación (Figura 5.10), en el cual, se han eliminado los dos
picos de resonancia que aparecían en la Figura 5.5, dejando uno, pero de
menos tamaño.
5 Modelo en tiempo discreto
A partir de ahora, la función de transferencia
de la ecuación
(5.26), que es la planta junto con el control por realimentación, se define
como la nueva planta del sistema. Esta redefinición de la planta es necesaria
para el posterior diseño del control repetitivo. Debido a esto, es necesario
discretizar dicha función, para lo cual, se utiliza la discretización [23]
mediante el retenedor de orden cero ya explicado en el apartado “Modelo en
112
MEMORIA
Capítulo 5 – Control Sistema AMD-SDOF
tiempo discreto” del “Capítulo 4 – Control Sistema SDOF”. Por lo tanto, la
ecuación (5.28) en el dominio de la transformada
es la siguiente:
(5.28)
6 Parámetros del Control Repetitivo
En primer lugar, se debe definir el orden
del control repetitivo. Cuanto
mayor sea el orden, mejor será su comportamiento. Por lo tanto, se ha
elegido
.
El control que se va a diseñar es de orden fijo, por lo tanto, se ha fijado
. Eso quiere decir, que la frecuencia mínima de las
perturbaciones que va a eliminar el controlador es de
y múltiplos
de esta. De esta forma, queda definido el tiempo de muestreo del sistema
. Aparte de que el sistema muestreará a
, también
provoca que el sistema solo puede trabajar en frecuencias por debajo de la
frecuencia de Nyquist (5.29).
(5.29)
7 Control Repetitivo Teórico
Una vez definido el modelo del sistema, sólo falta realizar el control
repetitivo. El control permitirá rechazar las perturbaciones que se presenten
en el sistema, es decir, las vibraciones.
Se diseña un control repetitivo “plug-in” de tal forma que se ha elegido
, ya que el control previo ha sido el control por realimentación de
estado. Por consiguiente, la función
se reduce a la ecuación siguiente:
113
MEMORIA
Capítulo 5 – Control Sistema AMD-SDOF
(5.30)
Partiendo de la ecuación en
de la nueva planta (5.28) hay que examinar
los ceros y polos, ya que la planta está involucrada en el diseño de
.
La ecuación de la planta presenta un cero encima del círculo unidad, por
lo tanto, en este caso hay que utilizar la ecuación (2.23) comentada en el
apartado “Compensador
” del “Capítulo 2”. De esta forma,
queda definida en la ecuación (5.32) que depende de
definido en la
ecuación (5.31).
(5.31)
(5.32)
Siendo
de
donde
, es el valor máximo del módulo
. Esto se puede observar en la magnitud del bode de la Figura
5.13.
114
MEMORIA
Capítulo 5 – Control Sistema AMD-SDOF
Figura 5.13: Bode de
.
El filtro FIR paso bajo que se utiliza es el de la ecuación (2.32), donde
el orden del filtro, para un diseño fácil del filtro
.
Por último se ha ajustado el valor de la ganancia
repetitivo. Se ha seleccionado
es
del control
que es el valor más óptimo para
conseguir una respuesta mejor ante las perturbaciones.
La respuesta en frecuencia del sistema en lazo cerrado perturbaciónsalida
junto con la función perturbación-salida de la planta (Figura
5.12), se muestran en la Figura 5.14. En la Figura 5.15 se ha representado el
mismo diagrama pero en escala lineal y en función de la frecuencia. En la
magnitud del bode de
se observa que el controlador intenta dar
ganancia negativa infinita a las frecuencias de interés, esto quiere indicar
que a esas frecuencias elimina la perturbación.
115
MEMORIA
Capítulo 5 – Control Sistema AMD-SDOF
Figura 5.14: Bode lazo cerrado perturbación-salida del Control Repetitivo Teórico + Planta (rojo) y
perturbación-salida de la Planta (azul) en escala logarítmica.
Figura 5.15: Bode lazo cerrado perturbación-salida del Control Repetitivo Teórico + Planta (rojo) y
perturbación-salida de la Planta (azul) en escala lineal.
116
MEMORIA
Capítulo 5 – Control Sistema AMD-SDOF
Figura 5.16: Ampliación del Bode magnitud de la Figura 5.15.
Todo esto, se percibe mejor en la Figura 5.16. En esta figura, a la
frecuencia de 1
y múltiplos de esta, el sistema tiene ganancias que
intentan llegar al infinito negativo. Al mismo tiempo, se aprecia claramente
que a la frecuencia para la cual el sistema ha sido diseñado, el pico de
ganancia es más punzante y a medida que la frecuencia aumenta, estos picos
empiezan a deteriorarse, empeorando la respuesta del sistema frente a
perturbaciones cuya frecuencia sea múltiplo de la original (
). Eso
quiere decir que a frecuencias múltiples, el sistema eliminará peor las
vibraciones que si se tratase de la frecuencia de diseño, esto es debido al
filtro FIR paso bajo que limita las prestaciones del control a altas frecuencias.
7.1 Estabilidad
Una vez diseñado el control, se comprueba que todas las ecuaciones de
estabilidad se cumplen.
117
MEMORIA
Capítulo 5 – Control Sistema AMD-SDOF
Partiendo de la ecuación del error (2.5), deben de ser estables las
funciones de transferencia
y
de las ecuaciones (2.6) y (2.7)
respectivamente. Para ayudar en el seguimiento de la estabilidad del
sistema, ambas ecuaciones serán definidas nuevamente.
En primer lugar se comprueba la estabilidad de
definida en la
ecuación (5.33), además de mostrar su diagrama de polos y ceros en la
Figura 5.17. Como se observa,
es estable ya que todos los polos están
dentro del círculo unidad.
(5.33)
Figura 5.17: Diagrama polos y ceros de la función de transferencia
En segundo lugar se comprueba la estabilidad de
definida en la
ecuación (5.34). Como se observa en la Figura 5.18 todos los polos de la
ecuación residen dentro del círculo unidad, por lo tanto se puede concluir
que
es estable.
118
MEMORIA
Capítulo 5 – Control Sistema AMD-SDOF
Figura 5.18: Diagrama polos y ceros de la función de transferencia
(5.34)
Para que
sea estable debe de cumplirse también la ecuación (2.9),
donde por separado
y
deben de tener un módulo menor o igual
a la unidad para cumplirse dicha ecuación (2.9). En la Figura 5.19 y Figura
5.20, están representados los diagramas de bode-magnitud de
y
respectivamente. Como se aprecia, ambas funciones de transferencia tienen
módulo menor o igual a la unidad en todo el rango de frecuencias
. Por lo
tanto la ecuación (2.9) que se ha representado en la Figura 5.21 tiene
módulo menor o igual que uno para todos los valores de frecuencia donde
opera el regulador. En la Figura 5.22 el módulo de la zona lineal se puede
observar con mayor detalle, pudiendo afirmar que es menor que la unidad
para todas las frecuencias.
119
MEMORIA
Capítulo 5 – Control Sistema AMD-SDOF
Figura 5.19: Bode Magnitud de
.
Figura 5.20: Bode Magnitud de
.
120
MEMORIA
Capítulo 5 – Control Sistema AMD-SDOF
Figura 5.21: Bode Magnitud de
.
Figura 5.22: Ampliación de la zona lineal de la Figura 5.21.
121
MEMORIA
Capítulo 5 – Control Sistema AMD-SDOF
Figura 5.23: Diagrama de polos y ceros del lazo cerrado Control Repetitivo Teórico + Planta.
Finalmente se comprueba el diagrama de ceros y polos del sistema en
lazo cerrado con el control y la planta. Como se comprueba en la Figura
5.23 el sistema es estable porque todos los polos del sistema están dentro
del círculo unidad.
7.2 Implementación
Una vez definidos todos los elementos, hay que implementar el sistema
de control (Figura 5.24), para lo cual se procede a hacer la implementación
descrita en el “Capítulo 2”. Se utilizan sendos
(para este diseño) de la
cadena directa de la celda del control repetitivo para convertir en causal al
filtro
y al compensador
. Estos retardos no se aprecian en la
figura ya que están introducidos dentro de cada bloque.
En el sistema se ha introducido también un retenedor de orden cero y
un muestrador para compatibilizar la parte digital del sistema, que es el
control repetitivo, con la parte continua que es la planta. De tal forma que
122
MEMORIA
Capítulo 5 – Control Sistema AMD-SDOF
la parte digital esta en rojo y la parte continua en negro para facilitar la
visualización.
Figura 5.24: Diagrama Simulink Control + Planta.
7.3 Simulación
Una vez implementado el sistema completo, se introduce una
perturbación como se indica en la Figura 5.24 para comprobar el
funcionamiento del control.
La perturbación es de tipo sinusoidal con amplitud unitaria y de
frecuencia
(Figura 5.25). La frecuencia de
es justo la
frecuencia a la que está diseñado el sistema para eliminar las vibraciones
de esa frecuencia y múltiplos de ella.
La salida del sistema es la aceleración de la masa
del sistema AMD-
SDOF, la cual, está indicada en la Figura 5.26.
123
MEMORIA
Capítulo 5 – Control Sistema AMD-SDOF
Figura 5.25: Perturbación sinusoidal de amplitud unitaria y frecuencia 20 Hz.
Figura 5.26: Aceleración (salida) del sistema con Control Repetitivo Teórico ante perturbación
sinusoidal de 10 Hz.
