Tema 3 Ecuaciones e Inecuaciones

MATEMÁTICAS Mayores de 25 años
Tema 3. Ecuaciones e inecuaciones.
Ecuaciones algebraicas.
Ecuaciones exponenciales.
Ecuaciones logarítmicas.
Sistemas de ecuaciones lineales con no más de tres incógnitas: método de
Gauss.
Inecuaciones y sistemas de inecuaciones algebraicas con una incógnita.
IPEP de Granada
Dpto. de Matemáticas
Tema 3. Ecuaciones e inecuaciones.
Ecuaciones algebraicas.
Una igualdad se compone de dos expresiones unidas por el signo igual.
2x + 3 = 5x − 2
Una igualdad puede ser:
Falsa:
Ejemplo
2x + 1 = 2 · (x + 1) 2x + 1 = 2x + 2
Cierta
Ejemplo
2x + 2 = 2 · (x + 1) 2x + 2 = 2x + 2
1≠2.
2=2
Identidad
Una identidad es una igualdad que es cierta para cualquier valor de las letras.
Ejemplo
2x + 2 = 2 · (x + 1) 2x + 2 = 2x + 2 2 = 2
Ecuación
Una ecuación es una igualdad que se cumple para algunos valores de las letras.
Ejemplo: x + 1 = 2
Solución: x = 1
Los miembros de una ecuación son cada una de las expresiones que aparecen a ambos lados del signo
igual.
Los términos son los sumandos que forman los miembros.
Las incógnitas son las letras que aparecen en la ecuación.
Las soluciones son los valores que deben tomar las letras para que la igualdad sea cierta.
2x − 3 = 3x + 2
x = −5
2 · (−5) − 3 = 3 · (−5) + 2
− 10 −3 = −15 + 2
−13 = −13
El grado de una ecuación es el mayor de los grados de los monomios que forman sus miembros.
Tipos de ecuaciones según su grado
Ecuación de primer grado.
Ecuación de segundo grado.
Ecuación de tercer grado.
Ecuación de cuarto grado.
5x + 3 = 2x +1
5x + 3 = 2x2 + x
5x3 + 3 = 2x +x2
5x3 + 3 = 2x4 +1
Ecuaciones de primer grado
1) Resuelve
Quitamos paréntesis:
Agrupamos términos y sumamos:
Despejamos la incógnita:
2) Resuelve
Quitamos denominadores, para ello en primer lugar hallamos el mínimo común múltiplo.
Quitamos paréntesis, agrupamos y sumamos los términos semejantes:
Despejamos la incógnita:
3) Resuelve la ecuación
Quitamos paréntesis y simplificamos:
Quitamos denominadores, agrupamos y sumamos los términos semejantes:
4) Resuelve la ecuación
5) Resuelve la ecuación
6) Resuelve la ecuación
7) Resuelve la ecuación
8) Resuelve la ecuación
8) Resuelve la ecuación
Ecuaciones de segundo grado.
Una ecuación de segundo grado es toda expresión de la forma:
ax2 + bx +c = 0 con a ≠ 0.
Se resuelve mediante la siguiente fórmula:
Ejemplos
1.
2.
3.
Si es a < 0, multiplicamos los dos miembros por (−1).
Ecuaciones de segundo grado incompletas
Se dice que una ecuación de segundo grado es incompleta cuando alguno de los coeficientes, b o c, o
ambos, son iguales a cero.
Resolución de ecuaciones de segundo grado incompletas
1.
ax2 = 0
La solución es x = 0.
Ejemplos
2.
ax2 + bx = 0
Extraemos factor común x:
Como tenemos un producto igualado a cero o un factor es cero o el otro factor es cero o los dos son cero.
Ejemplos
1.
2.
3.
ax2 + c = 0
1. En primer lugar pasamos el término c al segundo miembro cambiado de signo.
2. Pasamos el coeficiente a al 2º miembro, dividiendo.
3. Se efecúa la raí cuadrada en los dos miembros.
Ejemplos
1.
2.
Por ser el radicando negativo no tiene solución en los números reales
Estudio de las soluciones de la ecuación de 2º grado
Dada una ecuación de segundo grado completa:
ax2 + bx + c = 0
2
b − 4ac se llama discriminante de la ecuación.
