evaluación de la unidad 3

UNIDAD 3. EL MÉTODO GRÁFICO
Objetivo de la unidad 3
Al término de esta unidad el alumno:


Construirá los modelos de Programación Lineal de dos variables
decisionales.
Aplicará los principios del algoritmo de solución del método
simplex.
3.1 Solución del Modelo de Programación Lineal por el Método
Gráfico



3.1.1 Determinación del área factible
3.1.2 Comportamiento de la función objetivo
3.1.3 Interpretación gráfica de las restricciones
3.1.1 Determinación del área factible
Técnicas de Solución
El método gráfico no es una técnica eficiente para solucionar
problemas de programación lineal, su bondad está en que ilustra
los conceptos de programación lineal, o sea, la ventaja de este
método tiene carácter didáctico. A continuación veremos con un
ejemplo como se aplica este método en la solución de modelos
de programación lineal.
Ejemplo:
Max Z = 4X1 + 3X2
s.a.
2X1 + 3X2 <= 6 
-3X1 + 2X2 <= 3 
2X2 <= 5 
2X1 + X2 <= 4 
X1, X2 > 0 
Observaciones:



Es un problema de maximización
El número de variables decisionales es 2
Todas las restricciones son <=
En una primera instancia trabajaremos exclusivamente con las
restricciones, sin tomar en cuenta a la función objetivo.
Trabajando con la restricción 1;
1er. Paso: A valor mexicano la transformamos en igualdad y
localizamos los interceptos.
2X1 + 3X2 = 6
NOTA: Se llaman interceptos a los puntos en que la curva corta
a los ejes de coordenadas. Estos puntos tienen la cualidad que
al menos una de las variables vale CERO.
Ahora si podemos a empezar a trabajar con la restricción 1
Asi de esta forma despejando X1 y X2 podemos encontrar los
interceptos.
2X1 + 3X2 = 6

X1
0
3
X2
2
0
Si X1 = 0 X2 = 2
Si X2 = 0 X1 = 3
2° Paso: Dibujamos la recta
3er Paso: Definimos el hemiplano correspondiente a la
restricción, para ello le lanzamos una flecha al corazón del
origen y sustituimos las coordenadas de ese punto en la
restricción original y si se cumple la restricción significará que el
sentido de la flecha es verdadero y en caso contrario, si no se
cumple, significará que debemos cambiar el sentido de la flecha.
2X1 + 3X2 <= 6
2(0) + 3(0) <= 6
0 + 0 <= 6
0 <= 6 ( si cumple  )
Como se cumple la restricción significa que el sentido de la
flecha es verdadero.
Nota Complementaria: (Explicación de Hemiplano)
AQUI VA LA EXPLICACION HAY QUE BUSCARLA
Trabajando con la restricción  ;
1er. Paso:
-3X1 + 2X2 = 3

X1
0
-1
X2
1.5
0
Si X1 = 0 X2 = 1.5
Si X2 = 0 X1 = - 1
2° Paso: Dibujamos la recta
3er Paso:
-3X1 + 2 X2 <= 3
-3(0) + 2(0) <= 3
0 <= 3 ( si cumple  )
Como se cumple la restricción significa que el sentido de la
flecha es verdadero.
Trabajando con la restricción  ;
1er. Paso: Localizamos los interceptos aunque en este caso
solo hay para X2
2X2 = 5
X2 =
= 2.5
2° Paso: Dibujamos la recta
3er Paso:
Trabajando con la restricción 3
2 X2 < = 5
2(0) < = 5
0 < = 5 ( si cumple)
Como se cumple la restricción significa que el sentido de la
flecha es verdadero.
Trabajando con la restricción  ;
1er. Paso
2X1 + X2 = 4
Si X1 = 0 entonces X2 = 4
Si X2 = 0 entonces X1 = 2
2° Paso: Dibujamos la recta
3er Paso:
2X1 + X2 <= 4
2(0) + (0) <= 4
0 <= 4 ( si cumple  )
Como se cumple la restricción significa que el sentido de la
flecha es verdadero.