124
MEMORIA
Capítulo 5 – Control Sistema AMD-SDOF
Figura 5.27: Comparativa entre la perturbación sinusoidal de 10 Hz de entrada y la aceleración (salida)
del sistema con Control Repetitivo Teórico.
La aceleración resultante es una señal sinusoidal de frecuencia la
misma que la perturbación, pero de amplitud
. La reducción de
la amplitud de la perturbación de entrada, la cual es unitaria, es
significativa, ya que el control ha conseguido reducir la vibración
veces
su valor de entrada.
Armónicos
Una vez observado el comportamiento del sistema ante una
perturbación sinusoidal de frecuencia
y amplitud unitaria. Se ha
procedido a introducir 10 armónicos de amplitud en función de la ecuación
(4.21) y de frecuencia en función de la ecuación (4.23), dicha perturbación
se muestra en la Figura 5.28 para ver su forma de onda.
125
MEMORIA
Capítulo 5 – Control Sistema AMD-SDOF
Figura 5.28: Perturbación sinusoidal de amplitud unitaria y frecuencia 10Hz +10 armónicos (azul).
Figura 5.29: Aceleración (salida) del sistema con Control Repetitivo Teórico ante perturbación
sinusoidal de 10 Hz + 10 armónicos.
126
MEMORIA
Capítulo 5 – Control Sistema AMD-SDOF
Figura 5.30: Comparativa entre la perturbación sinusoidal de 10 Hz + 10 armónicos de entrada (azul) y
la aceleración (verde) del sistema con Control Repetitivo Teórico.
La aceleración de la masa
del sistema AMD-SDOF, está indicada en
la Figura 5.29. En la Figura 5.30 se ha mostrado la perturbación de entrada
y la salida del sistema para poder comparar ambas señales.
La aceleración resultante es una señal sinusoidal con amplitud -0.027 y
frecuencia de
. El control ha conseguido reducir la vibración
el valor de entrada mientras que antes eran
veces
veces cuando no existían los
armónicos.
7.4 Resultados
Los resultados obtenidos de la simulación del Control Repetitivo
Teórico se elaboran a partir del error existente en la aceleración de la masa
principal
. Como se ha observado para la frecuencia de diseño, el
control logra atenuar bastante bien la perturbación ya que eliminar por
127
MEMORIA
Capítulo 5 – Control Sistema AMD-SDOF
completo las perturbaciones es algo imposible, siempre existirá un error. El
error es la diferencia existente entre el valor de la aceleración simulada y la
aceleración ideal (aceleración nula).
Para determinar el error, se utiliza el Error Cuadrático Medio ECM
utilizado en el apartado “Control Sistema SDOF”, más concretamente en la
ecuación (4.23).
Sistema AMD-SDOF con el Control Repetitivo Teórico
Frecuencia
ECM
10
20
30
39.76
50
60
70
80
90
100
140
160
180
200
220
240
Tabla 5.2: ECM del Sistema SDOF con el Control Repetitivo Teórico para distintas frecuencias de
perturbación.
El ECM para las distintas frecuencias de perturbación se muestra en la
Tabla 5.2, donde se muestra la frecuencia de diseño
y múltiplos de
128
MEMORIA
Capítulo 5 – Control Sistema AMD-SDOF
esta, así como la frecuencia natural del sistema
. Todas las
perturbaciones de entrada son de amplitud unitaria.
En la Figura 5.31 se representa un gráfico de barras con los datos de la
Tabla 5.2 con el fin de ayudar a entender dicha tabla y sobre todo para
comparar los errores para las distintas frecuencias de perturbación. El
gráfico está realizado en escala logarítmica para una mayor resolución.
Debido a la escala logarítmica, los datos de la tabla fueron modificados
(x
) para que fuesen mayores a la unidad y de esta forma no existiese
ningún problema.
Control Repetitivo Teórico
1E+03
ECM x 103
1E+02
1E+01
1E+00
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 120 140 160 180 200 220 240
Frecuencia de Perturbación (Hz)
Figura 5.31: Gráfico de barras en escala logarítmica del ECM Modificado de la Tabla 5.2 (EMC x 103)
para el Control Repetitivo Teórico del Sistema AMD-SDOF.
Como se comprueba en el gráfico, el menor ECM es para una
perturbación de
, debido a que es la frecuencia de diseño para el
control. De este modo, se comprueba que es la mejor respuesta que va a
tener el sistema ya que a múltiplos de esta, la respuesta se deteriora. Existe
una excepción para la frecuencia de
, donde el error es diez veces
129
MEMORIA
Capítulo 5 – Control Sistema AMD-SDOF
más de lo normal y es debido al pico de resonancia que presenta el sistema
SDOF a la frecuencia de
.
8 Control Repetitivo Modificando Ceros
En el apartado anterior se ha descrito el diseño del control teórico para
el sistema AMD-SDOF basado en la descripción del “Capítulo 2”. Este
apartado quiere aportar una modificación sobre la sección anterior, en la
cual, como
se
comprobará a continuación,
mejora la respuesta
significativamente ante vibraciones.
Se diseña un control repetitivo “plug-in” de la misma forma que en la
sección anterior, eligiendo
debido a que el control previo ha sido el
control por realimentación de estado. Por consiguiente, la función
es la
misma que en la ecuación (5.30) y con los mismos polos y ceros que la
ecuación (5.31). A dicha ecuación, se le ha modificado su cero problemático
por otro cero próximo al original pero dentro del círculo unidad y no
encima, como originalmente se encontraba. Debido a este cambio, la
ecuación (5.31) queda redefinida por la ecuación (5.35).
(5.35)
Donde ahora, la función de transferencia no tiene ningún tipo de
problema de cero o polo inestable. Aunque no se invierte completamente el
modelo, no se espera que las diferencias sean importantes. Para obtener
se utiliza la ecuación (2.16), cuyo resultado se muestra a
continuación:
(5.36)
130
MEMORIA
Capítulo 5 – Control Sistema AMD-SDOF
El filtro FIR paso bajo se define de la misma forma que en la ecuación
(2.32) donde
y la ganancia
del control repetitivo, se ajusta a
ya que es la ganancia que mejores prestaciones aporta estando
dentro de los límites de estabilidad que posteriormente se desarrollan.
La respuesta en frecuencia del sistema en lazo cerrado perturbaciónsalida
junto con la función perturbación-salida de la planta (Figura
5.12), se muestran en la Figura 5.32. En la Figura 5.33 se ha representado el
mismo diagrama pero en escala lineal y en función de la frecuencia. En la
magnitud del bode de
se observa que el controlador intenta dar
ganancia negativa infinita a las frecuencias de interés, esto quiere indicar
que a esas frecuencias elimina la perturbación.
Igualmente que en el apartado anterior, se ha hecho una ampliación en la
Figura 5.34. A priori, este control parece mucho mejor porque los picos de
ganancia negativa son más afilados y tienden más al infinito negativo, es
decir, tienen ganancias negativas mayores.
Figura 5.32: Bode lazo cerrado perturbación-salida del Control Repetitivo Modificando Ceros + Planta
(verde) y perturbación-salida de la Planta (azul) en escala logarítmica.
131
MEMORIA
Capítulo 5 – Control Sistema AMD-SDOF
Figura 5.33: Bode lazo cerrado perturbación-salida del Control Repetitivo Modificando Ceros + Planta
(verde) y perturbación-salida de la Planta (azul) en escala lineal.
Figura 5.34: Ampliación del Bode magnitud de la Figura 5.33.
132
MEMORIA
Capítulo 5 – Control Sistema AMD-SDOF
8.1 Estabilidad
Una vez diseñado el control, se comprueba que todas las ecuaciones de
estabilidad se cumplen.
La función de transferencia
(5.33) que no depende del control se
ha demostrado que es estable en la Figura 5.17.
La estabilidad de
, además de estar definida en la ecuación (5.34),
se muestra su diagrama de polos y ceros en la Figura 5.35,donde se puede
comprobar que todos los ceros y polos están dentro del círculo unidad.
Para que
sea estable debe de cumplirse también la ecuación (2.9), y
como se demuestra en la Figura 5.36 y más concretamente en la Figura
5.37 el módulo de
es menor o igual a la unidad en todo el rango
de frecuencias.
Figura 5.35: Diagrama polos y ceros de la función de transferencia
133
MEMORIA
Capítulo 5 – Control Sistema AMD-SDOF
Figura 5.36: Bode Magnitud de
.
Figura 5.37: Ampliación de la zona lineal de la Figura 5.36.
134
MEMORIA
Capítulo 5 – Control Sistema AMD-SDOF
Figura 5.38: Diagrama de polos y ceros del lazo cerrado Control Repetitivo Modificando Ceros+
Planta.
Por último, en la Figura 5.38 se representa el diagrama de polos y ceros
del lazo cerrado, donde se comprueba que todos los polos están dentro del
círculo unidad.
8.2 Implementación
La implementación se realiza del mismo modo que en el apartado
“Implementación” del “Control Repetitivo Teórico”. El diagrama se puede
observar en la Figura 5.24.
8.3 Simulación
Una vez implementado el control junto con la planta, se introduce una
perturbación
para
comprobar
el
funcionamiento
del
control.
La
perturbación es la misma que en el apartado anterior (senoidal de
amplitud unitaria y frecuencia
) de esta forma se pueden comparar
ambos controles. Esta perturbación se puede ver en la Figura 5.25.
135
MEMORIA
Capítulo 5 – Control Sistema AMD-SDOF
Figura 5.39: Aceleración (salida) del sistema con el Control Repetitivo Modificando Ceros ante
perturbación sinusoidal de 10 Hz.
