Tasas Nominales y Convertibles Prof. Vı́quez CA201 Universidad de Costa Rica [email protected] Viernes 29 de Agosto Prof. Vı́quez (UCR) Teorı́a del Interés Viernes 29 de Agosto 1 / 11 Tasas Nominales y Convertibles Tasas Nominales Vs Tasas Efectivas Como se vio anteriormente, la “Tasa de Interés Efectiva” mostraba la cantidad de dinero en que efectivamente se incrementaba el principal. Prof. Vı́quez (UCR) Teorı́a del Interés Viernes 29 de Agosto 2 / 11 Tasas Nominales y Convertibles Tasas Nominales Vs Tasas Efectivas Como se vio anteriormente, la “Tasa de Interés Efectiva” mostraba la cantidad de dinero en que efectivamente se incrementaba el principal. La tasa efectiva en un periodo, es la tasa que se pagó durante ese periodo. Pero qué pasa cuando el pago es hecho antes de que acabe el periodo (la unidad de tiempo que fijamos al inicio)? Prof. Vı́quez (UCR) Teorı́a del Interés Viernes 29 de Agosto 2 / 11 Tasas Nominales y Convertibles Tasas Nominales Vs Tasas Efectivas Como se vio anteriormente, la “Tasa de Interés Efectiva” mostraba la cantidad de dinero en que efectivamente se incrementaba el principal. La tasa efectiva en un periodo, es la tasa que se pagó durante ese periodo. Pero qué pasa cuando el pago es hecho antes de que acabe el periodo (la unidad de tiempo que fijamos al inicio)? Las tasas que se expresan en términos del periodo pero que se pagan en instantes anteriores al periodo se llaman “tasas nominales”, y la frecuencia con que éstas pagan el interés (o reinvierten) se conoce como “periodo de conversión del interés” Prof. Vı́quez (UCR) Teorı́a del Interés Viernes 29 de Agosto 2 / 11 Tasas Nominales y Convertibles Tasa Nominal Convertible Definición La tasa nominal de interés pagadera m veces por periodo, i(m) , donde m > 1 es un entero positivo, es una tasa que paga un interés efectivo de i(m) m cada m−ésima parte de periodo. Prof. Vı́quez (UCR) Teorı́a del Interés Viernes 29 de Agosto 3 / 11 Tasas Nominales y Convertibles Tasa Nominal Convertible Definición La tasa nominal de interés pagadera m veces por periodo, i(m) , donde m > 1 es un entero positivo, es una tasa que paga un interés efectivo de i(m) m cada m−ésima parte de periodo. Ejemplo: Una tasa nominal anual del 8 % convertible trimestralmente, no significa una tasa de interés del 8 % pagada cada cuatro meses, sino que significa una tasa de interés del 2 % pagada cada cuatro meses. Esto debido a que hay 4 trimestres en un año, por lo que m = 4. Prof. Vı́quez (UCR) Teorı́a del Interés Viernes 29 de Agosto 3 / 11 Tasas Nominales y Convertibles Tasas Equivalentes Cómo comparar dos tasas con periodos distintos? Prof. Vı́quez (UCR) Teorı́a del Interés Viernes 29 de Agosto 4 / 11 Tasas Nominales y Convertibles Tasas Equivalentes Cómo comparar dos tasas con periodos distintos? Equivalencia de Tasas Dos tasas de interés se dicen equivalentes si una cantidad dada de principal, invertido bajo interés compuesto durante el mismo plazo, a cada una de éstas tasas, produce el mismo valor acumulado al final del plazo. Prof. Vı́quez (UCR) Teorı́a del Interés Viernes 29 de Agosto 4 / 11 Tasas Nominales y Convertibles Tasas Equivalentes Cómo comparar dos tasas con periodos distintos? Equivalencia de Tasas Dos tasas de interés se dicen equivalentes si una cantidad dada de principal, invertido bajo interés compuesto durante el mismo plazo, a cada una de éstas tasas, produce el mismo valor acumulado al final del plazo. Nótese que lo primero que se debe hacer es fijar un horizonte de tiempo, y que la equivalencia sucederı́a solo para este plazo en especı́fico, si se escoge un nuevo horizonte de tiempo, estas tasas pueden dejar de ser equivalentes. Prof. Vı́quez (UCR) Teorı́a del Interés Viernes 29 de Agosto 4 / 11 Tasas Nominales y Convertibles Ejemplo Cuál serı́a la tasa anual equivalente a una tasa nominal anual del 8 % convertible trimestralmente? Prof. Vı́quez (UCR) Teorı́a del Interés Viernes 29 de Agosto 5 / 11 Tasas Nominales y Convertibles Ejemplo Cuál serı́a la tasa anual equivalente a una tasa nominal anual del 8 % convertible trimestralmente? En este caso, la tasa equivalente anual es i = ? y la tasa nominal anual convertible trimestralmente es i(4) = 8 %. El valor acumulado después de un año con la tasa equivalente anual es 1 + i. Por otro lado, la tasa nominal se tiene que reinvertir por 4 periodos de tres meses para (4) 4 . completar el año, dejando un valor acumulado igual a 1 + i 4 Prof. Vı́quez (UCR) Teorı́a del Interés Viernes 29 de Agosto 5 / 11 Tasas Nominales y Convertibles Ejemplo Cuál serı́a la tasa anual equivalente a una tasa nominal anual del 8 % convertible trimestralmente? En este caso, la tasa equivalente anual es i = ? y la tasa nominal anual convertible trimestralmente es i(4) = 8 %. El valor acumulado después de un año con la tasa equivalente anual es 1 + i. Por otro lado, la tasa nominal se tiene que reinvertir por 4 periodos de tres meses para (4) 4 . completar el año, dejando un valor acumulado igual a 1 + i 4 Igualando ambos resultados, 1+i= Prof. Vı́quez (UCR) i(4) 1+ 4 !4 ⇒ i= i(4) 1+ 4 Teorı́a del Interés !4 − 1 = 8, 24 %. Viernes 29 de Agosto 5 / 11 Tasas Nominales y Convertibles Tasa Compuesta Continuamente Tomando la fórmula general de equivalencia, y tomando el lı́mite cuando 1 periodos, m tiende a infinito, es decir, cuando hay infinitos pagos cada m se obtiene, Prof. Vı́quez (UCR) Teorı́a del Interés Viernes 29 de Agosto 6 / 11 Tasas Nominales y Convertibles Tasa Compuesta Continuamente Tomando la fórmula general de equivalencia, y tomando el lı́mite cuando 1 periodos, m tiende a infinito, es decir, cuando hay infinitos pagos cada m se obtiene, 1 (m) δ = lı́m i m→∞ Prof. Vı́quez (UCR) = lı́m m→∞ (1 + i) m − 1 1 m = Teorı́a del Interés ∂ (1 + i)t t=0 = ln(1 + i). ∂t Viernes 29 de Agosto 6 / 11 Tasas Nominales y Convertibles Tasa Compuesta Continuamente Tomando la fórmula general de equivalencia, y tomando el lı́mite cuando 1 periodos, m tiende a infinito, es decir, cuando hay infinitos pagos cada m se obtiene, 1 (m) δ = lı́m i m→∞ = lı́m m→∞ (1 + i) m − 1 1 m = ∂ (1 + i)t t=0 = ln(1 + i). ∂t Definición Se denota por δ a la tasa de interés diaria compuesta continuamente (fuerza de interés), la cual representa la tasa constante que se debe pagar durante el periodo, componiendo continuamente, para que se obtenga la misma cantidad de dinero que si se invirtiera de una sola vez a la tasa i. Dicha tasa viene dada por la fórmula: δ = ln(1 + i). Prof. Vı́quez (UCR) Teorı́a del Interés Viernes 29 de Agosto 6 / 11 Tasas Nominales y Convertibles Valor Acumulado en Interés Compuesto Continuamente Sabiendo que el valor acumulado A1 es constante respecto a m ante tasas equivalentes, es decir, A1 = 1 + i = Prof. Vı́quez (UCR) i(2) 1+ 2 !2 = i(3) 1+ 3 !3 Teorı́a del Interés = ··· = i(m) 1+ m !m = ··· Viernes 29 de Agosto 7 / 11 Tasas Nominales y Convertibles Valor Acumulado en Interés Compuesto Continuamente Sabiendo que el valor acumulado A1 es constante respecto a m ante tasas equivalentes, es decir, A1 = 1 + i = i(2) 1+ 2 !2 = i(3) 1+ 3 !3 = ··· = i(m) 1+ m !m = ··· Cuál serı́a la fórmula del valor acumulado cuando m tiende a infinito, i.e., cuál serı́a la fórmula del valor acumulado con interés compuesto continuamente? Prof. Vı́quez (UCR) Teorı́a del Interés Viernes 29 de Agosto 7 / 11 Tasas Nominales y Convertibles Valor Acumulado en Interés Compuesto Continuamente 1 (m) Sabiendo que δ = ln(1 + i), ∂m i m = (1 + i) m ln(1 + i) L’Hôpital, A1 = lı́m m→∞ 1+ lı́mm→∞ =e Prof. Vı́quez (UCR) i(m) −1 m2 (m) ln 1+ i m lı́mm→∞ 1 m !m y aplicando =e m 1 (1+i) m ln(1+i) (m) 1+ i m = eln(1+i) = eδ . Teorı́a del Interés Viernes 29 de Agosto 8 / 11 Tasas Nominales y Convertibles Valor Acumulado en Interés Compuesto Continuamente 1 (m) Sabiendo que δ = ln(1 + i), ∂m i m = (1 + i) m ln(1 + i) L’Hôpital, A1 = lı́m m→∞ 1+ lı́mm→∞ =e i(m) −1 m2 (m) ln 1+ i m lı́mm→∞ 1 m !m y aplicando =e m 1 (1+i) m ln(1+i) (m) 1+ i m = eln(1+i) = eδ . Se puede asociar a lo hecho anteriormente y mostar que At = et·δ . Prof. Vı́quez (UCR) Teorı́a del Interés Viernes 29 de Agosto 8 / 11 Tasas Nominales y Convertibles Valor Acumulado en Interés Compuesto Continuamente 1 (m) Sabiendo que δ = ln(1 + i), ∂m i m = (1 + i) m ln(1 + i) L’Hôpital, A1 = lı́m m→∞ 1+ lı́mm→∞ =e i(m) −1 m2 (m) ln 1+ i m lı́mm→∞ 1 m !m y aplicando =e m 1 (1+i) m ln(1+i) (m) 1+ i m = eln(1+i) = eδ . Se puede asociar a lo hecho anteriormente y mostar que At = et·δ . NOTA: La unidad de cuenta de la fuerza de interés δ es la misma que i, es decir, si i es una tasa efectiva anual, entonces δ se cuenta en años, y el valor acumulado de n años serı́a An = en·δ . Pero si i es una tasa efectiva diaria, entonces el valor acumulado de n años serı́a An = en·360·δ , pues δ se cuenta en dı́as. Prof. Vı́quez (UCR) Teorı́a del Interés Viernes 29 de Agosto 8 / 11 Tasas Nominales y Convertibles Ejercicios 1 Encuentre el valor acumulado de $500 invertido por 5 años al 8 % anual convertible trimestralmente. 2 Encuentre la tasa nominal de interés convertible semestralmente que es equivalente a una tasa nominal anual del 6 % convertible trimestralmente. 3 Encuentre el valor acumulado de $1000 invertido por 10 años a interés compuesto continuamente, con una fuerza de interés anual del 5 %. Prof. Vı́quez (UCR) Teorı́a del Interés Viernes 29 de Agosto 9 / 11 Tasas Nominales y Convertibles Referencias S. Kellison (2009) The Theory of Interest. 3ra Ed, McGraw-Hill, New York. Prof. Vı́quez (UCR) Teorı́a del Interés Viernes 29 de Agosto 10 / 11 Tasas Nominales y Convertibles Final de clase Prof. Vı́quez (UCR) Teorı́a del Interés Viernes 29 de Agosto 11 / 11