3.1.2 Comportamiento de la función objetivo
Trabajando ahora con la función objetivo;
¿Qué sucede si la función objetivo pasa por el punto (1,1)?
Z = 4X1 + 3X2 = 7
4(1) + 3 (1) = 7
¿Qué sucederá si la función objetivo pasa por el punto (1,0)?
Z = 4X1 + 3X2 = 4
4(1) + 3 (0) = 4
¿Qué sucederá si la función objetivo pasa por el origen?
Z = 4X1 + 3X2 = 0
4(0) + 3 (0) = 0
Z = 4X1 + 3X2 = 0
Si X2 = 4 ; X1 = -3
¿Qué pasaría finalmente si la función objetivo pasa por el punto ( 1.5, 1)?
Z = 4X1 + 3X2 = 9
4(1.5) + 3 (1) = 9
Con los valores obtenidos con el comportamiento de la función objetivo y con los
valores de las restricciones podemos trazar la siguiente gráfica y poder hacer una
interpretación de la gráfica
3.1.3 Interpretación gráfica de las restricciones
La función objetivo genera una familia infinita de rectas paralelas cuyos valores
mínimos y máximos se dan exactamente en puntos esquina del área de solución
factible. Los puntos del área amarilla incluyen el punto mínimo que es 0 y el punto
máximo que es 9. Los valores mínimo y máximo de la función objetivo dependen
de su ángulo de inclinación.
VER EJEMPLO DEL MÉTODO GRÁFICO
3.2 Interpretación gráfica de la forma estándar
Acepta:
Maximizar y Minimizar (Max. o Min.)
Las restricciones deben de ser igualdad (Rs =)
Las variables deben de ser mayor igual que cero (Var >= 0)
Los elementos que están después de la igualdad
deben ser mayor igual que cero (>= 0)
Ejemplo:
Max Z = 4X1 + 3X2
s.a.
2X1 + 3X2 <= 6 
-3X1 + 2X2 <= 3 
2X2 <= 5 
2X1 +X2 <= 4 
X1, X2 > 0 
Forma Estándar (st).
Max Z = 4X1 + 3X2
s.a.
2X1 + 3X2 + S1 = 6 
-3X1 + 2X2 + S2 = 3 
2X2 + S3 = 5 
2X1 +X2 + S4 = 4 
X1, X2, S1, S2, S3, S4 > 0 
Trabajando con la restricción 1.
Que sucede si S1 = 0.
2X1 + 3X2 + S1 = 6
2X1 + 3X2 + 0 = 6
2X1 + 3X2 = 6
Sí X1 = 0 entonces X2 = 2
Sí X2= 0 entonces X1 = 3
Interceptos:
Observamos que los puntos de la recta S1 pueden ser definidos de dos formas, bien
con esta expresión:
a) 2X1 + 3X2 + S1 = 6
Ó
b) S1 = 0
Podemos hacer consideraciones semejantes para cada una de las restricciones 2, 3,
4.
Que sucede si S1 = 1
2X1 + 3X2 + S1 = 6
2X1 + 3X2 + 1 = 6
2X1 + 3X2 = 6 - 1
2X1 + 3X2 = 5
Si X1 = 0 entonces X2 = 1.66
Si X2= 0 entonces X1 = 2.5
Interceptos:
Por lo tanto S1 = (0, 1.66) y (2.5, 0)
Que sucede si S1 = 3
2X1 + 3X2 + S1 = 6
2X1 + 3X2 + 3 = 6
2X1 + 3X2 = 6 - 3
2X1 + 3X2 = 3
Si X1 = 0 entonces X2 = 1
Si X2= 0 entonces X1 = 1.5
Interceptos:
Por lo tanto S1 = (0, 1) y (1.5, 0)
Que sucede si S1 = 6
2X1 + 3X2 + S1 = 6
2X1 + 3X2 + 6 = 6
2X1 + 3X2 = 6 - 6
2X1 + 3X2 = 0
Si X1 = 0 entonces X2 = 0
2X1 + 3X2 = 0
2X1 = -3X2
X1 = -3X2 / 2
X1 = -3
X2 = 2
Interceptos:
Por lo tanto S1 = (0, 0) y (-3, 2)
Nota: Tomamos en cuenta que ya esta la gráfica hecha en la forma estándar
solamente evaluamos las restricciones.