Figura 5.40: Comparativa entre la perturbación sinusoidal de 10 Hz de entrada (azul) y la aceleración
del sistema (rojo) con Control Repetitivo Modificando Ceros.
136
MEMORIA
Capítulo 5 – Control Sistema AMD-SDOF
La salida del sistema con el Control Repetitivo Modificando Ceros, es
la aceleración de la masa
del sistema AMD-SDOF, la cual, está indicada
en la Figura 5.39. Para apreciar realmente la diferencia entre la entrada y la
salida se han dibujado ambas en la Figura 5.40.
La aceleración resultante es una señal sinusoidal de frecuencia la
misma que la perturbación, pero de amplitud
la perturbación es
. La reducción de
veces el valor de la perturbación de entrada, es
decir, son 6 órdenes de magnitud respecto de la amplitud de la
perturbación de entrada, la cual es unitaria.
Armónicos
Una vez observado el comportamiento del sistema ante una
perturbación sinusoidal de frecuencia
y amplitud unitaria. Se ha
procedido a introducir 10 armónicos de amplitud en función de la ecuación
(4.21) y de frecuencia en función de la ecuación (4.23), dicha perturbación
se muestra en la Figura 5.28 para ver su forma de onda.
La aceleración de la masa
del sistema AMD-SDOF, está indicada en
la Figura 5.41. En la Figura 5.42 se ha mostrado la perturbación de entrada
y la salida del sistema para poder comparar ambas señales.
137
MEMORIA
Capítulo 5 – Control Sistema AMD-SDOF
Figura 5.41: Aceleración (salida) del sistema con Control Repetitivo Modificando Ceros ante
perturbación sinusoidal de 10 Hz + 10 armónicos.
Figura 5.42: Comparativa entre la perturbación sinusoidal de 10 Hz + 10 armónicos de entrada (azul) y
la aceleración (rojo) del sistema con Control Repetitivo Modificando Ceros.
138
MEMORIA
Capítulo 5 – Control Sistema AMD-SDOF
La salida del sistema es una sinusoidal de frecuencia
amplitud
con una
. El control ha conseguido reducir la vibración 3
órdenes de magnitud el valor de entrada, más concretamente son
veces.
8.4 Resultados
Al igual que en el apartado “Resultados” del “Control Repetitivo
Teórico”, los resultados se realizan en función del error en la aceleración
del sistema. Para determinar el error se utiliza el ECM de la ecuación (4.23).
Sistema AMD-SDOF con el Control Repetitivo
Modificando Ceros
Frecuencia
ECM
10
20
30
39.76
50
60
70
80
90
100
140
160
180
200
220
240
Tabla 5.3: ECM del Sistema AMD-SDOF con el Control Repetitivo Modificando Ceros para distintas
frecuencias de perturbación.
139
MEMORIA
Capítulo 5 – Control Sistema AMD-SDOF
El ECM para las distintas frecuencias de perturbación se muestra en la
Tabla 5.3, donde se muestra la frecuencia de diseño
y múltiplos de
esta, así como la frecuencia natural del sistema
. Todas las
perturbaciones de entrada son de amplitud unitaria.
En la Figura 5.43 se representa un gráfico de barras con los datos de la
Tabla 5.3 donde están representados los errores en régimen permanente en
función de las distintas frecuencias de perturbación. El gráfico está
realizado en escala logarítmica con el fin de ayudar a entender dicha tabla
y sobre todo para comparar los errores para las distintas frecuencias de
perturbación. Debido a la escala logarítmica, los datos de la tabla fueron
modificados (x
) para que fuesen mayores a la unidad y de esta forma
no existiese ningún problema.
Control Repetitivo Modificando Ceros
1E+06
ECM x 106
1E+05
1E+04
1E+03
1E+02
1E+01
1E+00
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 120 140 160 180 200 220 240
Frecuencia de Perturbación (Hz)
Figura 5.43: Gráfico de barras en escala logarítmica del ECM Modificado de la Tabla 5.3 (EMC x 106)
para el Control Repetitivo Modificando Ceros del Sistema AMD-SDOF.
Como se esperaba, el ECM más pequeño se encuentra cuando el
sistema presenta una perturbación de
, como ya se comentó
anteriormente, en el diseño del control, más concretamente en la
explicación de las Figura 5.33 y Figura 5.34. Mientras que a medida que
140
MEMORIA
Capítulo 5 – Control Sistema AMD-SDOF
van aumentando las frecuencias múltiples de
, la respuesta del
control empeora ya que el error va aumentando. Existe una excepción para
la frecuencia de
, donde el error es más grande de lo normal y es
debido al pico de resonancia que presenta el sistema AMD-SDOF a la
frecuencia de
que influye en la frecuencia de
.
9 Comparación Resultados
Una vez analizados los dos controles repetitivos, se comparan ambos
para comprobar cuál de ellos es el que mejor funciona. La comparación se
realiza en función de los errores tratados en el apartado “Resultados” de los
respectivos controles. Se ha realizado la Tabla 5.4 donde se agrupan los
datos de ECM de la Tabla 5.2 y Tabla 5.3 del “Control Repetitivo Teórico” y
“Control Repetitivo Modificando Ceros” para el sistema AMD-SDOF
respectivamente.
Sistema AMD-SDOF
ECM
Frecuencia
Control Repetitivo Teórico
Control Repetitivo
Modificando Ceros
10
20
30
39.76
50
60
70
80
90
100
141
MEMORIA
Capítulo 5 – Control Sistema AMD-SDOF
140
160
180
200
220
240
Tabla 5.4: Comparativa de los ECM para los dos controles del Sistema AMD-SDOF.
En la tabla se comparan los dos controles para las distintas frecuencias
de perturbación. Como se ha hecho en los apartados anteriores, los datos de
la tabla se han modificado (x
) para que todos los datos sean mayores que
la unidad y de esta forma el logaritmo sea positivo. Con los datos
modificados se ha realizado el gráfico de la Figura 5.44 en escala logarítmica.
Control Repetitivo Teórico
Control Repetitivo Modificando Ceros
1E+06
ECM x 106
1E+05
1E+04
1E+03
1E+02
1E+01
1E+00
Frecuencia de Perturbación (Hz)
Figura 5.44: Gráfico de barras comparativo en escala logarítmica de los ECMs Modificados de la Tabla
5.4 (ECM x 106) de los dos controles para el Sistema AMD-SDOF.
Como se observa en el gráfico, claramente el Control Repetitivo
Modificando Ceros es mucho mejor que el Control Repetitivo Teórico ya que
reduce el error más de un orden de magnitud en cada una de las frecuencias,
142
MEMORIA
Capítulo 5 – Control Sistema AMD-SDOF
incluso en la frecuencia de diseño la diferencia es de tres órdenes de
magnitud. Salvo para la frecuencia de
que tiene un mayor error que el
Control Repetitivo Teórico.
Diferencia entre los controles
Frecuencia
Reducción
unidades
ECM
%
10
99.92
1300.45
20
99.48
192.01
30
98.59
70.84
39.76
90.57
10.61
-42.94
0.70
50
96.02
25.11
60
94.30
17.55
70
92.30
12.98
80
90.02
10.02
90
87.48
7.99
100
84.70
6.54
78.49
4.65
140
71.56
3.52
160
64.09
2.79
180
56.31
2.29
200
61.56
2.60
220
11.17
1.13
240
11.80
1.13
-1.27
Tabla 5.5: Diferencia entre Control Repetitivo Teórico y Control Repetitivo Modificando Ceros del
Sistema AMD-SDOF.
En concreto, en la Tabla 5.5 se realiza la diferencia entre ambos controles
para cada una de las frecuencias. Donde se detalla la diferencia entre los
ECM de cada control de la Tabla 5.4, el porcentaje que reduce debido a esa
diferencia y por último el cociente entre el ECM del Control Repetitivo
Teórico y el ECM del Control Repetitivo Modificando Ceros, es decir, ese
143
MEMORIA
Capítulo 5 – Control Sistema AMD-SDOF
valor obtenido indica cuantas veces hay que dividir el ECM del Control
Repetitivo Teórico para obtener el ECM del Control Repetitivo Modificando
Ceros.
El cociente entre los ECM anteriormente descritos, se han representado
en la Figura 5.45 en escala logarítmica, donde se puede ver claramente que
en la frecuencia de diseño, la reducción es enorme
y a medida
que la frecuencia va aumentando esa diferencia va disminuyendo
progresivamente. Existe una excepción en la frecuencia de
donde el
Control Repetitivo Modificando Ceros es peor que el Control Repetitivo
Teórico.
CR.Teórico/ CR. Modificando Ceros
1E+04
1E+03
1E+02
1E+01
1E+00
1E-01
Frecuencia de Perturbación (Hz)
Figura 5.45: Reducción en escala logarítmica del Control Repetitivo Modificando Ceros respecto del
Control Repetitivo Teórico del Sistema AMD-SDOF.
144
Capítulo 6 CONCLUSIONES
1. CONCLUSIONES
En este documento se ha descrito el diseño e implementación del control
repetitivo para el rechazo de perturbaciones en sistemas mecánicos.
Concretamente para la eliminación de vibraciones en Sistemas SDOF
(“single degree of freedom”) y Sistemas AMD-SDOF (“active mass damper”SDOF).
El control repetitivo implantado es de orden fijo porque está
desarrollado para una tasa de muestreo fija, es decir, se conoce la frecuencia
fundamental de la perturbación. Por lo tanto, el control solo responde
correctamente para dicha frecuencia y para frecuencias múltiples de ella. Si
la frecuencia varía se puede estudiar la implantación de un control repetitivo
de frecuencia variable.
En este documento se han diseñado e implementado dos controles
repetitivos digitalmente. El Control Repetitivo Teórico, diseñado a partir de
las explicaciones, razonamientos y descripciones de los diferentes autores
citados en el documento. El otro control es el Control Repetitivo
Modificando Ceros, que basándose en las aportadas de los distintos autores,
se ha diseñado modificando el cero que posee encima del círculo unidad en
la función
.
Los resultados obtenidos en simulación para ambos sistemas son
satisfactorios. En la Figura 4.43 (Sistema SDOF) y Figura 5.44 (Sistema AMDSDOF) se comparan los dos controles repetitivos diseñados, en función del
Error Cuadrático Medio (ECM) de la aceleración de la masa principal de
cada sistema. En dichas figuras, se puede concluir que para ambos sistemas
el control que menos ECM tiene y por lo tanto, más reduce las vibraciones,
es el Control Repetitivo Modificando Ceros. Esta conclusión se afirma en las
Figura 4.44 y Figura 5.45 donde se representa gráficamente la reducción
entre el Control Repetitivo Teórico y el Control Repetitivo Modificando
145
MEMORIA
Capítulo 6 - Conclusiones
Ceros. Como dato significativo, el control modificado reduce hasta dos
órdenes de magnitud para la frecuencia de perturbación de diseño.
Finalmente, se puede concluir que el control repetitivo es un buen
método para la eliminación de perturbaciones senoidales como se ha podido
comprobar en este documento, por lo tanto, el uso e investigación de este
tipo de control avanzado seguirá desarrollándose sin duda en el futuro.
146
Capítulo 7 FUTUROS DESARROLLOS
2. FUTUROS DESARROLLOS
En este capítulo se comentan los posibles futuros desarrollos e
investigaciones que se pueden realizar sobre el control activo de vibraciones
desarrollado en este documento.
En un primer lugar, se podría buscar un prototipo acorde con los
modelos que se han estudiado y diseñado en este documento, de tal
forma que se podría ver el comportamiento del control repetitivo
ensayándolo en un prototipo o modelo real.
Implementación de un Control Repetitivo de orden variable [26] [27]
[37], debido a que en muchos casos el periodo de la señal de
perturbación (en este caso, las vibraciones),
no son conocidas o
varían con el tiempo.
Estudio más a fondo del control repetitivo. Realizando un estudio
exhaustivo de las posibles mejoras que se pueden introducir. Se han
publicado algunos artículos donde se propone la aplicación de un
control repetitivo adaptativo para eliminar las vibraciones [24] o
combinar el control repetitivo con un algoritmo de optimización que
mejora las condiciones de estabilidad [25].
Estudio de nuevas técnicas de control. Además de las técnicas
utilizadas en este proyecto se puede pensar en otras técnicas
diferentes de control avanzado, que pudiesen ser beneficiosas para el
control de activo de vibraciones, como el control predictivo o una
variante más compleja de este control, el control predictivo basado en
modelo MPC (“model based predictive control”). El uso de lógica
borrosa también presenta una alternativa inetersante.
147
MEMORIA
Capítulo 7 – Futuros Desarrollos
Estudio de investigación en una posible aplicación del control
diseñado para paliar los daños de terremotos en estructuras. Este
trabajo era uno de los objetivo del proyecto, pero no se ha podido
llevar a cabo debido a no tener acceso a acelerogramas de las
unidades sismológicas, es decir, los datos de aceleración registrados
por sismógrafos cuando se produce un terremoto.
148
BIBLIOGRAFÍA
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activos de potencia”. Ph. D. thesis, Universidad Pontificia Comillas, Dep.
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151
Anexo A TERREMOTOS
A. TERREMOTOS
1 Introducción
Un terremoto [14] [34], también llamado seísmo o sismo, es el
movimiento brusco de la Tierra, causado por la liberación de energía
acumulada durante un largo tiempo. La corteza de la Tierra está formada
por una docena de placas de aproximadamente 70 km de grosor, cada una
con diferentes características físicas y químicas. Estas placas tectónicas se
están acomodando en un proceso que lleva millones de años y han ido
dando la forma que hoy se conoce a la superficie del planeta Tierra,
originando los continentes y los relieves geográficos en un proceso que está
lejos de completarse. Habitualmente estos movimientos son lentos e
imperceptibles, pero en algunos casos estas placas chocan entre sí como
gigantescos témpanos de tierra sobre un océano de magma presente en las
profundidades de la Tierra, impidiendo su desplazamiento. Entonces una
placa comienza a desplazarse sobre o bajo la otra, originando lentos cambios
en la topografía. Pero si el desplazamiento es dificultado comienza a
acumularse una energía de tensión que en algún momento se liberará y una
de las placas se moverá bruscamente contra la otra rompiéndola y
liberándose entonces una cantidad variable de energía que origina el
Terremoto.
Los terremotos tectónicos se suelen producir en zonas donde la
concentración de fuerzas generadas por los límites de las placas tectónicas
(Figura A.1) da lugar a movimientos de reajuste en el interior y en la
superficie de la Tierra. Es por esto que los sismos o seísmos de origen
tectónico están íntimamente asociados con la formación de fallas geológicas.
152
MEMORIA
Anexo A - Terremotos
Figura A.1: Mapa que muestra la ubicación y movimiento de las placas tectónicas en la corteza terrestre.
Las zonas en que las placas ejercen esta fuerza entre ellas, se denominan
fallas geológicas y son, desde luego, los puntos en que con más probabilidad
se originen fenómenos sísmicos. Sólo el 10% de los terremotos ocurren
alejados de los límites de estas placas. Suelen producirse al final de un ciclo
denominado ciclo sísmico, que es el período durante el cual se acumula
deformación en el interior de la Tierra que más tarde se liberará
repentinamente. Dicha liberación se corresponde con el terremoto, tras el
cual la deformación comienza a acumularse nuevamente.
La actividad subterránea originada por un volcán en proceso de
erupción puede originar un fenómeno similar. Aunque las actividades
tectónica y volcánica son las principales causas por las que se generan los
terremotos, existen otros muchos factores que pueden originarlos:
desprendimientos de rocas en las laderas de las montañas y el hundimiento
de cavernas, variaciones bruscas en la presión atmosférica por ciclones e
incluso la actividad humana. Estos mecanismos generan eventos de baja
153
MEMORIA
Anexo A - Terremotos
magnitud que generalmente caen en el rango de microsismos, temblores que
sólo pueden ser detectados por sismógrafos.
Figura A.2: Límites de las placas tectónicas donde se suelen producir los terremotos.
En general, se asocia el término terremoto con los movimientos sísmicos
de dimensión considerable, aunque rigurosamente su etimología significa
"movimiento de la Tierra".
En un terremoto se distinguen dos zonas que se describen a continuación
y su representación gráfica se puede ver en la Figura A.3.
El hipocentro o foco sísmico es el punto del interior de la Tierra,
donde se inicia un movimiento sísmico. También corresponde al
punto en el cual se produce la fractura de la corteza terrestre, que
genera un terremoto. En él, se produce también la liberación de
energía (es decir, donde se inicia el terremoto).
El epicentro es la proyección del hipocentro en la superficie
terrestre; por lo tanto, el lugar donde el sismo se siente con mayor
154
MEMORIA
Anexo A - Terremotos
intensidad corresponde al punto en la superficie de la tierra
ubicado directamente sobre el hipocentro. Como indican los
correspondientes prefijos griegos, el hipocentro es un punto del
interior de la litosfera, mientras que el epicentro está en la
superficie de ésta.
Figura A.3: Localización del hipocentro y epicentro de un terremoto.
La probabilidad de ocurrencia de terremotos de una determinada
magnitud en una región concreta viene dada por una distribución de
Poisson.
magnitud
Así
la
probabilidad
durante un período
de
ocurrencia
de
terremotos
de
en cierta región está dada por:
(A.1)
Donde
es el tiempo de retorno de un terremoto de intensidad
que coincide con el tiempo medio entre dos terremotos de intensidad
,
.
2 Onda Sísmica
En un terremoto se producen varios tipos de ondas. Se pueden distinguir
las ondas que se transmiten por el interior de la corteza terrestre, llamadas
ondas de cuerpo y las que se transmiten por la superficie, llamadas
155
MEMORIA
Anexo A - Terremotos
superficiales. Las ondas de cuerpo se originan en el hipocentro, mientras que
las superficiales se originan en el epicentro.
Figura A.4: Tipos de ondas sísmicas.
2.1 Onda de Cuerpo
Las ondas de cuerpo viajan a través del interior de la Tierra. Siguen
caminos curvos debido a la variada densidad y composición del interior de
la Tierra. Este efecto es similar al de refracción de ondas de luz. Las ondas
de cuerpo transmiten los temblores preliminares de un terremoto pero
poseen poco poder destructivo. Las ondas de cuerpo son divididas en dos
grupos: ondas primarias (P) y secundarias (S).
Onda Primaria P
Son las primeras que registran los aparatos de medida o sismógrafos,
de ahí su nombre "P". Las ondas primarias P [17] son ondas longitudinales
o compresionales, lo cual significa que el suelo es alternadamente
comprimido y dilatado en la dirección de la propagación, es decir, en el
mismo sentido que la vibración de las partículas (Figura A.5). Se propagan
por medios sólidos y líquidos en las tres direcciones del espacio.
156
MEMORIA
Anexo A - Terremotos
Estas ondas generalmente viajan a una velocidad 1.73 veces de las
ondas
S
y
pueden
viajar
a
través
de
cualquier
material líquido o sólido. Velocidades típicas son 1450
cerca de 5000
tipo
de
en el agua y
en el granito.
Figura A.5: Onda P.
En un medio homogéneo e isótropo (se refiere al hecho de que
ciertas magnitudes vectoriales conmensurables, dan resultados idénticos
con independencia de la dirección escogida para dicha medida) la
velocidad de propagación de las ondas P es:
(A.2)
Donde
rigidez y
es el módulo de incompresibilidad,
es el módulo de corte o
la densidad del material a través del cual se propaga la onda
mecánica. De estos tres parámetros, la densidad es la que presenta menor
variación por lo que la velocidad está principalmente determinada
por
y .
Onda Secundaria S
Las ondas secundarias S [17] son ondas en las cuales el desplazamiento
es transversal a la dirección de propagación, es decir, la vibración de las
157
MEMORIA
Anexo A - Terremotos
partículas es perpendicular al avance de la onda (Figura A.6). Su velocidad
es menor que la de las ondas primarias. Debido a ello, éstas aparecen en el
terreno algo después que las primeras. Estas ondas son las que generan las
oscilaciones durante el movimiento sísmico y las que producen la mayor
parte de los daños. Se propagan en forma tridimensional, pero únicamente
a través de medios sólidos.
Figura A.6: Onda S.
La velocidad de propagación de las ondas S en medios isotrópicos y
homogéneos se muestra en la (A.3) y depende del módulo de corte μ y de
la densidad ρ del material.
(A.3)
Como se puede comprobar en la Ecuación (A.2) y (A.3), en ambos casos
la densidad está en el denominador y la rigidez en el numerador (son
inversamente proporcionales a la densidad y directamente proporcionales a
la rigidez). Esto quiere decir que cuanto más denso es el material que
atraviesan, tanto más lento son, mientras que cuanto más rígido, tanto más
rápidas.
158
MEMORIA
Anexo A - Terremotos
En la Figura A.7, está capturada la imagen de un sismógrafo donde se
pueden ver las distintas ondas que registra. Se observan las ondas P (rojo)
que son las primeras en aparecer y a continuación las ondas S (verde).
Figura A.7: Ondas P y S de un sismógrafo.
2.2 Onda superficial
Cuando las ondas de cuerpo (onda P y S) llegan a la superficie, se
generan las ondas superficiales o ondas L (longae), que se propagan por la
superficie de discontinuidad de la interfase de la superficie terrestre (tierraaire y tierra-agua) mediante periodos vibratorios más largos que las ondas
de cuerpo. Desarrollan una velocidad más lenta, 3.5 km/seg, y son las
responsables de producir los desplazamientos en la superficie y el
desarrollo de las gravifisas, que producen los efectos más catastróficos en
el epicentro de un terremoto de fuerte intensidad, siguiendo el sentido de
propagación de forma parecida a las ondas que se producen en el agua de
un estanque después de arrojar una piedra.
159
MEMORIA
Anexo A - Terremotos
Onda Love
Se denominan así en honor al matemático neozelandés A.E.H.
Love quien desarrolló un modelo matemático de estas ondas en 1911. Las
explicó un matemático de Oxford, E. H. Love, como una extensión de la
teoría de Rayleigh y desde entonces se las conoce como ondas de Love.
Las ondas de Love [16] [17] [31] son ondas superficiales que producen
un movimiento horizontal de corte en superficie, es decir, el suelo se
mueve de un lado a otro en un plano horizontal en ángulo recto a la
dirección de propagación de la onda como se aprecia en la Figura A.8.
Aunque estas ondas no poseen movimiento vertical pueden ser las más
destructivas en caso de terremotos debido a que frecuentemente poseen
grandes amplitudes que producen esfuerzos de corte a nivel de las
fundaciones de las estructuras.
Figura A.8: Onda Love.
La velocidad de las ondas Love es un 90% de la velocidad de las ondas
S y es ligeramente superior a la velocidad de las ondas Rayleigh.
Onda Rayleigh
La existencia de estas ondas fue predicha por John William Strutt, Lord
Rayleigh, en 1885 veinte años antes de que se identificaran en sismógrafos.
160
MEMORIA
Anexo A - Terremotos
Las ondas Rayleigh [17] [31], también denominadas “ground roll”, son
ondas superficiales contenidas en un plano vertical que contiene la
dirección de propagación de la onda. El movimiento de las partículas se
desarrolla de forma circular sobre el plano de propagación. Son ondas de
periodo largo, que producen en las partículas afectadas movimientos
elípticos sobre planos verticales y en sentido opuesto a la dirección de
propagación, es decir, el suelo se mueve hacia adelante, arriba, atrás y
hacia abajo, desarrollando un movimiento de partícula de trayectoria
elíptica retrograda como se muestra en la Figura A.9.
Son ondas más lentas que las ondas de cuerpo y su velocidad de
propagación es casi un 70% de la velocidad de las ondas S.
Figura A.9: Onda Rayleigh.
En la Figura A.10 está capturada la imagen de un sismógrafo donde se
pueden ver las distintas ondas que registra. Se puede observar las ondas P,
que son las primeras en aparecer, posteriormente las ondas S y finalmente
las ondas de Love o Rayleigh.
161
MEMORIA
Anexo A - Terremotos
Figura A.10: Ondas Love y Rayleigh de un sismógrafo.
3 Escalas de Magnitudes e Intensidades
Las escalas de magnitud e intensidad se utilizan para cuantificar o medir
los temblores. La escala de magnitud está relacionada con la energía
liberada; la intensidad, con los daños producidos por el sismo. Ambas
escalas son necesarias puesto que miden aspectos diferentes de la ocurrencia
de un temblor. Así, la escala de magnitud está relacionada con el proceso
físico mismo, mientras que la intensidad lo está con el impacto del evento en
la población, las construcciones y la naturaleza.
3.1 Escala Sismológica de Richter
La escala sismológica de Richter [15] [31] [33], también conocida
como escala de magnitud local
es una escala logarítmica arbitraria que
asigna un número para cuantificar el efecto de un terremoto, denominada
162
MEMORIA
Anexo A - Terremotos
así en honor del sismólogo estadounidense Charles Richter, quien la
desarrolló en el año 1935 con el objetivo de clasificar los terremotos del sur
de California.
Figura A.11: Reproducción de un sismograma.
Richter calculó que la magnitud de un terremoto o sismo puede ser
medida conociendo el tiempo transcurrido entre la aparición de
las ondas P y las ondas S, y la amplitud de éstas. Las primeras en aparecer
en un sismograma hacen vibrar el medio en la misma dirección que la del
desplazamiento de la onda. Son ondas de compresión y expansión de
velocidad de propagación muy rápida (de 5 a 11 km/s). A continuación,
llegan las llamadas ondas S, que hacen vibrar el medio terrestre en sentido
perpendicular a la dirección de su desplazamiento. Toda esta explicación
se puede resumir en la Figura A.11.
Basándose en estos hechos, Richter desarrolló la siguiente ecuación:
(A.4)
Donde:
es la amplitud de las ondas en milímetros, tomada
directamente en el sismograma.
163
MEMORIA
Anexo A - Terremotos
es el tiempo en segundos desde el inicio de las ondas P al de
las ondas S.
es la magnitud arbitraria pero constante a terremotos que
liberan la misma cantidad de energía.
El uso del logaritmo en la escala es para reflejar la energía que se
desprende en un terremoto. El logaritmo incorporado a la escala hace que
los valores asignados a cada nivel aumenten de forma exponencial, y no de
forma lineal. Richter arbitrariamente escogió un temblor de magnitud 0
para describir un terremoto que produciría un desplazamiento horizontal
máximo de 1 μm en un sismograma trazado por un sismómetro de torsión
Wood-Anderson localizado a 100 km de distancia del epicentro. Esta
decisión tuvo la intención de prevenir la asignación de magnitudes
negativas. Sin embargo, la escala de Richter no tenía límite máximo o
mínimo, y actualmente habiendo sismógrafos modernos más sensibles,
éstos comúnmente detectan movimientos con magnitudes negativas.
Debido a las limitaciones del sismómetro de torsión Wood-Anderson
usado para desarrollar la escala, la magnitud original
no puede ser
calculada para temblores mayores a 6,8 grados. Varios investigadores
propusieron extensiones a la escala de magnitud local, siendo las más
populares la magnitud de ondas superficiales
de cuerpo
y la magnitud de ondas
.
3.2 Escala de magnitud de momento sísmico
La escala sismológica de magnitud de momento sísmico
[15] [31]
[32], sucesora de la escala de Richter, resume en un único número
la cantidad de energía liberada por el terremoto, llamada momento sísmico
.
164
MEMORIA
Anexo A - Terremotos
Una ventaja de la escala de magnitud de momento es que no se satura
cerca de valores altos. Es decir, a diferencia de otras escalas, ésta no tiene
un valor por encima del cual todos los terremotos más grandes reflejen
magnitudes muy similares.
Otra ventaja que posee esta escala es que coincide y continúa con los
parámetros de la escala de Richter. Por estas razones, la escala de
magnitud de momento es la más usada por sismólogos para medir y
comparar terremotos de grandes proporciones. El Centro Nacional de
Información Sísmica (National Earthquake Information Center) de los
Estados Unidos, dependiente del Servicio geológico de EE.UU. (USGS) usa
esta escala para la medición de terremotos de una magnitud superior a 3,5.
A pesar de lo anterior, la escala de Richter es la que goza de más
popularidad en la prensa. Luego, es común que la prensa comunique la
magnitud de un terremoto en «escala de Richter» cuando éste ha sido en
realidad medido con la escala de magnitud de momento. En algunos casos
esto no constituye un error, dada la coincidencia de parámetros de ambas
escalas, aunque se recomienda indicar simplemente «magnitud» y evitar la
coletilla «escala de Richter» para evitar errores.
La magnitud de momento sísmico al coincidir con las estimaciones
obtenidas mediante otras escalas, como por ejemplo la escala de Richter. Es
decir,
terremoto
se usa
permite entender la cantidad de energía liberada por el
en términos del resto de las escalas sísmicas. Es por esto que
en vez de
Los períodos
de
como parámetro de la escala.
oscilación de
las ondas
sísmicas grandes
son
proporcionales al momento sísmico. Es por esto que se suele medir
la magnitud de momento
a través de los períodos de oscilación por
medio de sismógrafos.
165
MEMORIA
Anexo A - Terremotos
La relación entre
y
está dada por las siguientes fórmulas:
(A.5)
(A.6)
Obsérvese que
se obtiene a partir de una función logarítmica. Por
tanto, es una variable adimensional. En cambio, el momento sísmico
al
ser una variable que mide energía (fuerza x desplazamiento), puede tener
como unidad derivada
(A.5) para obtener
por lo que habría que utilizar la ecuación
, si por el contrario, la unidad es
, le
corresponde la ecuación (A.6).
Más concretamente, el momento sísmico
es una cantidad que
combina el área de ruptura y la compensación de la falla con una medida
de la resistencia de las rocas mediante la siguiente ecuación:
(A.7)
Donde:
es el módulo de deformación de las rocas involucradas en
el terremoto. Usualmente es de 30 gigapascales.
es el área de ruptura a lo largo de la falla geológica donde
ocurrió el terremoto.
es el desplazamiento promedio de .
3.3 Escala de Intensidad Mercalli
La escala de Mercalli [29] es una escala de 12 puntos, que se escribe en
números romanos, y que está desarrollada para evaluar la intensidad de
166
MEMORIA
Anexo A - Terremotos
los terremotos a través de los efectos y daños causados a distintas
estructuras. Esta medición debe su nombre al físico italiano Giuseppe
Mercalli.
Los niveles bajos de la escala están asociados por la forma en que las
personas sienten el temblor, mientras que los grados más altos se
relacionan con el daño estructural observado. La tabla siguiente es una
guía aproximada de los grados de la Escala de Mercalli Modificada.
Grado
I. Muy débil
II. Débil
III. Leve
IV.
Moderado
V. Poco
Fuerte
VI. Fuerte
VII. Muy
fuerte
Descripción
Imperceptible para la mayoría excepto en condiciones favorables.
Aceleración menor a 0.5 Gal.
Perceptible sólo por algunas personas en reposo, particularmente
aquellas que se encuentran ubicadas en los pisos superiores de los
edificios. Los objetos colgantes suelen oscilar. Aceleración entre
0.5 y 2.5 Gal.
Perceptible por algunas personas dentro de los edificios,
especialmente en pisos altos. Muchos no lo reconocen como
terremoto. Los automóviles detenidos se mueven ligeramente.
Sensación semejante al paso de un camión pequeño. Aceleración
entre 2.5 y 6.0 Gal.
Perceptible por la mayoría de personas dentro de los edificios, por
pocas personas en el exterior durante el día. Durante la noche
algunas personas pueden despertarse. Perturbación en cerámica,
puertas y ventanas. Las paredes suelen hacer ruido. Los
automóviles detenidos se mueven con más energía. Sensación
semejante al paso de un camión grande. Aceleración entre 6.0 y 10
Gal.
La mayoría de los objetos se caen, caminar es dificultoso, las
ventanas suelen hacer ruido. Aceleración entre 10 y 20 Gal.
Lo perciben todas las personas, muchas personas asustadas
suelen correr al exterior, paso insostenible. Ventanas, platos y
cristalería dañadas. Los objetos se caen de sus lugares, muebles
movidos o caídos. Revoque dañado. Daños leves a estructuras.
Aceleración entre 20 y 35 Gal.
Pararse es dificultoso. Muebles dañados. Daños insignificantes en
estructuras de buen diseño y construcción. Daños leves a
moderados en estructuras ordinarias bien construidas. Daños
considerables estructuras pobremente
construidas. Mampostería dañada. Perceptible por personas en
167
MEMORIA
Anexo A - Terremotos
vehículos en movimiento. Aceleración entre 35 y 60 Gal.
Daños leves en estructuras especializadas. Daños considerables en
estructuras ordinarias bien construidas, posibles colapsos. Daño
severo en estructuras pobremente
VIII.
Destructivo construidas. Mampostería seriamente dañada o destruida.
Muebles completamente sacados de lugar. Aceleración entre 60 y
100 Gal.
Pánico generalizado. Daños considerables en estructuras
especializadas, paredes fuera de plomo. Grandes daños en
IX. Ruinoso
importantes edificios, con colapsos parciales. Edificios
desplazados fuera de las bases. Aceleración entre 100 y 250 Gal.
Algunas estructuras de madera bien construida destruidas. La
X.
mayoría de las estructuras de mampostería y el marco destruido
Desastroso
con sus bases. Rieles doblados. Aceleración entre 250 y 500 Gal.
Pocas, si las hubiera, estructuras de mampostería permanecen en
XI. Muy
pie. Puentes destruidos. Rieles curvados en gran medida.
desastroso
Aceleración mayor a 500 Gal.
Destrucción total con pocos supervivientes. Los objetos saltan al
XII.
Catastrófico aire. Los niveles y perspectivas quedan distorsionadas.
Tabla A.1: Escala Intensidad Mercalli.
3.4 Escala Macrosísmica Europea
La Escala Macrosísmica Europea (SME) [30] es la base para la
evaluación de la intensidad sísmica en los países europeos y, además, en
uso en la mayoría de los otros continentes. Publicada en 1998 como
actualización de la versión que se había venido depurando desde 1992, la
escala se denomina oficialmente EMS-98.
La Escala SME se inició en 1988, cuando la Comisión Sismológica
Europea (CES) decidió revisar y actualizar la escala Medvedev-SponheuerKarnik (MSK-64) o Escala Macrosísmica Internacional, que venía siendo
utilizada en su forma básica en Europa durante casi un cuarto de siglo.
Después de más de cinco años de intensa investigación y desarrollo y un
período de cuatro años de pruebas, nació la nueva escala. En 1996, la XXV
Asamblea CES aprobó la adopción de la nueva escala por los países
miembros de la Comisión Sismológica Europea.
168
MEMORIA
Anexo A - Terremotos
A diferencia de las escalas sísmicas de magnitud, que expresan la
energía sísmica liberada por un terremoto, EMS-98 indica el grado en que
un terremoto afecta a un lugar específico. La Escala Macrosísmica Europea
contempla 12 grados, que son los siguientes:
Grado
I. No sentido
Descripción
No se siente, ni en las circunstancias más favorables.
II. Apenas sentido
La vibración se percibe solo por algunas personas (1%)
especialmente personas en reposo en los pisos superiores
de los edificios.
III. Débil
La vibración es débil y se percibe en interiores sólo por
unas pocas personas. Las personas en reposo sienten un
balanceo o ligero temblor.
IV. Ampliamente
observado
El terremoto se percibe en interiores por muchas
personas, pero al aire libre por muy pocas. Algunas
personas se despiertan. El nivel de vibración no es
alarmante. Traqueteo de ventanas, puertas y platos. Los
objetos colgados se balancean.
V. Fuerte
El terremoto se percibe en interiores por la mayoría, al
aire libre por unos pocos. Muchas personas que dormían
se despiertan. Algunos escapan de los edificios, que
tiemblan en su totalidad. Los objetos colgados se
balancean considerablemente. Los objetos de porcelana y
cristal entrechocan. La vibración es fuerte. Los objetos
altos se vuelcan. Puertas y ventanas se abren y cierran
solas.
VI. Levemente
dañino
Sentido por la mayoría en los interiores y por muchos en
el exterior. En los edificios muchas personas se asustan y
escapan. Los objetos pequeños caen. Daño ligero en los
edificios corrientes, por ejemplo, aparecen grietas en el
enlucido y caen trozos.
VII. Dañino
La mayoría de las personas se asustan y escapan al
exterior. Los muebles se desplazan y los objetos caen de
las estanterías en cantidad. Muchos edificios corrientes
sufren daños moderados: pequeñas grietas en las paredes,
derrumbe parcial de chimeneas.
169
MEMORIA
Anexo A - Terremotos
VIII. Gravemente
dañino
IX. Destructor
X. Muy destructor
Pueden volcarse los muebles. Muchos edificios corrientes
sufren daños: las chimeneas se derrumban; aparecen
grandes grietas en las paredes y algunos edificios pueden
derrumbarse parcialmente.
Monumentos y columnas caen o se tuercen. Muchos
edificios corrientes se derrumban parcialmente, unos
pocos se derrumban completamente.
Muchos edificios corrientes se derrumban.
XI. Devastador
La mayoría de los edificios corrientes se derrumban.
XII.
Completamente
devastador
Prácticamente todas las estructuras por encima y por
debajo del suelo quedan gravemente dañadas o
destruidas.
Tabla A.2: Escala Macrosísmica Europea.
4 Medición
El tamaño de un terremoto puede determinarse en base al cálculo de la
energía liberada, es decir de su magnitud y su intensidad [35].
Figura A.12: Simulación de un sismógrafo.
170
MEMORIA
Anexo A - Terremotos
La magnitud es una medida objetiva y absoluta de la energía
producida en el foco de un terremoto. Se calcula en función de la amplitud y
de la frecuencia de las ondas sísmicas registradas en los sismogramas.
La escala de magnitud crece de forma semilogarítmica, de manera que el
incremento de una unidad de magnitud significa un aumento de 30 en la
energía liberada por ese sismo. Es decir, un terremoto de magnitud 7 es
aproximadamente 30 veces mayor que uno de magnitud 6 y 900 veces mayor
que uno de magnitud 5.
Aquí se tienen dos sismogramas, uno pertenece al terremoto de Pisco
(Figura A.13) (600 víctimas) y el otro al terremoto de Japón (Figura A.14)
(ninguna víctima, sólo daños materiales). Se puede calcular a cuál
corresponde cada uno de ellos siguiendo los pasos que se indican a
continuación.
Figura A.13: Sismograma 1- Terremoto Pisco.
171
MEMORIA
Anexo A - Terremotos
Figura A.14: Sismograma 2 – Terremoto Japón.
Una de las contribuciones más valiosas de Charles Richter fue el
descubrir que las ondas sísmicas propagadas por todos los terremotos
pueden proporcionar buenas estimaciones de sus magnitudes. El consiguió
los registros de las ondas sísmicas de un gran número de terremotos, y
desarrolló un sistema de calibración para medición de las magnitudes.
Richter demostró que cuanto mayor era la energía intrínseca de un
terremoto, mayor era la “amplitud” de movimiento del terreno en una
distancia dada.
Figura A.15: Calculo Terremoto 1.
La magnitud
Richter se
puede
calcular
gráficamente
utilizando
un registro sismográfico como el que se te presenta a continuación.
172
MEMORIA
Anexo A - Terremotos
En él se puede observar (marcado con una P) el momento en el que el
terremoto se empieza a registrar. Las primeras ondas que se registran en el
sismógrafo son las P o primarias y posteriormente con 24 segundos de
retardo las ondas S o secundarias.
En el mismo sismograma se mide la amplitud máxima de las ondas S en
mm. En este diagrama, se muestra como se tiene que marcar en la columna
de la izquierda el t de retraso de las ondas S respecto a las P y en la columna
de la derecha la amplitud máxima de las ondas S. A continuación, se une con
una línea recta ambos puntos y se obtiene, en la columna del centro, la
magnitud del terremoto.
Figura A.16: Calculo Terremoto 2.
173
MEMORIA
Anexo A - Terremotos
Para estimar los efectos de un terremoto, los sismólogos también
emplean otra forma de medir los terremotos. Un método distinto de
medición es la escala de intensidad. La intensidad no debe ser confundida
con la magnitud. Aunque cada terremoto tiene un sólo valor de magnitud,
sus efectos varían de un lugar a otro, y por lo tanto habrá muchas
estimaciones de intensidades diferentes.
174
ESTUDIO ECONÓMICO
175
Capítulo 1 ESTUDIO ECONÓMICO
1. ESTUDIO ECONÓMICO
En la era actual donde el desarrollo de la tecnología es el principal
objetivo de las empresas, debido a la fuerte demanda por parte de la
sociedad. Más concretamente, es en el campo de la electrónica donde se está
produciendo un crecimiento mayor. La evolución está teniendo un ritmo tan
acelerado que el control de sistemas se ha convertido en una de las
principales misiones. Actualmente, la sociedad reclama el control de cada
vez más dispositivos o equipos para proporcionarles una vida laboral y
social más fácil, confortable y segura.
El presente proyecto consiste en el desarrollo de un control activo de
vibraciones para proporcionar en primer lugar seguridad en las máquinas,
equipos o estructuras donde se instale, debido a que eliminará las
vibraciones indeseables que puedan producir fallos o errores en los mismos.
Sin embargo, también ofrecerá comodidad ante dichas vibraciones que
pueden producir molestias a los usuarios.
A día de hoy, el control activo de vibraciones es ofrecido en la industria
automovilística mediante la aplicación de la suspensión activa para
vehículos, en estructuras civiles como es el caso de rascacielos para evitar las
vibraciones que puedan producir incomodidad o daños en elementos, así
como también en la industria de la robótica.
El auge de estos controles activos irá en aumento en los próximos años
por los motivos que se han enumerado. Por lo tanto, el interés de clientes y
compañías en integrar estos controles en sus máquinas no es objeto de
ningún tipo de duda. Dadas las características del proyecto, la valoración del
estudio económico sería muy complejo de analizar y en todo caso siempre
sería positivo en cualquiera de las hipótesis razonables que se puedan
plantear al estar implicadas la seguridad de las personas y equipos.
176
ESTUDIO ECONÓMICO
Por último, el desarrollo de sistemas para la eliminación de vibraciones
traerá indudablemente como consecuencia la permanente investigación y
aplicación de nuevos métodos de control y sistemas tecnológicos en el
futuro, tales como controles predictivos, redes neuronales, controles fuzzy o
control adaptativo entre los principales.
Todas estas investigaciones serán beneficiosas para el conjunto de la
sociedad en lo que se refiere a seguridad de las personas y enseres.
177
DOCUMENTO
Nº2
PLIEGO DE
CONDICIONES
178
ÍNDICE
DE CONTENIDO
DOCUMENTO Nº 2: PLIEGO DE CONDICIONES
ÍNDICE PLIEGO DE CONDICIONES
Capítulo 1 PLIEGO DE CONDICIONES GENERALES Y ECONÓMICAS ___________ 180
1
2
Condiciones Generales __________________________________________________ 180
Condiciones Económicas _________________________________________________ 181
Capítulo 2 PLIEGO DE CONDICIONES TÉCNICAS Y PARTICULARES ___________ 183
1
2
3
4
Equipo Informático _____________________________________________________
Normas de Calidad _____________________________________________________
Normas de Seguridad e Higiene __________________________________________
Vida útil del producto ___________________________________________________
183
183
183
184
Índice de Contenidos
179
Capítulo 1 PLIEGO
DE
CONDICIONES
GENERALES Y ECONÓMICAS
2. PLIEGO DE CONDICIONES GENERALES Y
ECONÓMICAS
1 Condiciones Generales
Las condiciones y cláusulas que se establecen en este documento son de
obligado cumplimiento por las partes contratantes.
I.
Tanto el administrador como el cliente se comprometen desde la
fecha de la firma del contrato a llevar a cabo lo que se estipule.
II.
Ante cualquier reclamación o discrepancia en lo concerniente al
cumplimiento de lo pactado por cualquiera de las partes, una vez
agotada toda vía de entendimiento, se tramitará el asunto por la
vía de lo legal. El dictamen o sentencia que se dicte será de
obligado cumplimiento para las dos partes.
III.
Al firmarse el contrato, el suministrador se compromete a facilitar
toda la información necesaria para la instalación y buen
funcionamiento del sistema, siempre que sea requerido para ello.
IV.
Asimismo, el cliente entregará al suministrador todas las
características distintivas del equipo comprado y aquellas otras
que considere oportunas para el necesario conocimiento de la
misma a efectos del diseño del presente equipo.
V.
El plazo de entrega será de tres meses, a partir de la fecha de la
firma del contrato, pudiendo ampliarse en un mes. Cualquier
modificación de los plazos deberá contar con el acuerdo de las dos
partes.
180
PLIEGO DE CONDICIONES
Capítulo 1 – Generales y Económicas
VI.
En caso de retrasos imputables al suministrador, se considerará
una indemnización del 1 % del valor estipulado por semana de
retraso.
VII.
Existirá un plazo de garantía de un año a partir de la entrega del
sistema. Dicha garantía quedará sin efecto si se demostrase que el
sistema ha estado sometido a manipulación o uso indebido.
VIII.
Cumplido dicho plazo de garantía, el suministrador queda
obligado a la reparación del sistema durante un plazo de cinco
años, fuera del cual quedará a su propio criterio atender la
petición del cliente.
IX.
En ningún momento tendrá el suministrador obligación alguna
frente a desperfectos o averías por uso indebido por personas no
autorizadas por el suministrador.
2 Condiciones Económicas
I.
Los precios indicados en este proyecto son firmes y sin revisión
por ningún concepto, siempre y cuando se acepten dentro del
periodo de validez del presupuesto que se fija hasta Diciembre de
2010.
II.
El pago se realizará como sigue:
75% a la firma del contrato.
25% en el momento de entrega.
III.
La forma de pago será al contado mediante cheque nominativo o
mediante transferencia bancaria. En ningún caso se aceptarán
letras de cambio.
181
PLIEGO DE CONDICIONES
Capítulo 1 – Generales y Económicas
IV.
El suministrador se hará cargo de los gastos de embalaje y del
transporte, dentro de la ciudad donde se encuentre la instalación.
En caso de ser necesario transporte interurbano, el gasto correrá
por cuenta del cliente. En todo caso, el responsable de los posibles
desperfectos ocasionados por el transporte será el suministrador.
V.
Durante el plazo de garantía, la totalidad de los gastos originados
por las reparaciones correrán por cuenta del suministrador.
VI.
Fuera de dicho plazo y durante los siguientes cinco años, los
costes serán fijados mediante acuerdo por ambas partes. Pasados
5 años, éstos los fijará exclusivamente el suministrador.
182
Capítulo 2 PLIEGO DE CONDICIONES
TÉCNICAS Y PARTICULARES
3. PLIEGO DE CONDICIONES TÉCNICAS Y
PARTICULARES
1 Equipo Informático
El equipo informático debe estar homologado conforme a la
normativa Europea y Española a fecha de Junio de 2010.
El equipo informático debe instalarse conforme a las indicaciones
del fabricante, manteniendo las condiciones de humedad y
temperatura entre los límites marcados.
Los programas informáticos empleados han de contar con la
licencia preceptiva y cumplir con las condiciones de la misma. En
caso de usar programas de licencia GNU, se deberán respetar las
condiciones de la misma.
2 Normas de Calidad
Los sistemas se diseñarán de forma que cumplan las normas UNE, CEI y
EN aplicables a este tipo de proyectos (ondas de choque, microcortes en
alimentación, emisión de radiofrecuencias, susceptibilidad a interferencias
radiales, etc.).
3 Normas de Seguridad e Higiene
El proyecto cumplirá con la Ley 31/95 de Prevención de Riesgos
Laborales.
183
PLIEGO DE CONDICIONES
Capítulo 2 – Técnicas y Particulares
4 Vida útil del producto
Los sistemas se diseñarán para una vida útil no inferior a 10 años en
funcionamiento continuo.
184
DOCUMENTO
Nº3
PRESUPUESTO
185
ÍNDICE
DE CONTENIDO
DOCUMENTO Nº 3: PRESUPUESTO
ÍNDICE PRESUPUESTO
Índice de Contenido ________________________________________________ 1086
Índice de Tablas ____________________________________________________ 187
Capítulo 1 COSTE INGENIERÍA ________________________________________ 188
1
2
3
4
5
6
Introducción ___________________________________________________________
Investigación ___________________________________________________________
Diseño ________________________________________________________________
Simulación _____________________________________________________________
Documentación _________________________________________________________
Coste Total Ingeniería ___________________________________________________
188
188
188
189
190
190
Capítulo 2 COSTE MATERIAL __________________________________________ 191
1
2
3
4
Introducción ___________________________________________________________
Software _______________________________________________________________
Equipo ________________________________________________________________
Coste Total Material _____________________________________________________
191
191
191
192
Capítulo 3 COSTE INTERESES EN CURSO ________________________________ 193
Capítulo 4 COSTE TOTAL PROYECTO ___________________________________ 194
186
ÍNDICE DE TABLAS
DOCUMENTO Nº 3: PRESUPUESTO
Tabla 1.1: Coste Investigación. _________________________________________
188
Tabla 1.2: Coste Diseño. ______________________________________________
189
Tabla 1.3: Coste Simulación.
__________________________________________ 189
Tabla 1.4: Coste Documentación.
_______________________________________ 190
Tabla 1.5: Coste Total Ingeniería. _______________________________________
Tabla 2.1: Coste Software.
190
____________________________________________ 191
Tabla 2.2: Coste Equipo. ______________________________________________
191
Tabla 2.3: Coste Total Material. ________________________________________
192
Tabla 3.1: Coste Intereses en Curso.
_____________________________________ 193
Tabla 4.1: Coste Total Proyecto. ________________________________________
194
187
Capítulo 1 COSTE INGENIERÍA
1. COSTE INGENIERÍA
1 Introducción
En este capítulo se detalla el coste de ingeniería referido a horas de
ingeniería para la realización del proyecto. El coste de ingeniería se divide
en cuatro secciones.
2 Investigación
La realización de este proyecto no se podría haber llevado a cabo sin una
investigación previa. La investigación se ha destinado en la búsqueda,
análisis y recopilación de información para el desarrollo del control activo de
vibraciones. El resumen de los trabajos es expone en la Tabla 1.1.
Coste Investigación
Trabajo
Horas
Total €
Búsqueda de información
26
7
182
Análisis de la información
50
30
1.500
Clasificación de los documentos
10
7
70
Discusión de los documentos
35
25
875
Total
121
2.627
Tabla 1.1: Coste Investigación.
3 Diseño
El diseño y control de los sistemas es el apartado que más tiempo se ha
invertido ya que es la base del proyecto. Principalmente, para el diseño de
los modelos y los sistemas de control, se ha utilizado el programa Matlab®.
Todos los trabajos realizados en el diseño se enumeran en la Tabla 1.2.
188
PRESUPUESTO
Capítulo 1 – Coste Ingeniería
Coste Diseño
Trabajo
Horas
Total €
Aprendizaje Matlab®
7
10
70
Modelado
12
20
240
Control Realimentación Estado
20
60
Control Repetitivo Teórico
55
80
Control Repetitivo Modificando Ceros
60
80
4.800
Estabilidad
25
40
1.000
Problemas
35
60
2.100
Total
214
1.200Control
Repetitivo
Teórico
4.400Control
Repetitivo
Modificando
Ceros
13.810
Tabla 1.2: Coste Diseño.
4 Simulación
Una vez diseñados los controles para los dos sistemas analizados en el
proyecto, se implementan en Simulink® para su simulación y posterior
análisis de resultados. En la Tabla 1.3 se agrupan todos los trabajos realizados
en lo que se refiere a simulación.
Coste Simulación
Trabajo
Horas
Total €
Aprendizaje Simulink®
7
7
49
Diseño Circuito Simulink®
10
20
200
Simulación Sistema SDOF
28
60
1.680
Simulación Sistema AMD-SDOF
36
60
2.160
Obtención de Resultados
20
50
1.000
Análisis Resultados
26
60
1.560
Problemas Configuración Simulink®
12
50
600
Total
139
7.249
Tabla 1.3: Coste Simulación.
189
PRESUPUESTO
Capítulo 1 – Coste Ingeniería
5 Documentación
Este último apartado es donde se determinan las horas para la realización
del documento así como la realización y creación de imágenes para correcta
visualización de los resultados. Los resultados se detallan en la Tabla 1.4.
Coste Documentación
Trabajo
Horas
Total €
Memoria
50
10
500
Resultados
20
10
200
Gráficos
10
8
80
Diagramas
5
8
40
Presentaciones
5
7
35
Total
90
855
Tabla 1.4: Coste Documentación.
6 Coste Total Ingeniería
Este apartado resume el coste total de ingeniería que supone el
desarrollo de este proyecto. En la Tabla 1.5 se resumen los cuatro apartados
anteriores donde se exponen las horas totales de cada apartado y su
correspondiente coste.
Coste Total Ingeniería
Apartado
Horas
Coste €
Investigación
121
2.627
Diseño
214
13.810
Simulación
139
7.249
Documentación
90
855
Total
564
24.541
Tabla 1.5: Coste Total Ingeniería.
190
Capítulo 2 COSTE MATERIAL
2. COSTE MATERIAL
1 Introducción
En este capítulo se detalla el coste de material utilizado en el proyecto. El
coste de material se divide en software y equipo que se muestran a
continuación.
2 Software
El software, es decir, los programas utilizados en el proyecto se detallan
en la Tabla 2.1.
Coste Software
Trabajo
Cantidad
Precio €
Matlab®
1
1.000
1.000
Simulink®
1
1.500
1.500
Microsoft Office®
1
130
130
Total
2.630
Tabla 2.1: Coste Software.
3 Equipo
El equipo necesario para el desarrollo del proyecto se resume en la Tabla
2.2, donde se detalla un ordenador para el diseño y simulación.
Coste Equipo
Trabajo
Cantidad
Ordenador
1
800
800
Material Fungible
-
-
500
Total
Precio €
1.300
Tabla 2.2: Coste Equipo.
191
PRESUPUESTO
Capítulo 2 – Coste Material
4 Coste Total Material
El coste total del material utilizado en el proyecto se desarrolla en la
Tabla 2.3, donde se resumen los apartados “Software” y “Equipo”.
Coste Total Material
Apartado
Precio €
Software
2.630
Equipo
1.300
Total
3.930
Tabla 2.3: Coste Total Material.
192
Capítulo 3 COSTE INTERESES EN CURSO
3. COSTE INTERESES EN CURSO
Suponiendo un coste del dinero del 15% anual, se puede hallar el coste
en por mes usando la fórmula de la ecuación (3.1).
(3.1)
Por tanto en 9 meses:
(3.2)
Aplicando el interés al coste de ingeniería se halla el coste por los
intereses en curso:
(3.3)
Coste Intereses en Curso
Apartado
Precio €
Coste Intereses en Curso
2.700
Tabla 3.1: Coste Intereses en Curso.
193
Capítulo 4 COSTE TOTAL PROYECTO
4. COSTE TOTAL PROYECTO CURSO
El coste total de la ejecución del proyecto se encuentra desarrollado en la
Tabla 4.1. La tabla resume los costes de ingeniería, material e intereses en
curso del proyecto “Control Activo de Vibraciones”.
Coste Total Proyecto
Apartado
Precio €
Coste Ingeniería
24.541
Coste Material
3.930
Coste Intereses en Curso
2.700
Total
31.171
Tabla 4.1: Coste Total Proyecto.
194
"No permitas que nadie diga que eres incapaz de hacer algo. Si tienes un sueño, debes
conservarlo. Si quieres algo, sal a buscarlo. ¿Sabes?, la gente que no logra conseguir sus sueños
suele decirles a los demás que tampoco cumplirán los suyos".
195