El discriminante permite averiguar en cada ecuación el número de soluciones. Podemos distinguir tres casos:
1.
b2 − 4ac > 0
La ecuación tiene dos soluciones, que son números reales distintos.
b2 − 4ac = 0
La ecuación tiene una solución doble.
Ejemplo
2.
Ejemplos
3.
b2 − 4ac < 0
Ejemplos
La ecuación no tiene soluciones reales.
Propiedades de las soluciones de la ecuación de 2º grado
La suma de las soluciones de una ecuación de segundo grado es igual a:
El producto de las soluciones de una ecuación de segundo grado es igual a:
Ecuación de 2º grado a partir de sus soluciones
Si conocemos las raíces de una ecuación, podemos escribir ésta como:
Siendo
S = x1 + x2
P = x1 · x2
(S es la suma de las soluciones, P es el producto)
Ejemplo:
Escribe una ecuación de segundo grado cuyas soluciones son: 3 y −2.
Como la suma de las raíces es S= 3 − 2 = 1 y su producto es P = 3 · 2 = 6, entonces una ecuación de
segundo grado con esas soluciones es
x2 − x + 6 = 0
Factorización de un trinomio de segundo grado
Dada una ecuación de segundo grado completa:
ax2 + bx + c = 0 cuyas soluciones son x1 y x2
Entonces, el polinomio ax2 + bx + c se puede descomponer en factores como sigue:
ax2 + bx + c = a · (x – x1) · (x – x2)
Ejemplo
La ecuación
tiene como soluciones:
La ecuación 3x2 – 15 x + 18 = 0 tiene las mismas soluciones, sin embargo
3x2 – 15 x + 18 = 3 (x–2) (x–3)
Ecuaciones con radicales
Las ecuaciones con radicales o ecuaciones irracionales son aquellas que tienen la incógnita bajo el signo
radical. Por ejemplo:
Resolución de ecuaciones con radicales
1º
Se aísla un radical en uno de los dos miembros, pasando al otro miembro el resto de los términos,
aunque tengan también radicales.
2º
Se elevan al cuadrado los dos miembros.
3º
Se resuelve la ecuación obtenida.
4º
Se comprueba si las soluciones obtenidas verifican la ecuación inicial. Hay que tener en cuenta
que al elevar al cuadrado una ecuación se obtiene otra que tiene las mismas soluciones que la dada y,
además las de la ecuación que se obtiene cambiando el signo de uno de los miembros de la ecuación.
5º
Si la ecuación tiene varios radicales, se repiten las dos primeras fases del proceso hasta eliminarlos
todos.
Resuelve
1º
Aislamos el radical:
2º
Elevamos al cuadrado los dos miembros:
3º
Resolvemos la ecuación:
4º
Comprobamos:
La ecuación tiene por solución x = 2.
Resuelve
Resuelve
Comprobamos si es realmente solución:
Luego, la ecuación tiene por solución x = 4.
Ejercicios de ecuaciones con radicales
1
2
3
Ecuaciones exponenciales.
Ecuación exponencial
Una ecuación exponencial es aquella ecuación en la que la incógnita aparece en el exponente.
Para resolver una ecuación exponencial vamos a tener en cuenta:
1.
2.
3. Las propiedades de las potencias.
a0 = 1
a1 = a
am · a n = am+n
am : a n = am - n
(am)n = am · n
an · b n = (a · b) n
an : b n = (a : b) n
Resolución de ecuaciones exponenciales
Caso 1
Realizar las operaciones necesaria para que en los miembros tengamos la misma base, de modo que
podemos igualar los exponentes.
Ejemplos
1.
2.
3.
Caso 2
Cuando tenemos una ecuación más compleja podemos recurrir a un cambio de variable.
Ejemplos
1
.
En primer lugar aplicamos las propiedades de las potencias del producto o el cociente, para quitar las sumas
o restas de los exponentes.
Posteriormente realizamos el cambio de variable:
Resolvemos la ecuación y deshacemos el cambio de variable.
2.
3.
Deshacemos el cambio de variable en primer con el signo más.
Como no podemos igualar exponentes tomamos logaritmos en los dos miembros y en el
primer miembro aplicamos la propiedad:
Despejamos la x
Con el signo negativo no tendríamos solución porque al aplicar logaritmos en el segundo
miembro nos encontraríamos con el logaritmo de un número negativo, que no existe.
Caso 3
Para despejar una incógnita que está en el exponente de una potencia, se toman logaritmos cuya base es la
base de la potencia.
Ejemplo
Ecuaciones logarítmicas.
Ecuación logarítmica
Las ecuaciones logarítmicas son aquellas ecuaciones en la que la incógnita aparece afectada por un
logaritmo
Para resolver ecuaciones logarítmicas vamos a tener en cuenta:
1
Las propiedades de los logaritmos.
1
2
3
4
5
6
7
2
Inyectividad del logaritmo:
3
Definición de logaritmo:
4
Además tenemos que comprobar las soluciones para verificar que no tenemos logaritmos nulos o
negativos.
Ejemplos
1. Resuelve la ecuación logarítmica:
En el primer miembro aplicamos del logaritmo de un producto y en segundo la propiedad del logaritmo de
una potencia:
Teniendo en cuenta la inyectividad de los logaritmos tenemos:
Resolvemos la ecuación y comprobamos que no obtenemos un logaritmo nulo o negativo.
2. Resuelve la ecuación logarítmica:
En el 2º miembro aplicamos la propiedad del logaritmo de un cociente:
Restamos en los dos miembros
log x
y teniendo en cuenta que el
log 10 = 1,
tenemos:
Teniendo en cuenta la definición de logaritmo y que es un logaritmo decimal:
3. Resuelve la ecuación logarítmica:
En primer miembro aplicamos la propiedad del producto y en el 2º la de la potencia de un logaritmo.
Teniendo en cuenta la inyectividad de los logaritmos tenemos:
Resolvemos la ecuación y comprobamos la solución.
4. Resuelve la ecuación logarítmica:
Multiplicamos en los dos miembros por
log(3x −4).
En el 2º miembro aplicamos la propiedad de la potencia de un logaritmo y tenemos en cuenta la inyectividad
de los logartmos.
Resolvemos la ecuación x = 0 no es solución porque nos encontrariamos al sustituir en la ecuación nos
encontraríamos en el denominador un logarítmo negativo.
Sistemas de ecuaciones lineales con no más de tres incógnitas: método de Gauss.
Sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas
Ejemplo
Método de reducción
1. Se preparan las dos ecuaciones, multiplicándolas por los números que convenga.
2. La restamos, y desaparece una de las incógnitas.
3. Se resuelve la ecuación resultante.
4. El valor obtenido se sustituye en una de las ecuaciones iniciales y se resuelve.
5. Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.
Ejemplo:
Lo más fácil es suprimir la y, de este modo no tendríamos que preparar las ecuaciones; pero vamos a optar
por suprimir la x, para que veamos mejor el proceso.
Restamos y resolvemos la ecuación:
Sustituimos el valor de y en la segunda ecuación inicial.
Solución:
Método de sustitución
1. Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones.
2. Se sustituye la expresión de esta incógnita en la otra ecuación, obteniendo un ecuación con una sola
incógnita.
3. Se resuelve la ecuación.
4. El valor obtenido se sustituye en la ecuación en la que aparecía la incógnita despejada.
5. Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.
Ejemplo:
1.
Despejamos una de las incógnitas en una de las dos ecuaciones. Elegimos la incógnita que tenga el
coeficiente más bajo.
2.
Sustituimos en la otra ecuación la variable x, por el valor anterior:
3.
Resolvemos la ecuación obtenida:
4.
Sustituimos el valor obtenido en la variable despejada.
5.
Solución
Método de igualación
1. Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones.
2. Se igualan las expresiones, con lo que obtenemos una ecuación con una incógnita.
3. Se resuelve la ecuación.
4. El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las dos expresiones en las que aparecía despejada la otra
incógnita.
5. Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.
Ejemplo:
1
Despejamos, por ejemplo, la incógnita x de la primera y segunda ecuación:
2
Igualamos ambas expresiones:
3
Resolvemos la ecuación:
4
Sustituimos el valor de y, en una de las dos expresiones en las que tenemos despejada la x:
5
Solución:
Sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas
Ejemplo
Método de Gauss
http://www.ditutor.com/ecuaciones_grado2/metodo_gauss.html
El método de Gauss consiste en transformar un sistema de ecuaciones en otro equivalente de forma que éste
sea escalonado.
Obtenemos sistemas equivalentes por eliminación de ecuaciones dependientes. Si:
Todos los coeficientes son ceros.
Dos filas son iguales.
Una fila es proporcional a otra.
Una fila es combinación lineal de otras.
Criterios de equivalencia de sistemas de ecuaciones
1º Si a ambos miembros de una ecuación de un sistema se les suma o se les resta una misma expresión, el
sistema resultante es equivalente.
2º Si multiplicamos o dividimos ambos miembros de las ecuaciones de un sistema por un número
distinto de cero, el sistema resultante es equivalente.
3º Si sumamos o restamos a una ecuación de un sistema otra ecuación del mismo sistema, el sistema
resultante es equivalente al dado.
4º Sin en un sistema se sustituye una ecuación por otra que resulte de sumar las dos ecuaciones del
sistema previamente multiplicadas o divididas por números no nulos, resulta otro sistema equivalente
al primero.
5º Si en un sistema se cambia el orden de las ecuaciones o el orden de las incógnitas, resulta otro sistema
equivalente.
El método de Gauss consiste en utilizar el método de reducción de manera que en cada ecuación
tengamos una incógnita menos que en la ecuación precedente.
1º Ponemos como primera ecuación la que tenga el como coeficiente de x: 1 ó -1, en caso de que no fuera
posible lo haremos con y o z, cambiando el orden de las incógnitas.
2º Hacemos reducción con la 1ª y 2ª ecuación, para eliminar el término en x de la 2ª ecuación. Después
ponemos como segunda ecuación el resultado de la operación:
E'2 = E2 − 3E1
3º Hacemos lo mismo con la ecuación 1ª y 3ª ecuación, para eliminar el término en x.
E'3 = E3 − 5E1
4º Tomamos las ecuaciones 2ª y 3ª, trasformadas, para hacer reducción y eliminar el término en y.
E''3 = E'3 − 2E'2
5º Obtenemos el sistema equivalente escalonado.
6º Encontrar las soluciones.
z=1
− y + 4 · 1 = −2
y=6
x + 6 −1 = 1
x = −4
Ejercicios. Resuelve utilizando el método de Gauss:
Solución: En el sistema
realizamos
Resuelve utilizando el método de Gauss:
Solución: En el sistema
realizamos
2. Método de Gauss utilizando matrices
Para facilitar el cálculo vamos a transformar el sistema en una matriz, en la que pondremos los coeficientes
de las variables y los términos independientes (separados por una recta
Ejemplos
Resuelve el sistema de ecuaciones lineales
Resuelve el sistema de ecuaciones lineales
Inecuaciones y sistemas de inecuaciones algebraicas con una incógnita.
Inecuaciones
Una inecuación es una desigualdad algebraica en la que sus dos miembros aparecen ligados por uno de
estos signos:
2x − 1 < 7
< menor que
≤ menor o igual que 2x − 1 ≤ 7
2x − 1 > 7
> mayor que
≥ mayor o igual que 2x − 1 ≥ 7
Inecuaciones equivalentes
Si a los dos miembros de una inecuación se les suma o se les resta un mismo número, la inecuación
resultante es equivalente a la dada.
Si a los dos miembros de una inecuación se les multiplica o divide por un mismo número positivo, la
inecuación resultante es equivalente a la dada.
Si a los dos miembros de una inecuación se les multiplica o divide por un mismo número negativo, la
inecuación resultante cambia de sentido y es equivalente a la dada.
Resolución de inecuaciones de primer grado
1º
Quitar paréntesis.
2º
Quitar denominadores.
3º
Agrupar los términos en x a un lado de la desigualdad y los términos independientes en el otro.
4º
Efectuar las operaciones
5º
Como el coeficiente de la x es negativo multiplicamos por −1, por lo que cambiará el sentido de
la desigualdad.
6º
Despejamos la incógnita.
Obtenemos la solución como una desigualdad, pero ésta también podemos expresarla:
De forma gráfica
Como un intervalo
Resolución de sistemas de inecuaciones con una incógnita
Se resuelve cada inecuación por separado, siendo el conjunto solución del sistema la intersección de
los conjuntos soluciones de ambas inecuaciones.
Ejemplos
1.
[−1, 3]
2.
(3, ∞)
3.
No tiene solución.