Gráfica número 1
Conclusión:
Los puntos interiores del área de solución factible no tienen ninguna variable que
valga 0 (S1 = 0).
Los puntos frontera que no son esquina tienen una variable = 0, pero los puntos
esquina tienen dos variables = 0; esta circunstancia es doblemente importante por
que:
a) Permite la solución del sistema de ecuaciones que esta desbalanceado; esto
es, que tiene 6 incógnitas y 4 ecuaciones.
b) Porque exactamente en los puntos esquina es donde optimiza la función
objetivo (F.O.).
Cuantas posibilidades se darán si dos variables valen 0. X1, X2, S1, S2, S3, S4
X1, = X2 = 0
Variables no básicas: Son aquellas variables que de ante mano valen 0.
Examinando la primera posibilidad utilizando las variables básicas y las variables no
básicas.
Características de esta solución:
Esta es una solución única, como todos los valores de las variables básicas son
mayor igual / a 0; esta es una solución básica factible y por lo tanto se define a un
punto extremo (punto esquina), el punto A.
Examinando la segunda posibilidad.
Sustituimos los valores de las variables no básicas en las restricciones de la forma
estándar.
Max Z = 4X1 + 3X2
s.a.
2X1 + 3X2 + S1 = 6 
-3X1 + 2X2 + S2 = 3 
2X2 + S3 = 5 
2X1 +X2 + S4 = 4 
X1, X2, S1, S2, S3, S4 >= 0 
Primera Restricción:
2X1 + 3X2 + S1 = 6 
2(0) + 3X2 + 0 = 6
X2 = 6 / 3
X2 = 2
Segunda Restricción:
-3X1 + 2X2 + S2 = 3 
-3(0) + 2(2) + S2 = 3
S2 = 3 – 4
S2 = -1
Tercera Restricción
2X2 + S3 = 5 
2(2) + S3 = 5
S3 = 5 - 4
S3 = 1
Cuarta Restricción
2X1 +X2 + S4 = 4 
2(0) +2 + S4 = 4
S4 = 4 - 2
S4 = 2
Características de la solución:
Esta es una solución única.
¿Todos los valores de las variables básicas son mayor ó igual a 0 (>= 0)? No porque
S1 = -1.
En consecuencia esta es una solución básica no factible y por lo tanto no define a
ningún punto extremo; es decir, el punto que se define es el punto G.
Las combinaciones de n y m.
Cnm = n! / (m! (n - m)!)
N = Número de incógnitas = 6.
M = Número de ecuaciones = 4
C64 = 6! / (4! (6 - 4)!)
C64 = 15 (Son quince soluciones a examinar).
Para poder afirmar porque el método gráfico es ineficiente decimos:
1º Porque existe un gran número de soluciones que tiene que examinar
C155 = 15! / (5! (15 - 5)!)
C155 = 3,003 (soluciones a examinar).
2º Porque la mayoría de las soluciones no son factibles o bien, no existentes.
3º Porque la función objetivo juega un papel pasivo durante el proceso.
EJERCICIOS UNIDAD III
1. - Resuelva el siguiente modelo de Programación Lineal utilizando el Método
Gráfico:
a) Dibuje el Área de Solución Factible.
b) Calcule y dibuje la función objetivo en el Punto Óptimo.
c) Haga un resumen de las soluciones posibles.
Max Z= 3X1 + 9X2
s.a.
3X1 – 2X2 <= 12……………..1
X1 + X2 <= 9…………..…..2
X2 <= 6………………….3
-X1 + X2 <= 4……………..…4
X1 , X2 <= 0………………….5
Si Z pasa por (4,0)
Z=3(4)=12
3X1 + 9X2=12
2 con 4
X1 + X2=9
-X1 + X2=4
----------------
2X2=13
X2=6.5
X1=9-X2=9-6.5
X1=2.5
Si Z pasa por (2.5,6.5)
Z=3(2.5)+9(6.5)
Z=7.5+58.5=66.0
3X1 + 9X2=66
soluciones posibles
Max cuando Z pasa por el punto (3,6)
Z=3(3)+9(6)=63
2. - Resuelva el siguiente modelo utilizando el Método Gráfico.
a. Dibuje el Area de Solución Factible.
b. Calcule y dibuje la Función Objetivo en el punto optimo.
c. Haga un resumen de las soluciones posibles.
Min Z = -3X1+5X2
s.a.
-2X1+5X2 <= 20…………1
X1 >= -18……….…2
2X1+9X2 <= 0………….3
X1+2X2 >= -10…………4
2X1-9X2 = 0………….5
X1<=0, X2 LIBRE …………6
Localizando interceptos y definiendo los hemiplanos de cada desigualdad.
Despejamos X1 de la restriccion 3
Despejamos X1 de 5
X1 =
Para probar el hemiplano de la restricción 3 le tiramos una recta al punto
2(-10)+9(-10)<= 0
-100 <= 0 por lo tanto se cumple
(-10,-10)
El área de Solución Factible es el segmento de recta ho.
Calculamos Z en el origen.
Z= -3(0)+5(0)=0
-3X1+5X2=0
Despejamos
Calculamos las coordenadas de h
Resolviendo como simultaneas la 4 y la 5
2X1-9X2 = 0
-2X1-4X2 =20
-13X2 =20
Multiplicando la 4 por (-2).
Las coordenadas de h son (-6.7,-1.53)
De donde Z en el punto h es Z = -3(-6.7)+5(-1.53)
Z = 15.51
RESUMEN DE SOLUCIONES
n=2
m=5
3. Resolver el siguiente modelo de programación lineal por el Método Gráfico.
4. Determine gráficamente el espacio de soluciones para las siguientes
desigualdades:
Reduzca el sistema al número más pequeño de restricciones que definan el
espacio de soluciones.
5. Resuelva gráficamente el problema siguiente
6. Considere el siguiente problema
Resuélvalo por medio del método gráfico
EVALUACIÓN DE LA UNIDAD 3
A continuación se proponen 3 evaluaciones referente a la Unidad 3, antes de
entrar a cada una de ellas debes leer todos los contenidos temáticos de la unidad
3, para que tu evaluación sea la adecuada.
IR A LA EVALUACION 1
IR A LA EVALUACION 2
IR A LA EVALUACION 3
Con la información del siguiente modelo y el gráfico respectivo responda las
preguntas que se le presentan al dar clic en siguiente.
Gráfico:
Principio del formulario
Con la información del modelo y el gráfico que se le presento anteriormente,
responda las siguientes preguntas:
EVALUACIÓN DE LA UNIDAD 3
EJERCICIO DE OPCIÓN MÚLTIPLE.
1/6
1 El área de solución factible es un:
Triángulo
Segmento de recta
Un punto
Un pentágono
Ninguno de los anteriores
Principio del formulario
Dado el siguiente modelo de Programación Lineal y su gráfico, conteste:
Gráfico:
Principio del formulario
Con la información del modelo y el gráfico que se le presento anteriormente, responda las siguientes
preguntas:
* Señale con una flecha cada uno de los hemiplanos correspondientes a cada restricción
*Complete la gráfica
*Ilustre el área de solución factible
*Señale la respuesta correcta a cada una de las siguientes preguntas:
EJERCICIO DE OPCIÓN MÚLTIPLE.
1/5
1 El valor óptimo de la función objetivo es:
104
0
96
84
Ninguno
Principio del formulario
El siguiente modelo y su gráfico correspondiente le proporcionan a usted la
información para contestar las preguntas que se expresan en la siguiente página: